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所属成套资源：2023年中考数学考前30天冲刺必刷卷（四川成都专用）
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必刷卷03——2023年中考数学考前30天冲刺必刷卷（四川成都专用）
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2023年中考数学考前信息必刷卷03
数 学（成都专用）
2023年成都中考数学试卷结构和内容基本上还是延续2022年的趋势！2023年数学试卷共26题，其中A卷18题（选择题：8道+填空题：5道+解答题：5道），B卷8题（填空题：5道+解答题：3道）。根据去年中考改革以及最新模拟考试来看：在知识结构方面，会适当降低二次函数和圆的难度，反比例函数与综合类几何压轴题会适当增加难度；在试卷整体难度方面，基本不会有太大变化。
通过对最新成都考试信息的梳理以及教学研究成果，预测：A卷与去年中考难度相当，主要为基础题型，容易得分，重点题型为18题《反比例函数综合问题》；B卷22题主要考查反比例函数或二次函数与几何结合类的综合题，23题主要以几何动点问题与最值问题为考查方向，可参考“将军饮马”，“胡不归”，“阿氏圆”，“瓜豆原理”，“费马定理”等几何模型。
另外，在平时学习中要特别关注基础题（A卷（1-16题））；能力题（A卷17-18题、B卷19-21题及24题）；压轴题（B卷22-23题及25-26题）。各地中考试卷侧重增加数学文化的考查，加强问题背景的设置，加大考查的深度和广度，同时应加强学生的作图、识图能力、动手能力、探究能力、思维能力。特别注意应用型和创新型（一般会以数学文化为背景或在新情景下命制对概念的理解以及问题的梳理），同时掌握整体思想、数形结合、特殊值等数学思想，这些思想会蕴含于每道试题之中。
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
A卷（共100分）
第Ⅰ卷（共32分）
一、选择题（每小题4分，共32分）
1．一个数比6的相反数小2，则这个数是（ ）
A．4 B． C． D．8
【答案】C
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可求得6的相反数，再计算即可求解．
【详解】解：6的相反数是-6，比-6小2的数是：-6-2=-8，故选：C．
【点睛】本题考查了相反数，有理数的减法．解答本题的关键是求出6的相反数．
2．根据文化和旅游部数据中心测算，2022年春节假期，全国国内旅游出游2.51亿人次，同时国内旅游收入2891.98亿元，2.51亿这个数用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
【详解】解：2.51亿=251000000= 故选A．
【点睛】本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义．
3．我国古代数学家刘徽用“牟合方盖”找到了球体体积的计算方法．“牟合方盖”是由两个圆柱分别从纵横两个方向嵌入一个正方体时两圆柱公共部分形成的几何体．如图所示的几何体是可以形成“牟合方盖”的一种模型，则它的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据俯视图即从物体的上面观察得得到的视图，进而得出答案．
【详解】解：该几何体的俯视图是：．故选：A．
【点睛】此题主要考查几何体的三视图；掌握俯视图是从几何体上面看得到的平面图形是解决本题的关键．
4．为了落实“作业、睡眠、手机、读物、体质”等五项管理要求，了解学生的睡眠状况，调查了一个班50名学生每天的睡眠时间，数据如下表所示，则所调查学生睡眠时间的众数和中位数分别为（ ）
时间/小时
6
7
8
9
人数
9
16
14
11
A．16和15 B．11和15 C．7和8 D．7和7.5
【答案】D
【分析】根据统计表中人数最多的时间为众数，将全部数据排序后取中间两个数的平均值即为中位数．
【详解】根据统计表，人数最多的睡眠时间是7小时，故睡眠时间的众数为7；
因为人数为50，中位数应将所有为数据排序后取中间两个数的平均值，即第25、26个数，
根据统计表，第25个数为7，第26个数为8，所以中位数=，故选 D．
【点睛】本题考查数据的分析，熟练掌握中位数、众数、平均数的算法是解题关键．
5．在一次海事活动中，所在区域是活动区域，其中弦与优弧所围成的区域是声呐需要探测的区域．现在A处安装一台声呐设备，其探测区域如图阴影所示，再在B处安装一台同型号声呐设备，恰好能完成所有区域的探测，如图2阴影所示．
如图3，现将声呐设备放置位置改为圆O上D、E、F点，设计三个方案：
①在D点放两台该型号的声呐设备；②在D点、E点分别放一台该型号的声呐设备
③在F点放两台该型号的声呐设备。若能完成所有区域的探测，则正确的方案是（ ）
A．①③ B．①②③ C．②③ D．①②
【答案】D
【分析】根据材料给定的条件，逐一判断即可．
【详解】解：由题意可知，在A，B处分别安装一台声呐时，恰好能完成所有区域的探测，在同一点上安装两台同型号的声呐设备，分别以图1中A，B的朝向摆放，便能恰好完成所有区域的探测，故①可以，而③的方向与①相反，故不能完全所有区域的探测，故③不符合；在D点、E点分别放一台该型号的声呐设备，则和D，E的情况相同，此时也能恰好完成所有区域的探测，故②也可以．
综上所述，①②满足，③不满足．故选D．
【点睛】本题是材料题，主要考查学生的理解能力．
6．我国古代数学著作《增删算法统宗》有题如下：“甲乙二人沽酒，不知谁少谁多．乙钞少半甲相和，二百无零堪可．乙得甲钱中半，亦然二百无那，英贤算得的无讹，将甚法儿方可？”其大意是：“甲乙二人买酒，不知谁买多买少．只知乙买酒的钱的与甲买酒钱之和恰好为200文．若乙得到甲买酒钱的一半，也有200文．试问甲、乙买酒各用了多少钱，才智出众的人算得无误，就称为好解法．”设甲买酒钱x文，乙买酒钱y文，则可列方程组为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设甲买酒钱文，乙买酒钱文，根据题意有等量关系：甲的钱＋乙的钱的＝200文钱，乙的钱＋甲所有钱的＝200文钱，据此列方程组即可．
【详解】解：设甲买酒钱文，乙买酒钱文，
根据题意，得：，故选：B．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组．解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程组．
7．如图，与位似，点为位似中心，相似比为．若的周长为4，则的周长是（ ）
A．4 B．6 C．9 D．16
【答案】B
【分析】根据周长之比等于位似比计算即可．
【详解】设的周长是x，
∵ 与位似，相似比为，的周长为4，
∴4：x=2：3，解得：x=6，故选：B．
【点睛】本题考查了位似的性质，熟练掌握位似图形的周长之比等于位似比是解题的关键．
8．定义：[a，b，c]为二次函数y＝ax2bxc（a≠0）的特征数，下面给出特征数为[m，1-m，2-m]的二次函数的一些结论：①当m＝1时，函数图象的对称轴是y轴；②当m＝2时，函数图象过原点；③当m＞0时，函数有最小值；④如果m＜0，当x＞0．5时，y随x的增大而减小．其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．②③ C．①②③ D．①②③④
【答案】C
【分析】①当m=1时，利用顶点坐标公式解答即可；②令函数值为0，求得与y轴交点坐标即可判断；③利用二次函数的性质解答即可；④首先求出对称轴，利用二次函数的性质解答即可．
【详解】解：由特征数的定义可得：特征数为[m，1m，2m]的二次函数的解析式为y＝mx2（1-m）x（2-m），
①当m＝1时，对称轴为直线x==0，故正确；
②∵m=2，∴此时二次函数表达式为y=2x2-x，
令x=0，解得y=0，故二次函数的图象过原点，正确；
③当m>0时，y＝mx2（1-m）x（2-m）是一个开口向上的抛物线，函数有最小值，正确；
④，∵m<0，其对称轴是，抛物线开口向下，
∴在对称轴的右边y随x的增大而减小．
因为m<0，>，即对称轴在x=的右边，
因此函数在x=的右边先递增到对称轴位置，再递减，故错误；故选C．
【点睛】此类考查了二次函数，问题综合性强，难度较大，在中考中比较常见，一般作为压轴题，题目比较典型．
第Ⅱ卷（共68分）
二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）
9．在学习了负整数指数幂的知识后，小明和小军两同学做了一个数学游戏，小明出了题目：将的结果化为只含有正整数指数幂的形式，其结果为，则“*”处的数是多少？聪明的你替小军填上“*”处的数是___________．
【答案】
【分析】先用负整数指数幂将化简为，再结合积的乘方、幂的乘方解题即可．
【详解】解：
由题意得， 即
故答案为：．
【点睛】本题考查负整数指数幂、幂的乘方、积的乘方等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
10．已知 用“＜”表示的大小关系为________.
【答案】
【分析】利用作差法及配方法配成完全平方式再与0比较大小即可求解．
【详解】解：由题意可知：，
∵，∴，∴；
，当且仅当时取等号，此时与题意矛盾，∴∴；
，同理，故答案为：．
【点睛】本题考查了两代数式通过作差比较大小，将作差后的结果配成完全平方式，利用完全平方式总是大于等于0的即可与0比较大小．
11．如图，直线，直线，垂足О在直线上．若，则的度数为__________．
【答案】##度
【分析】由平角的定义求出的度数，再由平行线的性质以及垂线的性质即可得出的度数．
【详解】解：如图，∵，∴，∵，∴，
∵直线，∴．故答案为：．
【点睛】本题考查平行线的性质、垂线的性质；熟练掌握平行线的性质，求出的度数是解决问题的关键．
12.已知m为正整数，若是整数，则根据可知m有最小值．设n为正整数，若是大于1的整数，则n的最小值为______，最大值为______．
【答案】 3 75
【分析】根据n为正整数， 是大于1的整数，先求出n的值可以为3、12、75，300，再结合是大于1的整数来求解．
【详解】解：∵，是大于1的整数，∴．
∵n为正整数∴n的值可以为3、12、75，n的最小值是3，最大值是75．故答案为：3；75．
【点睛】本题考查了无理数的估算，理解无理数的估算方法是解答关键．
13．如图，在中，．利用尺规在、上分别截取、，使；分别以、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；作射线交于点．若，则的长为_________．
【答案】
【分析】如图所示，过点H作HM⊥BC于M，由作图方法可知，BH平分∠ABC，即可证明∠CBH=∠CHB，得到，从而求出HM，CM的长，进而求出BM的长，即可利用勾股定理求出BH的长．
【详解】解：如图所示，过点H作HM⊥BC于M，
由作图方法可知，BH平分∠ABC，∴∠ABH=∠CBH，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴，
∴∠CHB=∠ABH，∠C=180°-∠ABC=30°，∴∠CBH=∠CHB，
∴，∴，∴，
∴，∴，故答案为：．
【点睛】本题主要考查了角平分线的尺规作图，平行四边形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质与判定等等，正确求出CH的长是解题的关键．
三、解答题 （本大题共6小题，共58分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
14．（1）计算：．（2）求不等式组的非负整数解．
【答案】（1）-2；（2）非负整数解为：0，1，2
【分析】（1）利用求立方根方法，特殊三角函数的值，负整数次幂的法则，绝对值的性质进行求值化简即可得到答案；（2）先分别求出两个一元一次不等式的解集，然后求出不等式组的解集即可得到答案．
【详解】（1）原式
（2）由①得：,由②得：
∴不等式组的解集为：∴非负整数解为：0，1，2．
【点睛】本题主要考查了求立方根，特殊三角函数的值，负整数次幂的计算法则，绝对值的性质以及求不等式组的解集，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识点．
15．为落实“双减”政策，光明中学利用课外活动时间开设了舞蹈、篮球、围棋和足球四个社团活动，每个学生只选择一项活动参加，为了解活动开展情况，学校随机抽取部分学生进行调查，将调查结果绘成如下表格和扇形统计图． 参加四个社团活动人数统计表
社团活动
舞蹈
篮球
围棋
足球
人数
50
30
80
请根据以上信息，回答下列问题：(1)抽取的学生共有________人，其中参加围棋社的有________人．
(2)若该校有3200人，估计全校参加篮球社的学生有多少人？(3)某班有2男2女共4名学生参加足球社，现从中随机抽取2名学生参加学校足球队，请通过画树状图或列表格求抽到一男一女的概率．
【答案】(1)200，40(2)480人(3)见解析；
【分析】（1）用足球的人数除以足球所占的百分比，即可求得样本容量，进而求出参加围棋社的人数．
（2）先求出参加篮球社的学生所占百分比，再乘以3200，即可得出答案．（3）用树状图表示2男2女共4名学生，现从中随机抽取2名学生参加学校足球社，所有可能出现的结果情况，进而求出答案即可．
【详解】（1）抽取的学生共有：（人），
参加围棋社的有：（人）；故答案为：200，40；
（2）若该校有3200人，估计全校参加篮球社的学生共有：（人）；
答：全校参加篮球社的学生估计有480人
（3）画树状图如下：
∵所有等可能出现的结果总数为12个，其中抽到一男一女的情况数有8个，
∴恰好抽到一男一女概率为．
【点睛】本题考查了读统计表与扇形图的能力和利用图表获取信息的能力，利用统计图获取信息时，必须认真观察，分析，研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题，也考查了利用树状图或列表法求概率．
16．阅读下列材料：在中，、、所对的边分别为、、，求证：．
证明：如图1，过点作于点，则：
在中， CD=asinB
在中，
根据上面的材料解决下列问题：
(1)如图2，在中，、、所对的边分别为、、，求证：；
(2)为了办好湖南省首届旅游发展大会，张家界市积极优化旅游环境．如图3，规划中的一片三角形区域需美化，已知，，米，求这片区域的面积．（结果保留根号．参考数据：，
【答案】(1)见解析 (2)
【分析】（1）作BC边上的高，利用三角函数表示AD后，即可建立关联并求解；
（2）作BC边上的高，利用三角函数分别求出AE和BC，即可求解．
(1)证明：如图2，过点作于点，
在中，，在中，，
，；
(2)解：如图3，过点作于点，
，，，
在中，
又，即，，
．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系，即锐角三角函数的定义是解决问题的前提．
17．已知四点在上，弦与直径相交于点E，，点P为射线上一点，使得．(1)求证：为的切线；(2)若，，，求．
【答案】(1)见解析 (2)4
【分析】（1）由圆周角定理可得，由余角的性质可证，可得结论；
（2）先求出的长，通过证明∽，可得，即可求解．
【详解】（1）证明：如图所示，
∵AC为的直径，∴， ∵，∴．
∵，∴，∴．∴．
∵为的半径，∴为的切线．
（2）解：如图所示，过点A作于点G．
∵，∴．∵，，∴，∴．∴．
∵，，，∴．
设，则．∵∽，∴．
∴，解得：（负值已舍去）．∴．
∴．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，圆周角的性质，切线的判定等知识，添加恰当的辅助线构造相似三角形是解题的关键．
18．如图，在平面直角坐标系中，，．
(1)如图1，求直线AB的解析式；(2)如图2，点P、Q在直线AB上，点P在第二象限，横坐标为t，点Q在第一象限，横坐标为d，，求d与t之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；
(3)如图3，在（2）的条件下，点C、点D在x轴的正半轴上（C在D的左侧），连接AC、AD，，，点E是AC中点，连接DE、QE、QD，若，求t值．
【答案】(1)(2)(3)-3
【分析】（1）首先确定点A坐标为（0，8），然后利用待定系数法求直线AB的解析式即可；
（2）由，，，可得，解得；
（3）在OB上取OF，使得，连接AF，延长DE交AB于点G，由，可得，设，则，， ，由勾股定理可知，结合，解得，即可确定，，再根据，点E是AC中点，可知点，，然后利用待定系数法确定直线DE解析式为，将直线AB和直线DE的解析式联立，解得点，可得 ，根据，可解得 ，由（2）可知，，故．
【详解】（1）解：∵，∴，
∵，，∴，
∴，∴，∴点A坐标为（0，8），
设直线AB的解析式为，将点，点代入，
可得，解得，∴直线AB的解析式为；
（2）∵点P、Q在直线AB上，点P横坐标为t，点Q横坐标为d，∴，，
∵，，，∴，∴，
∵点P在第二象限，点Q在第一象限，∴，∴，即；
（3）在OB上取OF，使得，连接AF，延长DE交AB于点G，如下图，
∵，，∴，
∴，，∴，
∵，∴，
∴，∴，
设，则，，
∴，∴，
∵，∴，解得，∴，，∴，，
∵，点E是AC中点，∴点，∴，
设直线DE解析式为，将点、代入，
可得，解得，∴直线DE解析式为，∴，
∵直线AB的解析式为，，∴，
将直线AB和直线DE的解析式联立，可得，解得，∴点，
由（2）可知，点，∴，
∵，∴，即，解得 ，
由（2）可知，，∴，答：t的值为-3．
【点睛】本题主要考查了一次函数综合应用，涉及了待定系数法求函数解析式、等腰三角形的判定与性质、勾股定理的应用等知识，熟练掌握相关知识，利用数形结合的思想分析问题是解题关键．
B卷（共50分）
一、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）
19．已知正整数满足：，则值为___________．
【答案】146
【分析】将xy+x+y=71，x2y+xy2=880稍作变化，变为xy+（x+y）=71，xy（x+y）=880．此时x+y、xy可以看做一元二次方程t2-71t+880=0的两个解．解出该方程的解即为x+y，xy的值．再将x+y，xy代入x2+y2=（x+y）2-2xy求值即可．
【详解】解：∵xy+x+y=71，x2y+xy2=880，∴xy（x+y）=880，xy+（x+y）=71，
∴x+y、xy可以看做一元二次方程t2-71t+880=0的两个解，解得t=55或16，
∴x+y=55、xy=16（此时不能满足x、y是正整数，舍去）或x+y=16、xy=55，
当x+y=16、xy=55时，x2+y2=（x+y）2-2xy=162-2×55=146．故x2+y2的值为146．故答案为146.
【点睛】本题考查因式分解的应用、一元二次方程，难度较大，解决本题的关键是将x+y、xy可以看做一元二次方程t2-71t+880=0的两个解，解出t即可知x+y、xy的值．
20．如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形的中心与原点重合，轴，交轴于点．将绕点顺时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，点A的坐标为______．
【答案】
【分析】首先确定点A的坐标，再根据4次一个循环，推出经过第次旋转后点的坐标即可．
【详解】解：∵正六边形边长为2，中心与原点O重合，轴，
∴，∴，
∴第1次旋转结束时，点A的坐标为，第2次旋转结束时，点A的坐标为，
第3次旋转结束时，点A的坐标为，第4次旋转结束时，点A的坐标为，∴4次一个循环，
∵，∴第次旋转结束时，点A的坐标为．故答案为：．
【点睛】本题考查正多边形的性质，规律型问题，坐标与图形变化——旋转等知识，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型．
21．已知关于x的不等式组无解，关于y的分式方程有整数解，则满足条件的所有整数a的和为
【答案】9
【分析】先根据一元一次不等式组无解可得a≥3，再解分式方程得，且y≠0， y≠2，求得a＝3或a＝6．
【详解】解：，由①得，x≤5，由②得，x＞2a﹣1，
∵不等式组无解，∴2a﹣1≥5，∴a≥3，
，方程的两边同时乘y（y﹣2），得a（y﹣2）﹣2y＝﹣8，整理得，（a﹣2）y＝2a﹣8，
∵方程有整数解，∴，∴a﹣2＝±1，a﹣2＝±2，a﹣2＝±4，
∴a＝3或a＝1或a＝4或a＝0或a＝6或a＝﹣2，
∵a≥3，∴a＝3或a＝4或a＝6，∵y≠0，y≠2，∴a≠4，∴所有a的和为9．
【点睛】本题主要考查含参数的分式方程以及一元一次不等式组，把分式方程和一元一次不等式组进行化简，是解题的关键．
22．如图，已知直线：分别与轴、轴交于点，，双曲线与直线不相交，为双曲线上一动点，过点作轴于点，轴于点，分别与直线交于点，，且，则_____
【答案】8
【分析】求出点A、B的坐标分别为、，可得，证明，根据相似三角形的性质可得，然后设点，表示出点和点，再分别求出、和，代入求出即可．
【详解】解：在一次函数中，当时，；当时，，
∴点A、B的坐标分别为、，∴，∴，
∵，∴，∴，∴，
设点，则，，∴，
∵，，∴是等腰直角三角形，
∴，，∴点，，
∵，∴四边形是矩形，∴，，
∵，∴是等腰直角三角形，∴，
∴，∴点，
∴，
，，
∴，∴，∴，故答案为：8．
【点睛】本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，坐标与图形性质，勾股定理的应用等知识点，关键是通过设定点E坐标，确定相关线段的长度，进而求解．
23．如图所示，ABCD是边长为2的正方形，点E，F分别为边BC，CD上动点（点E不与B，C重合，点F不与C，D重合），且∠EAF＝45°，下列说法：①点E从B向C运动的过程中，△CEF的周长始终不变；
②以A为圆心，2为半径的圆一定与EF相切；③△AEF面积有最小值；④△CEF的面积最大值小于．
其中正确的有 _____.（填写序号）
【答案】①②④
【分析】延长至点，使得，连接，然后证明，从而得到的周长；由和可知以点为圆心、2为半径的圆与相切，然后利用对称性可得与相切；设，，则，然后结合的三边关系得到与之间的关系，进而可以用含有的式子表示的面积和的面积，进而求得对应的最值．
【详解】解：如图，延长至点，使得，连接，
四边形是正方形，，，
，，，，
，，，
，，△，，和△关于所在直线对称，
，，
的周长始终不变，故①正确，符合题意；，的半径，，与相切，
和△关于所在直线对称，与相切，故②正确，符合题意；
设，，则，，，
在中，，，化简得，，
，
，
当即时，的最小值为，故③错误，不符合题意；
当即时，的最大值为，故④正确，符合题意；故答案为：①②④．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、与圆有关的位置关系、正方形的性质、二次函数的性质求最值，解题的关键是准确作出辅助线构造全等三角形．
二、解答题 （本大题共3小题，共30分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
24．民生超市计划购进甲、乙两种商品共90件进行销售，有关信息如下表：
商品
甲
乙
进价（元/件）
60
50
售价（元/件）
100
100（其中一次性销售超过20件时，超出部分每件再让利20元）
设乙种商品有x（件），销售完两种商品的总销售额为y（元）．
(1)求y与x的函数关系式；(2)若购进乙种商品不超过45件，且该超市购进这两种商品的总进货费用不超过5000元．①问共有多少种购进方案？②直接写出总利润的最大值（总利润=总销售额-总进货费用）．
【答案】(1)(2)①共有6种购进方案；②总利润的最大值为3600元
【分析】（1）根据乙商品超过20和不超过20两种情况分别进行计算即可得到y与x的函数关系式；
（2）①根据进价不超过5000元建立不等式，解不等式即可得到答案；
②根据总利润的公式得到总利润关于 的表达式，即可得到答案．
【详解】（1）当且为整数时，，
当且为整数时，，
综上所述： ；
（2）①∵购进乙种商品件数不超过商品总件数的一半，
∴，由题意得：，解得：，∴，
又x为整数，∴x可取40，41，42，43，44，45，故共有6种购进方案；
②∵总利润=总销售额-总进货费用，∴总利润为：，
∴当时，总利润的最大，且最利润为3600元．
【点睛】本题考查一次函数和一元一次不等式，解题的关键是根据题意建立一次函数和不等式．
25．已知，如图，抛物线与x轴交与A、B两点，点A在B左侧，与y轴交与点C．
(1)若抛物线的对称轴为直线时求抛物线的表达式及点A、B的坐标；(2)在（1）的条件下，点D为抛物线在第一象限上的动点，连接OD，与BC相交与点E，若与相似，求点D的坐标；
(3)把抛物线沿着直线翻折，得到抛物线；①抛物线的表达式为___________；（直接写出结果）
②设，若抛物线与线段（包括端点）有唯一公共点，直接写出m的取值范围．
【答案】(1)，，(2)或
(3)①，②
【分析】（1）根据对称轴，求出，然后接解方程即可；
（2）由（1）求出，所在直线解析式为：
①当时与相似，设为，在上根据相似解得，则解析式为：，求与的交点即可，
①当时与相似，设为，在上根据相似解得，则解析式为：，求与的交点即可，
（3）①化为顶点式
求出翻折后的解析式为：；
②，抛物线与线段（包括端点）有唯一公共点，求出所以与x轴有两个交点，当，即时，抛物线左侧与有一个交点，把，代入求出范围，当，即时，把，代入求出范围无符合条件的范围．
【详解】（1）解：的对称轴为，，解得，
所以解析式为：，
当时，即，解得或，故：，；
（2）由（1）可知，，，，，，，
设所在直线解析式为：，
故有：，解得：，所在直线解析式为：，
①当时与相似，即，解得，
设为，在上，，
，解得：或（不合题意舍去），，
则解析式为：，点D为与的交点，
，解得或（不合题意舍去），，
②当时与相似，即，解得，
设为，在上，，
，解得：或（不合题意舍去），，
则解析式为：，，点D为与的交点，
，解得或（不合题意舍去），，
故或；
（3）如图：①，
顶点坐标关于的对称点为：，
所以翻折后的解析式为：，
即，故答案为：；
②，抛物线与线段（包括端点）有，唯一公共点，
，所以与x轴有两个交点，的对称轴为：，
当，即时，抛物线左侧与有一个交点，如图，
抛物线左侧过时，，解得，
抛物线左侧过时，，解得，，
当，即时，抛物线右侧与有一个交点，如图，
抛物线右侧过时，，解得，
抛物线右侧过时，，解得，
不满足，综上所述：．
【点睛】本题考查了二次函数的综合应用；熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键．
26．如图，在菱形中，过点作于点，菱形的对角线交于点，连接．已知，．（1）求证：；（2）连接交于点，求的值；（3）已知点为折线上一动点，连接．当线段的长为何值时，与互为余角，并求此时直线与直线所夹锐角的正切值．
【分析】（1）证明，可得结论；
（2）如图1中，延长交于点交的延长线于点．证明，推出，，由，推出，想办法求出，，可得结论；
（3）分两种情形：如图2中，当点在上时，连接，连接交于点，设交于点．如图3中，当点在上时，连接交于点，设交于点．分别求解即可．
【解答】（1）证明：四边形是菱形，，，
在和中，，，；
（2）解：如图1中，延长交于点，交的延长线于点．
，，，
，，，，
，，，，，，
，，
，，，，
，，，，，
，，，，；
（3）如图2中，当点在上时，连接，连接交于点，设交于点．
与互为余角，，，，
，，
，，，
，，，
，，
，，，
．
如图3中，当点在上时，连接交于点，设交于点．
，，
，，，，，
，，，，
，，
，，，
综上所述，满足条件的直线与直线所夹锐角的正切值为或1．
【点评】本题属于四边形综合题，考查了菱形的性质，解直角三角形，平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题．
绝密★启用前
2023年中考数学考前信息必刷卷03
数 学（成都专用）
2023年成都中考数学试卷结构和内容基本上还是延续2022年的趋势！2023年数学试卷共26题，其中A卷18题（选择题：8道+填空题：5道+解答题：5道），B卷8题（填空题：5道+解答题：3道）。根据去年中考改革以及最新模拟考试来看：在知识结构方面，会适当降低二次函数和圆的难度，反比例函数与综合类几何压轴题会适当增加难度；在试卷整体难度方面，基本不会有太大变化。
通过对最新成都考试信息的梳理以及教学研究成果，预测：A卷与去年中考难度相当，主要为基础题型，容易得分，重点题型为18题《反比例函数综合问题》；B卷22题主要考查反比例函数或二次函数与几何结合类的综合题，23题主要以几何动点问题与最值问题为考查方向，可参考“将军饮马”，“胡不归”，“阿氏圆”，“瓜豆原理”，“费马定理”等几何模型。
另外，在平时学习中要特别关注基础题（A卷（1-16题））；能力题（A卷17-18题、B卷19-21题及24题）；压轴题（B卷22-23题及25-26题）。各地中考试卷侧重增加数学文化的考查，加强问题背景的设置，加大考查的深度和广度，同时应加强学生的作图、识图能力、动手能力、探究能力、思维能力。特别注意应用型和创新型（一般会以数学文化为背景或在新情景下命制对概念的理解以及问题的梳理），同时掌握整体思想、数形结合、特殊值等数学思想，这些思想会蕴含于每道试题之中。
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
A卷（共100分）
第Ⅰ卷（共32分）
一、选择题（每小题4分，共32分）
1．一个数比6的相反数小2，则这个数是（ ）
A．4 B． C． D．8
【答案】C
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可求得6的相反数，再计算即可求解．
【详解】解：6的相反数是-6，比-6小2的数是：-6-2=-8，故选：C．
【点睛】本题考查了相反数，有理数的减法．解答本题的关键是求出6的相反数．
2．根据文化和旅游部数据中心测算，2022年春节假期，全国国内旅游出游2.51亿人次，同时国内旅游收入2891.98亿元，2.51亿这个数用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
【详解】解：2.51亿=251000000= 故选A．
【点睛】本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义．
3．我国古代数学家刘徽用“牟合方盖”找到了球体体积的计算方法．“牟合方盖”是由两个圆柱分别从纵横两个方向嵌入一个正方体时两圆柱公共部分形成的几何体．如图所示的几何体是可以形成“牟合方盖”的一种模型，则它的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据俯视图即从物体的上面观察得得到的视图，进而得出答案．
【详解】解：该几何体的俯视图是：．故选：A．
【点睛】此题主要考查几何体的三视图；掌握俯视图是从几何体上面看得到的平面图形是解决本题的关键．
4．为了落实“作业、睡眠、手机、读物、体质”等五项管理要求，了解学生的睡眠状况，调查了一个班50名学生每天的睡眠时间，数据如下表所示，则所调查学生睡眠时间的众数和中位数分别为（ ）
时间/小时
6
7
8
9
人数
9
16
14
11
A．16和15 B．11和15 C．7和8 D．7和7.5
【答案】D
【分析】根据统计表中人数最多的时间为众数，将全部数据排序后取中间两个数的平均值即为中位数．
【详解】根据统计表，人数最多的睡眠时间是7小时，故睡眠时间的众数为7；
因为人数为50，中位数应将所有为数据排序后取中间两个数的平均值，即第25、26个数，
根据统计表，第25个数为7，第26个数为8，所以中位数=，故选 D．
【点睛】本题考查数据的分析，熟练掌握中位数、众数、平均数的算法是解题关键．
5．在一次海事活动中，所在区域是活动区域，其中弦与优弧所围成的区域是声呐需要探测的区域．现在A处安装一台声呐设备，其探测区域如图阴影所示，再在B处安装一台同型号声呐设备，恰好能完成所有区域的探测，如图2阴影所示．
如图3，现将声呐设备放置位置改为圆O上D、E、F点，设计三个方案：
①在D点放两台该型号的声呐设备；②在D点、E点分别放一台该型号的声呐设备
③在F点放两台该型号的声呐设备。若能完成所有区域的探测，则正确的方案是（ ）
A．①③ B．①②③ C．②③ D．①②
【答案】D
【分析】根据材料给定的条件，逐一判断即可．
【详解】解：由题意可知，在A，B处分别安装一台声呐时，恰好能完成所有区域的探测，在同一点上安装两台同型号的声呐设备，分别以图1中A，B的朝向摆放，便能恰好完成所有区域的探测，故①可以，而③的方向与①相反，故不能完全所有区域的探测，故③不符合；在D点、E点分别放一台该型号的声呐设备，则和D，E的情况相同，此时也能恰好完成所有区域的探测，故②也可以．
综上所述，①②满足，③不满足．故选D．
【点睛】本题是材料题，主要考查学生的理解能力．
6．我国古代数学著作《增删算法统宗》有题如下：“甲乙二人沽酒，不知谁少谁多．乙钞少半甲相和，二百无零堪可．乙得甲钱中半，亦然二百无那，英贤算得的无讹，将甚法儿方可？”其大意是：“甲乙二人买酒，不知谁买多买少．只知乙买酒的钱的与甲买酒钱之和恰好为200文．若乙得到甲买酒钱的一半，也有200文．试问甲、乙买酒各用了多少钱，才智出众的人算得无误，就称为好解法．”设甲买酒钱x文，乙买酒钱y文，则可列方程组为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设甲买酒钱文，乙买酒钱文，根据题意有等量关系：甲的钱＋乙的钱的＝200文钱，乙的钱＋甲所有钱的＝200文钱，据此列方程组即可．
【详解】解：设甲买酒钱文，乙买酒钱文，
根据题意，得：，故选：B．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组．解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程组．
7．如图，与位似，点为位似中心，相似比为．若的周长为4，则的周长是（ ）
A．4 B．6 C．9 D．16
【答案】B
【分析】根据周长之比等于位似比计算即可．
【详解】设的周长是x，
∵ 与位似，相似比为，的周长为4，
∴4：x=2：3，解得：x=6，故选：B．
【点睛】本题考查了位似的性质，熟练掌握位似图形的周长之比等于位似比是解题的关键．
8．定义：[a，b，c]为二次函数y＝ax2bxc（a≠0）的特征数，下面给出特征数为[m，1-m，2-m]的二次函数的一些结论：①当m＝1时，函数图象的对称轴是y轴；②当m＝2时，函数图象过原点；③当m＞0时，函数有最小值；④如果m＜0，当x＞0．5时，y随x的增大而减小．其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．②③ C．①②③ D．①②③④
【答案】C
【分析】①当m=1时，利用顶点坐标公式解答即可；②令函数值为0，求得与y轴交点坐标即可判断；③利用二次函数的性质解答即可；④首先求出对称轴，利用二次函数的性质解答即可．
【详解】解：由特征数的定义可得：特征数为[m，1m，2m]的二次函数的解析式为y＝mx2（1-m）x（2-m），
①当m＝1时，对称轴为直线x==0，故正确；
②∵m=2，∴此时二次函数表达式为y=2x2-x，
令x=0，解得y=0，故二次函数的图象过原点，正确；
③当m>0时，y＝mx2（1-m）x（2-m）是一个开口向上的抛物线，函数有最小值，正确；
④，∵m<0，其对称轴是，抛物线开口向下，
∴在对称轴的右边y随x的增大而减小．
因为m<0，>，即对称轴在x=的右边，
因此函数在x=的右边先递增到对称轴位置，再递减，故错误；故选C．
【点睛】此类考查了二次函数，问题综合性强，难度较大，在中考中比较常见，一般作为压轴题，题目比较典型．
第Ⅱ卷（共68分）
二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）
9．在学习了负整数指数幂的知识后，小明和小军两同学做了一个数学游戏，小明出了题目：将的结果化为只含有正整数指数幂的形式，其结果为，则“*”处的数是多少？聪明的你替小军填上“*”处的数是___________．
【答案】
【分析】先用负整数指数幂将化简为，再结合积的乘方、幂的乘方解题即可．
【详解】解：
由题意得， 即
故答案为：．
【点睛】本题考查负整数指数幂、幂的乘方、积的乘方等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
10．已知 用“＜”表示的大小关系为________.
【答案】
【分析】利用作差法及配方法配成完全平方式再与0比较大小即可求解．
【详解】解：由题意可知：，
∵，∴，∴；
，当且仅当时取等号，此时与题意矛盾，∴∴；
，同理，故答案为：．
【点睛】本题考查了两代数式通过作差比较大小，将作差后的结果配成完全平方式，利用完全平方式总是大于等于0的即可与0比较大小．
11．如图，直线，直线，垂足О在直线上．若，则的度数为__________．
【答案】##度
【分析】由平角的定义求出的度数，再由平行线的性质以及垂线的性质即可得出的度数．
【详解】解：如图，∵，∴，∵，∴，
∵直线，∴．故答案为：．
【点睛】本题考查平行线的性质、垂线的性质；熟练掌握平行线的性质，求出的度数是解决问题的关键．
12.已知m为正整数，若是整数，则根据可知m有最小值．设n为正整数，若是大于1的整数，则n的最小值为______，最大值为______．
【答案】 3 75
【分析】根据n为正整数， 是大于1的整数，先求出n的值可以为3、12、75，300，再结合是大于1的整数来求解．
【详解】解：∵，是大于1的整数，∴．
∵n为正整数∴n的值可以为3、12、75，n的最小值是3，最大值是75．故答案为：3；75．
【点睛】本题考查了无理数的估算，理解无理数的估算方法是解答关键．
13．如图，在中，．利用尺规在、上分别截取、，使；分别以、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；作射线交于点．若，则的长为_________．
【答案】
【分析】如图所示，过点H作HM⊥BC于M，由作图方法可知，BH平分∠ABC，即可证明∠CBH=∠CHB，得到，从而求出HM，CM的长，进而求出BM的长，即可利用勾股定理求出BH的长．
【详解】解：如图所示，过点H作HM⊥BC于M，
由作图方法可知，BH平分∠ABC，∴∠ABH=∠CBH，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴，
∴∠CHB=∠ABH，∠C=180°-∠ABC=30°，∴∠CBH=∠CHB，
∴，∴，∴，
∴，∴，故答案为：．
【点睛】本题主要考查了角平分线的尺规作图，平行四边形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质与判定等等，正确求出CH的长是解题的关键．
三、解答题 （本大题共6小题，共58分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
14．（1）计算：．（2）求不等式组的非负整数解．
【答案】（1）-2；（2）非负整数解为：0，1，2
【分析】（1）利用求立方根方法，特殊三角函数的值，负整数次幂的法则，绝对值的性质进行求值化简即可得到答案；（2）先分别求出两个一元一次不等式的解集，然后求出不等式组的解集即可得到答案．
【详解】（1）原式
（2）由①得：,由②得：
∴不等式组的解集为：∴非负整数解为：0，1，2．
【点睛】本题主要考查了求立方根，特殊三角函数的值，负整数次幂的计算法则，绝对值的性质以及求不等式组的解集，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识点．
15．为落实“双减”政策，光明中学利用课外活动时间开设了舞蹈、篮球、围棋和足球四个社团活动，每个学生只选择一项活动参加，为了解活动开展情况，学校随机抽取部分学生进行调查，将调查结果绘成如下表格和扇形统计图． 参加四个社团活动人数统计表
社团活动
舞蹈
篮球
围棋
足球
人数
50
30
80
请根据以上信息，回答下列问题：(1)抽取的学生共有________人，其中参加围棋社的有________人．
(2)若该校有3200人，估计全校参加篮球社的学生有多少人？(3)某班有2男2女共4名学生参加足球社，现从中随机抽取2名学生参加学校足球队，请通过画树状图或列表格求抽到一男一女的概率．
【答案】(1)200，40(2)480人(3)见解析；
【分析】（1）用足球的人数除以足球所占的百分比，即可求得样本容量，进而求出参加围棋社的人数．
（2）先求出参加篮球社的学生所占百分比，再乘以3200，即可得出答案．（3）用树状图表示2男2女共4名学生，现从中随机抽取2名学生参加学校足球社，所有可能出现的结果情况，进而求出答案即可．
【详解】（1）抽取的学生共有：（人），
参加围棋社的有：（人）；故答案为：200，40；
（2）若该校有3200人，估计全校参加篮球社的学生共有：（人）；
答：全校参加篮球社的学生估计有480人
（3）画树状图如下：
∵所有等可能出现的结果总数为12个，其中抽到一男一女的情况数有8个，
∴恰好抽到一男一女概率为．
【点睛】本题考查了读统计表与扇形图的能力和利用图表获取信息的能力，利用统计图获取信息时，必须认真观察，分析，研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题，也考查了利用树状图或列表法求概率．
16．阅读下列材料：在中，、、所对的边分别为、、，求证：．
证明：如图1，过点作于点，则：
在中， CD=asinB
在中，
根据上面的材料解决下列问题：
(1)如图2，在中，、、所对的边分别为、、，求证：；
(2)为了办好湖南省首届旅游发展大会，张家界市积极优化旅游环境．如图3，规划中的一片三角形区域需美化，已知，，米，求这片区域的面积．（结果保留根号．参考数据：，
【答案】(1)见解析 (2)
【分析】（1）作BC边上的高，利用三角函数表示AD后，即可建立关联并求解；
（2）作BC边上的高，利用三角函数分别求出AE和BC，即可求解．
(1)证明：如图2，过点作于点，
在中，，在中，，
，；
(2)解：如图3，过点作于点，
，，，
在中，
又，即，，
．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系，即锐角三角函数的定义是解决问题的前提．
17．已知四点在上，弦与直径相交于点E，，点P为射线上一点，使得．(1)求证：为的切线；(2)若，，，求．
【答案】(1)见解析 (2)4
【分析】（1）由圆周角定理可得，由余角的性质可证，可得结论；
（2）先求出的长，通过证明∽，可得，即可求解．
【详解】（1）证明：如图所示，
∵AC为的直径，∴， ∵，∴．
∵，∴，∴．∴．
∵为的半径，∴为的切线．
（2）解：如图所示，过点A作于点G．
∵，∴．∵，，∴，∴．∴．
∵，，，∴．
设，则．∵∽，∴．
∴，解得：（负值已舍去）．∴．
∴．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，圆周角的性质，切线的判定等知识，添加恰当的辅助线构造相似三角形是解题的关键．
18．如图，在平面直角坐标系中，，．
(1)如图1，求直线AB的解析式；(2)如图2，点P、Q在直线AB上，点P在第二象限，横坐标为t，点Q在第一象限，横坐标为d，，求d与t之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；
(3)如图3，在（2）的条件下，点C、点D在x轴的正半轴上（C在D的左侧），连接AC、AD，，，点E是AC中点，连接DE、QE、QD，若，求t值．
【答案】(1)(2)(3)-3
【分析】（1）首先确定点A坐标为（0，8），然后利用待定系数法求直线AB的解析式即可；
（2）由，，，可得，解得；
（3）在OB上取OF，使得，连接AF，延长DE交AB于点G，由，可得，设，则，， ，由勾股定理可知，结合，解得，即可确定，，再根据，点E是AC中点，可知点，，然后利用待定系数法确定直线DE解析式为，将直线AB和直线DE的解析式联立，解得点，可得 ，根据，可解得 ，由（2）可知，，故．
【详解】（1）解：∵，∴，
∵，，∴，
∴，∴，∴点A坐标为（0，8），
设直线AB的解析式为，将点，点代入，
可得，解得，∴直线AB的解析式为；
（2）∵点P、Q在直线AB上，点P横坐标为t，点Q横坐标为d，∴，，
∵，，，∴，∴，
∵点P在第二象限，点Q在第一象限，∴，∴，即；
（3）在OB上取OF，使得，连接AF，延长DE交AB于点G，如下图，
∵，，∴，
∴，，∴，
∵，∴，
∴，∴，
设，则，，
∴，∴，
∵，∴，解得，∴，，∴，，
∵，点E是AC中点，∴点，∴，
设直线DE解析式为，将点、代入，
可得，解得，∴直线DE解析式为，∴，
∵直线AB的解析式为，，∴，
将直线AB和直线DE的解析式联立，可得，解得，∴点，
由（2）可知，点，∴，
∵，∴，即，解得 ，
由（2）可知，，∴，答：t的值为-3．
【点睛】本题主要考查了一次函数综合应用，涉及了待定系数法求函数解析式、等腰三角形的判定与性质、勾股定理的应用等知识，熟练掌握相关知识，利用数形结合的思想分析问题是解题关键．
B卷（共50分）
一、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）
19．已知正整数满足：，则值为___________．
【答案】146
【分析】将xy+x+y=71，x2y+xy2=880稍作变化，变为xy+（x+y）=71，xy（x+y）=880．此时x+y、xy可以看做一元二次方程t2-71t+880=0的两个解．解出该方程的解即为x+y，xy的值．再将x+y，xy代入x2+y2=（x+y）2-2xy求值即可．
【详解】解：∵xy+x+y=71，x2y+xy2=880，∴xy（x+y）=880，xy+（x+y）=71，
∴x+y、xy可以看做一元二次方程t2-71t+880=0的两个解，解得t=55或16，
∴x+y=55、xy=16（此时不能满足x、y是正整数，舍去）或x+y=16、xy=55，
当x+y=16、xy=55时，x2+y2=（x+y）2-2xy=162-2×55=146．故x2+y2的值为146．故答案为146.
【点睛】本题考查因式分解的应用、一元二次方程，难度较大，解决本题的关键是将x+y、xy可以看做一元二次方程t2-71t+880=0的两个解，解出t即可知x+y、xy的值．
20．如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形的中心与原点重合，轴，交轴于点．将绕点顺时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，点A的坐标为______．
【答案】
【分析】首先确定点A的坐标，再根据4次一个循环，推出经过第次旋转后点的坐标即可．
【详解】解：∵正六边形边长为2，中心与原点O重合，轴，
∴，∴，
∴第1次旋转结束时，点A的坐标为，第2次旋转结束时，点A的坐标为，
第3次旋转结束时，点A的坐标为，第4次旋转结束时，点A的坐标为，∴4次一个循环，
∵，∴第次旋转结束时，点A的坐标为．故答案为：．
【点睛】本题考查正多边形的性质，规律型问题，坐标与图形变化——旋转等知识，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型．
21．已知关于x的不等式组无解，关于y的分式方程有整数解，则满足条件的所有整数a的和为
【答案】9
【分析】先根据一元一次不等式组无解可得a≥3，再解分式方程得，且y≠0， y≠2，求得a＝3或a＝6．
【详解】解：，由①得，x≤5，由②得，x＞2a﹣1，
∵不等式组无解，∴2a﹣1≥5，∴a≥3，
，方程的两边同时乘y（y﹣2），得a（y﹣2）﹣2y＝﹣8，整理得，（a﹣2）y＝2a﹣8，
∵方程有整数解，∴，∴a﹣2＝±1，a﹣2＝±2，a﹣2＝±4，
∴a＝3或a＝1或a＝4或a＝0或a＝6或a＝﹣2，
∵a≥3，∴a＝3或a＝4或a＝6，∵y≠0，y≠2，∴a≠4，∴所有a的和为9．
【点睛】本题主要考查含参数的分式方程以及一元一次不等式组，把分式方程和一元一次不等式组进行化简，是解题的关键．
22．如图，已知直线：分别与轴、轴交于点，，双曲线与直线不相交，为双曲线上一动点，过点作轴于点，轴于点，分别与直线交于点，，且，则_____
【答案】8
【分析】求出点A、B的坐标分别为、，可得，证明，根据相似三角形的性质可得，然后设点，表示出点和点，再分别求出、和，代入求出即可．
【详解】解：在一次函数中，当时，；当时，，
∴点A、B的坐标分别为、，∴，∴，
∵，∴，∴，∴，
设点，则，，∴，
∵，，∴是等腰直角三角形，
∴，，∴点，，
∵，∴四边形是矩形，∴，，
∵，∴是等腰直角三角形，∴，
∴，∴点，
∴，
，，
∴，∴，∴，故答案为：8．
【点睛】本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，坐标与图形性质，勾股定理的应用等知识点，关键是通过设定点E坐标，确定相关线段的长度，进而求解．
23．如图所示，ABCD是边长为2的正方形，点E，F分别为边BC，CD上动点（点E不与B，C重合，点F不与C，D重合），且∠EAF＝45°，下列说法：①点E从B向C运动的过程中，△CEF的周长始终不变；
②以A为圆心，2为半径的圆一定与EF相切；③△AEF面积有最小值；④△CEF的面积最大值小于．
其中正确的有 _____.（填写序号）
【答案】①②④
【分析】延长至点，使得，连接，然后证明，从而得到的周长；由和可知以点为圆心、2为半径的圆与相切，然后利用对称性可得与相切；设，，则，然后结合的三边关系得到与之间的关系，进而可以用含有的式子表示的面积和的面积，进而求得对应的最值．
【详解】解：如图，延长至点，使得，连接，
四边形是正方形，，，
，，，，
，，，
，，△，，和△关于所在直线对称，
，，
的周长始终不变，故①正确，符合题意；，的半径，，与相切，
和△关于所在直线对称，与相切，故②正确，符合题意；
设，，则，，，
在中，，，化简得，，
，
，
当即时，的最小值为，故③错误，不符合题意；
当即时，的最大值为，故④正确，符合题意；故答案为：①②④．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、与圆有关的位置关系、正方形的性质、二次函数的性质求最值，解题的关键是准确作出辅助线构造全等三角形．
二、解答题 （本大题共3小题，共30分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
24．民生超市计划购进甲、乙两种商品共90件进行销售，有关信息如下表：
商品
甲
乙
进价（元/件）
60
50
售价（元/件）
100
100（其中一次性销售超过20件时，超出部分每件再让利20元）
设乙种商品有x（件），销售完两种商品的总销售额为y（元）．
(1)求y与x的函数关系式；(2)若购进乙种商品不超过45件，且该超市购进这两种商品的总进货费用不超过5000元．①问共有多少种购进方案？②直接写出总利润的最大值（总利润=总销售额-总进货费用）．
【答案】(1)(2)①共有6种购进方案；②总利润的最大值为3600元
【分析】（1）根据乙商品超过20和不超过20两种情况分别进行计算即可得到y与x的函数关系式；
（2）①根据进价不超过5000元建立不等式，解不等式即可得到答案；
②根据总利润的公式得到总利润关于 的表达式，即可得到答案．
【详解】（1）当且为整数时，，
当且为整数时，，
综上所述： ；
（2）①∵购进乙种商品件数不超过商品总件数的一半，
∴，由题意得：，解得：，∴，
又x为整数，∴x可取40，41，42，43，44，45，故共有6种购进方案；
②∵总利润=总销售额-总进货费用，∴总利润为：，
∴当时，总利润的最大，且最利润为3600元．
【点睛】本题考查一次函数和一元一次不等式，解题的关键是根据题意建立一次函数和不等式．
25．已知，如图，抛物线与x轴交与A、B两点，点A在B左侧，与y轴交与点C．
(1)若抛物线的对称轴为直线时求抛物线的表达式及点A、B的坐标；(2)在（1）的条件下，点D为抛物线在第一象限上的动点，连接OD，与BC相交与点E，若与相似，求点D的坐标；
(3)把抛物线沿着直线翻折，得到抛物线；①抛物线的表达式为___________；（直接写出结果）
②设，若抛物线与线段（包括端点）有唯一公共点，直接写出m的取值范围．
【答案】(1)，，(2)或
(3)①，②
【分析】（1）根据对称轴，求出，然后接解方程即可；
（2）由（1）求出，所在直线解析式为：
①当时与相似，设为，在上根据相似解得，则解析式为：，求与的交点即可，
①当时与相似，设为，在上根据相似解得，则解析式为：，求与的交点即可，
（3）①化为顶点式
求出翻折后的解析式为：；
②，抛物线与线段（包括端点）有唯一公共点，求出所以与x轴有两个交点，当，即时，抛物线左侧与有一个交点，把，代入求出范围，当，即时，把，代入求出范围无符合条件的范围．
【详解】（1）解：的对称轴为，，解得，
所以解析式为：，
当时，即，解得或，故：，；
（2）由（1）可知，，，，，，，
设所在直线解析式为：，
故有：，解得：，所在直线解析式为：，
①当时与相似，即，解得，
设为，在上，，
，解得：或（不合题意舍去），，
则解析式为：，点D为与的交点，
，解得或（不合题意舍去），，
②当时与相似，即，解得，
设为，在上，，
，解得：或（不合题意舍去），，
则解析式为：，，点D为与的交点，
，解得或（不合题意舍去），，
故或；
（3）如图：①，
顶点坐标关于的对称点为：，
所以翻折后的解析式为：，
即，故答案为：；
②，抛物线与线段（包括端点）有，唯一公共点，
，所以与x轴有两个交点，的对称轴为：，
当，即时，抛物线左侧与有一个交点，如图，
抛物线左侧过时，，解得，
抛物线左侧过时，，解得，，
当，即时，抛物线右侧与有一个交点，如图，
抛物线右侧过时，，解得，
抛物线右侧过时，，解得，
不满足，综上所述：．
【点睛】本题考查了二次函数的综合应用；熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键．
26．如图，在菱形中，过点作于点，菱形的对角线交于点，连接．已知，．（1）求证：；（2）连接交于点，求的值；（3）已知点为折线上一动点，连接．当线段的长为何值时，与互为余角，并求此时直线与直线所夹锐角的正切值．
【分析】（1）证明，可得结论；
（2）如图1中，延长交于点交的延长线于点．证明，推出，，由，推出，想办法求出，，可得结论；
（3）分两种情形：如图2中，当点在上时，连接，连接交于点，设交于点．如图3中，当点在上时，连接交于点，设交于点．分别求解即可．
【解答】（1）证明：四边形是菱形，，，
在和中，，，；
（2）解：如图1中，延长交于点，交的延长线于点．
，，，
，，，，
，，，，，，
，，
，，，，
，，，，，
，，，，；
（3）如图2中，当点在上时，连接，连接交于点，设交于点．
与互为余角，，，，
，，
，，，
，，，
，，
，，，
．
如图3中，当点在上时，连接交于点，设交于点．
，，
，，，，，
，，，，
，，
，，，
综上所述，满足条件的直线与直线所夹锐角的正切值为或1．
【点评】本题属于四边形综合题，考查了菱形的性质，解直角三角形，平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题．
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