导与练高考数学二轮专题复习培优提能6　向量极化恒等式

培优提能6　向量极化恒等式

1.极化恒等式:a·b=[(a+b)2-(a-b)2]

几何意义:向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的.

2.平行四边形PMQN,O是对角线交点.则:

(1)·=[||2-||2](平行四边形模式);

(2)·=||2-||2(三角形模式).

典例　(1)(2022·山东菏泽二模)已知半径为1的圆O上有三个动点A,B,C,且|AB|=,则·的最小值为　　　　. 

(2)(2020·天津卷)如图,在四边形ABCD中,∠B=60°,AB=3,BC=6,且=λ,·=-,则实数λ的值为　　　　;若M,N是线段BC上的动点,且||=1,则·的最小值为　　　　　. 

(3)如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,MN是它的内切球的一条弦(我们把球面上任意两点之间的线段称为球的弦),P为正方体表面上的动点,当弦MN的长度最大时,·的取值范围是　　　　.

解析:(1)法一　因为|AB|=,又|OA|=|OB|=1,所以|OA|2+|OB|2=|AB|2,所以∠AOB=.

以O为原点,OA,OB所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系,

则A(1,0),B(0,1),设C(x,y),则x2+y2=1.=(x-1,y),=(x,y-1),所以·=x(x-1)+y(y-1)=x2+y2-x-y=-x-y+1,

设-x-y+1=t,即x+y+t-1=0,依题意直线x+y+t-1=0与圆有交点,

所以≤1,得1-≤t≤1+,

所以·的最小值为1-.

法二(极化恒等式)　如图,取AB的中点为D,连接CD,则·=·=||2-||2=-≥||2-=-=1-.

(2)法一(极化恒等式)　依题意得AD∥BC,∠BAD=120°,由·=||||·cos ∠BAD=-||=-,得||=1,因此λ==.取MN的中点E,连接DE(图略),则+=2,·=[(+)2-(-)2]=||2-||2=||2-.

注意到线段MN在线段BC上运动时,DE的最小值等于点D到直线BC的距离,即AB·sin B=,因此||2-的最小值为()2-=,即·的最小值为.

法二　因为=λ,所以AD∥BC,

则∠BAD=120°,所以·=||||·cos 120°=-,解得||=1.

因为,同向,且BC=6,

所以=,即λ=.

在四边形ABCD中,作AO⊥BC于点O,则BO=AB·cos 60°=,

AO=AB·sin 60°=.

以O为坐标原点,以BC和AO所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系.

如图,设M(a,0),不妨设点N在点M右侧,则N(a+1,0),且-≤a≤.又D(1,),所以=(a-1,-),=(a,-),

所以·=a2-a+=(a-)2+,

所以当a=时,·取得最小值.

(3)由正方体的棱长为2,得内切球的半径为1,正方体的体对角线长为2.

当弦MN的长度最大时,MN为内切球的直径.

设内切球的球心为O,则·=||2-||2=||2-1,由于P为正方体表面上的动点,故||∈[1,],所以·∈[0,2].

答案:(1)1-　(2)　　(3)[0,2]

利用向量的极化恒等式可以快速对数量积进行转化,体现了向量的几何属性,特别适用于以三角形为载体,含有线段中点的向量问题.

触类旁通　(1)已知AB是圆O的直径,AB长为2,C是圆O上异于A,B的一点,P是圆O所在平面上任意一点,则(+)·的最小值为(　　)

A.- B.- C.- D.-1

(2)如图所示,正方形ABCD的边长为1,A,D分别在x轴、y轴的正半轴(含原点)上滑动,则·的最大值是　　　　. 

(3)如图,在△ABC中,D是BC的中点,E,F是AD上的两个三等分点.·=4,·=-1,则·的值为　　　　. 

解析:(1)+=2,所以(+)·=2·,取OC的中点D(图略),由极化恒等式得,·=||2-||2=||2-,

又|=0,所以(+)·的最小值为-.故选C.

(2)如图,取BC的中点M,AD的中点N,连接MN,ON,

则·=||2-.因为OM≤ON+NM=AD+AB=,当且仅当O,N,M三点共线时取等号,所以·的最大值为2.

(3)设BD=DC=m,AE=EF=FD=n,则AD=3n.根据向量的极化恒等式,有·=||2-||2=9n2-m2=4,·=-=n2-m2=-1.联立解得n2=,m2=,

因此·=-=4n2-m2=,

即·=.

答案:(1)C　(2)2　(3)