新高考数学二轮专题《平面向量》第4讲 极化恒等式（2份打包，解析版+原卷版）

第4讲 极化恒等式

一．选择题（共3小题）

1．已知是边长为4的等边三角形，为平面内一点，则的最小值为　　

A． B． C． D．

【解析】解：以中点为坐标原点，建立如图所示的坐标系，

则，，，，

设，则，，，，

所以则的最

；

所以当，时，取得最小值为，

故选：．

2．在等腰直角中，，，，（不与，重合）为边上的两个动点，且满足，则的取值范围为　　

A．， B．， C．， D．，

【解析】解：以等腰直角的直角边为坐标轴，建立平面直角坐标系，

如图所示；则，直线的方程为；

设，则，

由，得；

，；

．

，当时，取得最小值，

且或1时，，无最大值；

的取值范围是，．

故选：．

3．正边长等于，点在其外接圆上运动，则的取值范围是　　

A． B． C． D．

【解析】解：如图所示．

由正边长等于，点在其外接圆上运动．

，．

，

，

．

故选：．

二．填空题（共7小题）

4．已知是边长为2的等边三角形，是平面内一点，则的最小值为　　．

【解析】解：建立平面坐标系如图所示：

则，，，设，

，，，

，

．

当，时，取得最小值为．

故答案为：．

5．如图，扇形的圆心角为，半径为1，点是圆弧上的动点，作点关于弦的对称点，则的取值范围为　，　．

【解析】解：根据题意，以为坐标原点，为轴，为轴建立坐标系，

如图：设，则的坐标为，，

，，直线的方程为，

设，

由，，

解得，，

即，

，

令，

由，，，，

，，

又，

在，递减，

可得，取得最大值1，时，取得最小值，

则的范围是，．

故答案为：，．

6．在中，，是的中点，若，，在线段上运动，则的最小值为　　．

【解析】解：，，

故

，

设，由余弦定理可得，

整理得，解得或（舍去），

故有，，由二次函数的知识可知当时，

取最小值

故答案为：

7．已知圆的直径，是该圆上异于、的一点，是圆所在平面上任一点，则的最小值为　　．

【解析】解：如图所示，

延长到点，使得，

则．

，

，

化为．

．

故答案为：．

8．在中，，，，若是所在平面内一点，且，则的最大值为　　．

【解析】解：设为中点，则，

由得，，

当与同向时最大，最大值为，最大值．

故答案为：；

9．若点和点分别是双曲线的中心和左焦点，点为双曲线右支上的任意一点，则的取值范围为　　．

【解析】解：由题意可得，，故．设，，则，．

，， 关于

对称，故在，上是增函数，当时有最小值为，无最大值，

故的取值范围为，

故答案为：．

10．如图：已知、是单位圆上的两点，为圆心，且，是圆的一条直径，点在圆内，且满足，则的取值范围是　，　．

【解析】解：，

即，

，， 三点共线，

，，

在线段上，且，

则的取值范围是

故答案为：