2022-2023学年浙江省宁波市重点中学八校联考八年级（下）期中数学试卷

2022-2023学年浙江省宁波市重点中学八校联考八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列方程中，是一元二次方程的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  的倒数是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列式子中，属于最简二次根式的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  将方程通过配方转化为的形式，下列结果中正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  下列说法正确的是(    )

A. 九年级某班的英语测试平均成绩是，说明每个同学的得分都是分
B. 数据，，，，的中位数和众数都是
C. 要了解一批日光灯的使用寿命，应采用全面调查
D. 若甲、乙两组数据中各有个数据，两组数据的平均数相等，方差，，则说明乙组数数据比甲组数据稳定

6.  已知，则化简后为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  已知：，是一元二次方程的两根，且，，则、的值分别是(    )

A. ， B. ，
C. ， D. ，

8.  小明同学是一位古诗文的爱好者，在学习了一元二次方程这一章后，改编了苏轼诗词念奴娇赤壁怀古：“大江东去浪淘尽，千古风流人物．而立之年督东吴，早逝英年两位数．十位恰小个位三，个位平方与寿同．哪位学子算得快，多少年华数周瑜？”假设周瑜去世时年龄的十位数字是，则可列方程为(    )

A.  B.
C.  D.

9.  如图，在四边形纸片中，，将纸片折叠，使点、落在边
上的点、处，折痕为，则(    )

A.
B.
C.
D.

10.  如图，将图的正方形剪成四块，恰能拼成图的矩形，则的值为(    )
 

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18分）

11.  要使有意义，则的取值范围是          ．

12.  若一组数据，，，，的平均数和众数相等，则的值为______ ．

13.  一个多边形的内角和是它的外角和的倍，则这个多边形的边数为______ ．

14.  我们知道方程的解是，，现给出另一个方程，它的解是______．

15.  对于竖直向上抛出的物体，在不考虑空气阻力的情况下，有如下的关系式：，其中是物体上升的高度，是抛出时的速度，是重力加速度，是抛出后的时间如果一物体以的初速度从地面竖直向上抛出，经过______ 秒钟后它在离地面高的地方．

16.  若等腰的一边长，另两边长恰好是关于方程的两个实数根，则的面积为______ ．

三、解答题（本大题共7小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：
；
．

18.  本小题分
用适当的方法解下列方程：
；
．

19.  本小题分
已知，，求的值．

20.  本小题分
争创全国文明城市从我做起某中学开设了文明礼仪校本课程，为了解学生的学习情况，学校组织七八年级学生进行文明礼仪知识测试，两个年级均有名学生，从七八年级各随机抽取了名学生的测试成绩，满分分，整理分析如下：
七年级：，，，，，，，，，；
八年级：，，，，，，，，，．
整理分析上面的数据，得到如下表格：

根据以上信息，解答下列问题．
填空： ______ ， ______ ；
根据统计结果，______ 年级的成绩更整齐；
七年级小齐同学和八年级小钟同学成绩均为分，根据上面统计情况估计______ 同学的成绩在本年级的排名更靠前；
如果在收集七年级数据的过程中将抽取的“”误写成了“”，七年级数据的平均数、中位数、众数中发生变化的是______ ；
若成绩不低于分的可以获奖，估计两个年级获奖的共有多少人？

21.  本小题分
若，则我们把形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．
当，时，写出相应的“勾系一元二次方程”；
求证：关于的“勾系一元二次方程”必有实数根．

22.  本小题分
某商场在去年底以每件元的进价购进一批同型号的服装，一月份以每件元的售价销售了件，二、三月份该服装畅销，销量持续走高，在售价不变的情况下，三月底统计知三月份的销量达到了件．
求二、三月份服装销售量的平均月增长率；
从四月份起商场因换季清仓采用降价促销的方式，经调查发现，在三月份销量的基础上，该服装售价每降价元，月销售量增加件，当每件降价多少元时，四月份可获利元？

23.  本小题分
某景区要建一个游乐场如图所示，其中、分别靠现有墙、墙长为米，墙足够长，其余用篱笆围成篱笆将游乐场隔成等腰直角和长方形两部分，并在三处各留米宽的大门已知篱笆总长为米设的长为米．
则的长为______ 米用含的代数式表达；
当多长时，游乐场的面积为平方米？
直接写出当为多少米时，游乐场的面积达到最大，最大值为多少平方米？

答案和解析

1.【答案】 

解：只含有一个未知数一元，并且未知数项的最高次数是二次的整式方程叫做一元二次方程．
故选：．
根据一元二次方程的定义即可求出答案．
本题考查一元二次方程，解题的关键是正确理解一元二次方程的定义，本题属于基础题型．
 

2.【答案】 

解：的倒数是．
故选：．
根据倒数的定义并进行化简即可求解．
本题考查了倒数的定义和二次根式的化简，掌握定义和化简方法是解题的关键．
 

3.【答案】 

解： 是最简二次根式，符合题意；
B.的被开方数含有分数，故不是最简二次根式，不符合题意；
C.的被开方数含有能开得尽方的因数，故不是最简二次根式，不符合题意；
D.的被开方数含有小数，故不是最简二次根式，不符合题意．
故选：．
根据最简二次根式的概念：被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式判断即可．
本题考查最简二次根式，掌握最简二次根式的概念：被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式是解题的关键．
 

4.【答案】 

解：，
，
，
．
故选：．
先把常数项移到方程右边，再把方程两边加上，然后把方程左边写成完全平方的形式即可．
本题考查了解一元二次方程公式法：熟练掌握用配方法解一元二次方程的一般步骤是解决问题的关键．
 

5.【答案】 

解：英语测试平均成绩是，说明这个班的英语成绩的平均水平是分，并不是每个同学的得分都是分，因此选项不符合题意，
数据，，，，的中位数是和众数是或，因此选项B不符合题意，
要了解一批日光灯的使用寿命，应采用抽查的方式，不能采取全面调查，也没有全面调查的必要，因此选项不符合题意，
甲的方差比乙的方差大，因此乙组数数据比甲组数据稳定，因此选项符合题意，
故选：．
根据选项内容逐个进行剖析，判断正误，做出选择即可，
本题考查全面调查、抽样调查的意义，中位数、众数、平均数以及方差的意义，理解这些概念的意义是正确做出判断的前提．
 

6.【答案】 

解：因为，，
所以，，
所以，
故选：．
根据二次根式和绝对值的性质进行化简即可．
本题考查了二次根式的化简求值，掌握二次根式和绝对值的性质是解题的关键．
 

7.【答案】 

解：，是一元二次方程的两根，
，，
，，
，，
即，，
故选：．
先根据根与系数的关系可得，，而，，那么，，解即可．
本题考查了根与系数的关系，解题的关键是掌握根与系数的等量关系的公式．
 

8.【答案】 

解：假设周瑜去世时年龄的十位数字是，则可列方程为，
故选：．
设周瑜去世时年龄的十位数字是，根据“十位恰小个位三，个位平方与寿同”知十位数字个位数字个位数字的平方，据此列出方程可得答案．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

9.【答案】 

解：由折叠可知：，，
，，
，
，
，
，
，
故选：．
根据折叠的性质可求得：，，利用多边形的内角和定理可求解，由补角的定义可求解．
本题主要考查多边形的内角和外角，折叠的性质，掌握多边形的内角和定理是解题的关键．
 

10.【答案】 

解：依题意得，
整理得：，
则，
方程两边同时除以，
，
负值已经舍去，
故选：．
根据左图可以知道图形是一个正方形，边长为，右图是一个长方形，长宽分别为、，并且它们的面积相等，由此即可列出等式，解方程即可求出．
此题主要考查了图形的剪拼，此题是一个信息题目，首先正确理解题目的意思，然后会根据题目隐含条件找到数量关系，然后利用数量关系列出方程解决问题．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了二次根式有意义的条件．掌握二次根式中的被开方数必须是非负数是解题的关键．
根据二次根式有意义的条件可以求出的范围．
【解答】
解：根据题意得：，
解得：；
故答案是：．  

12.【答案】 

解：当时，众数与平均数相等，则得到：，
解得舍去；
当时，众数与平均数相等，则得到：，
解得；
当时，众数与平均数相等，则得到：，
解得舍去；
当时，众数与平均数相等，则得到：，
解得舍去．
所以的值为．
故答案为：．
根据平均数与中位数的定义分三种情况，，，时，分别列出方程，进行计算即可求出答案．
本题考查平均数和中位数．求一组数据的中位数时，先将该组数据按从小到大或按从大到小的顺序排列，然后根据数据的个数确定中位数：当数据个数为奇数时，则中间的一个数即为这组数据的中位数；当数据个数为偶数时，则最中间的两个数的算术平均数即为这组数据的中位数．同时运用分类讨论的思想解决问题．
 

13.【答案】 

解：设这个多边形的边数为，
根据题意得，
，
解得，
故答案为：．
根据多边形的内角和公式与外角和定理列出方程，求解即可得到答案．
本题主要考查了多边形内角和公式，多边形外角和定理，解题关键是掌握多边形内角和公式：以及多边形的外角和等于．
 

14.【答案】， 

解：，是已知方程的解，
由于另一个方程与已知方程的形式完全相同
或
解得，．
故答案为：，．
把看成一个整体，另一个方程和已知方程的结构形式完全相同，所以与已知方程的解也相同．
本题考查了一元二次方程的解的定义，解决本题即可用换元法，也可直接转化．
 

15.【答案】或 

解：由题意得：．
，
解得，．
秒或秒后，物体处在离抛出点高的地方．
故答案为：或．
把，，代入所给关系式求的值即可．
考查二次函数的应用；只需把相关数值代入所给关系式即可．
 

16.【答案】或 

解：当等腰的底边为，则两腰为方程的两个实数根，
，
解得，
方程化为，
解得，
此时三角形的三边分别为、、，
如图，，，
过点作于，则，
，
的面积；
当等腰的腰为，
把代入方程得，
解得，
方程化为，
解得，，
此时三角形的三边分别为、、，
如图，，，
过点作于，则，
，
的面积；
综上所述，的面积为或．
故答案为：或
当等腰的底边为，利用根的判别式的意义得到，求出得到后方程化为，解方程得到三角形的三边分别为、、，即，，过点作于，则，利用勾股定理计算出，则可计算出的面积；当等腰的腰为，把代入一元二次方程得，则方程化为，解方程得到此时三角形的三边分别为、、，即，，过点作于，则，利用勾股定理计算出，则可计算出的面积．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．也考查了三角形三边的关系和等腰三角形的性质．
 

17.【答案】解：

；



． 

【解析】先化简，然后合并同类二次根式即可；
先化简，然后计算加法即可．
本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
 

18.【答案】解：，
移项得：，
分解因式得：，
可得或，
解得：，；
，
移项得：，
配方得：，即，
开方得：，
则，． 

【解析】利用提公式法进行因式分将原式因式分解成解法解答本题；
利用配方法将原式配成，解答本题．
此题考查了解一元二次方程因式分解法及配方法，利用因式分解法解方程时，首先将方程右边化为，左边化为积的形式，由利用两数相乘积为，两因式中至少有一个为转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解即可得到原方程的解．
 

19.【答案】解：，，




． 

【解析】直接利用完全平方公式将原式变形进而计算得出答案．
此题主要考查了二次根式的化简求值，正确将原式变形是解题关键．
 

20.【答案】    八  小钟  平均数 

解：七年级的众数为，
八年级成绩按由小到大排列为：，，，，，，，，，，
所以八年级的成绩的中位数为；
故答案为：，；
因为，即八年级的方差比七年级的方差小，
所以八年级的成绩更整齐；
故答案为：八；
七年级和八年级的中位数分别为和，
所以小钟同学的成绩在本年级的排名更靠前；
故答案为：小钟；
将“”误写成了“”，这时七年级数据的所有数的和少了分，所以平均数为分，众数和中位数不变；
故答案为：平均数；
估计两个年级获奖的共有人，
故答案为：．
利用众数和中位数的意义可得与的值；
比较七、八年级的方差大小，结合方差的意义即可得出答案；
利用中位数的意义以及七、八年级学生具体成绩判断即可；
根据平均数的定义可得到平均数比原来少分，根据众数和中位数的定义可判断都不变；
用各年级人数乘以对应的比例，然后相加即可．
本题考查频数分布表、中位数、众数、平均数、方差，用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

21.【答案】解：当，时，，相应的勾系一元二次方程为；
证明：根据题意，得

即
勾系一元二次方程必有实数根． 

【解析】由，，由勾股定理求出，从而得出答案；
只要证明即可解决问题．
主要考查勾股定理的应用、一元二次方程的根与系数的关系、完全平方公式等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
 

22.【答案】解：设二、三月份销售量的平均月增长率为，
根据题意得：，
解得：，不合题意，舍去．
答：二、三月份销售量的平均月增长率为．
设每件降价元，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，不合，舍去．
答：每件降价元，四月份可获利元． 

【解析】由题意可得：一月份的销售量为：件；设二月份到三月份销售额的月平均增长率，则二月份的销售量为：；三月份的销售量为：，又知三月份的销售量为：件，由此等量关系列出方程求出的值，即求出了平均增长率；
利用销量每件商品的利润求出即可．
本题考查了一元二次方程的应用，理解题意，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．
 

23.【答案】 

解：由题意知，，，
设的长为米，则的长为米，
故答案为：；
由题意得：，
解得，，
，
解得，
，
答：当长为米时，游乐园的面积是平方米；
设游乐场的面积为平方米，
由题意得：，
，
当时，有最大值，最大值为，
答：当为米时，游乐场的面积达到最大，最大值为平方米．
根据的长篱笆总长得出结论；
根据矩形的面积与等腰直角三角形的面积的和列出方程，解方程即可，并根据的取值范围得出结论；
根据游乐场的面积矩形的面积与等腰直角三角形的面积的和列出函数解析式，由函数的性质求出最大．
本题考查二次函数的应用，关键是根据题意用表示的长．