2011-2020年高考数学真题分专题训练 专题11 三角函数定义与三角函数恒等变换（教师版含解析）

这是一份2011-2020年高考数学真题分专题训练 专题11 三角函数定义与三角函数恒等变换（教师版含解析），共15页。试卷主要包含了若 tan 0，则，已知sin(，已知  ，等内容，欢迎下载使用。

专题 11 三角函数定义与三角函数恒等变换
十年大数据*全景展示
年份
题号
考点
考查内容
理 5 三角函数定义
文 7 三角恒等变换
2011 课标
三角函数定义与二倍角正弦公式
同角三角函数基本关系与诱导公式
同角三角函数基本关系式、三角函数在各象限
的符号及两角和的正切公式
卷 2
理 15
三角恒等变换
2013
同角三角函数基本关系与诱导公式
三角恒等变换
卷 2
文 6
理 8
二倍角公式及诱导公式
同角三角函数基本关系与诱导公式
三角恒等变换
本题两角和与差的三角公式公式、诱导公式、
三角函数性质等基础知识
卷 1
2014
卷 1
文 2 三角函数定义
同角三角函数基本关系与诱导公式
三角函数在各象限的符号
2015 卷 1
理 2
诱导公式及两角和与差的三角公式
三角恒等变换
三角恒等变换
两角差的正切公式、同角三角函数基本关系、
卷 2
理 9
二倍角公式
二倍角正弦公式、同角三角函数基本关系、三
卷 3
理 5 同角三角函数基本关系与诱导公式
角函数式求值．
2016
诱导公式、同角三角函数基本关系、三角函数
卷 1 文 14 同角三角函数基本关系与诱导公式
求值
利用二倍角公式及同角三角函数基本关系求
卷 3
文 6 同角三角函数基本关系与诱导公式
值
三角恒等变换
同角三角函数基本关系、两角和公式及化归与
转化思想
卷 1 文 14
同角三角函数基本关系与诱导公式
三角恒等变换
2017
卷 3
文 4
二倍角的正弦公式与同角三角函数基本关系．
同角三角函数基本关系与诱导公式
三角恒等变换
同角三角函数基本关系、两角和公式及化归
与转化思想
卷 2 理 15
同角三角函数基本关系与诱导公式
理 4 三角恒等变换
2018 卷 3
二倍角余弦公式，运算求解能力
文 4
卷
三角函数定义
三角函数定义、同角三角函数基本关系，转化
与化归思想与运算求解能力
文 11
1
同角三角函数基本关系与诱导公式


同角三角函数基本关系与诱导公式
三角恒等变换
诱导公式、两角和与差的正切公式，转化与化
归思想与运算求解能力
卷 2 文 15
二倍角公式及同角三角函数基本关系，运算求
解能力
卷 2 理 10 三角恒等变换
三角恒等变换
卷 3
卷 1
文 5
文 7
二倍角公式，已知函数值求角及函数零点．
诱导公式，两角和的正切公式
函数零点
2019
同角三角函数基本关系与诱导公式
三角恒等变换
同角三角函数基本关系与诱导公式
三角恒等变换
同角三角函数基本关系、二倍角公式、已知函
数值求角，运算求解能力
二倍角公式，平方关系
二倍角公式，三角函数的符号
二倍角公式
卷 2 文 11
卷 1
卷 2
理 9 三角恒等变换
理 2 三角恒等变换
2020
文 13 三角恒等变换
理 9 三角恒等变换
文 5 三角恒等变换
卷 3
卷 3
两角和的正切公式
两角和的正弦公式
大数据分析*预测高考
考 点
出现频率
2021 年预测
三角函数定义
4/23
2021 年高考仍将重点考查同角三角函数基本关系及三
角恒等变换，同时要注意三角函数定义的复习，题型仍
为选择题或填空题，难度为基础题或中档题．
同角三角函数基本关系与诱导公式 16/23
三角恒等变换
13/23
十年试题分类*探求规律
考点 36 三角函数定义
1．(2018•新课标Ⅰ，文 11)已知角a 的顶点为坐标原点，始边与 x 轴的非负半轴重合，终边上有两点 A(1,a) ，
2
B(2,b)，且cos 2a = ，则| a -b|= (
)
3
1
5
5
2 5
5
A．
B．
C．
D．1
5
【答案】B
2
【解析】Q角a 的顶点为坐标原点，始边与 x 轴的非负半轴重合，终边上有两点 A(1,a) ，B(2,b) ，且cos 2a = ，
3
2
3
5
6
30
6
30
36
6
\cos 2a = 2 cos
2
a -1=
， 解 得 cos
2
a =
， \| cosa |=
， \| sina |= 1-
=
，
6


6
b - a
2-1
| sina |
| cosa |
5
6
30
6
| tana |=|
|=| a -b|=
=
=
，故选 B ．
5
2．(2014 新课标 I，文 2)若 tana >0，则
A. sin 2a > 0
B． cosa > 0
C． sina > 0
D． cos 2a > 0
【答案】A
p
【解析】由tana >0知，a 在第一、第三象限，即kp 0，故选 A．
(kÎZ )，∴2kp < 2a < 2kp +p
，
2
3．(2011 全国课标理 5 文 7)已知角q 的顶点与原点重合，始边 与 x轴的正半轴重合，终边在直线 y = 2x上，
则cos 2q =
4
5
3
5
3
5
4
5
(A)-
(B)-
(C)
(D)
【答案】B
y 2 5
【解析】在直线 y = 2x取一点 P(1，2)，则r = 5 ，则sinq =
=
，
r
5
3
∴cos 2q =1-2 sin
2
q =- ，故选 B．
5
3 4
4．(2018 浙江)已知角a 的顶点与原点O重合，始边与 x轴的非负半轴重合，它的终边过点 P(- ,- ) ．
5 5
(1)求sin(a +p)的值；
5
(2)若角 b 满足sin(a + b) = ，求cosb 的值．
13
3 4
【解析】(1)由角a 的终边过点 P(- ,- ) 得sina = - ，
5 5
4
5
4
5
所以sin(a +p) = -sina =
．
3 4
3
(2)由角a 的终边过点 P(- ,- ) 得cosa = - ，
5 5
5
5
得cos(a + b) = ±12
由sin(a + b) =
．
13
13
由b = (a + b)-a 得cosb = cos(a + b) cosa +sin(a + b) sina ，
56 或cosb = -16
所以cosb = -
．
65
65


考点 37 同角三角函数基本关系与诱导公式
p
1．(2019•新课标Ⅱ，文 11)已知a Î(0, )，2sin 2a = cos 2a +1，则sina = (
)
2
1
5
5
3
2 5
5
A．
B．
C．
D．
5
3
【答案】B
【解析】Q2sin 2a = cos 2a +1 ，\ 可得： 4sina cosa =2 cos
p
2
a ，Qa Î(0, ) ， sina > 0 ， cosa > 0 ，
2
5
\cosa = 2sina ，Qsin
2
a +cos
2
a =sin
2
a +(2sina)
2
=5sin
2
a =1，\解得：sina =
，故选 B ．
5
3
4
tana =
，则cos
a +2sin 2a =
2
2．(2016 新课标卷 3，理 5)若
64
48
25
16
25
(A)
(B)
(C) 1
(D)
25
【答案】A
3
4
3
4
5
3
4
5
【解析】由tana =
，得
sina = , cosa =
或
sina = - , cosa = -
，所以
5
5
16
25
12 64
cos
2
a +2sin 2a =
+4´
=
，故选 A．
25 25
1
3．(2016 全国课标卷 3，文 6)若tanq = ，则cos 2q =
(
)
3
4
5
-1
5
1
5
4
5
-
(A)
(B)
(C)
(D)
【答案】D
10
4．(2013 浙江)已知a ÎR,sina +2 cosa =
tan 2a =
，则
( )
2
4
3
3
4
3
4
A．
B．
C．-
D．-
4
3
【答案】C
10
2
sin
2
a +4 cos
2
a +4 sina cosa 10
【解析】由 (sina +2 cosa)
= (
)
可得
=
，进一步整理可得
2
2
sin a +cos
a
4
2
2


1
2 tana
3
3 tan
2
a -8 tana -3 = 0，解得 tana =3或tana = - ，于是 tan 2a =
= - ，故选 C．
3
1-tan
2
a
4
sina +cosa 1
sina -cosa 2
=
5．(2012 江西)若
，则 tan2α=( )
3
3
4
4
3
A．−
B．
C．−
D．
4
4
3
【答案】B
【解析】分子分母同除cosa 得：
sina +cosa tana +1 1
= ,∴ tana = -3，
sina -cosa tana -1 2
=
2 tana
3
∴tan 2a =
a = 4
1-tan
2
5p
1
5
6．(2013 广东)已知sin(
+a) =
，那么
cosa =
2
2
5
B．-1
5
1
2
5
A．-
C．
D．
5
【答案】C
5p
p
æp
è 2
ö
ø
1
5
【解析】sin(
+a) = sin(2p+ +a) = sin
+a = cosa =
，选 C．
ç
÷
2
2
p
3
p
7．(2016•新课标Ⅰ，文 14)已知q 是第四象限角，且sin(q + ) = ，则 tan(q - ) =
．
4
5
4
4
3
【答案】-
p
p
p
p
【解析】Qq 是第四象限角，\ - + 2kp 0，选项 B 错误；当a = -p
æ 2p ö
时，cos 2a =cosç-
è 3 ø
【解析】当a = - 时，cos 2a = cosç-

3
a
0
，则sin 2a = 2sina cosa < 0
选项 A 错误；由 在第四象限可得：
，选项 C 错误，
选项 D 正确，故选 D．


æ
è
pö
3 ø
æ
è
pö
6 ø
3．(2020 全国Ⅲ文 5)已知sinq +sinçq + ÷ =1，则sinçq + ÷ =
(
)
1
2
3
2
3
2
A．
B．
C．
D．
3
2
【答案】B
【思路导引】将所给的三角函数式展开变形，然后再逆用两角和的正弦公式即可求得三角函数式的值．
1
2
3
3
3
3
1
3
【解析】由题意可得：sinq +
sinq +
cosq =1，则：
sinq +
cosq =1， sinq + cosq =
，
2
2
2
2
2
3
从而有：sin cosp +cosq sinp
3
，即
æ
è
p ö
6 ø
3
．故选 B．
q
=
sin q +
=
ç
÷
6
6
3
3
æ
è
pö
4．(2020 全国Ⅲ理 9)已知2 tanq -tançq + ÷ = 7 ，则 tanq =
4 ø
(
)
A．-2
B．-1
C．1
D．2
【答案】D
【思路导引】利用两角和的正切公式，结合换元法，解一元二次方程，即可得出答案．
æ
è
p ö
4 ø
tanq +1
1+t
Q2 tanq -tan q +
=7，\2 tanq -
1-tanq =7，令t = tanq,t ¹1，则2t -1-t
=7，整
【解析】
ç
÷
理得t
2
-4t + 4 = 0 ，解得
t = 2，即 tanq = 2．故选 D．
p
5．(2019•新课标Ⅱ，理 10)已知a Î(0, )，2sin 2a = cos 2a +1，则sina = (
)
2
1
5
5
3
2 5
5
A．
B．
C．
D．
5
3
【答 案】B
【解析】Q2sin 2a = cos 2a +1，\ 4sina cosa =2 cos
p
2
a ，Qa Î(0, ) ，sina > 0，cosa > 0 ，\cosa = 2sina ，
2
5
Qsin
2
a +cos
2
a =sin
2
a +(2sina)
2
=5sin
2
a =1，\ sina =
，故选 B ．
5
6．(2019•新课标Ⅲ，文 5)函数 f (x) = 2sin x -sin 2x 在[0 ，2p]的零点个数为(
)
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】B
【解析】函数 f (x) = 2sin x -sin 2x 在[0 ，2p]的零点个数，即：2sin x -sin 2x = 0在区间[0 ，2p]的根个数，
即2sin x = sin 2x，即sinx(1-cos x) = 0，即sinx =0或cosx =1，∵ xÎ[0 ，2p]，∴ x = 0,p,2p ，故选


B ．
7．(2019•新课标Ⅰ，文 7) tan 255° = (
)
A．-2- 3
【答案】D
B．-2+ 3
C．2- 3
D．2 + 3
【解析】∵tan 255° = tan(180°+75°) = tan 75° = tan(45°+30°)
3
1+
tan 45°+ tan 30°
1- tan 45°tan 30°
3+ 3 (3+ 3)
2
12 +6 3
3
=
=
=
=
=
= 2+ 3 ，故选 D ．
3
3- 3
6
6
1-1´
3
1
8．(2018•新课标Ⅲ，理 4 文 4)若sina = ，则cos 2a = (
)
3
8
9
7
9
7
9
8
A．
B．
C． -
D． -
9
【答案】B
1
1 7
a =1- 2´ = ，故选 B ．
9 9
【解析】Qsina = ，\cos 2a =1- 2sin
2
3
4
9．(2017 新课标卷 3，文 4)已知sina -cosa = ，则sin 2 =
a
3
7
9
2
9
2
9
7
9
A．-
B．-
C．
D．
【答案】A
( a -cosa )
2
-1= -
sin
7
9
【解析】因为sin 2a = 2sina cosa =
，故选 A．
-1
p
3
10．(2016•新课标Ⅱ，理 9)若cos( -a) = ，则sin 2a = (
)
4
5
7
1
5
C．- 1
7
A．
B．
D． -
25
5
25
【答案】D
p
3
【解析】法1°:Qcos( -a) = ，
4
5
p
p
p
9
7
\sin 2a = cos( - 2a) = cos 2( -a) = 2 cos
2
( -a) -1= 2´ -1= -
25 25
，
2
4
4
法2°:Qcos( -a) = 2(sina +cosa) = ，\ (1+sin 2a) =
p
3
1
9
，\sin 2a = 2´ -1= -
25
9
7
，
4
2
5
2
25
25
故选 D ．
11．(2015 新课标Ⅰ，理 2)sin20°cos10°-con160°sin10°=


3
3
1
2
1
2
A．-
B．
C．-
D．
2
2
【答案】D
1
【解析】原式=sin20°cos10°+cos20°sin10°=sin30°= ，故选 D．
2
p
p
1+sin b
cosb
12．(2014 新课标Ⅰ，理 8)设a Î(0, )，b Î(0, ) ，且 tana =
，则
2
2
p
p
p
p
A．3a -b =
【答案】B
B ．2a -b =
C．3a + b =
D．2a + b =
2
2
2
2
sina 1+sinb
【解析】∵tana =
=
，∴sina cosb = cosa +cosa sinb
cosa
cosb
æp
è 2
ö
ø
p
p
p
p
sin(a -b )= cosa =
-a
-