2011-2020年高考数学真题分专题训练专题12 三角函数图象与性质（教师版含解析）

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这是一份2011-2020年高考数学真题分专题训练专题12 三角函数图象与性质（教师版含解析），共24页。试卷主要包含了已知函数 f x sinx，若 x1  ， x2 ，函数 f ，函数  等内容，欢迎下载使用。

专题 12
三角函数图象与性质
十年大数据*全景展示
年份
题号
考点
考查内容
课标
理 11 三角函数性质
文 11 三角函数性质
三角函数的周期性、奇偶性、单调性
2011
三角公式、诱导公式、三角函数的性质及分析处理问题
能力．
课标
课标
课标
卷 2
卷 1
理 9
文 9
三角函数性质
三角函数性质
三角函数的单调性
2012
三角函数的对称轴等性质
三角函数图像平移变换
2013
2014
文 16 三角函数图像变换
文 7
理 8
文 8
三角函数图像
本三角函数的周期性．
2015
卷 1
三角函数图像
已知三角函数图像求解析式及三角函数的单调性．
卷 3
卷 1
卷 2
卷 3
卷 1
理 14 三角函数图像变换
两角和与差的三角公式及图像平移变换．
三角函数周期、三角函数的平移变换．
已知三角函数图像求解析式
文 6
文 3
三角函数图像变换
三角函数图像
2016
文 14 三角函数图像
辅助角公式及三角函数平移变换．
诱导公式、三角函数图像变换，化归与转化思想
三角函数周期、对称性、零点与单调性．
三角函数周期性
理 9
理 6
文 3
三角函数图像变换
2017 卷 3
卷 2
三角函数性质
三角函数性质

辅助角公式、三角函数的单调性，运算求解能力与化归
与转化思想．
卷 2
卷 3
卷 2
理 10 三角函数性质
理 15 三角函数性质
文 10 三角函数性质
三角函数的零点、转化与化归思想与运算求解能力
辅助角公式、三角函数的单调性，运算求解能力与化归
与转化思想．
2018
同角三角函数基本关系同角三角函数基本关系与三角函数的周期，运算求解能
卷 3
卷 2
文 6
理 9
三角函数性质
力与化归与转化思想．
含绝对值的三角函数的周期性与单调性，转化与化归思
想．
三角函数性质
含绝对值的三角函数的周期性、单调性、极值与零点，
转化与化归思想．
2019 卷 3
理 12 三角函数性质
文 15 三角函数性质
卷 1
卷 2
诱导公式、三角函数的最值，转化与化归思想．
三角函数的极值、周期等性质．
文 8
理 7
文 7
三角函数性质
三角函数图象及其性质三角函数的图象，三角函数的周期性
三角函数图象及其性质三角函数的图象，三角函数的周期性
卷 1
2020
理 16 三角函数图象及其性质三角函数最值，三角函数图象的对称性
文 12 三角函数图象及其性质三角函数最值，三角函数图象的对称性
卷 3
大数据分析*预测高考
考点
出现频率
2021 年预测
三角函数性质
三角函数图像
14/21
7/21
2021 年高考仍将重点考查三角函数的图像与性质及三
角函数变换，特别是这些知识点的组合考查是考查的
热点，题型仍为选择题或填空题，难度可以为基础题
或中档题，也可以是压轴题．
三角函数图像变换 4/21
十年试题分类*探求规律
考点 39 三角函数性质
1
( ) =
+
1．(2020 全国Ⅲ文 12 理 16)已知函数 f x sinx
，则 (
)
sinx
( )
( )
B． f x 的图像关于 y轴对称
A． f x 的最小值为2
p
( )
= p对称
D． f x 的图像关于直线
x =
( )
C． f x 的图像关于直线 x
对称
2
【答案】D

【思路导引】根据基本不等式使用条件可判断 A；根据奇偶性可判断 B；根据对称性判断 C，D．
1
【解析】
Qsin x可以为负，所以
A
Q
错；
sin x 0, x k k
¹ \ ¹ p ( ÎZ) Q (- )= -
sin x -
, f
x
= - ( )
f x
，
sin x
1
1
\ ( )关于原点对称；Q f (2p - x) = -sin x -
f x
¹ f (x), f (p - x) = sin x +
= f (x),故 B 错；
sin x
sin x
p
\ f (x)关于直线 x
=
对称，故 C 错，D 对，故选 D．
2
p
p
p
2．(2019•新课标Ⅱ，理 9)下列函数中，以为周期且在区间( ， ) 单调递增的是(
)
2
4
2
A． f (x) =| cos2x |
B． f (x) =| sin 2x |
C． f (x) = cos | x |
D． f (x) =sin | x |
【答案】A
【解析】 f (x) =sin | x| 不是周期函数，可排除 D 选项； f (x) = cos | x| 的周期为 2p ，可排除 C 选项；
p
p
p
f (x) =| sin 2x| 在处取得最大值，不可能在区间( ， ) 单调递增，可排除 B ．
4
4
2
故选 A ．
p
3．(2019•新课标Ⅲ，理 12)设函数 f (x) = sin(wx + )(w > 0) ，已知 f (x) 在[0 ，2p]有且仅有 5 个零点．下
5
述四个结论：
① f (x) 在(0, 2p) 有且仅有 3 个极大值点
② f (x) 在(0, 2p) 有且仅有 2 个极小值点
p
③ f (x) 在(0, ) 单调递增
10
12
5
29
10
④w 的取值范围是[
，
)
其中所有正确结论的编号是(
)
A．①④
B．②③
C．①②③
D．①③④
【答案】D
p
p
p
【解析】当 xÎ[0，2p]时，wx + Î[ ，2pw + ]，Q f (x)在[0 ，2p]有且仅有 5 个零点，
5
5
5
p
12
29
10
\5p2pw + < 6p ，\ w <
，故④正确，因此由选项可知只需判断③是否正确即可得到答案，下面
5
5
p
p
p
(w + 2)p
p
(w + 2)p
p
判断③是否正确，当 xÎ(0, )时，wx + Î[ ，
10
]，若 f (x) 在(0, ) 单调递增，则
10
<
，
5
5
10
10
2
12
即w < 3，Q w <
29
10
，故③正确，故选 D ．
5
p
3p
4．(2019•新课标Ⅱ，文 8)若 x1 = ， x2 =
是函数 f (x) = sinwx(w > 0) 两个相邻的极值点，则w = (
)
4
4

3
2
1
2
A．2
B．
C．1
D．
【答案】A
p
3p
3p
p
2p
w
【解析】Qx1 = ，x2 =
是函数 f (x) = sinwx(w > 0) 两个相邻的极值点，\T = 2( - ) =p =
，\w = 2，
4
4
4
4
故选 A ．
5．(2018•新课标Ⅱ，理 10)若 f (x) = cosx -sin x 在[-a，a]是减函数，则a 的最大值是(
)
p
p
3p
A．
B．
C．
D．p
4
2
4
【答案】A
p
p p
4 2
p
【解析】 f (x) = cosx -sin x = -(sin x -cosx) = - 2 sin(x - )，由- +2kp ≤ x- £ +2kp ，k ÎZ ，
4
2
p
3p
的一个减区间为[-p
，
3
p]，由
f (x)
在[-a，a]
- +2kp £ x £
+2kp ，k ÎZ ，取k = 0，得
f (x)
得
4
4
4
4
ì
ï
-a ³ -p
ï
p
4
p
是减函数，得í
，∴a £ ，则 a 的最大值是，故选 A ．
3p
4
4
ï
a £
ï
î
4
6．(2018•新课标Ⅱ，文 10)若 f (x) = cosx -sin x 在[0 ，a]是减函数，则a 的最大值是(
)
p
p
3p
A．
B．
C．
D．p
4
2
4
【答案】C
p
p
p
p
【解析】 f (x) = cosx -sin x = -(sin x -cosx) = - 2 sin(x - )，由- +2kp £ x- £ 2kp + ， k ÎZ ，
4
2
4
2
p
3p
p
3p
得- +2kp £ x £ 2kp +
，k ÎZ ，取k = 0，得 f (x) 的一个减区间为[- ， ]，由 f (x) 在[0 ，a]是
4
4
4
4
3p
3p
减函数，得a £
，则a 的最大值是
，故选C ．
4
4
tan x
7．(2018•新课标Ⅲ，文 6)函数 f (x) =
的最小正周期为(
C．p
)
1+tan
2
x
p
p
A．
B．
D．2p
2p
4
2
【答案】C
tan x
1+tan
sin xcosx
1
【解析】函数 f (x) =
=
= sin 2x 的最小正周期为
=p ，
2
x
cos
2
x +sin
2
x
2
2
故选C ．
π
8．(2017新课标卷3，理6)设函数 f (x) = cos(x 3)，则下列结论错误的是()
+

8π
3
A． f (x) 的一个周期为-2π
C． f (x +p) 的一个零点为 x
B． y = f (x) 的图像关于直线 x =
对称
π
6
π
=
f (x)
在( , π) 单调递减
D．
2
【答案】D
æ
è
π ö
π
æ π
ö
ø
( ) =
+
y = cosx
( )
f x
f x cos x
,π
÷ 上
【解析】函数
ç
÷的图象可由
3 ø
向左平移个单位得到，如图可知，
在ç
è 2
3
先递减后递增，D 选项错误，故选 D．
p
9．(2017 新课标卷 2，文 3)函数 ( )
x = sin（ 2x+
）的最小正周期为
f
3
p
A．4p
B．2p
C． p
D．
2
【答案】C
2p
【解析】由题意T =
=p ，故选 C．
2
p
p
10．(2014 新课标 I，文 7)在函数① y = cos | 2x|，② y =| cos x| ，③ y = cos(2x+ ) ，④ y = tan(2x- )
6
4
中，最小正周期为p 的所有函数为
A． ②④
B． ①③④
C． ①②③
D． ①③
【答案】C
2p
【解析】∵ y = cos | 2x|= cos 2x ，∴T =
=p ；由 y =| cos x| 图像知其周期为p ，由周期公式知，
2
p
p
p
y = cos(2x+ ) 为
p ， =
y tan(2x
-
)为
，故选 C．
6
4
2
p
p
11．(2012 全国新课标，理 9)已知w＞0，函数 f (x)=sin( x
是( )
w +
， )单调递减，则w
p
的取值范围
)在(
4
2
1
5
1
3
1
2
A．[ ， ]
B ．[ ， ]
C．(0，
]
D．(0，2]
2
4
2
4
【答案】A
【解析】∵w＞0， x∈(p
，p )，∴wx+ ∈(
p
wp p
+
，wp + )，∵ f (x)=sin(wx+ )在( ，p )
p
p
p
2
4
2
4
4
4
2

wp p
p
p
3p
p
wp p
p
3p
1
5
+
，wp +
) (
Ì
+
且wp +
w
，解得 ≤ ≤ ，
单调递减，∴(
故选 A．
，
)，∴
≤
≤
2
4
4
2
2
2
2
4
4
2
2
4
p
5p
12．(2012 全国新课标，文 9)已知w>0，0 是函数 f (x) = sin(wx+j)图像
4
4
的两条相邻的对称轴，则j =( )
π
π
π
3π
4
(A)4
(B)3
(C)2
(D)
【答案】A
p 5p p
p
p
p
【解析】由题设知， =
-
，∴w=1，∴ +j =kp + (kÎZ )，∴j =kp + (kÎZ )，∵0 w
4
4
4
2
4
∴j =p
，故选 A．
4
13．(2011 全国课标，理 11)设函数 f (x)=sin(wx+j)+cos(wx+j)(w＞0，|j |＜p
)的最小正周期为p ，
2
且 f (-x)= f (x)，则 f (x)
p
(B)在(p
3p
(A)在(0， )单调递减
，
)单调递减
2
4
4
p
(D)在(p
3p
(C) 在(0， )单调递增
，
)单调递增
2
4
4
【答案】A
p
2p =p 且j+p
p
p
【解析】∵ f (x)= 2 sin(wx+j+ )，由题意知
=kp + ，解得w=2，j =kp + ，又
4
w
4
2
4
p
p
p
p
∵|j |＜，∴j = ，∴ f (x)= 2 sin(2x+ ) = 2 cos2x，当 x∈(0， )时，2x∈(0，p )，故 f (x)
2
4
2
2
在(0，p
)单调递减，故选 A．
2
p
p
14．设函数 f (x)=sin(2x+ )+cos(2x+ )，则 y = f (x)
4
4
(A)在(0，p )单调递增，其图像关于直线 x=p
对称
2
4
(B) 在(0，p
)单调递增，其图像关于直线 x= 对称
p
2
2
(C) 在(0，p
)单调递减，其图像关于直线 x= 对称
p
2
4
(D) 在(0，p )单调递减，其图像关于直线 x=p
对称
2
2

【答案】D
p
p
p
【解析】 f (x)=sin(2x+ )+cos(2x+ )= 2 sin(2x+ )= 2 cos2x，
4
4
2
p
∵u = 2x在(0， )上是增函数，值域为(0,p)， y = 2 cosu 在(0,p)是减函数，
2
p
∴ f (x)在(0， )是减函数，
2
p
p
p
p
又∵ f ( ) =
2 cos(2´ )=0
f ( )= 2 cos(2´ ）=
，不是最值，
- 2
是最小值，
4
4
2
2
p
∴ f (x)图像关于直线 x= 对称，故选 D．
2
5p
11p
15．(2017 天津)设函数 f (x) = 2sin(wx +j) ，xÎR，其中w > 0 ，|j |< p．若 f ( ) = 2 ，f (
) = 0 ，且 f (x)
8
8
的最小正周期大于2p，则
2
p
2
11p
A．w = ，j =
B．w = ，j = -
3
12
3
12
1
11p
1
7p
C．w = ，j = -
D．w = ，j =
3
24
3
24
【答案】A
【解析】由题意 x
5π
11π
8
11p 5p 3p T 3T
=
取最大值，x =
与相交，设
x
f (x)
周期为，所以
T
-
=
=
或
，
8
8
8
4
4
4
2p 2
所以T =3p 或T =p ，又
f (x)的最小正周期大于2π，所以T =3p ，所以w =
=
，排除 C、D；由
T
3
5π
f ( ) = 2，即2sin( ´
3 8
2 5p
10p
p
p
p
+j) = 2，
+j = 2kp + ，即j = 2kp + ，令k =0，j =
．选 A．
8
24
2
12
12
16．(2015 四川)下列函数中，最小正周期为p 且图象关于原点对称的函数是
p
p
A． y = cos(2x+ )
B． y = sin(2x+ )
2
2
C． y = sin 2x+cos 2x
D． y = sin x+cosx
【答案】A
p
【解析】由 y = cos(2x+ ) = -sin 2x ，可知该函数的最小正周期为p 且为奇函数，故选 A．
2
2p
( ) =
(w +j)
Αsin x
( Α，，j 均为正的常数)的最小正周期为，当 x =
w
p
17．(2015 安徽)已知函数 f x
3
( )
时，函数 f x 取得最小值，则下列结论正确的是
( )< (- )< ( )
( )< ( )< (- )
B． f 0 f 2 f 2
A． f 2
f 2 f 0

(- )< ( )< ( )
( )< ( )< (- )
D． f 2 f 0 f 2
C． f 2
f 0 f 2
【答案】A
2p
【解析】∵ f (x) = Asin(wx+j) 的最小正周期为p ，且 x =
是经过函数 f (x)最小值点的一条对称轴，
3
2p p p
- = 是经过函数 f (x)最大值的一条对称轴．∵|2- |=
2 6
p 12-p
p
5p -12
∴ x =
，|(p -2)- |=
，
，
3
6
6
6
6
p
p
p
p
p
p
2p
p
2p
p
2p
|0- |= ，∴| 2- |>|(p -2)- |>|0- |，且- < 2 <
，-

，- < 0 <
6
6
6
6
6
3
3
3
3
3
3
∴ f (2) < f (p -2) < f (0)，即 f (2) < f (-2) < f (0)，故选 A．
é p ù
ë 3 û
ép p ù
ë 3 2 û
f (x) = sinwx w
0,
,
w
18．(2011 山东)若函数
( >0)在区间
上单调递增，在区间
上单调递减，则 =
ê
ú
ê
ú
2
3
2
A．
B．
C．2
D．3
3
【答案】B
p
f (x) = sinwx
2p 4p
【解析】由于
的图象经过坐标原点，根据已知并结合函数图象可知，为函数
f (x)
的四分
3
3
2
=
，解得w =
之一周期，故
．
w
3
p
19．(2011 安徽)已知函数 f (x) = sin(2x+j) ，其中j 为实数，若 f (x) £ f ( ) 对 xÎR 恒成立，且
6
p
f ( ) > f (p)，则 f (x)的单调递增区间是
2
é
ë
p
p ù
6 û
é
ë
p ù
kp,kp + ú(k ÎZ)
kp - ,kp + ú(k ÎZ)
A．ê
B． ê
3
2 û
é
ë
p
2p ù
3 û
é
ë
p
ù
û
kp + ,kp +
ú(k ÎZ)
kp - ,kp (k ÎZ)
C．
D．
ê
ê
ú
6
2
【答案】C
p
p
p
p
【解析】因为当 xÎR时， f (x)≤| f ( )|恒成立，所以 f ( ) = sin( +j) = ±1，可得j = 2kp +
或
6
6
3
6
5p
p
j = 2kp -
，kÎZ ，因为 f ( ) = sin(p +j) = -sinj > f (p) = sin(2p +j) = sinj ，故sinj < 0，
6
2
5p
5p
p
5p
p
所以 j = 2kp -
，所以 f (x) = sin(2x- ) ，由 - +2kp ≤2x -
≤ +2kp ( kÎZ )，得
6
6
2
6
2
p
2p
kp + ≤ x≤kp +
(kÎZ )，故选 C．
6
3

3p
20．(2019•新课标Ⅰ，文 15)函数 f (x) = sin(2x + ) -3cosx 的最小值为
．
2
【答案】-4
3p
【解析】Q f (x) = sin(2x + ) -3cosx = -cos 2x-3cos x = -2 cos
x-3cos x+1 ，令t = cosx，则-1£t £1，
2
2
3
Q f (t) = -2t
故当t =1即cosx =1时，函数有最小值-4 ．
21．(2018•新课标Ⅲ，理 15)函数 f (x) = cos(3x + ) 在[0 ，p] 的零点个数为
2
-3t +1的开口向上，对称轴t = - ，在[-1，1]上先增后减，
4
p
．
6
【答案】3
【解析】Q f (x) = cos(3x + ) = 0，\3x +
p
p
p
+ kp ，k ÎZ ，\x = + 1kp ，k ÎZ ，
p
=
6
6
2
9 3
p
4
7
10
当k = 0时， x = ，当k =1时， x = p ，当k = 2时， x = p ，当k = 3时， x = p ，
9
9
9
9
p
4
7
QxÎ[0 ，p] ，\x = ，或 x = p ，或 x = p ，故零点的个数为 3．
9
9
9
π
6
π
22．(2018 北京)设函数 f (x) cos( x
=
w -
)(w > 0)，若
f (x)≤ f ( )
对任意的实数都成立，则的最小
w
x
4
值为___．
2
【答案】
3
π
p
p
【解析】由于对任意的实数都有 f (x)≤ f ( )成立，故当 x = 时，函数 f (x) 有最大值，故 f ( ) =1，
4
4
4
pw p
2
2
3
- = 2kp (kÎZ)，∴w =8k + (kÎZ)，又w >0，∴w =
．
min
4
6
3
p
p
p
23．(2018 江苏)已知函数 y = sin(2x+j)(- ．
2
2
3
π
6
【答案】 -
p
p
p
2p
【解析】由函数 y = sin(2x+j)(- +j) = ±1，因为
2
2
3
3
p
p
p 2p
7p
2p
p
，j = -p
．
- +j <
，则
+j =
2
2
6
3
6
3
2
6
24．(2011 安徽)设 f (x)=asin 2x+bcos 2x ，其中a,bÎR ，ab ¹ 0，若
p
f (x)≤ f ( ) 对一切则 xÎR 恒成立，则
6

11p
① f (
) = 0
12
7p
p
② f ( ) ＜ f ( )
10
5
③ f (x)既不是奇函数也不是偶函数
é
ë
p
2p ù
ú(k ÎZ)
3 û
④ f (x)的单调递增区间是 kp + ,kp +
ê
6
⑤存在经过点(a,b)的直线与函数 f (x)的图像不相交
以上结论正确的是 (写出所有正确结论的编号)．
【答案】①③
b
f (x) = asin 2x +bcos 2x = a
2
+b
2
sin(2x + j) ( 其中 tanj = ) ，因此对一切 xÎR ，
【解析】
a
p
p
f (x)≤| f ( )|恒成立，所以sin( +j) = ±1，
6
可得j = kp +
11p
3
p
p
(k Z)，故
Î
f (x) = a
2
+b sin(2x+ )
2
．
6
6
11p p
而
f (
) = ± a
2
+b
2
sin(2´
47p
+ ) = 0，所以①正确；
12
12
6
| f (7p )|=| a
+b
sin
|=| a
+b
sin
17p
|，| f ( )|=| a
p
+b
sin
17p
|，
2
2
2
2
2
2
12
30
30
5
30
所以| f (7p
)|=| f ( )|，故②错；③明显正确；④错误：
p
10
5
p
p
f (x) = a
2
+b
2
sin(2x+ ) 和 f (x) = - a
2
+b sin(2x+ ) 的图象(图略)可知，不存在经过点
2
由函数
6
6
(a,b)的直线与函数 f (x)的图象不相交，故⑤错误．
f (x) = sin
2
x-cos x-2 3 sin xcosx (xÎR)．
2
25．(2017 浙江)已知函数
2p
(Ⅰ)求 f ( )的值；
3
(Ⅱ)求 f (x)的最小正周期及单调递增区间．
2p
3
2p
1
【解析】(Ⅰ)由sin
=
，cos
= - ，
3
2
3
2
f (2p ) = ( 3)
-(- )
1
-2 3´
3
´(- )
1
2
2
3
2
2
2
2
2p
得 f ( ) = 2．
3

p
(Ⅱ)由cos 2x = cos
2
x-sin x 与sin 2x = 2sin xcosx得 f (x) = -cos 2x- 3sin 2x = -2sin(2x+ )
2
6
所以 f (x)的最小正周期是p
由正弦函数的性质得
p
p
3p
+2kp ≤2x+ ≤
+2kp ，kÎZ
2
6
2
p
2p
+ p ≤ ≤
k
x
k ，
+ p kÎZ
解得
6
3
p
2p
k ](
+ p kÎZ
所以 f (x)的单调递增区间是[
+kp,
)．
6
3
1
f (x) = (2 cos
2
x-1)sin 2x+ cos 4x
26．(2013 北京)已知函数
2
f (x)
(1)求
(2)若
的最小正周期及最大值；
p
2
a Î( ,p)
f (a) =
a
，求的值．
，且
2
2
1
f (x) = (2 cos
2
x-1)sin 2x+ cos 4x
【解析】：(1)
2
1
1
1
= cos 2xsin 2x+ cos 4x = sin 4x+ cos 4x
2
2
2
2
p
=
sin(4x+ )
2
4
2p p
所以，最小正周期T =
=
4
2
p
p
kp p
2
4x+ = 2kp + (kÎZ
x =
+
(kÎZ
f (x)max
=
)时，
当
)，即
p
．
4
2
2 16
2
2
2
2
p
f (a) =
sin(4a + ) =
sin(4a + ) =1
(2)因为
，所以
，
2
4
4
p
9p
p 17p
< 4a + <
因为
所以
，所以
，
2
4
4
4
p 5p
4a + =
9p
，即a =
．
4
2
16
p
27．(2012 广东)已知函数 f (x) = 2 cos(wx+ )，(其中
w >
xÎ R
p
)的最小正周期为 10 ．
0 ，
6
w
(1)求的值；
p
5
6
5
5
16
17
(2)设a,b Î
[0, ]，
f (5a + p) = -
f (5b - p) =
，
，求cos(a + b)的值．
2
3
6

2p
w
1
【解析】(1)T =
5p
=10p Ûw = ．
5
6
p
3
3
4
5
(2) f (5a + ) = - Û cos(a + ) = - Û sina = , cosa =
3
5
2
5
5
5p
f (5b - ) =
16
17
8
15
17
Û cosb = ,sinb =
17
．
6
cos(a + b) = cosa cosb -sina sinb = 4´ 8 - 3´15 = -13
5 17 5 17 85
．
28．(2018 上海)设常数aÎR ，函数
f (x) = asin 2x+2 cos2 x
．
(1)若 f (x)为偶函数，求a的值；
p
(2)若 f ( )
=
3 +1，求方程
f (x) =1- 2
［-p，p］
在区间上的解．
4
【解析】(1)若 f (x)为偶函数，则对任意 xÎR ，均有 f (x) = f (-x)；
即asin 2x+2 cos
2
x = asin 2(-x)+2 cos
2
(-x)
，
化简得方程asin 2x =0对任意 xÎR 成立，故a =0；
p
p
p
f ( ) = asin(2´ )+2 cos
2
( ) = a+1= 3 +1，所以
a = 3，
(2)
4
4
4
f (x) = 3sin 2x+2 cos
2
x ．
故
则方程 f (x) =1- 2 ，即
3sin 2x+2 cos
2
x =1- 2 ，
p
3sin 2x+2 cos2 x-1= - 2
2sin(2x+ ) = - 2
，
所以
，化简即为
6
p
2
11p
x = -5p
即sin(2x+ ) = -
，解得 x = -
+kp 或
+k¢ ，k,k Z
p
¢Î
6
2
24
24
13 35
19 29
若求该方程在[-p,p]上有解，则k Î[- , ]，k [
¢Î -
, ]，
24 24
24 24
即k =0或 1；k 0或 1，
¢=
11
13
24
5
19
24
对应的 x的值分别为：
-
p
、
p
、-
p
、
p
．
24
24
考点 40 三角函数图像
æ
è
π ö
( ) =
w +
[-p, p] ( )
的图像大致如下图，则 f x 的最小正周期
1．(2020 全国Ⅰ文理 7)设函数 f x cosç x
÷ 在
6 ø
为
(
)

10π
9
7π
6
4π
3
3π
2
A．
B．
C．
D．
【答案】C
æ 4p ö
,0
æ 4p
è 9
p ö
6 ø
æ 4p ö
=0，结合ç
,0
÷是
【思路导引】由图可得：函数图像过点ç-
è 9
÷，即可得到
cos - ×w+
ç
÷
-
ø
è 9
ø
4p
p
p
3
2
( )
f x
x
×w + = - ，即可求得w =
函数
图像与轴负半轴的第一个交点即可得到-
，再利用三角函
9
6
2
数周期公式即可得解．
æ 4p ö
,0
æ 4p
è 9
p ö
6 ø
【解析】由图可得：函数图像过点ç-
è 9
÷，将它代入函数
f (x)可得：cos - ×w+
ç
÷
=0，
ø
æ 4p ö
,0
4p
p
p
3
-
f (x)
图像与轴负半轴的第一个交点，∴-
x
×w + = - ，解得：w =
又ç
÷是函数
，∴函
è 9
ø
9
6
2
2
2p 2p 4p
T =
=
=
( )
f x
3
2
数
的最小正周期为
w
3 ，故选 C．
2．(2020 浙江 4)函数 y = xcosx+sin x 在区间
[-p, p]
的图像大致为
(
)
A．
B．
C．
D．
【答案】A
x =p
【思路导引】首先确定函数的奇偶性，然后结合函数在
处的函数值排除错误选项即可确定函数的图像．
(- )=(- ) (- )+ (- )= -(
【解析】 f x x cos x sin x
xcosx+sinx
f x ， x
)= - ( ) Î[-p,p]
，

æ p ö
∴函数是奇函数，故排除 C，D，当 xÎç0, ÷时， xcosx+sinx >0，∴排除 B，故选 A．
è 2 ø
3．(2020 山东 10)右图是函数 y = sin(wx +j) 的部分图像，则sin(wx+j)=
(
)
π
π
π
5π
D．cos( - 2x)
A．sin(x + )
B．sin( - 2x)
C．cos(2x + )
3
3
6
6
【答案】BC
w
j
【思路导引】首先利用周期确定的值，然后确定的值即可确定函数的解析式，最后利用诱导公式可得
正确结果．
T 2
= p - = ，则w =
2 3 6 2
p p
2p 2p
【解析】由函数图像可知：
=
= 2，所以不选 A，
T
p
2
3
p
p +
y = -1\2´5p
3p
2
5p
+j =
2k k Z
+ p ( Î )
j = 2kp + p (k ÎZ)
当
6
时，
，解得：
，
x =
=
12
2
3
2
12
æ
è
2
ö
ø
æ
è
p p ö
6 2 ø
æ
è
p ö
6 ø
æp
è 3
ö
ø
y =sin 2x+ p +2kp =sin 2x+ +
=cos 2x+
=sinç
-2x
即函数的解析式为：
ç
÷
ç
÷
ç
÷
÷，
3
æ
è
p ö
6 ø
5p
= -cos( -2x)
，故选 BC．
cos 2x +
而
ç
÷
6
4．(2016 全国新课标卷 2，文 3)函数 y=Asin(wx +j) 的部分图像如图所示，则
p
p
(A) y 2sin(2x
=
-
p
)
(B)
y = 2sin(2x- )
6
3
p
(C) y 2sin(x+ )
=
(D)
y = 2sin(x+ )
6
3
【答案】A

5．(2015 新课标Ⅰ，理 8)函数 f (x)=cos(wx+j)的部分图像如图所示，则 f (x)的单调递减区间为( )
1
3
1
3
(A)(kπ − ，kπ + ，)，k∈ (B)(2kπ − ，2kπ + )，k∈
4
4
4
4
1
3
1
3
(C)(k − ，k + )，k∈
( D)(2k − ，2k + )，k∈
4
4
4
4
【答案】D
ì1
p
w+j =
w+j =
ï
ï
p
p
4
5
2
3p
【解析】由五点作图知， í
，解得 w=p ， j= ，所以 f (x) = cos(px+ ) ，令
4
4
ï
ï
î4
2
p
1
3
1
3
2kp 4
4
4
4
4
kÎZ ，故选 D．
p
p
6．(2011 辽宁)已知函数 f (x)=Atan(wx+j )(w >0,|j |< )，y= f (x)的部分图像如下图，则 f ( ) =
24
2
3
A．2+ 3
【答案】B
B． 3
C．
D．2- 3
3

3p p p
p
3p
【解析】半周期为
- = ，即最小正周期为，所以w = 2．由题意可知，图象过定点( ,0)，所
8
8 4
3p
2
8
3p
3p
p
p
以0 = Atan(2´
+j) ，即
+j = kp (k ÎZ)，所以j = kp -
(k ÎZ)，又|j |< ，所以j =
，
8
4
4
2
4
p
又图象过定点(0,1)，所以 A =1．综上可知 f (x) = tan(2x+ ) ，故有
4
p
p p
f ( ) = tan(2´ + ) = tan = 3 ．
24 24 4
p
3
p
7．(2014 江苏)已知函数 y = cos x 与 y = sin(2x +j) (0≤j