五年高考（2016-2020）高考数学（理）真题分项详解——专题06 三角函数及解三角形

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专题06 三角函数及解三角形
【2020年】
1.（2020·新课标Ⅰ）设函数在的图像大致如下图，则f(x)的最小正周期为（ ）

A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由图可得：函数图象过点，
将它代入函数可得：
又是函数图象与轴负半轴的第一个交点，
所以，解得：
所以函数的最小正周期为
2.（2020·新课标Ⅰ）已知，且，则（ ）
A B.
C. D.
【答案】A
【解析】，得，
即，解得或（舍去），
又.
3.（2020·新课标Ⅱ）若α为第四象限角，则（ ）
A. cos2α>0 B. cos2α<0 C. sin2α>0 D. sin2α<0
【答案】D
【解析】当时，，选项B错误；
当时，，选项A错误；
由在第四象限可得：，则，选项C错误，选项D正确；
4.（2020·新课标Ⅱ）已知△ABC是面积为的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上.若球O的表面积为16π，则O到平面ABC的距离为（ ）
A. B. C. 1 D.
【答案】C
【解析】设球的半径为，则，解得：.
设外接圆半径为，边长为，
是面积为的等边三角形，
，解得：，，
球心到平面的距离.
5.（2020·新课标Ⅲ）在△ABC中，cosC=，AC=4，BC=3，则cosB=（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】在中，，，
根据余弦定理：

可得 ，即
由
故.
6.（2020·新课标Ⅲ）已知2tanθ–tan(θ+)=7，则tanθ=（ ）
A. –2 B. –1 C. 1 D. 2
【答案】D
【解析】，，
令，则，整理得，解得，即.
7.（2020·山东卷）下图是函数y= sin(ωx+φ)的部分图像，则sin(ωx+φ)= （ ）

A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】由函数图像可知：，则，所以不选A,
当时，，
解得：，
即函数的解析式为：
.
而
8.（2020·北京卷）若函数的最大值为2，则常数的一个取值为________．
【答案】（均可）
【解析】因为，
所以，解得，故可取.
9.（2020·山东卷）某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．O为圆孔及轮廓圆弧AB所在圆的圆心，A是圆弧AB与直线AG的切点，B是圆弧AB与直线BC的切点，四边形DEFG为矩形，BC⊥DG，垂足为C，tan∠ODC=，，EF=12 cm，DE=2 cm，A到直线DE和EF的距离均为7 cm，圆孔半径为1 cm，则图中阴影部分的面积为________cm2．

【答案】
【解析】设，由题意，，所以，
因为,所以，
因，所以，
因为与圆弧相切于点，所以，
即为等腰直角三角形；
在直角中，，，
因为，所以，
解得；
等腰直角面积为；
扇形的面积，
所以阴影部分的面积为.

10.（2020·浙江卷）已知，则________；______．
【答案】 (1). (2).
【解析】，
，
11.（2020·江苏卷）已知 =，则的值是____.
【答案】
【解析】

12.（2020·江苏卷）将函数y=的图象向右平移个单位长度，则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是____.
【答案】
【解析】

当时
故答案为：
13.（2020·江苏卷）在平面直角坐标系xOy中，已知，A，B是圆C：上的两个动点，满足，则△PAB面积的最大值是__________．
【答案】
【解析】
设圆心到直线距离为，则
所以
令（负值舍去）
当时，；当时，，因此当时，取最大值，即取最大值为，
14.（2020·新课标Ⅰ）如图，在三棱锥P–ABC的平面展开图中，AC=1，，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE=30°，则cos∠FCB=______________.

【答案】
【解析】，，，
由勾股定理得，
同理得，，
在中，，，，
由余弦定理得，
，
在中，，，，
由余弦定理得.
【2019年】
1．【2019·全国Ⅰ卷】函数f(x)=在的图像大致为
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由，得是奇函数，其图象关于原点对称，排除A．又，排除B，C，故选D．
2．【2019·全国Ⅰ卷】关于函数有下述四个结论：
①f(x)是偶函数 ②f(x)在区间（，）单调递增
③f(x)在有4个零点 ④f(x)的最大值为2
其中所有正确结论的编号是
A．①②④ B．②④
C．①④ D．①③
【答案】C
【解析】为偶函数，故①正确．
当时，，它在区间单调递减，故②错误．
当时，，它有两个零点：；当时，
，它有一个零点：，故在有个零点：，故③错误．
当时，；当时，，又为偶函数，的最大值为，故④正确．
综上所述，①④正确，故选C．
3．【2019·全国Ⅱ卷】下列函数中，以为周期且在区间(，)单调递增的是
A．f(x)=|cos2x| B．f(x)=|sin2x|
C．f(x)=cos|x| D．f(x)=sin|x|
【答案】A
【解析】作出因为的图象如下图1，知其不是周期函数，排除D；
因为，周期为，排除C；
作出图象如图2，由图象知，其周期为，在区间(，)单调递增，A正确；
作出的图象如图3，由图象知，其周期为，在区间(，)单调递减，排除B，
故选A．

图1

图2

图3
4．【2019·全国Ⅱ卷】已知α∈(0，)，2sin2α=cos2α+1，则sinα=
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】，，，又，，又，，故选B．
5．【2019·全国Ⅲ卷】设函数=sin（）(＞0)，已知在有且仅有5个零点，下述四个结论：
①在（）有且仅有3个极大值点
②在（）有且仅有2个极小值点
③在（）单调递增
④的取值范围是[)
其中所有正确结论的编号是
A．①④ B．②③
C．①②③ D．①③④
【答案】D
【解析】①若在上有5个零点，可画出大致图象，
由图1可知，在有且仅有3个极大值点.故①正确；
②由图1、2可知，在有且仅有2个或3个极小值点.故②错误；

④当=sin（）=0时，=kπ（k∈Z），所以，
因为在上有5个零点，
所以当k=5时，，当k=6时，，解得，
故④正确.
③函数=sin（）的增区间为：，.
取k=0，
当时，单调递增区间为，
当时，单调递增区间为，
综上可得，在单调递增.故③正确.
所以结论正确的有①③④.故本题正确答案为D.
6．【2019·天津卷】已知函数是奇函数，将的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为．若的最小正周期为，且，则
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】∵为奇函数，∴；
又∴，
又，∴，
∴，故选C.
7．【2019·北京卷】函数f（x）=sin22x的最小正周期是__________．
【答案】
【解析】函数，周期为.
8．【2019·全国Ⅱ卷】的内角的对边分别为.若，则的面积为_________．
【答案】
【解析】由余弦定理得，所以，即，
解得（舍去），
所以，
9．【2019·江苏卷】已知，则的值是 ▲ .
【答案】
【解析】由，得，
解得，或.


，
当时，上式
当时，上式=
综上，
10．【2019·浙江卷】在中，，，，点在线段上，若，则___________，___________．
【答案】，
【解析】如图，在中，由正弦定理有：，而,
，，所以.
.

【2018年】
1．【2018·全国Ⅲ卷】若，则
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】.故选B.
2．【2018·全国卷II】若在是减函数，则的最大值是
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因为，
所以由得，
因此，从而的最大值为，
故选A.
3．【2018·天津】将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数
A．在区间上单调递增 B．在区间上单调递减
C．在区间上单调递增 D．在区间上单调递减
【答案】A
【解析】由函数图象平移变换的性质可知：将的图象向右平移个单位长度之后的解析式为.
则函数的单调递增区间满足，即，
令可得一个单调递增区间为.
函数的单调递减区间满足：，即，
令可得一个单调递减区间为：.
故选A.
4．【2018·浙江卷】函数y=sin2x的图象可能是
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】令，因为，所以为奇函数，排除选项A，B；
因为时，，所以排除选项C，故选D.
5．【2018·全国Ⅱ】在中，，，，则
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因为
所以，故选A.
6．【2018·全国Ⅲ】的内角的对边分别为，，，若的面积为，则
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由题可知，所以，
由余弦定理，得，因为，所以，故选C.
7．【2018·浙江卷】在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，b=2，A=60°，则sin B=___________，c=___________．
【答案】，3
【解析】由正弦定理得，所以
由余弦定理得（负值舍去）.
8．【2018·全国Ⅰ】已知函数，则的最小值是_____________．
【答案】
【解析】，
所以当时函数单调递减，当时函数单调递增，从而得到函数的递减区间为，函数的递增区间为，
所以当时，函数取得最小值，此时，
所以，故答案是.
9．【2018·北京卷】设函数f（x）=，若对任意的实数x都成立，则ω的最小值为__________．
【答案】
【解析】因为对任意的实数x都成立，所以取最大值，
所以，
因为，所以当时，ω取最小值为.
10．【2018·全国Ⅲ】函数在的零点个数为________．
【答案】
【解析】，，由题可知，或，解得，或，故有3个零点.
11．【2018·江苏卷】已知函数的图象关于直线对称，则的值是________．
【答案】
【解析】由题意可得，所以，
因为，所以
【2017年】
1．【2017·全国Ⅰ】已知曲线C1：y=cos x，C2：y=sin (2x+)，则下面结论正确的是
A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
【答案】D
【解析】因为函数名不同，所以先将利用诱导公式转化成与相同的函数名，则，则由上各点的横坐标缩短到原来的倍变为，再将曲线向左平移个单位长度得到，故选D.
2．【2017·全国Ⅲ】设函数，则下列结论错误的是
A．的一个周期为
B．的图象关于直线对称
C．的一个零点为
D．在(，)单调递减
【答案】D
【解析】函数的最小正周期为，则函数的周期为，取，可得函数的一个周期为，选项A正确；
函数图象的对称轴为，即，取，可得y=f(x)的图象关于直线对称，选项B正确；
，函数的零点满足，即，取，可得的一个零点为，选项C正确；
当时，，函数在该区间内不单调，选项D错误.
故选D.
3．【2017·天津卷】设函数，，其中，．若，，且的最小正周期大于，则
A．， B．，
C．， D．，
【答案】A
【解析】由题意得，其中，所以，
又，所以，所以，，
由得，故选A．
4．【2017·山东卷】在中，角A，B，C的对边分别为，，．若为锐角三角形，且满足，则下列等式成立的是
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由题意知，
所以，
故选A.
5．【2017·浙江卷】已知△ABC，AB=AC=4，BC=2． 点D为AB延长线上一点，BD=2，连结CD，则△BDC的面积是______，cos∠BDC=_______．
【答案】
【解析】取BC中点E，由题意：，
△ABE中，，∴，
∴．
∵，∴，
解得或（舍去）．
综上可得，△BCD面积为，．
6．【2017·全国Ⅱ】函数()的最大值是 .
【答案】1
【解析】化简三角函数的解析式：
，
由自变量的范围：可得：，
当时，函数取得最大值1.
7．【2017·北京卷】在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称.若，则=___________.
【答案】
【解析】因为和关于轴对称，所以，那么，（或），
所以.
8．【2018·全国Ⅱ】已知，，则__________．
【答案】
【解析】因为，，所以
所以，
因此
9．【2017·江苏卷】若则 ▲ ．
【答案】
【解析】．故答案为．
【2016年】
1. 【2016高考新课标1卷】已知函数 为的零点,为图像的对称轴,且在单调,则的最大值为( )
（A）11        （B）9     （C）7        （D）5
【答案】B
【解析】 因为为的零点，为图像的对称轴，所以，即，所以，又因为在单调，所以，即，则的最大值为9.故选B.
2.【2016年高考四川理数】为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点( )
（A）向左平行移动个单位长度 （B）向右平行移动个单位长度
（C）向左平行移动个单位长度 　（D）向右平行移动个单位长度
【答案】D
【解析】由题意，为了得到函数，只需把函数的图像上所有点向右移个单位，故选D.
3.【2016高考新课标3理数】在中，，边上的高等于,则（ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】C
【解析】设边上的高为，则，所以，．由余弦定理，知，故选C．
4.【2016高考新课标2理数】若，则（ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】D
【解析】 ，
且，故选D.
5.【2016高考新课标2理数】若将函数的图像向左平移个单位长度，则平移后图象的对称轴为（ ）
（A） （B）
（C） （D）
【答案】B
【解析】由题意，将函数的图像向左平移个单位得，则平移后函数的对称轴为，即，故选B.
6.【2016高考新课标3理数】若 ，则（ ）
(A) (B) (C) 1 (D)
【答案】A
【解析】
由，得或，所以，故选A．
7.【2016高考浙江理数】设函数，则的最小正周期（ ）
A．与b有关，且与c有关 B．与b有关，但与c无关
C．与b无关，且与c无关 D．与b无关，但与c有关
【答案】B
【解析】，其中当时，，此时周期是；当时，周期为，而不影响周期．故选B．
8.【2016年高考北京理数】将函数图象上的点向左平移（） 个单位长度得到点，若位于函数的图象上，则（ ）
A.，的最小值为B. ，的最小值为
C.，的最小值为D.，的最小值为
【答案】A
【解析】由题意得，，当s最小时，所对应的点为，此时，故选A.
9.【2016年高考四川理数】= .
【答案】
【解析】[由二倍角公式得
10.【2016高考新课标2理数】的内角的对边分别为，若，，，则 ．
【答案】
【解析】因为，且为三角形的内角，所以，，又因为，所以.
11.【2016高考浙江理数】已知2cos2x+sin 2x=Asin(ωx+φ)+b(A>0)，则A=______，b=________．
【答案】
【解析】，所以[来源:Zxxk.Com]
12.【2016高考新课标3理数】函数的图像可由函数的图像至少向
右平移_____________个单位长度得到．
【答案】
【解析】因为，＝
，所以函数的图像可由函数的图像至少向右平
移个单位长度得到．
13.【2016高考山东理数】函数f（x）=（sin x+cos x）（cos x –sin x）的最小正周期是（ ）
（A） （B）π （C） （D）2π
【答案】B
【解析】,故最小正周期,故选B.
14.【2016高考天津理数】在△ABC中，若,BC=3， ,则AC= （ ）
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
【答案】A
【解析】由余弦定理得,选A.
15.【2016高考江苏卷】定义在区间上的函数的图象与的图象的交点个数是 ▲ .
【答案】7
【解析】由，因为，所以共7个
16.【2016高考江苏卷】在锐角三角形中，若，则的最小值是 ▲ .
【答案】8.
【解析】，又，因此
即最小值为8.