还剩20页未读，
继续阅读
2022-2023学年浙江省宁波十五中八年级（下）期中数学试卷（含解析）
展开
这是一份2022-2023学年浙江省宁波十五中八年级（下）期中数学试卷（含解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年浙江省宁波十五中八年级（下）期中数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分．在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．下列二次根式中，能与合并的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图是厨余垃圾、可回收物、有害垃圾和其他垃圾的标识，其中是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．若根式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＝2 B．x≠2 C．x＞2 D．x≥2
4．已知4个正数a1，a2，a3，a4的平均数是a，且a1＞a2＞a3＞a4，则数据a1，a2，0，a3，a4的平均数和中位数分别是（ ）
A．，0 B．，a3 C．a，0 D．a，a3
5．已知点A（1，y1），B（2，y2），C（﹣3，y3）都在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y3＜y1＜y2 B．y1＜y2＜y3 C．y2＜y1＜y3 D．y3＜y2＜y1
6．已知四边形ABCD是平行四边形，下列条件中能判定这个平行四边形为矩形的是（ ）
A．∠A＝∠B B．∠A＝∠C C．AB＝BC D．AC⊥BD
7．电影《长津湖》上映以来，全国票房连创佳绩．据不完全统计，某市第一天票房约2亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达18亿元，将增长率记作x，则方程可以列为（ ）
A．2+2x+2x2＝18 B．2（1+x）2＝18
C．（1+x）2＝18 D．2+2（1+x）+2（1+x）2＝18
8．方程是关于x的一元二次方程，则m的值为（ ）
A．1 B．﹣6 C．6 D．1或﹣6
9．要确定方程x2+x﹣5＝0的解，只需知道一次函数y＝x+1和反比例函数的图象交点的横坐标．由上面的信息可知，k的值为（ ）
A．1 B．﹣1 C．5 D．﹣5
10．如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，若在AC，AB上各取一点M，N，使BM+MN的值最小，求这个最小值（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．当x＝2时，二次根式的值为 ．
12．若一个多边形每一个外角都等于36°，则这个多边形有 条边．
13．甲、乙两名队员参加10次射击训练，他们的成绩的折线统计图如图，在这10次射击中，成绩更稳定的是 ．（填“甲”或“乙”）
14．若a是方程2x2﹣x﹣5＝0的一个根，则代数式2a﹣4a2+1的值是 ．
15．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，BE∥AC，AE∥BD，OE与AB交于点F．若OE＝5，AC＝8，则菱形ABCD的高为 ．
16．如图，直线AC与反比例函数y＝（k＞0）的图象相交于A、C两点，与x轴交于点D，过点D作DE⊥x轴交反比例函数y＝（k＞0）的图象于点E，连结CE，点B为y轴上一点，满足AB＝AC，且BC恰好平行于x轴．若S△DCE＝1，则k的值为 ．
三、解答题（共52分）
17．计算：（1）；
（2）．
18．解方程：（1）4x2＝12x；
（2）x2+4x+3＝0．
19．某实验中学八年级甲、乙两班分别选5名同学参加“学雷锋读书活动”演讲比赛，其预赛成绩如图所示：
（1）根据上图填写下表：
平均数
众数
中位数
方差
甲班
8.5
8.5
0.7
乙班
8.5
8
1.6
（2）请你分别从平均数、众数、中位数和方差四个方面评价甲、乙两班的预赛成绩，并说明你的理由；
（3）乙班小明说：“我的成绩是中等水平”，你知道他是几号选手？
20．某租赁公司拥有汽车100辆，据统计，当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出．每辆车的月租金每增加50元，未租出的车将增加1辆，租出的车每辆每月的维护费为150元，未租出的车每两每月只需维护费50元
（1）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆？
（2）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益（租金收入扣除维护费）可达到306600元？
21．如图1，在正方形ABCD中，AD＝4，点E是AD的中点，以DE为边作正方形DEFG，连接AG、CE．将正方形DEFG绕点D顺时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜90°）．
（1）如图2，在旋转过程中，判断△AGD与△CED是否全等，并说明理由；
（2）如图3，延长CE交直线AG于点P．
①求证：AG⊥CP；
②在旋转过程中，线段PC的长度是否存在最大值？若存在，求出最大值：若不存在，请说明理由．
22．如图1，已知A（﹣1，0），B（0，﹣2），平行四边形ABCD的边AD、BC分别与y轴、x轴交于点E、F，且点E为AD中点，双曲线y＝（k为常数，k≠0）经过C、D两点．
（1）求k的值；
（2）如图2，点G是y轴正半轴上的一个动点，过点G作y轴的垂线，分别交反比例函数y＝（k为常数，k≠0）图象于点M，交反比例函数y＝﹣（x＜0）的图象于点N，当FM＝FN时，求G点坐标；
（3）点P在双曲线y＝上，点Q在y轴上，若以点A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，试求出满足要求的所有点Q的坐标．
参考答案
一、选择题（每小题3分，共30分．在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．下列二次根式中，能与合并的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据同类二次根式的定义：化成最简二次根式后，被开方数相同的是同类二次根式，即可解答．
解：A、与不能合并，故A不符合题意；
B、与不能合并，故B不符合题意；
C、＝3，与不能合并，故C不符合题意；
D、＝2，与能合并，故D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了同类二次根式，先把每一个二次根式化成最简二次根式是解题的关键．
2．如图是厨余垃圾、可回收物、有害垃圾和其他垃圾的标识，其中是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心进行分析．
解：选项B能找到这样的一个点，使图形绕这一点旋转180°后原来的图形重合，所以是中心对称图形；
选项A、C、D不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后原来的图形重合，所以不是中心对称图形；
故选：B．
【点评】此题主要考查了中心对称图形，关键是掌握中心对称图形的定义．
3．若根式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＝2 B．x≠2 C．x＞2 D．x≥2
【分析】根据被开方数大于等于0列不等式求解即可．
解：由题意得，x﹣2≥0，
解得x≥2．
故选：D．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
4．已知4个正数a1，a2，a3，a4的平均数是a，且a1＞a2＞a3＞a4，则数据a1，a2，0，a3，a4的平均数和中位数分别是（ ）
A．，0 B．，a3 C．a，0 D．a，a3
【分析】直接利用平均数求法，总数÷数据个数＝平均数，再利用中位数的定义，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数，即可得出答案．
解：由平均数定义可知：（a1+a2+0+a3+a4）＝×4a＝a；
将这组数据按从小到大排列为0，a4，a3，a2，a1；
由于有奇数个数，取最中间的数，
∴其中位数为a3．
故选：B．
【点评】此题主要考查了中位数和算术平均数，正确掌握定义是解题关键．
5．已知点A（1，y1），B（2，y2），C（﹣3，y3）都在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y3＜y1＜y2 B．y1＜y2＜y3 C．y2＜y1＜y3 D．y3＜y2＜y1
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征，分别计算出y1＝k，y2＝k，y3＝﹣k，然后在k＞0的条件下比较它们的大小即可．
解：根据题意得1•y1＝k，2•y2＝k，﹣3•y3＝k，
所以y1＝k，y2＝k，y3＝﹣k，
而k＞0，
所以y3＜y2＜y1．
故选：D．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y＝（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k．
6．已知四边形ABCD是平行四边形，下列条件中能判定这个平行四边形为矩形的是（ ）
A．∠A＝∠B B．∠A＝∠C C．AB＝BC D．AC⊥BD
【分析】由矩形的判定和平行四边形的性质分别对各个选项进行判断即可．
解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B+∠A＝180°，
∵∠A＝∠B，
∴∠A＝∠B＝90°，
∴平行四边形ABCD是矩形，故选项A符合题意；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C，
∴选项B不能判定这个平行四边形为矩形，故选项B不符合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝BC，
∴平行四边形ABCD是菱形，故选项C不符合题意；
D、∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD是菱形，故选项D不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了矩形的判定、菱形的判定、平行四边形的性质等知识，熟练掌握矩形的判定是解题的关键．
7．电影《长津湖》上映以来，全国票房连创佳绩．据不完全统计，某市第一天票房约2亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达18亿元，将增长率记作x，则方程可以列为（ ）
A．2+2x+2x2＝18 B．2（1+x）2＝18
C．（1+x）2＝18 D．2+2（1+x）+2（1+x）2＝18
【分析】第一天为2，根据增长率为x得出第二天为2（1+x），第三天为2（1+x）2，根据三天累计为18，即可得出关于x的一元二次方程．
解：设平均每天票房的增长率为x，
根据题意得：2+2（1+x）+2（1+x）2＝18．
故选：D．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
8．方程是关于x的一元二次方程，则m的值为（ ）
A．1 B．﹣6 C．6 D．1或﹣6
【分析】根据一元二次方程的定义可得出，解出m的值即可．
解：根据题意可知，
解得：m＝﹣6．
故选：B．
【点评】本题考查一元二次方程的定义和解一元二次方程．根据一元二次方程的定义得出关于m的关系式是解题关键．
9．要确定方程x2+x﹣5＝0的解，只需知道一次函数y＝x+1和反比例函数的图象交点的横坐标．由上面的信息可知，k的值为（ ）
A．1 B．﹣1 C．5 D．﹣5
【分析】一次函数y＝x+1和反比例函数的图象交点的横坐标是方程x+1＝的解，整理后与方程x2+x﹣5＝0比较即可求得结论．
解：∵一次函数y＝x+1和反比例函数的图象交点的横坐标是方程x+1＝的解，
方程x+1＝整理得，x2+x﹣k＝0，
由题意可知，k＝5，
故选：C．
【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，掌握函数与方程的关系，明确一次函数y＝x+1和反比例函数的图象交点的横坐标是方程x+1＝的解是解题的关键．
10．如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，若在AC，AB上各取一点M，N，使BM+MN的值最小，求这个最小值（ ）
A． B． C． D．
【分析】由对称性可得AB＝AH＝4，HM＝BM，BO＝HO，可得MN+BM＝HM+MN，则当点H，点M，点N共线且HN⊥AB时，MN+BM的最小值为HN，根据三角形的面积公式可求HN的长，即可求解．
解：如图，作点B关于AC的对称点H，连接HB，交AC于O，连接AH，HM，过点H作HN⊥AB于N，
∴AB＝AH＝4，HM＝BM，BO＝HO，
∴MN+BM＝HM+MN，
∴当点H，点M，点N共线且HN⊥AB时，MN+BM的最小值为HN，
∵AB＝4，BC＝3，
∴AC＝＝＝5，
∵S△ABC＝×AB×BC＝AC×BO，
∴BO＝＝，
∴BH＝，
∵OC＝＝，
∴，
∴S△ABH＝AB•HN＝BH•AO，
∴HN＝＝，
∴MN+BM的最小值为，
故选：D．
【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，矩形的性质，三角形的面积公式，勾股定理等知识，利用面积法求出BO是解题的关键．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．当x＝2时，二次根式的值为 3 ．
【分析】直接把x的值代入进而化简得出答案．
解：当x＝2时，二次根式的值为：＝＝3．
故答案为：3．
【点评】此题主要考查了二次根式的定义，正确化简二次根式是解题关键．
12．若一个多边形每一个外角都等于36°，则这个多边形有 10 条边．
【分析】多边形的外角和是固定的360°，依此可以求出多边形的边数．
解：∵一个多边形的每个外角都等于36°，
∴多边形的边数为360°÷36°＝10．
即该多边形由10条边．
故答案是：10．
【点评】本题主要考查了多边形的外角和定理：多边形的外角和是360°．
13．甲、乙两名队员参加10次射击训练，他们的成绩的折线统计图如图，在这10次射击中，成绩更稳定的是 乙 ．（填“甲”或“乙”）
【分析】利用折线统计图可判断甲队员的成绩波动较大，然后根据方差的意义可得到甲乙的方差的大小．
解：由折线统计图得甲队员的成绩波动较大，
所以S甲2＜S乙2．
故答案为：乙．
【点评】本题考查了折线统计图：折线图是用一个单位表示一定的数量，根据数量的多少描出各点，然后把各点用线段依次连接起来．以折线的上升或下降来表示统计数量增减变化．折线图不但可以表示出数量的多少，而且能够清楚地表示出数量的增减变化情况．也考查了方差的意义．
14．若a是方程2x2﹣x﹣5＝0的一个根，则代数式2a﹣4a2+1的值是 ﹣9 ．
【分析】由题意可得2a2﹣a＝5，再由2a﹣4a2+1＝﹣2（2a2﹣a）+1，即可求解．
解：∵a是方程2x2﹣x﹣5＝0的一个根，
∴2a2﹣a﹣5＝0，
∴2a2﹣a＝5，
∴4a2﹣2a＝10，
∴2a﹣4a2+1＝﹣10+1＝﹣9，
故答案为：﹣9．
【点评】本题考查一元二次方程的解与一元二次方程的关系，恰当的变形是解题的关键．
15．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，BE∥AC，AE∥BD，OE与AB交于点F．若OE＝5，AC＝8，则菱形ABCD的高为 ．
【分析】证四边形AEBO为平行四边形，再由菱形的性质得∠AOB＝90°，则四边形AEBO是矩形，然后由勾股定理得OB＝3，则BD＝6，然后由菱形的面积公式解答即可．
解：∵BE∥AC，AE∥BD，
∴四边形AEBO是平行四边形，
又∵菱形ABCD对角线交于点O，
∴OA＝AC＝4，OB＝OD，AC⊥BD，
∴∠AOB＝90°．
∴平行四边形AOBE是矩形，
∴AB＝OE＝5，
∴OB＝＝＝3，
∴BD＝2OB＝6，
设菱形ABCD的高为h，
∴S菱形ABCD＝AC•BD＝AB•h，
∴h＝＝，
即菱形ABCD的高为，
故答案为：．
【点评】本题考查了矩形的判定和性质，菱形的性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．
16．如图，直线AC与反比例函数y＝（k＞0）的图象相交于A、C两点，与x轴交于点D，过点D作DE⊥x轴交反比例函数y＝（k＞0）的图象于点E，连结CE，点B为y轴上一点，满足AB＝AC，且BC恰好平行于x轴．若S△DCE＝1，则k的值为 6 ．
【分析】由等腰三角形的性质可得BF＝FC，即点C的横坐标是点A横坐标的2倍，可设点A的坐标，进而得出点C的坐标，由点A、点C的纵坐标得出AF＝CN，进而利用全等三角形得出点E的横坐标为3a，利用反比例函数图象上点的坐标特征得出点E的纵坐标，再利用三角形的面积可得k的值．
解：如图，过点A作AM⊥x轴，交BC于点F，垂足为M，过点C作CN⊥x轴，垂足为N，
∵AB＝AC，
∴BF＝FC，
由于点A、点C在反比例函数y＝的图象上，
可设点A（a，），即BF＝OM＝a，AM＝，
∴ON＝BC＝2BF＝2a，
∴点C（2a，），即CN＝，
∴AF＝AM﹣CN＝，
∴AF＝CN，
在△AFC和△CND中，
，
∴△AFC≌△CND（AAS），
∴FC＝ND＝a，
∴点E的横坐标为3a，
又∵点E在反比例函数y＝的图象上，
∴点E的纵坐标为，
即DE＝，
∵S△DCE＝1，即DE•ND＝1，
∴××a＝1，
∴k＝6，
故答案为：6．
【点评】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，以及一次函数与反比例函数的交点坐标，利用坐标表示线段的长是解决问题的关键．
三、解答题（共52分）
17．计算：（1）；
（2）．
【分析】（1）根据完全平方公式计算即可；
（2）先化简，然后合并同类二次根式即可．
解：（1）
＝12+4+5
＝17+4；
（2）
＝2﹣+
＝．
【点评】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
18．解方程：（1）4x2＝12x；
（2）x2+4x+3＝0．
【分析】（1）先把方程化为一般式，再利用因式分解法把方程转化为4x＝0或x﹣3＝0，然后解两个一次方程即可；
（2）利用因式分解法把方程转化为x+3＝0或x+1＝0，然后解两个一次方程即可．
解：（1）4x2＝12x，
4x2﹣12x＝0，
4x（x﹣3）＝0，
4x＝0或x﹣3＝0，
所以x1＝0，x2＝3；
（2）x2+4x+3＝0，
（x+3）（x+1）＝0，
x+3＝0或x+1＝0，
所以x1＝﹣3，x2＝﹣1．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
19．某实验中学八年级甲、乙两班分别选5名同学参加“学雷锋读书活动”演讲比赛，其预赛成绩如图所示：
（1）根据上图填写下表：
平均数
众数
中位数
方差
甲班
8.5
8.5
8.5
0.7
乙班
8.5
10
8
1.6
（2）请你分别从平均数、众数、中位数和方差四个方面评价甲、乙两班的预赛成绩，并说明你的理由；
（3）乙班小明说：“我的成绩是中等水平”，你知道他是几号选手？
【分析】（1）根据众数和中位数的定义及公式分别进行解答即可；
（2）从平均数、中位数、众数、方差四个角度分别进行分析即可；
（3）根据中位数的定义即可得出答案；
解：（1）把甲班的成绩从小到大排列，最中间的数是8.5，则中位数是8.5；
由题意可知，乙班的众数是10；
故答案为：8.5；10；
（2）从平均数看，因两班平均数相同，则甲、乙班的成绩一样好；
从中位数看，甲的中位数高，所以甲班的成绩较好；
从众数看，乙班的分数高，所以乙班成绩较好；
从方差看，甲班的方差小，所以甲班的成绩更稳定；
（3）因为乙班的成绩的中位数是8，所以小明的成绩是8分，则小明是5号选手．
【点评】此题考查了方差、平均数、众数和中位数：一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为，则方差S2＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
20．某租赁公司拥有汽车100辆，据统计，当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出．每辆车的月租金每增加50元，未租出的车将增加1辆，租出的车每辆每月的维护费为150元，未租出的车每两每月只需维护费50元
（1）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆？
（2）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益（租金收入扣除维护费）可达到306600元？
【分析】（1）第一问思路很简单，可这样做（3600﹣3000）÷50＝12（辆），100﹣12＝88
（2）第2问设租金定位是x元租赁公司的月收益（租金收入扣除维护费）可达到306600元，那么租出的车为（100﹣），租金就为（100﹣）x，租出的车每辆每月的维护费为150（100﹣），未租出的车每两每月需维护费50（）根据月收益就可列方程了．
解：（1）（3600﹣3000）÷50＝12（辆），100﹣12＝88 （辆）
当每辆车的月租金定为3600元时，能租出88辆．
（2）设租金定位是x元租赁公司的月收益（租金收入扣除维护费）可达到306600元
（100﹣）x﹣150（100﹣）﹣50（）＝306600
x2﹣8100x+16380000＝0
x＝3900或x＝4200
答：当租金定为3900元或4200元的时候可以．
【点评】解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．本题的关键是用租金x表示出租的车辆数．
21．如图1，在正方形ABCD中，AD＝4，点E是AD的中点，以DE为边作正方形DEFG，连接AG、CE．将正方形DEFG绕点D顺时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜90°）．
（1）如图2，在旋转过程中，判断△AGD与△CED是否全等，并说明理由；
（2）如图3，延长CE交直线AG于点P．
①求证：AG⊥CP；
②在旋转过程中，线段PC的长度是否存在最大值？若存在，求出最大值：若不存在，请说明理由．
【分析】（1）先判断出DG＝DE，AD＝CD，∠EDG＝∠CDA＝90°，进而判断出∠ADG＝∠CDE，即可得出结论；
（2）①由（1）知，△ADG≌△CDE（SAS），得出∠DAG＝∠DCE，即可得出结论；
②判断出当DE⊥PC时，∠ACP的值最小，此时PC的值最大，此时点F与P重合，最后用勾股定理求解即可求出答案．
【解答】（1）解：△AGD≌△CED；理由：
∵四边形ABCD和四边形DEFG是正方形，
∴DG＝DE，AD＝CD，∠EDG＝∠CDA＝90°，
∴∠EDG﹣∠ADG＝∠CDA﹣∠ADE，
∴∠ADG＝∠CDE，
在△AGD和△CED中，
，
∴△ADG≌△CDE（SAS）；
（2）①证明：如图3，
CP与AD的交点记作点O，
由（1）知，△ADG≌△CDE（SAS），
∴∠DAG＝∠DCE，
∵∠ADC＝90°，
∴∠DCO+∠COD＝90°，
∵∠AOP＝∠COD，
∴∠DAG+∠AOP＝90°，
∴∠APO＝90°，
∴AG⊥CP；
②如图4，连接AC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC＝90°，CD＝AD＝4，
在Rt△ADC中，AC＝AD＝4，
∵∠CPA＝90°，
∴当∠ACP最小时，PC的值最大，
∴当DE⊥PC时，∠ACP的值最小，此时PC的值最大，此时点F与P重合（如图4中），
由题意知，DE＝AD＝2，
∴EC＝＝＝2，
∵EF＝DE＝2，
∴CP＝CE+EF＝2+2，
∴PC的最大值为2+2．
【点评】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会寻找特殊位置解决最值问题，属于中考压轴题．
22．如图1，已知A（﹣1，0），B（0，﹣2），平行四边形ABCD的边AD、BC分别与y轴、x轴交于点E、F，且点E为AD中点，双曲线y＝（k为常数，k≠0）经过C、D两点．
（1）求k的值；
（2）如图2，点G是y轴正半轴上的一个动点，过点G作y轴的垂线，分别交反比例函数y＝（k为常数，k≠0）图象于点M，交反比例函数y＝﹣（x＜0）的图象于点N，当FM＝FN时，求G点坐标；
（3）点P在双曲线y＝上，点Q在y轴上，若以点A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，试求出满足要求的所有点Q的坐标．
【分析】（1）设D（1，t），由DC∥AB，可知C（2，t﹣2），再根据反比例函数的性质求出t的值即可；
（2）待定系数法求得直线BC的解析式为y＝2x﹣2，当y＝0时，x＝1，得到OF＝1，设点G的坐标为（0，m），得到M（，m），N（﹣，m），根据等腰三角形的性质列方程即可得到结论；
（3）由（1）知k＝4可知反比例函数的解析式为y＝，再由点P在双曲线y＝上，点Q在y轴上，设Q（0，y），P（x，），再分以AB为边和以AB为对角线两种情况求出x的值，故可得出P、Q的坐标．
解：（1）∵A（﹣1，0），B（0，﹣2），E为AD中点，
∴xD＝1，
设D（1，t），
又∵DC∥AB，
∴C（2，t﹣2），
∴t＝2t﹣4，
∴t＝4，
∴k＝4；
（2）由（1）得C（2，2），
∵B（0，﹣2），
∴直线BC的解析式为y＝2x﹣2，
当y＝0时，x＝1，
∴F（1，0），
∴OF＝1，
设点G的坐标为（0，m），
∵MN∥x轴，
∴M（，m），N（﹣，m），
∵FM＝FN，
∴1﹣（﹣）＝﹣1，
解得：m＝或m＝0（不合题意舍去），
∴点G的坐标为（0，）；
（3）∵由（1）知k＝4，
∴反比例函数的解析式为y＝，
∵点P在双曲线上，点Q在y轴上，
∴设Q（0，y），P（x，），
①当AB为边时：
如图1，若ABPQ为平行四边形，
则＝0，
解得x＝1，
此时P1（1，4），Q1（0，6）；
如图2，若ABQP为平行四边形，
则＝，
解得x＝﹣1，
此时P2（﹣1，﹣4），Q2（0，﹣6）；
②如图3，当AB为对角线时，
AP＝BQ，且AP∥BQ；
∴＝，
解得x＝﹣1，
∴P3（﹣1，﹣4），Q3（0，2）；
故点Q的坐标为（0，6）或（0，﹣6）或（0，2）．
【点评】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法求反比例函数的解析式、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等相关知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
2022-2023学年浙江省宁波十五中八年级（下）期中数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分．在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．下列二次根式中，能与合并的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图是厨余垃圾、可回收物、有害垃圾和其他垃圾的标识，其中是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．若根式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＝2 B．x≠2 C．x＞2 D．x≥2
4．已知4个正数a1，a2，a3，a4的平均数是a，且a1＞a2＞a3＞a4，则数据a1，a2，0，a3，a4的平均数和中位数分别是（ ）
A．，0 B．，a3 C．a，0 D．a，a3
5．已知点A（1，y1），B（2，y2），C（﹣3，y3）都在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y3＜y1＜y2 B．y1＜y2＜y3 C．y2＜y1＜y3 D．y3＜y2＜y1
6．已知四边形ABCD是平行四边形，下列条件中能判定这个平行四边形为矩形的是（ ）
A．∠A＝∠B B．∠A＝∠C C．AB＝BC D．AC⊥BD
7．电影《长津湖》上映以来，全国票房连创佳绩．据不完全统计，某市第一天票房约2亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达18亿元，将增长率记作x，则方程可以列为（ ）
A．2+2x+2x2＝18 B．2（1+x）2＝18
C．（1+x）2＝18 D．2+2（1+x）+2（1+x）2＝18
8．方程是关于x的一元二次方程，则m的值为（ ）
A．1 B．﹣6 C．6 D．1或﹣6
9．要确定方程x2+x﹣5＝0的解，只需知道一次函数y＝x+1和反比例函数的图象交点的横坐标．由上面的信息可知，k的值为（ ）
A．1 B．﹣1 C．5 D．﹣5
10．如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，若在AC，AB上各取一点M，N，使BM+MN的值最小，求这个最小值（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．当x＝2时，二次根式的值为 ．
12．若一个多边形每一个外角都等于36°，则这个多边形有 条边．
13．甲、乙两名队员参加10次射击训练，他们的成绩的折线统计图如图，在这10次射击中，成绩更稳定的是 ．（填“甲”或“乙”）
14．若a是方程2x2﹣x﹣5＝0的一个根，则代数式2a﹣4a2+1的值是 ．
15．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，BE∥AC，AE∥BD，OE与AB交于点F．若OE＝5，AC＝8，则菱形ABCD的高为 ．
16．如图，直线AC与反比例函数y＝（k＞0）的图象相交于A、C两点，与x轴交于点D，过点D作DE⊥x轴交反比例函数y＝（k＞0）的图象于点E，连结CE，点B为y轴上一点，满足AB＝AC，且BC恰好平行于x轴．若S△DCE＝1，则k的值为 ．
三、解答题（共52分）
17．计算：（1）；
（2）．
18．解方程：（1）4x2＝12x；
（2）x2+4x+3＝0．
19．某实验中学八年级甲、乙两班分别选5名同学参加“学雷锋读书活动”演讲比赛，其预赛成绩如图所示：
（1）根据上图填写下表：
平均数
众数
中位数
方差
甲班
8.5
8.5
0.7
乙班
8.5
8
1.6
（2）请你分别从平均数、众数、中位数和方差四个方面评价甲、乙两班的预赛成绩，并说明你的理由；
（3）乙班小明说：“我的成绩是中等水平”，你知道他是几号选手？
20．某租赁公司拥有汽车100辆，据统计，当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出．每辆车的月租金每增加50元，未租出的车将增加1辆，租出的车每辆每月的维护费为150元，未租出的车每两每月只需维护费50元
（1）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆？
（2）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益（租金收入扣除维护费）可达到306600元？
21．如图1，在正方形ABCD中，AD＝4，点E是AD的中点，以DE为边作正方形DEFG，连接AG、CE．将正方形DEFG绕点D顺时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜90°）．
（1）如图2，在旋转过程中，判断△AGD与△CED是否全等，并说明理由；
（2）如图3，延长CE交直线AG于点P．
①求证：AG⊥CP；
②在旋转过程中，线段PC的长度是否存在最大值？若存在，求出最大值：若不存在，请说明理由．
22．如图1，已知A（﹣1，0），B（0，﹣2），平行四边形ABCD的边AD、BC分别与y轴、x轴交于点E、F，且点E为AD中点，双曲线y＝（k为常数，k≠0）经过C、D两点．
（1）求k的值；
（2）如图2，点G是y轴正半轴上的一个动点，过点G作y轴的垂线，分别交反比例函数y＝（k为常数，k≠0）图象于点M，交反比例函数y＝﹣（x＜0）的图象于点N，当FM＝FN时，求G点坐标；
（3）点P在双曲线y＝上，点Q在y轴上，若以点A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，试求出满足要求的所有点Q的坐标．
参考答案
一、选择题（每小题3分，共30分．在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．下列二次根式中，能与合并的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据同类二次根式的定义：化成最简二次根式后，被开方数相同的是同类二次根式，即可解答．
解：A、与不能合并，故A不符合题意；
B、与不能合并，故B不符合题意；
C、＝3，与不能合并，故C不符合题意；
D、＝2，与能合并，故D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了同类二次根式，先把每一个二次根式化成最简二次根式是解题的关键．
2．如图是厨余垃圾、可回收物、有害垃圾和其他垃圾的标识，其中是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心进行分析．
解：选项B能找到这样的一个点，使图形绕这一点旋转180°后原来的图形重合，所以是中心对称图形；
选项A、C、D不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后原来的图形重合，所以不是中心对称图形；
故选：B．
【点评】此题主要考查了中心对称图形，关键是掌握中心对称图形的定义．
3．若根式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＝2 B．x≠2 C．x＞2 D．x≥2
【分析】根据被开方数大于等于0列不等式求解即可．
解：由题意得，x﹣2≥0，
解得x≥2．
故选：D．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
4．已知4个正数a1，a2，a3，a4的平均数是a，且a1＞a2＞a3＞a4，则数据a1，a2，0，a3，a4的平均数和中位数分别是（ ）
A．，0 B．，a3 C．a，0 D．a，a3
【分析】直接利用平均数求法，总数÷数据个数＝平均数，再利用中位数的定义，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数，即可得出答案．
解：由平均数定义可知：（a1+a2+0+a3+a4）＝×4a＝a；
将这组数据按从小到大排列为0，a4，a3，a2，a1；
由于有奇数个数，取最中间的数，
∴其中位数为a3．
故选：B．
【点评】此题主要考查了中位数和算术平均数，正确掌握定义是解题关键．
5．已知点A（1，y1），B（2，y2），C（﹣3，y3）都在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y3＜y1＜y2 B．y1＜y2＜y3 C．y2＜y1＜y3 D．y3＜y2＜y1
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征，分别计算出y1＝k，y2＝k，y3＝﹣k，然后在k＞0的条件下比较它们的大小即可．
解：根据题意得1•y1＝k，2•y2＝k，﹣3•y3＝k，
所以y1＝k，y2＝k，y3＝﹣k，
而k＞0，
所以y3＜y2＜y1．
故选：D．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y＝（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k．
6．已知四边形ABCD是平行四边形，下列条件中能判定这个平行四边形为矩形的是（ ）
A．∠A＝∠B B．∠A＝∠C C．AB＝BC D．AC⊥BD
【分析】由矩形的判定和平行四边形的性质分别对各个选项进行判断即可．
解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B+∠A＝180°，
∵∠A＝∠B，
∴∠A＝∠B＝90°，
∴平行四边形ABCD是矩形，故选项A符合题意；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C，
∴选项B不能判定这个平行四边形为矩形，故选项B不符合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝BC，
∴平行四边形ABCD是菱形，故选项C不符合题意；
D、∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD是菱形，故选项D不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了矩形的判定、菱形的判定、平行四边形的性质等知识，熟练掌握矩形的判定是解题的关键．
7．电影《长津湖》上映以来，全国票房连创佳绩．据不完全统计，某市第一天票房约2亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达18亿元，将增长率记作x，则方程可以列为（ ）
A．2+2x+2x2＝18 B．2（1+x）2＝18
C．（1+x）2＝18 D．2+2（1+x）+2（1+x）2＝18
【分析】第一天为2，根据增长率为x得出第二天为2（1+x），第三天为2（1+x）2，根据三天累计为18，即可得出关于x的一元二次方程．
解：设平均每天票房的增长率为x，
根据题意得：2+2（1+x）+2（1+x）2＝18．
故选：D．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
8．方程是关于x的一元二次方程，则m的值为（ ）
A．1 B．﹣6 C．6 D．1或﹣6
【分析】根据一元二次方程的定义可得出，解出m的值即可．
解：根据题意可知，
解得：m＝﹣6．
故选：B．
【点评】本题考查一元二次方程的定义和解一元二次方程．根据一元二次方程的定义得出关于m的关系式是解题关键．
9．要确定方程x2+x﹣5＝0的解，只需知道一次函数y＝x+1和反比例函数的图象交点的横坐标．由上面的信息可知，k的值为（ ）
A．1 B．﹣1 C．5 D．﹣5
【分析】一次函数y＝x+1和反比例函数的图象交点的横坐标是方程x+1＝的解，整理后与方程x2+x﹣5＝0比较即可求得结论．
解：∵一次函数y＝x+1和反比例函数的图象交点的横坐标是方程x+1＝的解，
方程x+1＝整理得，x2+x﹣k＝0，
由题意可知，k＝5，
故选：C．
【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，掌握函数与方程的关系，明确一次函数y＝x+1和反比例函数的图象交点的横坐标是方程x+1＝的解是解题的关键．
10．如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，若在AC，AB上各取一点M，N，使BM+MN的值最小，求这个最小值（ ）
A． B． C． D．
【分析】由对称性可得AB＝AH＝4，HM＝BM，BO＝HO，可得MN+BM＝HM+MN，则当点H，点M，点N共线且HN⊥AB时，MN+BM的最小值为HN，根据三角形的面积公式可求HN的长，即可求解．
解：如图，作点B关于AC的对称点H，连接HB，交AC于O，连接AH，HM，过点H作HN⊥AB于N，
∴AB＝AH＝4，HM＝BM，BO＝HO，
∴MN+BM＝HM+MN，
∴当点H，点M，点N共线且HN⊥AB时，MN+BM的最小值为HN，
∵AB＝4，BC＝3，
∴AC＝＝＝5，
∵S△ABC＝×AB×BC＝AC×BO，
∴BO＝＝，
∴BH＝，
∵OC＝＝，
∴，
∴S△ABH＝AB•HN＝BH•AO，
∴HN＝＝，
∴MN+BM的最小值为，
故选：D．
【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，矩形的性质，三角形的面积公式，勾股定理等知识，利用面积法求出BO是解题的关键．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．当x＝2时，二次根式的值为 3 ．
【分析】直接把x的值代入进而化简得出答案．
解：当x＝2时，二次根式的值为：＝＝3．
故答案为：3．
【点评】此题主要考查了二次根式的定义，正确化简二次根式是解题关键．
12．若一个多边形每一个外角都等于36°，则这个多边形有 10 条边．
【分析】多边形的外角和是固定的360°，依此可以求出多边形的边数．
解：∵一个多边形的每个外角都等于36°，
∴多边形的边数为360°÷36°＝10．
即该多边形由10条边．
故答案是：10．
【点评】本题主要考查了多边形的外角和定理：多边形的外角和是360°．
13．甲、乙两名队员参加10次射击训练，他们的成绩的折线统计图如图，在这10次射击中，成绩更稳定的是 乙 ．（填“甲”或“乙”）
【分析】利用折线统计图可判断甲队员的成绩波动较大，然后根据方差的意义可得到甲乙的方差的大小．
解：由折线统计图得甲队员的成绩波动较大，
所以S甲2＜S乙2．
故答案为：乙．
【点评】本题考查了折线统计图：折线图是用一个单位表示一定的数量，根据数量的多少描出各点，然后把各点用线段依次连接起来．以折线的上升或下降来表示统计数量增减变化．折线图不但可以表示出数量的多少，而且能够清楚地表示出数量的增减变化情况．也考查了方差的意义．
14．若a是方程2x2﹣x﹣5＝0的一个根，则代数式2a﹣4a2+1的值是 ﹣9 ．
【分析】由题意可得2a2﹣a＝5，再由2a﹣4a2+1＝﹣2（2a2﹣a）+1，即可求解．
解：∵a是方程2x2﹣x﹣5＝0的一个根，
∴2a2﹣a﹣5＝0，
∴2a2﹣a＝5，
∴4a2﹣2a＝10，
∴2a﹣4a2+1＝﹣10+1＝﹣9，
故答案为：﹣9．
【点评】本题考查一元二次方程的解与一元二次方程的关系，恰当的变形是解题的关键．
15．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，BE∥AC，AE∥BD，OE与AB交于点F．若OE＝5，AC＝8，则菱形ABCD的高为 ．
【分析】证四边形AEBO为平行四边形，再由菱形的性质得∠AOB＝90°，则四边形AEBO是矩形，然后由勾股定理得OB＝3，则BD＝6，然后由菱形的面积公式解答即可．
解：∵BE∥AC，AE∥BD，
∴四边形AEBO是平行四边形，
又∵菱形ABCD对角线交于点O，
∴OA＝AC＝4，OB＝OD，AC⊥BD，
∴∠AOB＝90°．
∴平行四边形AOBE是矩形，
∴AB＝OE＝5，
∴OB＝＝＝3，
∴BD＝2OB＝6，
设菱形ABCD的高为h，
∴S菱形ABCD＝AC•BD＝AB•h，
∴h＝＝，
即菱形ABCD的高为，
故答案为：．
【点评】本题考查了矩形的判定和性质，菱形的性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．
16．如图，直线AC与反比例函数y＝（k＞0）的图象相交于A、C两点，与x轴交于点D，过点D作DE⊥x轴交反比例函数y＝（k＞0）的图象于点E，连结CE，点B为y轴上一点，满足AB＝AC，且BC恰好平行于x轴．若S△DCE＝1，则k的值为 6 ．
【分析】由等腰三角形的性质可得BF＝FC，即点C的横坐标是点A横坐标的2倍，可设点A的坐标，进而得出点C的坐标，由点A、点C的纵坐标得出AF＝CN，进而利用全等三角形得出点E的横坐标为3a，利用反比例函数图象上点的坐标特征得出点E的纵坐标，再利用三角形的面积可得k的值．
解：如图，过点A作AM⊥x轴，交BC于点F，垂足为M，过点C作CN⊥x轴，垂足为N，
∵AB＝AC，
∴BF＝FC，
由于点A、点C在反比例函数y＝的图象上，
可设点A（a，），即BF＝OM＝a，AM＝，
∴ON＝BC＝2BF＝2a，
∴点C（2a，），即CN＝，
∴AF＝AM﹣CN＝，
∴AF＝CN，
在△AFC和△CND中，
，
∴△AFC≌△CND（AAS），
∴FC＝ND＝a，
∴点E的横坐标为3a，
又∵点E在反比例函数y＝的图象上，
∴点E的纵坐标为，
即DE＝，
∵S△DCE＝1，即DE•ND＝1，
∴××a＝1，
∴k＝6，
故答案为：6．
【点评】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，以及一次函数与反比例函数的交点坐标，利用坐标表示线段的长是解决问题的关键．
三、解答题（共52分）
17．计算：（1）；
（2）．
【分析】（1）根据完全平方公式计算即可；
（2）先化简，然后合并同类二次根式即可．
解：（1）
＝12+4+5
＝17+4；
（2）
＝2﹣+
＝．
【点评】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
18．解方程：（1）4x2＝12x；
（2）x2+4x+3＝0．
【分析】（1）先把方程化为一般式，再利用因式分解法把方程转化为4x＝0或x﹣3＝0，然后解两个一次方程即可；
（2）利用因式分解法把方程转化为x+3＝0或x+1＝0，然后解两个一次方程即可．
解：（1）4x2＝12x，
4x2﹣12x＝0，
4x（x﹣3）＝0，
4x＝0或x﹣3＝0，
所以x1＝0，x2＝3；
（2）x2+4x+3＝0，
（x+3）（x+1）＝0，
x+3＝0或x+1＝0，
所以x1＝﹣3，x2＝﹣1．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
19．某实验中学八年级甲、乙两班分别选5名同学参加“学雷锋读书活动”演讲比赛，其预赛成绩如图所示：
（1）根据上图填写下表：
平均数
众数
中位数
方差
甲班
8.5
8.5
8.5
0.7
乙班
8.5
10
8
1.6
（2）请你分别从平均数、众数、中位数和方差四个方面评价甲、乙两班的预赛成绩，并说明你的理由；
（3）乙班小明说：“我的成绩是中等水平”，你知道他是几号选手？
【分析】（1）根据众数和中位数的定义及公式分别进行解答即可；
（2）从平均数、中位数、众数、方差四个角度分别进行分析即可；
（3）根据中位数的定义即可得出答案；
解：（1）把甲班的成绩从小到大排列，最中间的数是8.5，则中位数是8.5；
由题意可知，乙班的众数是10；
故答案为：8.5；10；
（2）从平均数看，因两班平均数相同，则甲、乙班的成绩一样好；
从中位数看，甲的中位数高，所以甲班的成绩较好；
从众数看，乙班的分数高，所以乙班成绩较好；
从方差看，甲班的方差小，所以甲班的成绩更稳定；
（3）因为乙班的成绩的中位数是8，所以小明的成绩是8分，则小明是5号选手．
【点评】此题考查了方差、平均数、众数和中位数：一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为，则方差S2＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
20．某租赁公司拥有汽车100辆，据统计，当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出．每辆车的月租金每增加50元，未租出的车将增加1辆，租出的车每辆每月的维护费为150元，未租出的车每两每月只需维护费50元
（1）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆？
（2）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益（租金收入扣除维护费）可达到306600元？
【分析】（1）第一问思路很简单，可这样做（3600﹣3000）÷50＝12（辆），100﹣12＝88
（2）第2问设租金定位是x元租赁公司的月收益（租金收入扣除维护费）可达到306600元，那么租出的车为（100﹣），租金就为（100﹣）x，租出的车每辆每月的维护费为150（100﹣），未租出的车每两每月需维护费50（）根据月收益就可列方程了．
解：（1）（3600﹣3000）÷50＝12（辆），100﹣12＝88 （辆）
当每辆车的月租金定为3600元时，能租出88辆．
（2）设租金定位是x元租赁公司的月收益（租金收入扣除维护费）可达到306600元
（100﹣）x﹣150（100﹣）﹣50（）＝306600
x2﹣8100x+16380000＝0
x＝3900或x＝4200
答：当租金定为3900元或4200元的时候可以．
【点评】解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．本题的关键是用租金x表示出租的车辆数．
21．如图1，在正方形ABCD中，AD＝4，点E是AD的中点，以DE为边作正方形DEFG，连接AG、CE．将正方形DEFG绕点D顺时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜90°）．
（1）如图2，在旋转过程中，判断△AGD与△CED是否全等，并说明理由；
（2）如图3，延长CE交直线AG于点P．
①求证：AG⊥CP；
②在旋转过程中，线段PC的长度是否存在最大值？若存在，求出最大值：若不存在，请说明理由．
【分析】（1）先判断出DG＝DE，AD＝CD，∠EDG＝∠CDA＝90°，进而判断出∠ADG＝∠CDE，即可得出结论；
（2）①由（1）知，△ADG≌△CDE（SAS），得出∠DAG＝∠DCE，即可得出结论；
②判断出当DE⊥PC时，∠ACP的值最小，此时PC的值最大，此时点F与P重合，最后用勾股定理求解即可求出答案．
【解答】（1）解：△AGD≌△CED；理由：
∵四边形ABCD和四边形DEFG是正方形，
∴DG＝DE，AD＝CD，∠EDG＝∠CDA＝90°，
∴∠EDG﹣∠ADG＝∠CDA﹣∠ADE，
∴∠ADG＝∠CDE，
在△AGD和△CED中，
，
∴△ADG≌△CDE（SAS）；
（2）①证明：如图3，
CP与AD的交点记作点O，
由（1）知，△ADG≌△CDE（SAS），
∴∠DAG＝∠DCE，
∵∠ADC＝90°，
∴∠DCO+∠COD＝90°，
∵∠AOP＝∠COD，
∴∠DAG+∠AOP＝90°，
∴∠APO＝90°，
∴AG⊥CP；
②如图4，连接AC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC＝90°，CD＝AD＝4，
在Rt△ADC中，AC＝AD＝4，
∵∠CPA＝90°，
∴当∠ACP最小时，PC的值最大，
∴当DE⊥PC时，∠ACP的值最小，此时PC的值最大，此时点F与P重合（如图4中），
由题意知，DE＝AD＝2，
∴EC＝＝＝2，
∵EF＝DE＝2，
∴CP＝CE+EF＝2+2，
∴PC的最大值为2+2．
【点评】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会寻找特殊位置解决最值问题，属于中考压轴题．
22．如图1，已知A（﹣1，0），B（0，﹣2），平行四边形ABCD的边AD、BC分别与y轴、x轴交于点E、F，且点E为AD中点，双曲线y＝（k为常数，k≠0）经过C、D两点．
（1）求k的值；
（2）如图2，点G是y轴正半轴上的一个动点，过点G作y轴的垂线，分别交反比例函数y＝（k为常数，k≠0）图象于点M，交反比例函数y＝﹣（x＜0）的图象于点N，当FM＝FN时，求G点坐标；
（3）点P在双曲线y＝上，点Q在y轴上，若以点A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，试求出满足要求的所有点Q的坐标．
【分析】（1）设D（1，t），由DC∥AB，可知C（2，t﹣2），再根据反比例函数的性质求出t的值即可；
（2）待定系数法求得直线BC的解析式为y＝2x﹣2，当y＝0时，x＝1，得到OF＝1，设点G的坐标为（0，m），得到M（，m），N（﹣，m），根据等腰三角形的性质列方程即可得到结论；
（3）由（1）知k＝4可知反比例函数的解析式为y＝，再由点P在双曲线y＝上，点Q在y轴上，设Q（0，y），P（x，），再分以AB为边和以AB为对角线两种情况求出x的值，故可得出P、Q的坐标．
解：（1）∵A（﹣1，0），B（0，﹣2），E为AD中点，
∴xD＝1，
设D（1，t），
又∵DC∥AB，
∴C（2，t﹣2），
∴t＝2t﹣4，
∴t＝4，
∴k＝4；
（2）由（1）得C（2，2），
∵B（0，﹣2），
∴直线BC的解析式为y＝2x﹣2，
当y＝0时，x＝1，
∴F（1，0），
∴OF＝1，
设点G的坐标为（0，m），
∵MN∥x轴，
∴M（，m），N（﹣，m），
∵FM＝FN，
∴1﹣（﹣）＝﹣1，
解得：m＝或m＝0（不合题意舍去），
∴点G的坐标为（0，）；
（3）∵由（1）知k＝4，
∴反比例函数的解析式为y＝，
∵点P在双曲线上，点Q在y轴上，
∴设Q（0，y），P（x，），
①当AB为边时：
如图1，若ABPQ为平行四边形，
则＝0，
解得x＝1，
此时P1（1，4），Q1（0，6）；
如图2，若ABQP为平行四边形，
则＝，
解得x＝﹣1，
此时P2（﹣1，﹣4），Q2（0，﹣6）；
②如图3，当AB为对角线时，
AP＝BQ，且AP∥BQ；
∴＝，
解得x＝﹣1，
∴P3（﹣1，﹣4），Q3（0，2）；
故点Q的坐标为（0，6）或（0，﹣6）或（0，2）．
【点评】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法求反比例函数的解析式、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等相关知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
相关试卷
2022-2023学年浙江省宁波市鄞州区八年级（下）期中数学试卷(含解析）： 这是一份2022-2023学年浙江省宁波市鄞州区八年级（下）期中数学试卷(含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年浙江省宁波十五中七年级（下）期中数学试卷： 这是一份2022-2023学年浙江省宁波十五中七年级（下）期中数学试卷，共16页。试卷主要包含了 下列运算正确的是等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年浙江省宁波七中教育集团八年级（下）期中数学试卷（含解析）： 这是一份2022-2023学年浙江省宁波七中教育集团八年级（下）期中数学试卷（含解析），共22页。试卷主要包含了 矩形一定具有的性质是等内容，欢迎下载使用。
