2022-2023学年浙江省宁波市镇海区仁爱中学八年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年浙江省宁波市镇海区仁爱中学八年级（下）期中数学试卷（含解析），共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年浙江省宁波市镇海区仁爱中学八年级（下）期中数学试卷
一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分）
1．志愿服务，传递爱心，传递文明，下列志愿服务标志为中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．如果反比例函数图象经过点（4，﹣2），则这个反比例函数的解析式为（　　）
A． B． C． D．
3．用配方法解方程x2+2x﹣1＝0时，配方结果正确的是（　　）
A．（x+2）2＝2 B．（x+1）2＝2 C．（x+2）2＝3 D．（x+1）2＝3
4．一组数据6，4，3，a，5，2的平均数是4，则这组数据的众数为（　　）
A．3 B． C．4 D．5
5．牛顿曾说过：“反证法是数学家最精良的武器之一．”那么我们用反证法证明：“在同一平面内，若a⊥b，c⊥b，则a∥c”时，首先应假设（　　）
A．a∥b B．c∥b C．a与b相交 D．a与c相交
6．电影《流浪地球2》于2023年1月22日在中国上映，第一天票房约4亿，以后每天票房按相同的增长率增长，第三天票房约6亿，若把增长率记作x，则方程可以列为（　　）
A．4（1+x）＝6 B．4（1+x）2＝6
C．4+4（1+x）＝6 D．4+4（1+x）+4（1+x）2＝6
7．若关于m的一元二次方程2x2+4x+m﹣1＝0有实数根，则实数m的取值范围是（　　）
A．m＜3 B．m≤3 C．m＞3 D．m≥3
8．如图菱形ABCD中，∠B＝40°，点E是AB边上一点，将△BEC沿CE翻折，点B恰好落在边DA延长线上的F处，则∠BCE的度数是（　　）

A．20° B．25° C．30° D．35°
9．如图，分别过反比例函数图象上的点P1（1，y1），P2（2，y2），…Pn（n，yn），作x轴的垂线，垂足分别为A1，A2，…An，连结A1P2，A2P3，…An﹣1Pn，再以A1P1，A1P2为一组邻边画一个平行四边形A1P1B1P2，以A2P2，A2P3为一组邻边画一个平行四边形A2P2B2P3……，以此类推，则点B20的坐标是（　　）

A． B． C． D．
10．如图，在矩形ABCD的外部有四个全等的直角三角形，分别为△AEB，△BFG，△CGD，△DHE，连结EC，DF交于点O，若＝，则的值为（　　）

A． B． C． D．
二、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分）
11．使二次根式有意义的x的取值范围是　 　．
12．一个五边形的内角和是　 　．
13．在△ABC中，点D、E分别是AC，BC的中点，以A为圆心，AD为半径作圆弧交AB于点F，若AD＝8，DE＝7，则BF的长为 　 　．

14．已知关于x的方程x2+mx+n＝0的两个根分别为﹣3和2，则m+n的值为 　 　．
15．如图，在平面直角坐标系中，等边三角形ABC的一条边AB⊥x轴于点B，经过点A的反比例函数 的图象交BC于点D，连结OA，OC，若点D是BC中点，△OAC的面积为3，则k的值为 　 　．

16．如图，四边形ABCD为矩形，连结BD，将矩形ABCD绕点B旋转至矩形A′BC′D′使得边A′D′经过BD中点O，并交BC于点E，若D′E＝2A′O，则的值为 　 　．

三、解答题（本题有8小题，共80分）
17．（1）计算：；
（2）解方程：2x2﹣7x＝0．
18．如图是由边长为1的小正方形构成的6×6的网格，点A、B均在格点上．（1）在图1中画一个以线段AB为对角线的正方形ACBD，点C、D为格点；
（2）在图2中画一个以线段AB为边且面积为整数的平行四边形ABEF，点E、F为格点．
​

19．为积极准备初三体育中考，某学校从报考“引体向上”项目的男生中选取了若干同学，随机分成甲、乙两个小组，每组人数相同，进行“引体向上”体能测试，根据测试成绩绘制出统计表和如图所示的统计图（成绩均为整数，满分为10分）．
甲组成绩统计表
成绩/分
7
8
9
10
人数/人
1
9
5
5
（1）m＝　 　；甲组成绩的中位数 　 　乙组成绩的中位数（填“＞”“＜”或“＝”）；
（2）求甲组的平均成绩；
（3）计算出甲组成绩的方差为0.81，乙组成绩的方差为0.75，则成绩更加稳定的是 　 　组（填“甲”或“乙”）．

20．如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，且AO＝CO，点E在BD上，满足∠DAO＝∠ECO．
（1）求证：四边形AECD是平行四边形；
（2）若AB＝BC，若CD＝10，AC＝16，求四边形AECD的面积．

21．在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数 图象交于A，B两点，A点坐标为（﹣2，m）．
（1）分别求出k，m的值；
（2）连结OA、OB，求S△AOB的面积；
（3）根据图象，直接写出不等式的解集．

22．某商店从工厂购进A、B两款玩具，进货价和销售价如表：
类别
价格
A款玩具
B款玩具
进货价（元/件）
30
25
销售价（元/件）
42
35
（1）该商店用1720元从工厂进货A、B两款玩具共60件，求两款玩具分别购进个数；
（2）商店销售第一天，B款玩具便已售完，A款玩具只售出4件，因此商家决定对A款玩具降价销售，经调查发现，A款玩具每下降1元，平均每天可多销售2件，要想第二天A款玩具的利润为66元，则商家需降价多少元？
23．在正方形ABCD中，E、F为平面上两点．
【基础巩固】
（1）如图1，当点E在边AB上时，DE⊥DF，且B，C，F三点共线，求证：AE＝CF；
【类比应用】
（2）如图2，当点E在正方形ABCD外部时，DE⊥DF，AE⊥EF，且E、C、F三点共线，若AE＝2，CE＝4，求点D到直线EF的距离；
【拓展迁移】
（3）如图3，当点E在正方形ABCD外部时，AE⊥EC，AE⊥AF，DE⊥BE，且D，F，E三点共线，DE与AB交于G点，若DF＝3，AE＝2，求正方形ABCD的边长．
​

24．将一矩形纸片OABC放在直角坐标系xOy中，O为原点，点C在x轴正半轴上，点A（0，9），点C（15，0）．
（1）如图1，在OA上取一点E，将△EOC沿EC折叠，使O点落至AB边上的D点，求BD、ED的长度；
（2）如图2，在OA、OC边上选取适当的点M、F，将△MOF沿MF折叠，使O点落在AB边上的D′点，过D′作D′G⊥CO于点G，交MF于点T，求证：TG＝AM；
（3）在（2）的条件下，设T（x，y），当x＝6时，Q为坐标轴上一点，在直线MF上是否存在点P，使得以M、D′、Q、P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出P点坐标；若不存在，请说明理由．
​​


参考答案
一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分）
1．志愿服务，传递爱心，传递文明，下列志愿服务标志为中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可．
解：A．不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B．是中心对称图形，故此选项符合题意；
C．不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D．不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题主要考查了中心对称图形的定义，解题的关键在于能够熟练掌握中心对称图形的定义．
2．如果反比例函数图象经过点（4，﹣2），则这个反比例函数的解析式为（　　）
A． B． C． D．
【分析】设反比例函数解析式为y＝（k≠0），把点（4，﹣2）代入即可求得k的值．
解：设反比例函数解析式为y＝（k≠0），
∵函数经过点（4，﹣2），
∴k＝4×（﹣2）＝﹣8．
∴反比例函数解析式为y＝﹣．
故选：C．
【点评】本题考查的是用待定系数法求反比例函数的解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
3．用配方法解方程x2+2x﹣1＝0时，配方结果正确的是（　　）
A．（x+2）2＝2 B．（x+1）2＝2 C．（x+2）2＝3 D．（x+1）2＝3
【分析】把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数，判断出配方结果正确的是哪个即可．
解：∵x2+2x﹣1＝0，
∴x2+2x+1＝2，
∴（x+1）2＝2．
故选：B．
【点评】此题主要考查了配方法在解一元二次方程中的应用，要熟练掌握．
4．一组数据6，4，3，a，5，2的平均数是4，则这组数据的众数为（　　）
A．3 B． C．4 D．5
【分析】先根据算术平均数的定义列方程求出x的值，再依据众数的定义得出答案．
解：∵6，4，3，a，5，2的平均数是4，
∴6+a+4+3+5+2＝4×6，
解得a＝4，
所以这组数据为6，4，3，4，5，2，
则这组数据的众数为4，
故选：C．
【点评】本题主要考查众数和算术平均数，解题的关键是掌握众数和算术平均数的定义．
5．牛顿曾说过：“反证法是数学家最精良的武器之一．”那么我们用反证法证明：“在同一平面内，若a⊥b，c⊥b，则a∥c”时，首先应假设（　　）
A．a∥b B．c∥b C．a与b相交 D．a与c相交
【分析】根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答即可．
解：反证法证明命题“在同一平面内，若a⊥b，c⊥b，则a∥c”时，
首先应假设a与c不平行，即a与c相交．
故选：D．
【点评】本题考查的是反证法的应用，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤，在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
6．电影《流浪地球2》于2023年1月22日在中国上映，第一天票房约4亿，以后每天票房按相同的增长率增长，第三天票房约6亿，若把增长率记作x，则方程可以列为（　　）
A．4（1+x）＝6 B．4（1+x）2＝6
C．4+4（1+x）＝6 D．4+4（1+x）+4（1+x）2＝6
【分析】由该地第一天的票房及以后每天的增长率，可得出第二、三天的票房，根据三天后票房收入累计达6亿元，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
解：∵某地第一天票房约4亿元，且以后每天票房的增长率为x，
∴第二天票房约4（1+x）亿元，第三天票房约4（1+x）2亿元，
依题意得：4（1+x）2＝6．
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
7．若关于m的一元二次方程2x2+4x+m﹣1＝0有实数根，则实数m的取值范围是（　　）
A．m＜3 B．m≤3 C．m＞3 D．m≥3
【分析】根据根的判别式得出不等式，求出不等式的解集即可．
解：∵关于m的一元二次方程2x2+4x+m﹣1＝0有实数根，
∴Δ＝42﹣4×2×（m﹣1）＝16﹣8m+8≥0，
解得：m≤3，
故选：B．
【点评】本题考查了根的判别式和解一元一次不等式，根据根的判别式得出关于m的不等式是解此题的关键．
8．如图菱形ABCD中，∠B＝40°，点E是AB边上一点，将△BEC沿CE翻折，点B恰好落在边DA延长线上的F处，则∠BCE的度数是（　　）

A．20° B．25° C．30° D．35°
【分析】由四边形ABCD是菱形，得∠D＝∠B＝40°，BC＝CD，AD∥BC，根据将△BEC沿CE翻折，点B恰好落在边DA延长线上的F处，可得CF＝BC，∠BCE＝∠FCE＝∠BCF，即得CD＝CF，∠D＝∠CFD＝40°，故∠BCF＝∠CFD＝40°，∠BCE＝∠BCF＝20°．
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠D＝∠B＝40°，BC＝CD，AD∥BC，
∵将△BEC沿CE翻折，点B恰好落在边DA延长线上的F处，
∴CF＝BC，∠BCE＝∠FCE＝∠BCF，
∴CD＝CF，
∴∠D＝∠CFD＝40°，
∵AD∥BC，
∴∠BCF＝∠CFD＝40°，
∴∠BCE＝∠BCF＝20°，
故选：A．
【点评】本题考查菱形中的翻折问题，解题的关键是掌握翻折的性质，求出∠CFD＝40°．
9．如图，分别过反比例函数图象上的点P1（1，y1），P2（2，y2），…Pn（n，yn），作x轴的垂线，垂足分别为A1，A2，…An，连结A1P2，A2P3，…An﹣1Pn，再以A1P1，A1P2为一组邻边画一个平行四边形A1P1B1P2，以A2P2，A2P3为一组邻边画一个平行四边形A2P2B2P3……，以此类推，则点B20的坐标是（　　）

A． B． C． D．
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征求得点P1、P2的纵坐标，由平行四边形对边平行且相等的性质求得点B1的横坐标为2，纵坐标是y2+y1、B2的横坐标为3，纵坐标是y3+y2、B3的横坐标为4，纵坐标是y4+y3，据此可以推知点Bn的横坐标为n+1，纵坐标是：yn+1+yn＝+＝．
解：∵点P1（1，y1），P2（2，y2）在反比例函数图象上，
∴y1＝4，y2＝2；
∴P1A1＝y1＝4；
又∵四边形A1P1B1P2是平行四边形，
∴P1A1＝B1P2＝4，P1A1∥B1P2，
∴点B1的纵坐标是：y2+y1＝+＝6，即点B1的坐标是（2，6）；
同理求得，点B2的纵坐标是：y3+y2＝+＝；即点B2的坐标是（3，）；
点B3的纵坐标是：y4+y3＝+＝；
…
点Bn的横坐标为：xn＝n+1，纵坐标是：yn+1+yn＝+＝；
∴点B20的坐标是（21，）
故选：D．
【点评】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数的图象．解答此题的关键是根据平行四边形的对边平行且相等的性质求得点Bn的纵坐标yn+1+yn．
10．如图，在矩形ABCD的外部有四个全等的直角三角形，分别为△AEB，△BFG，△CGD，△DHE，连结EC，DF交于点O，若＝，则的值为（　　）

A． B． C． D．
【分析】设EC、AF交于点W，连接DW，证明出四边形DWFC为平行四边形，得到S△OWD＝S△OCD＝S△OCF，S△DEO：S△FCO＝5：3，推导出EW与EC的比，即得出AW与DC的比，即可解答AE与AB的比．
解：如图，设EC、AF交于点W，连接DW，

∵△AEB≌△BFG≌△CGD≌△DHE，
∴DE＝DC＝AB＝BG，AE＝BF＝DH＝CG，
由DE＝DC，得△CDE为等腰直角三角形，
∴∠AEW＝45°，
∵EA⊥AW，
∴△AEW为等腰直角三角形，
∴AE＝AW，
∵AE＝BF，
∴AW＝BF，
∵AB＝WF，
∵AB∥WF，
∴四边形DWFC为平行四边形，
∴OW＝OC，OD＝OF，
∴S△OWD＝S△OCD＝S△OCF，
∵S△DEO：S△FCO＝5：3，
∴S△DEO：S△ODW＝5：3，
∴S△DEW：S△ODE＝2：5，
∴S△DEW：S△CDE＝2：8，
∴EW：EC＝2：8＝1：4，
∵AW∥DC，
∴AW：DC＝1：4，
∴AE：AB＝1：4，
故选：A．
【点评】本题考查了矩形、平行四边形、三角形全等相关知识点的应用，同高三角形的面积比的应用是解题关键．
二、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分）
11．使二次根式有意义的x的取值范围是　x≥4　．
【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式即可．
解：由题意得，x﹣4≥0，
解得，x≥4，
故答案为：x≥4．
【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键．
12．一个五边形的内角和是　540°　．
【分析】利用多边形的内角和：（n﹣2）•180°进行计算即可．
解：根据正多边形内角和公式：180°×（5﹣2）＝540°，
故答案为：540°．
【点评】此题主要考查了正多边形内角和，关键是掌握内角和的计算公式．
13．在△ABC中，点D、E分别是AC，BC的中点，以A为圆心，AD为半径作圆弧交AB于点F，若AD＝8，DE＝7，则BF的长为 　6　．

【分析】根据三角形中位线定理求出AB，进而求出BF．
解：∵点D、E分别是AC，BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴AB＝2DE＝2×7＝14，
由尺规作图可知：AF＝AD＝8，
∴BF＝AB﹣AF＝14﹣8＝6，
故答案为：6．
【点评】本题考查的是三角形中位线定理、基本尺规作图，掌握三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．
14．已知关于x的方程x2+mx+n＝0的两个根分别为﹣3和2，则m+n的值为 　﹣5　．
【分析】利用根与系数的关系，可得出﹣3+2＝﹣m，﹣3×2＝n，解之可得出m，n的值，再将其代入m+n中，即可求出结论．
解：∵关于x的方程x2+mx+n＝0的两个根分别为﹣3和2，
∴﹣3+2＝﹣m，﹣3×2＝n，
∴m＝1，n＝﹣6，
∴m+n＝1﹣6＝﹣5．
故答案为：﹣5．
【点评】本题考查了根与系数的关系，牢记“一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根之和等于﹣，两根之积等于”是解题的关键．
15．如图，在平面直角坐标系中，等边三角形ABC的一条边AB⊥x轴于点B，经过点A的反比例函数 的图象交BC于点D，连结OA，OC，若点D是BC中点，△OAC的面积为3，则k的值为 　　．

【分析】利用反比例函数的几何意义，表示出点A的坐标的关系，利用△OAC的面积，求出点A的坐标的积，从而求出答案．
解：过C作CH⊥AB、CF⊥x轴，作DE⊥x轴，
设点A（a，b），
∴OB＝a，AB＝b，
∵△ABC为等边三角形且CH⊥AB，
∴BH＝b，
∴矩形BFCH中，CF＝b，
∵D是BC中点，
∴DE＝b，
∵∠CBF＝30°，
∴BE＝•b＝，
∴OE＝a+，
∴ab＝（a+），
∴b＝a，
∵S△OAC＝S△OAB+S梯形ABFC﹣S△OAF＝3，
∴+﹣＝3.\，
∴+＝3，
∴+3ab＝3，
∴ab＝，
∴k＝．
故答案为：．

【点评】本题考查了反比例函数的几何意义的应用，等边三角形的“三线合一”和中位线的应用是解题的关键．
16．如图，四边形ABCD为矩形，连结BD，将矩形ABCD绕点B旋转至矩形A′BC′D′使得边A′D′经过BD中点O，并交BC于点E，若D′E＝2A′O，则的值为 　　．

【分析】延长D'A'较交AD于点F，连接BF，AC，DE，先证Rt△BAF和Rt△BA'F全等，得出AF＝A'F，再证△OAF和△OCE全等，得出AF＝CE，进而证四边形BEDF为平行四边形，得出OE＝OF，设AF＝x，A'O＝a，则OE＝OF＝x+a，D′E＝2A′O＝2a，EF＝2OF＝2x+2a，AD＝A'D＝x+4a，DF＝BE＝AD﹣AF＝4a，A'E＝x+2a，根据S平行四边形BEDF＝2S△BEF得4a•AB＝（2a+2a）•AB，由此得x＝a，进而得AD＝5a，A'E＝3a，然后在Rt△A'BE中利用勾股定理求出A'E，据此可得出答案．
解：延长D'A'交AD于点F，连接BF，AC，DE，

∵四边形ABCD为矩形，点O对角线BD的中点，
∴AC经过点O，AD＝BC，AD∥BC，
∴OA＝OC，∠OAF＝∠OCE，
由旋转的性质可知：AB＝A'B，∠BAF＝∠BA'O＝90°，
在Rt△BAF和Rt△BA'F中，
，
∴Rt△BAF≌Rt△BA'F（HL），
∴AF＝A'F，
在△OAF和△OCE中，
，
∴△OAF≌△OCE（ASA），
∴AF＝CE，
∵AD＝BC，AD∥BC，
∴DF＝BE，
∴四边形BEDF为平行四边形，
∴OE＝OF，
设AF＝x，A'O＝a，
∴OE＝OF＝x+a，D′E＝2A′O＝2a，
∴EF＝2OF＝2x+2a，AD＝A'D＝x+4a，
∴DF＝BE＝AD﹣AF＝4a，A'E＝x+2a，
∵EF为平行四边形BEDF的对角线，
∵S平行四边形BEDF＝2S△BEF，
∴，
∴，
∵AB＝A'B，
∴4a＝2x+2a，
∴x＝a，
∴AD＝x+4a＝5a，A'E＝x+2a＝3a，
在Rt△A'BE中，A'E＝3a，BE＝4a，
由勾股定理得：，
∴，
∴．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了矩形的性质，图形的旋转及其性质，平行四边形的判定及性质，全等三角形的判定和性质，解答此题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，难点是正确的作出辅助线，构造全等三角形．
三、解答题（本题有8小题，共80分）
17．（1）计算：；
（2）解方程：2x2﹣7x＝0．
【分析】（1）先根据二次根式的乘法法则运算，然后化简二次根式即可；
（2）先把方程转化为x＝0或2x﹣7＝0，然后解两个一次方程即可．
解：（1）原式＝2+﹣
＝2+6﹣；
（2）2x2﹣7x＝0，
x（2x﹣7）＝0，
x＝0或2x﹣7＝0，
所以x1＝0，x2＝．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了二次根式的混合运算．
18．如图是由边长为1的小正方形构成的6×6的网格，点A、B均在格点上．（1）在图1中画一个以线段AB为对角线的正方形ACBD，点C、D为格点；
（2）在图2中画一个以线段AB为边且面积为整数的平行四边形ABEF，点E、F为格点．
​

【分析】（1）根据正方形的定义画出图形；
（2）根据平行四边形的定义以及题目要求画出图形．
解：（1）如图1中，正方形ACBD即为所求；
（2）如图2中，四边形ABEF即为所求（答案不唯一）．

【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，正方形的判定，平行四边形的判定等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题．
19．为积极准备初三体育中考，某学校从报考“引体向上”项目的男生中选取了若干同学，随机分成甲、乙两个小组，每组人数相同，进行“引体向上”体能测试，根据测试成绩绘制出统计表和如图所示的统计图（成绩均为整数，满分为10分）．
甲组成绩统计表
成绩/分
7
8
9
10
人数/人
1
9
5
5
（1）m＝　3　；甲组成绩的中位数 　＞　乙组成绩的中位数（填“＞”“＜”或“＝”）；
（2）求甲组的平均成绩；
（3）计算出甲组成绩的方差为0.81，乙组成绩的方差为0.75，则成绩更加稳定的是 　乙　组（填“甲”或“乙”）．

【分析】（1）由各分数人数之和等于40可得m的值，根据中位数的定义求出甲、乙组中位数即可得出答案；
（2）根据加权平均数的定义求解即可；
（3）根据方差的意义求解即可得出答案．
解：（1）由题意可得：1+9+5+5+2+9+6+m＝40，
解得m＝3，
甲组成绩一共有20个，从小到大最中间为8和9，则中位数为＝8.5，
乙组成绩的中位数为＝8，
所以甲组成绩的中位数＞乙组成绩的中位数，
故答案为：3，＞；
（2）甲组的平均成绩为×（7×1+8×9+9×5+10×5）＝8.7，
（3）∵，
∴乙组的成绩更加稳定．
故答案为：乙．
【点评】此题考查了平均数、众数和方差的有关内容，解题的关键是正确理解统计图．
20．如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，且AO＝CO，点E在BD上，满足∠DAO＝∠ECO．
（1）求证：四边形AECD是平行四边形；
（2）若AB＝BC，若CD＝10，AC＝16，求四边形AECD的面积．

【分析】（1）证△AOE≌△COD（ASA），得OD＝OE，再由AO＝CO，即可得出结论；
（2）由等腰三角形的性质得OB⊥AC，则平行四边形AECD是菱形，再由勾股定理求出OD＝6，则DE＝12，即可得出答案．
【解答】（1）证明：在△DOA和△COE中，
，
∴△AOE≌△COD（ASA），
∴OD＝OE，
又∵AO＝CO，
∴四边形AECD是平行四边形；
（2）∵AB＝BC，AO＝CO，
∴OB⊥AC，
∴平行四边形AECD是菱形，
∵AC＝16，
∴CO＝AC＝8，
在Rt△COD中，由勾股定理得：OD＝＝＝6，
∴DE＝2OD＝12，
∴菱形AECD的面积＝AC×DE＝×16×12＝96．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、等腰三角形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解此题的关键．
21．在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数 图象交于A，B两点，A点坐标为（﹣2，m）．
（1）分别求出k，m的值；
（2）连结OA、OB，求S△AOB的面积；
（3）根据图象，直接写出不等式的解集．

【分析】（1）由一次函数解析式求得m的值，从而求得A的坐标，代入 即可求得k的值；
（2）解析式联立成方程组，解方程组即可求得点B的坐标，利用一次函数解析式求出点C坐标，再根据S△AOB＝S△BOC+S△AOC可得结果；
（3）根据图象即可求得．
解：（1）将（﹣2，m）代入一次函数得，m＝﹣×（﹣2）+1＝4，
∴A点为（﹣2，4），
将A点代入反比例函数 得，k＝﹣2×4＝﹣8，
∴m＝4，k＝﹣8；
（2）由（1）得，反比例函数表达式为y＝﹣，
解得或，
∴B点的坐标为（，﹣3），
设点C为一次函数的图象与y轴的交点，则C（0，1），
∴S△AOB＝S△BOC+S△AOC＝＝；
（3）由图象可得：不等式的解集为x＜﹣2或0＜x＜．

【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，根据点A的坐标求出反比例函数解析式是解题的突破口，也是解题的关键．
22．某商店从工厂购进A、B两款玩具，进货价和销售价如表：
类别
价格
A款玩具
B款玩具
进货价（元/件）
30
25
销售价（元/件）
42
35
（1）该商店用1720元从工厂进货A、B两款玩具共60件，求两款玩具分别购进个数；
（2）商店销售第一天，B款玩具便已售完，A款玩具只售出4件，因此商家决定对A款玩具降价销售，经调查发现，A款玩具每下降1元，平均每天可多销售2件，要想第二天A款玩具的利润为66元，则商家需降价多少元？
【分析】（1）设购进A款玩具x件，B款玩具y件，利用总价＝单价×数量，结合该网店第一次用1720元购进A、B两款玩具共60件，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设商家需降价y元．根据销售利润＝（42﹣10）×销售数量列出方程并解答．
解：（1）设购进A款玩具x件，B款玩具y件，
依题意得：，
解得：．
答：购进A款玩具44件，B款玩具16件．
（2）设商家需降价y元，
依题意得：（4+2y）×（42﹣30）＝66．
解得y＝0.75．
答：商家需降价0.75元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用、一元二次方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
23．在正方形ABCD中，E、F为平面上两点．
【基础巩固】
（1）如图1，当点E在边AB上时，DE⊥DF，且B，C，F三点共线，求证：AE＝CF；
【类比应用】
（2）如图2，当点E在正方形ABCD外部时，DE⊥DF，AE⊥EF，且E、C、F三点共线，若AE＝2，CE＝4，求点D到直线EF的距离；
【拓展迁移】
（3）如图3，当点E在正方形ABCD外部时，AE⊥EC，AE⊥AF，DE⊥BE，且D，F，E三点共线，DE与AB交于G点，若DF＝3，AE＝2，求正方形ABCD的边长．
​

【分析】（1）证明△DAE≌△DCF（ASA），可得结论．
（2）猜想：EA+EC＝DE．如图2中，证明△DAE≌△DCF，推出DE＝DF，AE＝CF，最后用三角形的面积求解，即可求出答案．
（3）如图3中，连接AC，取AC的中点O，连接OE，OD．证明∠AED＝∠DEC＝45°，最后构造直角三角形，即可求出答案．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴DA＝DC，∠A＝∠ADC＝∠DCB＝∠DCF＝90°，
∵DE⊥DF，
∴∠EDF＝∠ADC＝90°，
∴∠ADE＝∠CDF，
在△DAE和△DCF中，
，
∴△DAE≌△DCF（ASA），
∴AE＝CF．

（2）解：猜想：EA+EC＝DE．
理由：如图2，
∵四边形ABCD是正方形，
∴DA＝DC，∠ADC＝90°，
∵DE⊥DF，AE⊥EF，
∴∠AEF＝∠EDF＝90°，
∴∠ADC＝∠EDF，
∴∠ADE＝∠CDF，
∵∠ADC+∠AEC＝180°，
∴∠DAE+∠DCE＝180°，
∵∠DCF+∠DCE＝180°，
∴∠DAE＝∠DCF，
∴△DAE≌△DCF（AAS），
∴AE＝CF＝2，
∵CE＝4，
∴EF＝CE+CF＝6，
过点D作DH⊥EF于H，
∵DE＝DF，
∴DH＝EF＝3，
即点D到直线EF的距离为3；

（3）解：如图3中，连接AC，取AC的中点O，连接OE，OD．

∵四边形ABCD是正方形，AE⊥EC，
∴∠AEC＝∠ADC＝90°，
∵OA＝OC，
∴OD＝OA＝OC＝OE，
∴A，E，C，D四点共圆，
∴∠AED＝∠ACD＝45°，
∴∠AED＝∠DEC＝45°，
由（2）可知，AE+EC＝DE，
∵AE⊥AF，
∴∠EAF＝90°，
∴∠AEF＝∠AFE＝45°，
∴AE＝AF＝2，
∴EF＝AE＝4，
过点A作AM⊥DE于M，
∴AM＝FM＝EF＝2，
∴DM＝DF+FM＝5，
根据勾股定理得，AD2＝DM2+AM2＝29，
∴AD＝，
∴AC＝AD＝，
即正方形ABCD的对角线的长为．
【点评】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，四点共圆，圆周角定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用建模的思想思考问题，属于中考压轴题．
24．将一矩形纸片OABC放在直角坐标系xOy中，O为原点，点C在x轴正半轴上，点A（0，9），点C（15，0）．
（1）如图1，在OA上取一点E，将△EOC沿EC折叠，使O点落至AB边上的D点，求BD、ED的长度；
（2）如图2，在OA、OC边上选取适当的点M、F，将△MOF沿MF折叠，使O点落在AB边上的D′点，过D′作D′G⊥CO于点G，交MF于点T，求证：TG＝AM；
（3）在（2）的条件下，设T（x，y），当x＝6时，Q为坐标轴上一点，在直线MF上是否存在点P，使得以M、D′、Q、P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出P点坐标；若不存在，请说明理由．
​​
【分析】（1）由折叠的性质可得OC＝DC＝15，DE＝OE，由勾股定理可以求出DB的长，DE的长；
（2）由折叠的性质可得MD′＝MO，∠D′MF＝∠OMF，由平行线的性质可得D′M＝D′T，即可求解；
（3）分MF为对角线，MF为边两种情形讨论即可．
【解答】（1）解：∵点A（0，9），点C（15，0），
∴AO＝9，OC＝15，
∵将△EOC沿EC折叠，使O点落至AB边上的D点，
∴OC＝DC＝15，DE＝OE，
∴BD＝＝＝12，
∴AD＝3，
∵DE2＝AD2+AE2，
∴DE2＝9+（9﹣DE）2，
∴DE＝5；
（2）证明：∵将△MOF沿MF折叠，使O点落在AB边上的D′点，
∴MD′＝MO，∠D′MF＝∠OMF，
∵OM∥GD′，
∴∠OMT＝∠D′TM，
∴∠D′MT＝∠D′TM，
∴D′M＝D′T，
∴OM＝DT，
∵OA＝DG，
∴AM＝TG；
（3）解：如图，

当x＝6时，则AD'＝6，
∵D'M2＝AD'2+AM2，
∴D'M2＝36+（9﹣D'M）2，
∴D'M＝，
由（2）可知：OM＝D'T＝D'M＝，
∴TG＝＝y，
∴点T（6，），
①当MD′为对角线时，点P与T重合，QM＝D′T＝，
∴点P（6，），
②D′M为边时，设点P（x，y），
∵四边形MD′QP是平行四边形，
∴x+6＝0+0，
∴x＝﹣6，
∵直线FM的解析式为y＝﹣x+，
∴y＝，
∴点Q坐标（﹣6，），
③当点P″在第四象限点时，四边形MD′Q″P″是平行四边形时，
∵直线FM的解析式为y＝﹣x+，
∵D′Q″∥MF，
∴直线D′Q″的解析式为y＝﹣﹣x+13，
当y＝0时，x＝，
∴点Q″（，0），
设点P（m，n）
∵点M（0，），点D'（6，9），点Q″（，0），
∴m＝0+﹣6＝，n＝+0﹣9＝﹣，
∴点P（，﹣），
综上所述，以M、D′、Q、P为顶点的四边形是平行四边形时，点P坐标（6，）或（﹣6，），或（，﹣）．
【点评】本题考查四边形综合题，矩形的性质，翻折变换，勾股定理，平行四边形的判定等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，学会用分类讨论的思想解决问题，属于中考压轴题．