2024高考数学一轮复习讲义（步步高版）第七章　§7.7　向量法求空间角

这是一份2024高考数学一轮复习讲义（步步高版）第七章　§7.7　向量法求空间角，共23页。试卷主要包含了异面直线所成的角，直线与平面所成的角，平面与平面的夹角等内容，欢迎下载使用。

知识梳理
1．异面直线所成的角
若异面直线l1，l2所成的角为θ，其方向向量分别是u，v，则cs θ＝|cs〈u，v〉|＝eq \f(|u·v|,|u||v|).
2．直线与平面所成的角
如图，直线AB与平面α相交于点B，设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sin θ＝|cs〈u，n〉|＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(u·n,|u||n|)))＝eq \f(|u·n|,|u||n|).
3．平面与平面的夹角
如图，平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角．
若平面α，β的法向量分别是n1和n2，则平面α与平面β的夹角即为向量n1和n2的夹角或其补角．设平面α与平面β的夹角为θ，则cs θ＝|cs〈n1，n2〉|＝eq \f(|n1·n2|,|n1||n2|).
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角．( × )
(2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角．( × )
(3)两异面直线所成角的范围是eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，直线与平面所成角的范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2))).( √ )
(4)直线的方向向量为u，平面的法向量为n，则线面角θ满足sin θ＝cs〈u，n〉．( × )
教材改编题
1．已知向量m，n分别是直线l和平面α的方向向量和法向量，若cs 〈m，n〉＝－eq \f(1,2)，则直线l与平面α所成的角为( )
A．30° B．60°
C．120° D．150°
答案 A
解析 由于cs〈m，n〉＝－eq \f(1,2)，所以〈m，n〉＝120°，所以直线l与平面α所成的角为30°.
2．已知直线l1的方向向量s1＝(1,0,1)与直线l2的方向向量s2＝(－1,2，－2)，则直线l1和l2所成角的余弦值为( )
A.eq \f(\r(2),4) B.eq \f(1,2)
C.eq \f(\r(2),2) D.eq \f(\r(3),2)
答案 C
解析 因为s1＝(1,0,1)，s2＝(－1,2，－2)，
所以cs〈s1，s2〉＝eq \f(s1·s2,|s1||s2|)＝eq \f(－1－2,\r(2)×3)＝－eq \f(\r(2),2).
所以直线l1和l2所成角的余弦值为eq \f(\r(2),2).
3．平面α的一个法向量为m＝(1,2，－2)，平面β的一个法向量为n＝(2,2,1)，则平面α与平面β夹角的正切值为( )
A.eq \f(4,9) B.eq \f(9,4) C.eq \f(4\r(65),65) D.eq \f(\r(65),4)
答案 D
解析 设平面α与平面β的夹角为θeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0≤θ≤\f(π,2)))，
则cs θ＝|cs〈m，n〉|＝eq \f(|m·n|,|m||n|)＝eq \f(4,9)，
则sin θ＝eq \r(1－cs2θ)＝eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,9)))2)＝eq \f(\r(65),9)，
所以tan θ＝eq \f(\f(\r(65),9),\f(4,9))＝eq \f(\r(65),4).
题型一 异面直线所成的角
例1 (1)若正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的体积为eq \r(3)，AB＝1，则直线AB1与CD1所成的角为( )
A．30° B．45° C．60° D．90°
答案 C
解析 ∵正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的体积为eq \r(3)，AB＝1，
∴AA1＝eq \r(3)，
以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(1,0,0)，B1(1,1，eq \r(3))，C(0,1,0)，D1(0,0，eq \r(3))，
eq \(AB1,\s\up6(—→))＝(0,1，eq \r(3))，eq \(CD1,\s\up6(—→))＝(0，－1，eq \r(3))，
设直线AB1与CD1所成的角为θ，
则cs θ＝eq \f(|\(AB1,\s\up6(—→))·\(CD1,\s\up6(—→))|,|\(AB1,\s\up6(—→))||\(CD1,\s\up6(—→))|)＝eq \f(2,\r(4)×\r(4))＝eq \f(1,2).
又0°＜θ ≤90°，∴θ＝60°，∴直线AB1与CD1所成的角为60°.
(2)(2022·杭州模拟)如图，已知圆锥CO的截面△ABC是正三角形，AB是底面圆O的直径，点D在上，且∠AOD＝2∠BOD，则异面直线AD与BC所成角的余弦值为( )
A.eq \f(\r(3),4) B.eq \f(1,2) C.eq \f(1,4) D.eq \f(3,4)
答案 A
解析 因为∠AOD＝2∠BOD，
且∠AOD＋∠BOD＝π，
所以∠BOD＝eq \f(π,3)，
连接CO，则CO⊥平面ABD，以点O为坐标原点，OB，OC所在直线分别为y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
设圆O的半径为2，
则A(0，－2,0)，B(0,2,0)，C(0,0,2eq \r(3))，D(eq \r(3)，1,0)，
eq \(AD,\s\up6(→))＝(eq \r(3)，3,0)，eq \(BC,\s\up6(→))＝(0，－2,2eq \r(3))，
设异面直线AD与BC所成的角为θ，
则cs θ＝|cs〈eq \(AD,\s\up6(→))，eq \(BC,\s\up6(→))〉|＝eq \f(|\(AD,\s\up6(→))·\(BC,\s\up6(→))|,|\(AD,\s\up6(→))||\(BC,\s\up6(→))|)＝eq \f(|－6|,2\r(3)×4)＝eq \f(\r(3),4)，
所以异面直线AD与BC所成角的余弦值为eq \f(\r(3),4).
思维升华 用向量法求异面直线所成的角的一般步骤
(1)建立空间直角坐标系．
(2)用坐标表示两异面直线的方向向量．
(3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值．
(4)注意两异面直线所成角的范围是eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，即两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角的余弦值的绝对值．
跟踪训练1 (1)有公共边的△ABC和△BCD均为等边三角形，且所在平面互相垂直，则异面直线AB和CD所成角的余弦值为________．
答案 eq \f(1,4)
解析 设等边三角形的边长为2.取BC的中点O，连接OA，OD.因为△ABC和△BCD所在平面互相垂直，所以OA，OC，OD两两垂直，以O为坐标原点，OD，OC，OA所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系．
则A(0,0，eq \r(3))，B(0，－1,0)，C(0,1,0)，D(eq \r(3)，0,0)，
所以eq \(AB,\s\up6(→))＝(0，－1，－eq \r(3))，eq \(CD,\s\up6(→))＝(eq \r(3)，－1,0)，
设异面直线AB和CD所成的角为θ，
则cs θ＝|cs〈eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(CD,\s\up6(→))〉|＝eq \f(|\(AB,\s\up6(→))·\(CD,\s\up6(→))|,|\(AB,\s\up6(→))||\(CD,\s\up6(→))|)＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(1,2×2)))＝eq \f(1,4)，
所以异面直线AB和CD所成角的余弦值为eq \f(1,4).
(2)如图所示，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱CC1的中点，eq \(AF,\s\up6(→))＝λeq \(AD,\s\up6(→))(0