第七章　§7.7　向量法求空间角-【北师大版】2025年高考数学大一轮复习（课件+讲义+练习）

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1.能用向量法解决异面直线的夹角、直线与平面的夹角、二面角问题，并能描述解决这一类问题的程序，体会向量法在研究空间角问题中的作用.2.弄清折叠问题中的变量与不变量，掌握折叠问题中线面位置关系的判断和空间角的计算问题.
第一部分 落实主干知识
第二部分 探究核心题型
1.两条直线的夹角若向量a，b分别为直线a，b的方向向量，则直线a与b的夹角θ∈ ，且θ与两个方向向量的夹角〈a，b〉相等或互补，则cs θ＝|cs〈a，b〉|.2.直线与平面的夹角设向量l为直线l的一个方向向量，n是平面α的一个法向量，则直线l与平面α的夹角θ∈ ，且θ＝ －〈l，n〉或θ＝〈l，n〉－ ，故sin θ＝____________.
3.二面角一般地，已知n1，n2分别为平面α，β的法向量，则二面角α－l－β的平面角与两法向量所成角〈n1，n2〉 或 .
2.若平面α与平面β的夹角为θ1，平面α内的直线l与平面β的夹角为θ2，则θ1≥θ2，当l与α和β的交线垂直时，取等号.
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)(1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角.(　　)(2)直线的方向向量和平面的法向量的夹角就是直线与平面所成的角.(　　)(3)二面角的平面角为θ，则两个平面的法向量的夹角也是θ.(　　)(4)二面角α－l－β的平面角与平面α，β的夹角相等.(　　)
2.已知向量m，n分别是直线l和平面α的方向向量和法向量，若cs〈m，n〉＝ ，则直线l与平面α的夹角为A.30°　　B.60°　　C.120°　　D.150°
设直线l与平面α的夹角为θ，
所以直线l与平面α的夹角为30°.
3.已知直线l1的方向向量s1＝(1,0,1)与直线l2的方向向量s2＝(－1,2，－2)，则直线l1和l2夹角的余弦值为
设直线l1与l2的夹角为θ，因为s1＝(1,0,1)，s2＝(－1,2，－2)，
4.已知两平面的法向量分别为m＝(0,1,0)，n＝(0,1,1)，则两平面所成的二面角为
∵m＝(0,1,0)，n＝(0,1,1)，
若两平面所成的二面角为θ，
例1　(1)(2023·武汉模拟)如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PA＝BC，E为CD的中点，F为PC的中点，则异面直线BF与PE夹角的余弦值为
题型一　异面直线的夹角
如图，以点A为坐标原点，以AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，设AB＝2，异面直线BF与PE的夹角为θ，则A(0,0,0)，B(2,0,0)，P(0,0,2)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，则E(1,2,0)，F(1,1,1)，
以O为原点，OB所在直线为y轴，过点O作x轴⊥OB，圆台的轴为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
设P(2cs θ，2sin θ，0)，0≤θ0)，则A(0,0,0)，B1(a,0,2)，A1(0,0,2)，C(0,1,0)，
解得a＝1，所以棱AB的长度是1.
11.(2023·洛阳模拟)二面角α－l－β的棱上有两个点A，B，线段BD与AC分别在这个二面角的两个半平面内，并且垂直于棱l，若AB＝4，AC＝6，BD＝8，CD＝ ，则平面α与平面β的夹角为______.
设二面角α－l－β的大小为θ，
所以θ＝60°，则平面α与平面β的夹角为60°.
12.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H，K，L分别是棱AB，BB1，B1C1，C1D1，D1D，DA的中点，则直线A1C与平面EFGHKL夹角的大小为________；若P，Q是六边形EFGHKL边上两个不同的动点，设直线D1B与直线PQ最小的夹角为θ，则sin θ的值为_____.
则A1(2,0,2)，E(2,1,0)，C(0,2,0)，F(2,2,1)，G(1,2,2)，
∴A1C⊥EF，A1C⊥EG，∵EG∩EF＝E，EG，EF⊂平面EFGHKL，∴A1C⊥平面EFGHKL，∴直线A1C与平面EFGHKL夹角的大小为90°.
设直线D1B与平面EFGHKL的夹角为α，
∵直线PQ⊂平面EFGHKL，
∴直线D1B与直线PQ的夹角最小时即为直线D1B与平面EFGHKL的夹角，∴sin θ＝ .
四、解答题13.如图，AE⊥平面ABCD，CF∥AE，AD∥BC，AD⊥AB，AB＝AD＝1，AE＝BC＝2CF＝2.(1)求证：BF∥平面ADE；
由CF∥AE，CF⊄平面ADE，AE⊂平面ADE，得CF∥平面ADE，由AD∥BC，BC⊄平面ADE，AD⊂平面ADE，得BC∥平面ADE，又CF∩BC＝C，CF，BC⊂平面BCF，所以平面BCF∥平面ADE，又BF⊂平面BCF，所以BF∥平面ADE.
(2)求直线CE与平面BDE夹角的正弦值.
因为AE⊥平面ABCD，AB，AD⊂平面ABCD，所以AE⊥AB，AE⊥AD，又AD⊥AB，以A为原点，分别以AB，AD，AE所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系如图所示，因为AB＝AD＝1，AE＝BC＝2CF＝2，所以B(1,0,0)，C(1,2,0)，D(0,1,0)，E(0,0,2)，
设平面BDE的法向量为m＝(x，y，z)，
令z＝1，则x＝2，y＝2，即m＝(2,2,1)，
14.(2024·南昌模拟)如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，AD＝DC＝ ，现将△ADC沿AC翻至△APC，使二面角P－AC－B为直二面角.
(1)证明：CB⊥PA；
取AB的中点E，连接CE(图略)，
∴四边形ADCE是平行四边形，CE＝AD，CE＝AE＝EB，∴∠ACB＝90°，即CB⊥CA，∵二面角P－AC－B为直二面角，∴平面PAC⊥平面ACB，
又平面PAC∩平面ACB＝AC，CB⊂平面ABC，∴CB⊥平面PAC，又PA⊂平面PAC，∴CB⊥PA.
由AB＝4知PA＝PC＝2，取AC的中点O，则OE∥CB.∴OE⊥AC，且OP⊥AC，OC，OE，OP两两互相垂直.
易得平面PAC的一个法向量为n1＝(0,1,0)，设平面PAB的法向量为n2＝(x，y，z)，