高考数学一轮复习全套word讲义专题27向量法求空间角(原卷版+解析)

这是一份高考数学一轮复习全套word讲义专题27向量法求空间角(原卷版+解析)，共69页。试卷主要包含了单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．在正方体中，，，，分别为，，，的中点，则异面直线与所成角的大小是（ ）
A．B．C．D．
2．在长方体中，，，设交于点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
3．如图在棱长为2的正方体中，点是的中点，那么异面直线和所成的角的余弦值等于（ ）
A．B．C．D．
4．如图，已知点、、G、分别是正方体中棱、、、的中点，记二面角的平面角为，直线与平面所成角为，直线与直线所成角为，则（ ）
A．B．C．D．
5．如图，在正四面体中，，记平面与平面､平面､平面，所成的锐二面角分别为､､，则（ ）
A．B．C．D．
6．如图，在长方体中，，，是的中点，则直线与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
7．已知两条异面直线的方向向量分别是，1，，，2，，则这两条异面直线所成的角满足（ ）
A．B．C．D．
二、解答题
8．如图，四边形中，是等腰直角三角形，，是边长为2的正三角形，以为折痕，将向上折叠到的位置，使点在平面内的射影在上，再将向下折叠到的位置，使平面平面，形成几何体.
（1）点在上，若平面，求点的位置；
（2）求二面角的余弦值.
9．如图所示，在四棱锥中，，，，底面，为的中点.
（1）求证：平面；
（2）在侧面内找一点，使平面；
（3）求直线与平面所成角的正弦.
10．如图所示，四棱锥中，侧面是边长为的正三角形且与底面垂直，底面是的菱形，为的中点.
（1）求与底面所成角的大小；
（2）求证：平面；
（3）求二面角的余弦值.
11．如图，三棱柱中，平面平面，和都是正三角形，是的中点．
（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值．
12．如图，在四棱锥中，底面中，，侧面平面，且，点在棱上，且．
（Ⅰ）证明：平面；
（Ⅱ）求二面角的余弦值
13．如图，在底面为菱形的四棱锥中，，．
（1）证明：；
（2）若，点在线段上，且，求二面角的余弦值．
14．如图，在四棱锥中，底面，底面是边长为2的正方形，，，分别是，的中点．
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值；
（3）在上是否存在一点，使得与所成角为？若存在，求出点坐标，若不存在，请说明理由．
15．已知如图①，在菱形中，且，为的中点，将沿折起使，得到如图②所示的四棱锥.
（1）求证：平面平面；
（2）若为的中点，求二面角的余弦值.
16．如图，E为矩形边的中点，沿将向上翻折至，使得二面角为60°，且，.
（1）证明：平面；
（2）求直线与平面夹角的正弦值.
17．如图，长方体中，，，若在上存在点，使得平面.
（1）求的长；
（2）求平面与平面夹角的余弦值.
18．如图，三棱柱的侧面是边长为的正方形，面面，，，是的中点.
（1）求证：平面；
（2）求点到平面的距离；
（3）在线段上是否存在一点，使二面角为，若存在，求的长；若不存在，说明理由.
19．如图，在直三棱柱中，，
（1）求证：；
（2）求直线和所成角的大小；
（3）求直线和平面所成角的大小.
20．如图，已知三棱锥中，平面，，M、E分别为、的中点，N为的中点．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求直线和平面所成角的正弦值．
21．如图，三棱柱中，底面是边长为的等边三角形，侧面为菱形，且平面平面，，为棱的中点．
（1）证明：平面；
（2）求二面角的余弦值．
22．在如图所示的几何体中，四边形为正方形，平面，，，.
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值；
（3）在棱上是否存在一点，使得二面角的大小为？如果存在，确定点的位置；如果不存在，说明理由.
23．在四棱锥中，四边形ABCD为正方形，平面平面ABCD，为等腰直角三角形，，AB=2.
（1）求证：平面平面PAC；
（2）设E为CD的中点，求二面角C-PB-E的余弦值.
24．已知长方体中，，，E为的中点.
（1）证明平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
25．如图，四边形为菱形，，四边形为矩形，平面平面，点在上，.
（1）证明：平面；
（2）若与平面所成角为60°，求二面角的余弦值.
26．如图，在边长为8的菱形中，，将沿折起，使点到达的位置，且二面角为60°.
（1）求证：；
（2）若点E为中点，求直线BE与平面所成角的正弦值.
27．如图，在直三棱柱中，，，，点是的中点.
（1）求证：平面⊥平面；
（2）求平面与平面所成的锐二面角（是指不超过的角）的余弦值.
28．中，，，E，F分别是边，上的点，且，于H，，将沿折起，点A到达，此时满足面面．
（1）若，求直线与面所成角大小；
（2）若E，F分别为，中点，求锐二面角的余弦值；
（3）在（2）的条件下，求点B到面的距离．
29．如图，在梯形中，，，平面，四边形为矩形，点为线段的中点，且，.
（1）求证：平面平面；
（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
30．如图，四棱锥的底面为正方形，侧面底面．为等腰直角三角形，且．，分别为底边和侧棱的中点．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求二面角的余弦值．
专题27 向量法求空间角
一、单选题
1．在正方体中，，，，分别为，，，的中点，则异面直线与所成角的大小是（ ）
A．B．C．D．
答案:C
分析：
以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，写出，，，的坐标，然后可得和的坐标，然后可算出答案.
【详解】
以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
设正方体的棱长为2，则，，，，
则，．
设异面直线与所成的角为，则，所以，
故选：C
2．在长方体中，，，设交于点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
答案:D
分析：
首先以为原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，再利用向量法求异面直线成角即可。
【详解】
以为原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，
因为，，
所以，，，，
，，
则.
故选：D
【点睛】
本题主要考查向量法求异面直线成角，属于简单题。
3．如图在棱长为2的正方体中，点是的中点，那么异面直线和所成的角的余弦值等于（ ）
A．B．C．D．
答案:A
分析：
建立空间直角坐标系，利用坐标表示向量，利用向量求出异面直线和所成角的余弦值．
【详解】
建立空间直角坐标系，如图所示；
，0，，，0，，，0，，，2，，，0，；
，0，，，2，，，
，；
所以，；
所以异面直线和所成角的余弦值为．
故选：A
【点睛】
方法点睛：求异面直线所成的角常用的两种方法：
方法一：（几何法）找（观察）作（平移法）证（定义）指求（解三角形）；
方法二：（向量法）利用向量里异面直线所成的角的公式求解.
4．如图，已知点、、G、分别是正方体中棱、、、的中点，记二面角的平面角为，直线与平面所成角为，直线与直线所成角为，则（ ）
A．B．C．D．
答案:D
分析：
建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出线面角、二面角、异面直角所成角，即可比较；
【详解】
解：如图建立空间直角坐标系，令正方体的棱长为，则，，，，，，，，
显然面的法向量为，设面的法向量为，则，即，令则、，所以
所以，，所以，
因为，即，所以
故选：D
5．如图，在正四面体中，，记平面与平面､平面､平面，所成的锐二面角分别为､､，则（ ）
A．B．C．D．
答案:A
分析：
过A作平面，取的中点M，连接，交于点O，以O为原点，为x轴，为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，利用坐标向量法先求，再根据余弦函数单调性比较大小即可.
【详解】
解：(空间向量法)
因为，所以E､F分别为､的中点，G为上靠近A的三等分点，取的中点M，连接，
过A作平面，交于点O，在平面中过O作，交于N，设正四面体的棱长为2，则，，，
以O为原点，为x轴，为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，
，，，，，，，，，，，，
设平面的一个法向量为，则，
即，不妨令，则，
同理可计算出平面､平面､平面的一个法向量分别为，，，
则可得，，，
所以，
又在上递减，所以，
故选：A.
6．如图，在长方体中，，，是的中点，则直线与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
答案:D
分析：
以为原点，为轴为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线与所成角的余弦值．
【详解】
在长方体中，，，为的中点，
以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
，2，，，0，，，2，，
，，0，，，0，，
，，，，0，，
设异面直线与所成角为，
则．
异面直线与所成角的余弦值为．
故选：．
【点睛】
求异面直线所成的角主要方法有两种：一是向量法，根据几何体的特殊性质建立空间直角坐标系后，分别求出两直线的方向向量，再利用空间向量夹角的余弦公式求解；二是传统法，利用平行四边形、三角形中位线等方法找出两直线成的角，再利用平面几何性质求解.
7．已知两条异面直线的方向向量分别是，1，，，2，，则这两条异面直线所成的角满足（ ）
A．B．C．D．
答案:C
分析：
由已知两条异面直线的方向向量的坐标，然后利用数量积求夹角公式，即可求得答案.
【详解】
两条异面直线的方向向量分别是，1，，，2，，
，
，，
又两条异面直线所成的角为，
，.
故选：.
二、解答题
8．如图，四边形中，是等腰直角三角形，，是边长为2的正三角形，以为折痕，将向上折叠到的位置，使点在平面内的射影在上，再将向下折叠到的位置，使平面平面，形成几何体.
（1）点在上，若平面，求点的位置；
（2）求二面角的余弦值.
答案:（1）为的中点；（2）.
分析：
（1）设点在平面内的射影为，连接，，取的中点，易得平面.取的中点，连接，由平面平面，得到平面，又平面，则，则平面，然后由面面平行的判定定理证明.
（2）连接，以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，分别求得平面的一个法向量为和平面的一个法向量为，由求解.
【详解】
（1）如图，
设点在平面内的射影为，连接，，
∵，
∴，
∴在中，为的中点.
取的中点，连接，，
则，又平面，平面，
∴平面.
取的中点，连接，
则易知，又平面平面，平面平面，
∴平面，
又平面，
∴，又平面，平面，
∴平面.
又，
∴平面平面.
又平面，
∴平面，此时为的中点.
（2）连接，由（1）可知，，两两垂直，以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
从而，，.
设平面的一个法向量为，
则即
得，取，则，.
设平面的一个法向量为，
则即
得，取，则，，
从而.
易知二面角为钝二面角，
所以二面角的余弦值为.
【点睛】
关键点点睛：（1）在求解与图形的翻折有关的问题时，关键是弄清翻折前后哪些量变了，哪些量没变，哪些位置关系变了，哪些位置关系没变；（2）利用向量法求二面角的关键是建立合适的空间直角坐标系及准确求出相关平面的法向量.
9．如图所示，在四棱锥中，，，，底面，为的中点.
（1）求证：平面；
（2）在侧面内找一点，使平面；
（3）求直线与平面所成角的正弦.
答案:（1）证明见解析；（2）答案见解析；（3）.
分析：
（1）取的中点，连接、，证明出四边形为平行四边形，可得出，再利用线面平行的判定定理可证得结论成立；
（2）以为原点，以、、所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，设点，由题意得出，求出、的值，求出点的坐标，可确定点的位置；
（3）利用空间向量法可求得直线与平面所成角的正弦.
【详解】
（1）取的中点，连接、，
为的中点，为的中点，则且，
在平面中，，，，由已知条件可得，
且，所以，四边形为平行四边形，，
平面，平面，平面；
（2）底面，，
以为原点，以、、所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，
则、、、、，
在平面内设，
，，，
由，可得，，
由，可得，，所以，，
所以，当是的中点，此时平面；
（3），由（2）可知，平面的一个法向量为，
，
故直线与平面所成角的正弦值为.
【点睛】
求直线与平面所成的角，可先求出平面的法向量与直线的方向向量的夹角，则.
10．如图所示，四棱锥中，侧面是边长为的正三角形且与底面垂直，底面是的菱形，为的中点.
（1）求与底面所成角的大小；
（2）求证：平面；
（3）求二面角的余弦值.
答案:（1）；（2）证明见解析；（3）.
分析：
（1）根据题意，由是正三角形，取的中点，得出，再由面面垂直的性质得出平面，连结，得出就是与底面所成角，根据题给条件得出，即可得出与底面所成角的大小；
（2）根据菱形的性质得出，建立空间直角坐标系，通过空间性量法证明出，，再根据线面垂直的判定定理，即可证出平面；
（3）通过空间向量求法向量的方法，分别求出平面的法向量，和平面的法向量，根据向量法求空间二面角的公式，利用向量数量积和模的运算可得出结果，经观察二面角的平面角为钝角，则，从而得出结果.
【详解】
解：（1）取的中点，由是正三角形，有，
又∵平面底面，∴平面，
连结，则是在底面上的射影，∴就是与底面所成角，
∵，由已知和是全等的正三角形，
从而求得，∴，
∴与底面可成角的大小为；
（2）证明：由底面为菱形且，，，
有，建立空间直角坐标系如图，
则、、、、，
由为中点，∴，
∴，，，
∴，
，
∴，，且，
而平面，
∴平面；
（3），，
令平面的法向量，
则，从而①；，从而②；
由①②，取，则，，∴可取，
由（2）知平面的法向量可取，
∴，
设二面角的平面角为，经观察为钝角，
则.
【点睛】
关键点点睛：本题考查利用几何法求线面角，考查利用向量法证明线线垂直以及线面垂直的判定定理和面面垂直的性质的应用，考查利用空间空间向量法求解二面角余弦值，注意向量法的合理运用，向量法解题时熟练掌握向量的坐标以及法向量的计算、向量的数量积运算、空间二面角的向量公式是解题的关键.
11．如图，三棱柱中，平面平面，和都是正三角形，是的中点．
（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值．
答案:（1）证明见解析；（2）.
分析：
（1）首先证明，进一步得出结论.
（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求二面角的大小，首先正确求出两个平面的法向量，进一步求出二面角．
【详解】
（1）如图，连接，交于点，连接，
由于四边形是平行四边形，所以是的中点．
因为是的中点，所以．
因为平面，平面，
所以平面．
（2）如图，取的中点，连接，，
根据和都是正三角形，得，．
又平面平面，平面平面，所以平面，于是．
以为坐标原点，分别以，，的方向为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系．
设，则，，，．
所以，，．
设平面的法向量为，则，即，令，则，，所以．
设平面的法向量，则，即，令，则，，所以．
设二面角的大小为，由图易知为锐角，
则，
因此二面角的余弦值为．
【点睛】
本题是综合性题目，属于课堂学习情境和探索创新情境，具体是数学推理学习情境和数学探究情境，本题考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算求解能力．
解题关键 （1）证明线面平行的关键是找到线线平行，而线线平行常常借助三角形的中位线定理来证明．（2）利用向量法求二面角的大小，关键是建立合适的空间直角坐标系，然后正确求出两个平面的法向量．
12．如图，在四棱锥中，底面中，，侧面平面，且，点在棱上，且．
（Ⅰ）证明：平面；
（Ⅱ）求二面角的余弦值
答案:（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）．
分析：
（Ⅰ）要证明线面平行需证明线线平行，接交于点，连接，利用线段比例相等，证明；（Ⅱ）如图，建立空间直角坐标系，分别求平面和平面的法向量，利用法向量二面角的余弦值.
【详解】
命题意图 本题考查空间关系的证明以及利用空间向量计算二面角的余弦值
解析
（Ⅰ）如图，连接交于点，连接，
因为， ，所以，
由条件得，所以，
又平面，平面，
所以平面．
（Ⅱ）如图，取的中点，连接，．
由条件可知， ，两两垂直，以， ，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则， ， ，，
因为，所以．
所以， ，，
设平面的法向量为，
则即令，则．
设平面的法向量为，
则即令，则=，
所以二面角的余弦值为．
【点睛】
方法点睛：不管是证明面面平行，还是证明线面平行，都需要证明线线平行，证明线线平行的几种常见形式，1.利用三角形中位线得到线线平行；2.构造平行四边形；3.构造面面平行.
13．如图，在底面为菱形的四棱锥中，，．
（1）证明：；
（2）若，点在线段上，且，求二面角的余弦值．
答案:（1）证明见解析；（2）.
分析：
（1）取的中点，连接，，得，证得平面，从而得证线线垂直；
（2）设，求得可得，以以为坐标原点，分别以，，的方向为，，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．用空间向量法求二面角．
【详解】
（1）取的中点，连接，，，
因为四边形是菱形，且，
所以，且，所以为正三角形，．
因为，所以．
又，所以平面，
因为平面，所以．
（2）设，则，
所以，所以．
由（1）知，，又，，
所以，所以．
故以为坐标原点，分别以，，的方向为，，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．
则，，，，，
所以，，．
设是平面的法向量，则即
取，则．
设是平面的法向量，
则即则，
取，则．
则，
由图易知二面角为钝二面角，
所以二面角的余弦值为．
【点睛】
易错点睛：求解本题的易错点：一是求平面的法向量出错，应注意点的坐标求解的准确性；二是符号出错，把二面角的余弦值与向量夹角的余弦值的关系搞混，导致结果出错．
14．如图，在四棱锥中，底面，底面是边长为2的正方形，，，分别是，的中点．
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值；
（3）在上是否存在一点，使得与所成角为？若存在，求出点坐标，若不存在，请说明理由．
答案:（1）证明见解析；（2）；（3）存在，点的坐标为，0，.
分析：
（1）以为原点，、、分别为、、轴建立空间直角坐标系，写出、、、、、的坐标，根据法向量的性质求得平面的法向量，证得即可；
（2）由（1）知，平面的法向量为，1，，同（1）可求得平面的法向量，由，即可得解；
（3）设，则，0，，故有，，解之得的值即可．
【详解】
（1）证明：以为原点，、、分别为、、轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，0，，，0，，，0，，，2，，，2，，，1，，
，1，，，2，，，2，，
设平面的法向量为，，，则，即，
令，则，，，1，，
，
故平面．
（2）解：由（1）知，平面的法向量为，1，，，0，，
同（1）可求得平面的法向量，0，，
，，
由图可知，平面与平面的夹角为钝角，
平面与平面夹角的余弦值为．
（3）解：设，则，0，，
，0，，
与所成角为，，2，，
，，解得，
故在上存在一点，使得与所成角为，点的坐标为，0，．
【点睛】
关键点点睛：本题考查空间向量在立体几何中的应用，熟练掌握利用空间向量处理线面垂直、二面角和异面直线夹角的方法是解题的关键，考查学生的空间立体感、逻辑推理能力和运算能力．
15．已知如图①，在菱形中，且，为的中点，将沿折起使，得到如图②所示的四棱锥.
（1）求证：平面平面；
（2）若为的中点，求二面角的余弦值.
答案:（1）证明见解析；（2）.
分析：
（1）利用题中所给的条件证明，，因为，所以，，即可证明平面，进一步可得面面垂直；
（2）先证明平面，以为坐标原点，，，的方向分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，平面的一个法向量，利用向量的夹角公式即可求解
【详解】
解：（1）在图①中，连接，如图所示：
因为四边形为菱形，，所以是等边三角形.
因为为的中点，所以，.
又，所以.
在图②中，，所以，即.
因为，所以，.
又，，平面.
所以平面.
又平面，所以平面平面.
（2）由（1）知，，.
因为，，平面.
所以平面.
以为坐标原点，，，的方向分别为轴，轴，轴，
建立如图所示的空间直角坐标系：
则，，，，.
因为为的中点，所以.
所以，.
设平面的一个法向量为，
由得.
令，得，，所以.
设平面的一个法向量为.
因为，
由得
令，，，得
则，
所以二面角的余弦值为.
【点睛】
思路点睛：证明面面垂直的思路
（1）利用面面垂直的定义，（不常用）
（2）利用面面垂直的判定定理；
（3）利用性质：，.
16．如图，E为矩形边的中点，沿将向上翻折至，使得二面角为60°，且，.
（1）证明：平面；
（2）求直线与平面夹角的正弦值.
答案:（1）证明见解析；（2）.
分析：
（1）连接交于，由相识三角形可得，从而可得，进而可得结论；
（2）先证明，翻折后可得，可得是的平面角为，
为正三角形，设，则，以为原点，为轴，为轴，建立如图所示法坐标系，求出法向量与直线的方向向量，利用夹角公式可得答案.
【详解】
（1）连接交于，
则，，
又，，
又面，面，
平面；
（2），
，
，
，
，，
即，翻折后可得，
所以是的平面角为，
为正三角形，
设，则，以为原点，为轴，为轴，建立如图所示法坐标系，
则，，
，
设平面的法向量为，则，
令，则，，
设与平面夹角的正弦值夹角为，
【点睛】
利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：
第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；
第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；
第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；
第四，破“应用公式关”.
17．如图，长方体中，，，若在上存在点，使得平面.
（1）求的长；
（2）求平面与平面夹角的余弦值.
答案:（1）；（2）.
分析：
（1）建立空间坐标系，设，令即可求出的值；
（2）求出平面的法向量，计算和的夹角即可得出二面角的大小.
【详解】
（1）以为原点，以，，为轴建立空间直角坐标系，如图所示：
设，则，，，，0，，，0，，，2，，，0，，
，2，，，2，，，，，
平面，
，即，解得，
.
（2）由（1）可知，，为平面的法向量，
，，，，0，，
设平面的法向量为，，，则，即，
令可得，2，，
，.
平面与平面夹角的余弦值为.
【点睛】
方法点睛：二面角的求法方法一：（几何法）找作（定义法、三垂线法、垂面法）证（定义）指求（解三角形）；
方法二：（向量法）首先求出两个平面的法向量；再代入公式（其中分别是两个平面的法向量，是二面角的平面角.）求解.（注意先通过观察二面角的大小选择“”号）
18．如图，三棱柱的侧面是边长为的正方形，面面，，，是的中点.
（1）求证：平面；
（2）求点到平面的距离；
（3）在线段上是否存在一点，使二面角为，若存在，求的长；若不存在，说明理由.
答案:（1）证明见解析；（2）；（3）存在，且，理由见解析.
分析：
（1）通过三角形的中位线以及线面平行的判定定理，证得平面.
（2）建立空间直角坐标系，利用公式计算点到平面的距离.
（3）设出点坐标，根据二面角为列方程，解方程求得.
【详解】
（1）连接交于，连接，
根据柱体的性质可知，所以四边形是平行四边形，
所以是的中点，由于是的中点，
所以，
由于平面，平面，
所以平面.
（2）因为四边形是正方形，所以，
因为面面，面面，
所以平面，则.
因为，，在三角形中由余弦定理得
，
所以，所以.
以为原点，建立如图所示空间直角坐标系.
则.
.
设平面的法向量为，
则，令，则，故.
设到平面的距离为，则.
（3）假设线段上存在一点，使二面角为.设，
则，.
设平面的法向量为，
则，令则，
所以.
由于平面，所以，是平面的一个法向量，
所以，解得（负根舍去）.
所以在线段上存在一点，使二面角为，且.
【点睛】
证明线面平行的方法主要是通过线线平行来证明，求点面距可以考虑向量法来计算.
19．如图，在直三棱柱中，，
（1）求证：；
（2）求直线和所成角的大小；
（3）求直线和平面所成角的大小.
答案:（1）证明见解析；（2）；（3）.
分析：
（1）建立空间直角坐标系，由证得.
（2）利用直线和直线的方向向量，求得直线和所成角的余弦值，由此求得该角的大小.
（3）利用直线的方向向量和平面的法向量，求得直线和平面所成角的正弦值，进而求得该角的大小.
【详解】
（1）由于三棱柱是直三棱柱，所以平面，
所以，
依题意可知.
以为原点建立如图所示空间直角坐标系.
则，
则，
所以，所以.
（2），
设直线和所成角为，
则，
由于，所以.
（3），设平面的法向量为，
则，令可得.
设直线和平面所成角为，
则，
由于，所以.
【点睛】
要证明线线垂直，可以利用这两条直线的方向向量的数量积为来证明.
20．如图，已知三棱锥中，平面，，M、E分别为、的中点，N为的中点．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求直线和平面所成角的正弦值．
答案:（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）.
分析：
（Ⅰ）以C为原点，所在直线为x轴、y轴，建立空间直角坐标系，设，利用空间向量的数量积为0可证；
（Ⅱ）根据向量和平面的法向量可求得结果.
【详解】
（Ⅰ）证明：如图，以C为原点，所在直线为x轴、y轴，建立空间直角坐标系，
设，则，
所以，
所以，
因为，
所以．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
设平面的法向量，
则得
令，则，故平面的一个法向量为，
设直线与平面所成的角为，则
.
所以直线和平面所成角的正弦为.
【点睛】
关键点点睛：建立空间直角坐标系，正确写出相关点的坐标，求出平面的法向量是解题关键，属于中档题.
21．如图，三棱柱中，底面是边长为的等边三角形，侧面为菱形，且平面平面，，为棱的中点．
（1）证明：平面；
（2）求二面角的余弦值．
答案:（1）证明见解析；（2）.
分析：
（1）设的中点为，与的交点为，连接，，，根据线面垂直的判定定理，可得平面；再证明，得到平面，推出，，从而可得线面垂直；
（2）先由（1）可得，，，两两相互垂直，以为坐标原点，以的方向为轴正方向，分别以，为轴和轴的正方向，建立空间直角坐标系，分别求出平面和的法向量，由向量夹角公式，即可求出结果.
【详解】
（1）证明：设的中点为，与的交点为，连接，，，如图所示．
由为的中点可得，又平面平面，平面平面，故平面．
又为的中点．所以且．
又且，所以且，
因此四边形为平行四边形，所以且，所以平面，
故，又四边形为菱形，所以，
又，平面，平面，
所以平面；
（2）由（1）可知，，两两相互垂直，以为坐标原点，以的方向为轴正方向，分别以，为轴和轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．
则，，，，
设为平面的一个法向量，
则即可取，
由（1）可知，为平面的一个法向量，
所以．
所以二面角的余弦值为．
【点睛】
方法点睛：
求空间角的常用方法：
（1）定义法，由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结合题中条件，解对应三角形，即可求出结果；
（2）向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量夹角（直线方向向量与直线方向向量、直线方向向量与平面法向量，平面法向量与平面法向量）余弦值，即可求出结果.
22．在如图所示的几何体中，四边形为正方形，平面，，，.
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值；
（3）在棱上是否存在一点，使得二面角的大小为？如果存在，确定点的位置；如果不存在，说明理由.
答案:（1）证明见解析；（2）；（3）存在；为的中点.
分析：
（1）取中点，通过证明四边形是平行四边形得出，故而平面；
（2）建立了空间坐标系，求出平面的法向量，计算和的夹角即可求出线面角的正弦值；
（3）设，求出平面的法向量，令计算，根据计算结果得出结论.
【详解】
（1）证明：取中点，连接，，
，，
四边形是平行四边形，
，，
四边形是正方形，，，
，，
四边形是平行四边形，，
又平面，平面，
平面.
（2）解：以为原点建立空间直角坐标系，如图所示：
则，0，，，0，，，4，，，4，，
，4，，，0，，，4，，
设平面的法向量为，，，则，即，
令可得，1，，
设直线与平面所成角为，
则，
直线与平面所成角的正弦值为.
（3）解：设，0，，则，0，，，4，，
设平面的法向量为，，，则，即，
令可得，，，
故，令，即，解得，（舍），
当为的中点时，二面角的大小为.
【点睛】
方法点睛：求二面角的方法有：
①定义法：在二面角的棱上选取特殊点，过该点在两个半平面内作棱的垂线得到二面角的平面角，在三角形中计算可得结果；
②向量法：建立空间直角坐标系，利用二面角的两个半平面的法向量的夹角可求得结果.
23．在四棱锥中，四边形ABCD为正方形，平面平面ABCD，为等腰直角三角形，，AB=2.
（1）求证：平面平面PAC；
（2）设E为CD的中点，求二面角C-PB-E的余弦值.
答案:（1）详见解析；（2）.
分析：
（1）根据平面平面，易得平面，从而，再结合，利用线面垂直的判定定理证得平面，然后利用面面垂直的判定定理证明.
（2）取的中点，连接，，易得平面，然后以为坐标原点．分别以，，的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量为，又平面的一个法向量为，然后利用求解.
【详解】
（1）因为平面平面，平面平面，
平面且，
所以平面．
又平面，
所以，
因为，，，平面，
所以平面．
又平面，
所以平面平面．
（2）取的中点，连接，，则，．
因为平面平面，平面平面，
平面，所以平面，所以．
以为坐标原点．分别以，，的方向为轴、轴、轴的正方向建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，，
则，，．
设平面的一个法向量为，
则即
取，得；
平面的一个法向量为，
所以．
因为二面角为锐二面角，
所以二面角的余弦值为．
【点睛】
方法点睛：1、证明平面和平面垂直的方法：①面面垂直的定义；②面面垂直的判定定理(a⊥β，a⊂α⇒α⊥β)．
2、向量法求二面角的方法：分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．
24．已知长方体中，，，E为的中点.
（1）证明平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
答案:（1）证明见解析；（2）
分析：
（1）连结，与交于点，可得，结合平面，根据线面平行的判断定理可证明平面；
（2）以为原点，分别以所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面的法向量，及，设直线与平面所成角为，可得，计算即可.
【详解】
（1）连结，与交于点，则为的中点，又E为的中点，所以，
又平面，平面，所以平面.
（2）以为原点，分别以所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，，
则，，，
设平面的法向量为，
则，令，得，得，
设直线与平面所成角为，则.
25．如图，四边形为菱形，，四边形为矩形，平面平面，点在上，.
（1）证明：平面；
（2）若与平面所成角为60°，求二面角的余弦值.
答案:（1）证明见解析；（2）.
分析：
（1）由平面平面，得平面，得.再由已知.得，从而可证得线面垂直；
（2）由线面角的定义得，设，则，.连接，以和的交点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系.用空间向量法求得二面角余弦．
【详解】
（1）因为，，所以.
因为平面平面，，平面平面，
所以平面，所以.
又因为，所以平面.
（2）由（1）知平面，所以为与平面所成的角，
所以，.由平面，知.
设，则，.
连接，以和的交点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系.
则，，，，.
所以，，
设为平面的一个法向量，
则,可取.
由（1）可知为平面的一个法向量.
所以，
结合图可知二面角的余弦值为.
【点睛】
思路点睛：本题考查证明线面垂直，考查求二面角．
（1）证明线面垂直，一般要证明线线垂直，而证明线线垂直又可由线面垂直、面面垂直的 性质定理得出，掌握线线垂直、线面垂直、面面垂直的关系是证明的关键．
（2）求二面角常用方法是建立空间直角坐标系，求出二面角的两个面的法向量，求出法向量夹角的余弦值，根据二面角的大小得出二面角的余弦值，从而可得二面角大小．
26．如图，在边长为8的菱形中，，将沿折起，使点到达的位置，且二面角为60°.
（1）求证：；
（2）若点E为中点，求直线BE与平面所成角的正弦值.
答案:（1）证明见解析；（2）.
分析：
（1）连接，交于点O，连接，利用线面垂直的判定定理证明平面，再由线面垂直的性质定理可证结论.
（2）由（1）知，即为二面角的平面角，所以，以O为坐标原点，建立如图空间直角坐标系，求出需要的点的坐标，利用空间向量知识求得线面角的正弦值.
【详解】
（1）连接，交于点O，连接，
因为四边形为菱形，所以，从而，,
又，所以平面，
又平面，所以
（2）由（1）知，即为二面角的平面角，所以.
如图，以O为坐标原点，为x，y轴正方向，建立空间直角坐标系，
，，，，,
所以，，
设平面的法向量为，则
，取，得
设直线BE与平面所成角为，
则.
所以直线BE与平面A1DC所成角的正弦值为.
【点睛】
方法点睛：本题考查线线垂直，及线面角的求法，利用空间向量求立体几何常考查的夹角：
设直线的方向向量分别为，平面的法向量分别为，则
①两直线所成的角为(),；
②直线与平面所成的角为(),；
③二面角的大小为(),
27．如图，在直三棱柱中，，，，点是的中点.
（1）求证：平面⊥平面；
（2）求平面与平面所成的锐二面角（是指不超过的角）的余弦值.
答案:（1）证明见解析；（2）.
分析：
（1）证明出平面，再利用面面垂直的判定定理可证得平面⊥平面；
（2）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得平面与平面所成的锐二面角的余弦值.
【详解】
（1），为的中点，则，
在直三棱柱中，平面，平面，，
，平面，
平面，因此，平面⊥平面；
（2）在直三棱柱中，平面，，
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，
则、、，，，
设平面的法向量为，
由，得，令，则，，可得，
易知平面的一个法向量为，
，
因此，平面与平面所成的锐二面角的余弦值为.
【点睛】
证明两个平面垂直，首先要考虑直线与平面的垂直，也可简单地记为“证面面垂直，找线面垂直”，是化归思想的体现，这种思想方法与空间中的平行关系的证明非常类似，这种转化方法是本讲内容的显著特征，掌握化归与转化思想方法是解决这类问题的关键．
28．中，，，E，F分别是边，上的点，且，于H，，将沿折起，点A到达，此时满足面面．
（1）若，求直线与面所成角大小；
（2）若E，F分别为，中点，求锐二面角的余弦值；
（3）在（2）的条件下，求点B到面的距离．
答案:（1）；（2）；（3）．
分析：
（1）折叠过程中与保持垂直，由面面垂直的性质定理得平面，从而可得为直线与面所成角，解即可得；
（2）由（1）分别以为轴建立如图所示的空间直角坐标系，写出点的坐标，求出二面角的两个面的法向量，由法向量夹角的余弦得二面角的余弦（注意锐二面角）；
（3）同样求出平面的一个法向量，由在法向量方向上的投影的绝对值即为点B到面的距离可得结论．
【详解】
（1）因为，，，，
所以为中点，，，，
所以，又平面平面，所以平面，
所以为直线与面所成角
若，由得，所以，，
，又，
，是锐角，所以；
（2）分别以为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
因为E，F分别为，中点，则，，
，，，，，
设平面的一个法向量为，
则，取，则，即，
平面的一个法向量为，
，
所以锐二面角的余弦值为．
（3）由（2），，，，
设平面的一个法向量为，则
，取，则，，即，
，
所以点B到面的距离为．
【点睛】
本题考查求直线与平面所成的角，考查用空间向量法求二面角，求点到平面的距离，解题关键是建立空间直角坐标系，求出平面的法向量．然后只要计算即可得．
29．如图，在梯形中，，，平面，四边形为矩形，点为线段的中点，且，.
（1）求证：平面平面；
（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
答案:（1）证明见解析；（2）.
分析：
（1）依题意可得、，即可得到平面，即平面，再根面面垂直的判定定理即可得证；
（2）以为坐标原点，分别以直线，，为轴､轴､轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出二面角的余弦值；
【详解】
（1）证明：在梯形中，，，，
所以，，
又，所以，
所以，
所以，所以.
又平面，平面，所以，
因为，，平面，
所以平面，即平面.
又平面，则平面平面.
（2）解：由（1）知，，两两垂直，
所以以为坐标原点，分别以直线，，为轴､轴､轴建立空间直角坐标系，
因为，，，
所以，所以，，，
所以，.
设为平面的一个法向量，
由，得，
解得，取，则.
因为是平面的一个法向量，
设平面与平面所成锐二面角为，
所以.
【点睛】
本题考查面面垂直的证明，空间向量在立体几何中的应用，考查空间想象能力及计算能力，属于中档题.
30．如图，四棱锥的底面为正方形，侧面底面．为等腰直角三角形，且．，分别为底边和侧棱的中点．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求二面角的余弦值．
答案:（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）．
分析：
（Ⅰ）证明：取的中点，连接，．由平面几何知识可证得四边形是平行四边形．再由线面平行的判断可得证．
（Ⅱ）先由面面垂直的性质和线面垂直的判定和性质证得两两垂直．再以点为原点，分别以为轴，建立空间直角坐标系，根据二面角的向量求解方法可得答案.
【详解】
解：（Ⅰ）证明：取的中点，连接，．因为，分别是，的中点，所以是△的中位线．
所以∥，且．
又因为是的中点，且底面为正方形，所以，且∥．
所以∥，且．所以四边形是平行四边形．
所以∥．又平面，平面，
所以∥平面．
（Ⅱ）证明： 因为平面平面，，且平面平面，所以平面．
所以，．又因为为正方形，所以，所以两两垂直．
以点为原点，分别以为轴，
建立空间直角坐标系（如图）．
由题意易知，设，则，，，，，．
得到，，
设平面的法向量为，则，所以 ，即，
令，则．得，．
设平面的法向量为，则，所以 ，即，
令，则．所以 ．
由图可知，二面角的大小为锐角，
所以二面角的余弦值为．
【点睛】
向量法求二面角的步骤：建、设、求、算、取.
1、建：建立空间直角坐标系.以三条互相垂直的垂线的交点为原点，没有三垂线时需做辅助线，建立右手直角坐标系,让尽量多的点落在坐标轴上.
2、设：设所需点的坐标，并得出所需向量的坐标.
3、求：求出两个面的法向量.
4、算：运用向量的数量积运算，求两个法向量的夹角的余弦值；
5、取：根据二面角的范围和图示得出的二面角是锐角还是钝角,再取值.