第41讲 含参不等式解法-2023届高考数学二轮复习经典结论微专题

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不等式f(x)≥a在区间D上恒成立⇔≥a;
不等式f(x)＜b在区间D上恒成立⇔＜b;
不等式f(x)≤b在区间D上恒成立⇔≤b.
2.若函数f(x)在区间D上不存在最大(小)值,且值域为(m,n),则
不等式f(x)＞a(或f(x)≥a)在区间D上恒成立⇔m≥a;
不等式f(x)＜b(或f(x)≤b)在区间D上恒成立⇔n≤b.
3.若函数f(x)在区间D上存在最小值和最大值,则
不等式a＜f(x)在区间D上有解⇔a＜﹔
不等式a≤f(x)在区间D上有解⇔a≤
不等式a＞f(x)在区间D上有解⇔a＞﹔
不等式a≥f(x)在区间D上有解⇔a≥
4.若函数f(x)在区间D上不存在最大(小)值,且值域为(m,n),则
不等式a＜f(x)(或a≤f(x))在区间D上有解⇔a＜n;
不等式b＞f(x)(或b≥f(x))在区间D上有解⇔b＞m.
结论一、利用二次函数的性质
对形如f(x)＞0或f(x)＜0在其定义域上的不等式恒成立问题,若f(x)满足二次函数的一般结构,那不妨将题转化成二次函数在其定义域上的图像在坐标系中与x轴的高低比较.一般来讲,对(或)在x∈R上恒成立问题,可以利用二次项系数及判别式进行讨论;对(或)在x∈D(D≠R)上恒成立问题,常用分离参数法.
【例1】若不等式的解集是R,则m的取值范围是__________
【答案】[1,9)
【解析】要想应用上面的结论,就得保证是二次的,这样才有判别式,但二次项系数含有参数m,所以要讨论m－1是否是0.
(1)当m－1＝0时,原不等式化为2＞0恒成立,满足题意;
(2)当m－1≠0时,只需 所以m∈[1,9).
【变式】已知,若x∈[–2,2],f(x)≥2恒成立，则a的取值范围是_________________.
【答案】
【解析】本题可以考虑f(x－2＝g(x)的零点分布情况进行分类讨论,分无零点、零点在区间的左侧、零点在区间的右侧三种情况,即Δ≤0 或 或，,即在[－2,2]上成立
(1),所以
(2)或所以
综上,
结论二、分离变量
若在等式或不等式中出现两个变量,其中一个变量的范围已知,另一个变量的范围为所求,且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边,则可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解.这类题型的基本解题思路如下:
(1)将参数与变量分离,即化为g(a)≥f(x)(或g(a)≤f(x))恒成立的形式;
(2)求f(x)在x∈D上的最大(或最小)值;
(3)解不等式g(a)≥(或g(a)≤),得a的取值范围.
【例2】当x∈[1,2]时,不等式恒成立,则m的取值范围是_________.
【答案】(–∞,－5)
【解析】当x∈[1,2]时,由得.令则易知f(x)在[1,2]上是增函数,所以当x∈[1,2]时,＝f(1)＝－5,则m＜–5,即m∈(–∞,－5).
【变式】已知x∈(–∞,1]时,不等式恒成立,则a的取值范围是___________
【答案】
【解析】令,因为x∈(–∞,1],所以t∈(0,2],所以原不等式可化为:.要使上式在t∈(0,2]上恒成立,只须求出f(t)＝在t∈(0,2]上的最小值即可.因为又因为,所以所以,所以,
结论三、变换主元
在不等式的恒成立问题中，有一类题型是题中的参数如a，m，k等的范围是已知的，而问题要求的反而是变量x的范围。这类题型中，由于已知范围的变量是以前我们所接触的参数，因而题中的函数结构也就发生了改变，此时函数是以参数为自变量的函数。一般来说，我们在观察这类恒成立问题时，哪个变量的范围是已知的，哪个就是该函数的自变量。
【例3】若|a|≤2,不等式恒成立,则x的取值范围是__________.
【答案】x＜–1或x＞3
【解析】原不等式转化为在|a|≤2时恒成立,设,则f(a)在|a|≤2上恒大于0,故有即
解得，所以x＜－1或x＞3.
【变式】若不等式对于a∈(－∞,3] 恒成立,则x的取值范围是_______________.
【答案】(－∞,0)∪(1,＋∞)
【解析】注意到对于α∈(－∞,3]恒成立是关于a的一次不等式.
不妨设,则f(a)在a∈(–∞,3]上单调递减,则问题等价于f(3)＞0,所以⇒或,则x的取值范围是x∈(－∞,0)∪(1,＋∞).
结论四、恒成立问题
1.对任意的x∈D,都有f(x)＞m,则＞m;
2.对任意的x∈D,都有f(x)＜m,则＜m.
【例4】若对任意x＞0,都有,则a的取值范围是___________.
【答案】
【解析】原题等价于
则 为减函数, 于是 . 故 .
【变式】 已知函数 , 若对任意 ,都有 , 则实数的取值范围是____________________
【答案】
【解析】 对任意的 ,都有 ,转化为 恒成立,题意等价于 , 令 , 且 在 上为减函数,所以
. 故 .
结论五、能成立问题
1. 若存在 ,使得 , 则;
2. 若存在 ,使得 , 则.
【例5】 存在实数 ,使得不等式 有解,则的取值范围为________________
【答案】
【解析】变量分离得 , 只需当 时, . 因为 , 所以 , 即 .
【变式】 已知函数 ,若定义域不为空集,则 的取值范围为________________
【答案】
【解析】 的定义域非空,相当于存在实数 , 使 成立, 的最大值大于 0 成立, , 解得 或 , 即
.
结论六、恰成立问题
1. 若不等式 在区间 上恰成立, 则等价于不等式 的解集为 ;
2. 若不等式 在区间 上恰成立, 则等价于不等式 的解集为 .
【例6】不等式 的解集为 , 则 ________________
【答案】 6
【解析】 由题意知 的两根分别为 , 根据韦达定理可得 . 所以 .
【变式】 已知函数 ,若 的解集为 ,则 ________________
【答案】 -5
【解析】 因为 的解集为 , 所以 的解集为 , 所以等价于方程 的两个根为 2 和 3 ,由韦达定理可得 .
结论七、“任意 = 存在”型
对任意的,存在,使得,则的值域是值域的子集, 即 .
【例7】 函数 , 对于任意的 , 均存在 ,使得 成立,则 的取值范围是________________
【答案】
【解析】 设 在区间 上的值域为 在区间 上的值域为 ,本题转 化成两函数的值域之间的关系, 即需满足 , 即 . 所以 且 , 解得 . 故 .
【变式】 已知 , 对任意的 , 存在 ,使得 , 则 的取值范围是________________
【答案】
【解析】 由 可得 的值域为 ,3], 的值域是 , 又对任意的 ,存在 ,使得 , 则 的值域包含 的值域, 即 ,则 ,解得 . 故 .
结论八、“存在 = 存在”型
若存在 ,存在 ,使得 , 则 的值域与 的值域有非空交集, 即 .
【例8】 已知函数 ,若有 ,则的取值范围为________________
【答案】
【解析】因为 的值域为 , 又有 , 即 , 即 , 解得 , 即 .
【变式】 已知函数存在 , 使得 成立,则的取值范围为_____________
【答案】
【解析】 存在 ,使得 成立,则 的值域 相交非空, 的值域为 的值域为 , 则 或 ,解得 .