第46讲 空间垂直关系-2023届高考数学二轮复习经典结论微专题

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(1)自然语言:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂间
(2)图形语言:如图所示.

(3)符号语言:
通关二、直线与平面垂直的性质定理
自然语言:垂直于同一个平面的两条直线平行.
图形语言:如图所示.
符号语言:
要点诠释:
直线与平面垂直的定义常常逆用，即LB
若平行直线中一条垂直于平面，则另一条也垂直于该平面.
(3)垂直于同一条直线的两个平面平行.
(4)过一点有且只有一条直线与已知平面垂直.(5)过一点有且只有一个平面与已知直线垂直.
通关三、平面与平面垂直的判定定理
(1)两个平面垂直的定义
如果两个相交平面所成的二面角是直二面角，那么就说这两个平面互相垂直.平面与β垂直，记作.
(2)两个平面垂直的判定定理
自然语言:一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.
图形语言:如图所示.
符号语言:.
要点诠释:
( 1)两个平面互相垂直是两个平面相交的特殊情况，正方体中任意相邻的两个面都是互相垂直的;
(2)由定理可知，要证明平面与平面垂直，可转化为从现有直线中寻找平面的垂线，即证明线面垂直;
(3)面面垂直的判定定理提供了找出垂直于一个平面的另一个平面的依据.
通关四、平面与平面垂直的性质定理
自然语言：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂 直
图形语言：如图所示．
符号语言： ．
要点诠释：
(1)两个平面互相垂直是两个平面相交的特殊情况，正方体中任意相邻的两个面都是互相垂直的；
(2)由定理可知，要证明平面与平面垂直，可转化为从现有直线中寻找平面的垂线，即证明线面垂直；
(3)面面垂直的判定定理提供了找出垂直于一个平面的另一个平面的依据．
结论一、线线垂直
思考途径:
1.转化为相交垂直;
2.转化为线面垂直;
3.转化为线与另一线的射影垂直;4.转化为线与形成射影的斜线垂直.支持定理:
配图助记:
【例1】如图，ABCD是正方形，SA垂直于平面ABCD，过A且垂直于SC的平面分别交SB，SC，SD于点E，F，G，求证:AE⊥SB，AG⊥SD.
【解析】证明因为SA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以SA⊥BC.又因为ABCD为正方形，所以BC⊥AB，所以BC⊥平面ASB.因为AE⊂平面ASB，所以BC⊥AE.又因为SC⊥平面AEFG，所以SC⊥AE，所以AE上平面SBC.又因为SB⊂平面SBC，所以AE⊥SB，同理可证AG⊥SD.
【变式】如图，四面体P-ABC中，PA上面ABC，AB上BC，过A作AE⊥PB交PB于E，过A作AF⊥PC交PC于F.求证:PC⊥EF.
【解析】证明因为PA上面ABC，且BC⊂面ABC，所以BC⊥PA，且BC⊥AB，所以BC⊥面ABE，所以BC⊥AE.又PB⊥AE，且 BC∩PB =B，所以AE⊥面PBC，且 PC⊂面PBC，所以AE⊥PC.又AF⊥PC，且AF∩AE=A，所以PC⊥面AEF ，且EF⊂面AEF，所以PC⊥EF.
结论二、线面垂直
思考途径:
1.转化为该直线与平面内任一直线垂直;
2.转化为该直线与平面内相交二直线垂直;
3.转化为该直线与平面的任意一条垂线平行;
4.转化为该直线垂直于另一个平行平面;
5.转化为该直线与平面的垂线平行.支持定理.
支持定理：
配图助记:
要点诠释：
平面和平面垂直的判定定理的两个条件：，缺一不可．
【例2】如图，在正方体，为的中点，
为底面的中心．求证面.
【解析】证法一 由于，且，所以面，
，所以连结，设，则
因为
，，
所以，所以，，所以面.
证法二 由于，且，所以面，且
面，所以.取中点，连结，则
在正方形中，由，分别为的中
点，可知，又且，所以
面,又面，所以所以面PAC．
【变式】 在四棱锥中，底面为矩形，底面，
分别为，AB的中点．若，求证：面
【解析】证法一 取中点，连结则
所以，所以四边形是平行四边形．因为底面，
且面，所以．又由底面是矩形有，所以
面．又面PAD，所以．又因为，
所以是等腰直角三角形．因为为中点，所以，
所以．又，面．又，所以面．
证法二 先完全仿照证法一可证明面取中点，
连接，则，所以面面，
所以面MRN，所以MN⊥CD．因为∠PDA＝45°，所以PA＝AD，
又BC＝AD，所以PA＝BC，又AN＝BN，且＝∠CBN＝90°，
所以根据三角形全等可知PN＝NC，又PM＝MC，所以因为
CD∩PC＝C，所以MN⊥面PCD
结论三、面面垂直
思考途径：
1．转化为判断二面角是直二面角；
2．转化为线面垂直．
支持定理：
二面角的平面角为；② ； ③
配图助记：
【例3】在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD是正方形，SA⊥底面ABCD，
SA＝AB，点M是SD的中点，AN⊥SC，且交SC于点N．
证明：平面SAC⊥平面AMN．
【解析】证明因为SA⊥底面ABCD，CDC平面ABCD，所以SA⊥CD．
又因为CD⊥AD，SAC平面SAD，ADC平面SAD，SA∩AD＝A，
所以CD⊥平面SAD．AMC平面SAD，所以CD⊥AM．又因为
SA＝AD＝AB，M是SD的中点，所以AM⊥SD．SDC平面SCD，CDC平面SCD，SD∩CD＝D，所以AM⊥平面SCD．SCC平面SCD，所以AM⊥SC．又因为AN⊥SC，AM，ANC平面AMNAM∩AN＝A，所以SC⊥平面AMN．又因为SCC平面SAC，所以平面SAC⊥面AMN．
【变式】如图，在直四棱柱中，，，点M是棱BB1，上一点
（1）求证：面A1BD；
（2）求证：
（3）试确点M的位置，使得平面DMC1⊥平面CC1D1D．

【解析】1)证明 由直四棱柱，得
所以是平行四边形，所以而BD⊂平面平面，
所以面
(2)证明因为面ABCD，ACC面ABCD，所以又因为BD⊥AC，且所以AC⊥面而MD⊂面所以MD⊥AC
(3)当点M为棱的中点时，平面平面取DC的中点的中点连结交DC于O，连结OM．因为N是DC中点，BD＝BC，所以BN⊥DC．又因为DC是面ABCD与面的交线，而面ABCD⊥面所以BN⊥面又可证得O是的中点，所以BM//NO且BM＝NO，即BMON是平行四边形，所以BN//OM，所以OM⊥平面因为OMC平面所以平面