第43讲 表面积与体积-2023届高考数学二轮复习经典结论微专题

第43讲 表面积与体积

通关一、多面体的表面积和体积公式

要点诠释：表中表示面积，分别表示上、下底面周长，表示高，表示斜高，表示侧棱长

通关二、旋转体的表面积和体积公式

要点诠释

表中分别表示母线、高，表示圆柱圆锥的底面半径，分别表示圆台的上下底面半径，表示球的半径.

结论一、公式法

1.柱体的体积公式：

2.锥体的体积公式：

3.台体的体积公式：

4.球的体积：

【例1】如图，在长方体中，分别过的两个平行截面将长方体分成三部分，其体积分别记为,若，则截面的面积为__________.

【答案】

【解析】由可知，又因为，解得.在中，，所以.

【变式】如图，在三棱柱中，若分别为，的中点，平面将三棱柱分成体积为，的两部分，那么____________.

【答案】

【解析】设三棱柱的高为，，则，

所以，所以，所以.

结论二、等体积法（颠倒法）

一个几何体无论怎样转化，其体积总是不变的。尽量使颠倒后的底面在已知多面体的表面或者对角面上.

【例】2 三棱柱各侧棱和底面边长均为a，点是上任意一点，连结，，，则三棱锥的体积为(     )

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】如图所示，由题意知三棱锥，所以.故选C.

【变式】已知长方体，棱.

（1）求点到平面的距离.

（2）连接，过点作的垂线交于，交于.

①求证：；

②求点D到平面的距离

【解析】（1）解法一 设点到平面的距离为.因为，所以.在中，由已知条件有

，，所以而，，所以.

解法二 连结交于点，则，因为上底面，从而有，因为，所以面，又面，所以面面，且面面.过作交于，则面，所以点到平面的距离即为长.在中，由已知条件可得，，，所以.

（2）①证明 因为长方体中棱，所以又，且，所以，从而，所以.因为面，且，所以，且，所以，且，所以又因为，所以.

②，且，所以，所以点到平面的距离可以转化为点到面的距离.又因为，所以即为所求距离，.

结论三、割补法

运用割补法处理不规则的空间几何体或不易求解的空间几何体的体积计算问题，关键是能根据几何体中的线面关系合理选择截面进行切割或者补成规则的几何体。要弄清切割后或补形后的几何体的体积是否与原几何体的体积之间有明显的确定关系，从一定意义上说，用割补法求几何体的体积，就是求体积的“加、减法”。

【例3】若三棱柱的一个侧面是边长为2的正方形，另外两个侧面都是有一个内角为60°的菱形，则该棱柱的体积等于（）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】如图，是正方形，取中点，若，则连结，易知底面三角形是边长为2的正三角形，且为正三角形，于是，且，，不难算得，于是.因此.若，则连结，此时有，可计算出，同上可知三棱柱的体积为.故选.

【变式】如图，已知三棱雉中，之间的距离为，且，则三棱雉的体积为_____________。

【答案】

【解析】以，为邻边补成平行四边形，以为侧棱补成平行六面体，如右图，则三棱雉的体积与平行六面体的体积之间有，易知平行六面体左、右侧面之间的距离就是异面直线，之间的距离.因为，所以四边形为矩形.所以.

结论四、正方体与球的组合

正方体的棱长为，内切球半径为，棱切球半径为，外接球半径为.

【例4】 若三棱雉的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为，则其外接球的表面积是_______。

【答案】

【解析】此三棱雉可以看成边长为的正方体的一个角，故它的外接球的直径为，从而它的外接球的表面积为.

【变式】正方体全面积为24，则它的内切球的表面积为__________接球的表面积__________。

【答案】

【解析】由球与正方体的对称性易知，正方体的外接球和内切球的球心都与正方体的中心重合，体对角线为外接球的一条直径，内切球的直径等于正方体边长的一半.正方体的全面积为24，故它的边长为，故它的体对角线长为，即它的内切球的半径为1，外接球的半径为，故它的内切球的表面积为，外接球的表面积为.

结论五、正四面体与球的组合

正四面体的棱长为，它的高为，体积为，外接球半径为，内接半径为.

【例5】 知正四面体棱长为a，则其外接球的表面积为__________，内切球的表面积为__________.

【答案】 

【解析】正四面体的外接球和内切球是同心球，且球心在正四面体一截面的高上.

解法一 如图，正四面体中，内切球切底面于，切侧面于，则，为底面和侧面的中心.连结，则.取中点，连结，，，分别在，上.设内切球半径为，外接球半径为，，

为等腰三角形，连结并延长交于，则垂直平分，.因为，所以，所以，所以，

所以外接球的表面积为，内切球的表面积为

解法二 由于球心将正四面体分割成四个全等的三棱雉，且每个三棱雉的高为内切球的半径.因为正四面体的体积，又，所以又因为，所以.所以外接球的表面积为，内切球的表面积为.

【变式】如图所示，正四面体的外接球的体积为，则正四面体的体积为_________.

【答案】

【解析】解法一：如图，为底面的中心，大圆圆心在上，设正四面体棱长为，由题意知，故.所以，，

所以在中，，解得.所以.

解法二：在中应用射影定理.如图，为底面的中心，在正四面体中，大圆圆心在上，为球的大圆直径.由题意知，故.因为为球的直径，故，，设，则，故，由射影定理知，，解得.故.

解法三：将正四面体置于正方体中，正四面体的外接球即为正方体的外接球，正方体的体对角线为球的直径.由得，所以体对角线长为，因此正方体边长为2，所以正方体的面对角线即正四面体的棱长，为，所以.

结论六、表面积和体积最值问题

1.求棱长或高为定值的几何体的体积或表面积的最值.

2.求表面积一定的空间几何体的体积最大值和求体积一定的空间几何体的表面积的最小值.

3.组合体中的最值问题一般思路：

(1)根据几何体的结构特征和体积、表面积的计算公式，将体积或表面积的最值转化为平面图形中的有关最值，根据平面图形的有关结论直接进行判断；

(2)利用基本不等式或建立关于表面积和体积的函数关系式，然后利用函数或者导数方法解决.

【例6】 已知正四棱锥内接于一个半径为的球，则正四棱锥体积的最大值是（     ）.

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】如右图，记为正四棱雉外接球心，为底面的中心，则，，三点共线，连结，，.设，则，，，所以正四棱锥的体积，当且仅当，即时，等号成立.故选C.

【变式】如图所示，是圆柱的母线，是圆柱底面圆的直径，是底面圆周上异于，的任意一点，.

(1)求证：；

(2)求三棱锥的体积的最大值.

【解析】（1）证明 因为是底面圆周上异于，的一点，且为底面圆的直径，所以.因为，，所以因为，，，所以.

（2）解法一 ：设，在中，，故

，即.因为，所以.所以当，即时，三棱雉的体积取得最大值.

解法二：在中，，.当且仅当时，等号成立，此时.所以三棱雉的体积的最大值为.

解法三：欲使最大，只需最大，只需到的距离最大.又到的最大距离为1，所以最大值为.