2023年江苏省常州市中考二模数学试题

这是一份2023年江苏省常州市中考二模数学试题，共31页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年江苏省常州市中考二模数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．实数的绝对值为（    ）
A． B． C．2023 D．
2．下列不等式一定成立的是（　　）
A．4a＞3a B．﹣b＞﹣2b C．3﹣x＜4﹣x D．＞
3．如图，该几何体是由5个相同的小正方体搭成的，则这个几何体的主视图是（    ）

A． B． C． D．
4．如图是某晾衣架的侧面示意图，根据图中数据，则C、D两点间的距离是（   ）

A．0.9m B．1.2m C．1.5m D．2.5m
5．一村民在清理鱼塘时不慎被困淤泥中，消防队员以门板作船进行救援，设人和门板对淤泥的压力合计，门板面积为，则人和门板对淤泥的压强和门板面积之间的函数关系式为（  ）
A． B． C． D．
6．如图，把图1中边长为10的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，且此菱形的一条对角线长为16，将这四个直角三角形拼成如图2所示的正方形，则图2中的阴影面积为（  ）

A．2 B．4 C．9 D．16
7．《九章算术》中有这样一道题：“今有善行者一百步，不善行者六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？”意思是：走路快的人走100步时，走路慢的人只走60步，走路慢的人先走100步，走路快的人要走多少步才能追上？设走路快的人走x步才能追上走路慢的人，此时走路慢的人走了y步，则可列方程组为（    ）
A． B． C． D．
8．如图，某种预防病虫害的农药即将于三月上旬喷洒，需要连续三天完成，又知当最低温度不低于0摄氏度，且昼夜温差不大于10摄氏度时药物效果最佳，为此农广站工作人员查看了三月上旬天气预报，请你结合气温图，下列说法正确的是（）

A．只能3号开始 B．从4号开始可以 C．从8号开始可以 D．从3号或12号开始都可以

二、填空题
9．点(3，-2)关于原点的对称点坐标是___________
10．计算：______．
11．分解因式：______．
12．据江苏统计局发布消息，2022年常州市国内生产总值（GDP）总量为9550亿元，向万亿GDP城市目标再进一步，数字9550用科学记数法表示为______．
13．如图，将数轴上与8两点间的线段六等分，五个等分点所对应的数依次为，，，，，则______0（填“>”、“=”或“<”）．

14．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点B在y轴上，点C在反比例函数的图像上，则菱形的面积为______．

15．如图是一个地铁站入口的双翼闸机．它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为10cm，双翼的边缘AC＝BD＝54cm，且与闸机侧立面夹角∠PCA＝∠BDQ＝30°．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为________cm．

16．如图，的半径为2，，，则弦的长为___________．

17．如图，在四边形中，，，，，则的长是______．

18．如图，点为直线上的两点，过两点分别作轴的平行线交双曲线于点，若，则的值为________．


三、解答题
19．（1）；
（2）．
20．解不等式组，并写出解集中的整数解．
21．为了解本校学生“上周内做家务劳动所用的时间”（简称“劳动时间”）情况，小元与小旭在本校随机调查了100名学生的“劳动时间”，并进行统计，绘制了如下统计表：
组别
“劳动时间”t/分钟
频数
组内学生的平均“劳动时间”／分钟
A

8
50
B

16
75
C

40
105
D

36
150
根据上述信息，解答下列问题：
(1)这100名学生的“劳动时间”的中位数落在_____组（填“A”、“B”、“C”或者“D”）；
(2)求这100名学生的平均“劳动时间”；
(3)若本校有2000名学生，请估计本校“劳动时间”不少于90分钟的学生人数．
22．某校在举行运动会时成立了志愿者服务队，设立四个服务监督岗：．安全监督岗；．卫生监督岗；．文明监督岗；．检录服务岗．小明和小丽报名参加了志愿者服务工作，学校将报名的志愿者随机分配到四个监督岗．
(1)小明被分配到文明监督岗的概率为___________；
(2)用列表法或画树状图法，求小明和小丽被分配到同一个服务监督岗的概率．
23．如图，直线与双曲线交于点和点，过点A作轴，垂足为C．

(1)求直线和双曲线的解析式；
(2)连接，求的面积．
24．如图，是一个“函数求值机”的示意图，其中y是x的函数．下面表格中，是通过该“函数求值机”得到的几组x与y的对应值．

输入x
…



0
2
…
输出y
…


2
6
16
…
根据以上信息，解答下列问题：
(1)当输入的x值为1时，输出的y值为__________；
(2)求k，b的值；
(3)当输出的y值为0时，求输入的x值．
25．（1）如图①，在矩形ABCD中，在BC边上是否存在点P，使∠APD＝90°，若存在请用直尺和圆规作出点P（保留作图痕迹）
（2）若AB＝4，AD＝10，求出图①中BP的长．
（3）如图②，在△ABC中，∠ABC＝60°，BC＝12，AD是BC边上的高，E、F分别为AB，AC的中点，当AD＝6时，BC边上是否存在一点Q，使∠EQF＝90°，求此时BQ的长．

26．如图①，在矩形中，，，点P、Q分别是、的中点，点E是折线段上一点．

(1)点C到直线距离的最大值是_____；
(2)沿所在直线折叠矩形，已知点B的对应点为，若点恰好落在矩形的边上，求的长；
(3)如图②，以为直径，在右侧作半圆O，当半圆O与边相切于点M时，求的值．
27．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴交于点A和点，与y轴交于点C．

(1)求二次函数的表达式；
(2)若点P是抛物线上一点，满足，求点P的坐标；
(3)若点Q在第四象限内，且，点M在y轴正半轴，，线段是否存在最大值，如果存在，直接写出最大值；如果不存在，请说明理由．
28．（1）如图①，在中，，，，则的大小为______；

【探究】
（2）如图②，在四边形中，，对角线与相交于O，若，，，求四边形的面积；

【拓展】
（3）在西太湖生态建设中，拟修建一湿地主题公园，设计要求：如图③，在四边形中，，，，求这个主题公园的最大面积．


参考答案：
1．C
【分析】利用绝对值的性质即可答案．
【详解】解：的绝对值为．
故选：C．
【点睛】本题考查了绝对值的性质．绝对值的性质：正数的绝对值是它本身；0的绝对值是0；负数的绝对值是它的相反数．
2．C
【分析】A.根据不等式的性质，不等式两边都减去一个式子3a，得a＞0，判断即可；
B.根据不等式的性质，不等式两边都加上一个式子2b，得b＞0，判断即可；
C. 根据不等式的性质，不等式两边都加上x，得3＜4，判断即可；
D.不等式两边都减去，得，判断即可．
【详解】A.不等式两边都减去3a，得a＞0，所以当a≥0时不等式不成立，故本选项错误；
B.不等式两边都加上2b，得b＞0，所以当b≤0时不等式不成立，故本选项错误；
C.不等式两边都加上x，得3＞4，恒成立，故本选项正确；
D.不等式两边都减去，得，所以当c＜0时不等式不成立，故本选项错误．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了不等式的性质，解本题的关键是掌握不等式的性质，要特别注意的给不等式两边同时乘以或除以字母时，要判断要乘以或除以的字母与0的关系．
3．A
【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
【详解】解：从正面看第一层是三个小正方形，第二层第一排是一个小正方形，
故选：A．
【点睛】本题考查了简单几何体的三视图，从正面看得到的图形是主视图．
4．B
【分析】直接根据相似三角形对应高的比等于相似比，求解即可．
【详解】解：连接CD,

∵ABCD，
∴△AOB∽△DOC，
∴
解得．
故选：B．
【点睛】本题考查相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．
5．B
【分析】根据物理公式代入计算即可．
【详解】∵，压力合计，
∴，
故选B．
【点睛】本题考查了跨学科试题，反比例函数思想，熟练掌握物理公式是解题的关键．
6．B
【分析】先利用勾股定理求得此菱形的另一条对角线的长，再求得菱形的面积，进而可得阴影的面积是边长为10的正方形的面积减去菱形的面积．
【详解】解：如图1所示：

∵四边形是菱形，，
∴，
∴，
∴，
∴菱形的面积，
图2正方形的面积，
∴阴影的面积．
故选：B．
【点睛】本题考查了图形的剪拼、菱形的性质、正方形的性质，解决本题的关键是掌握菱形的性质．
7．A
【分析】设走路快的人走x步才能追上走路慢的人，此时走路慢的人走了y步，根据“走路快的人走100步时，走路慢的人只走60步，走路慢的人先走100步”，列出方程组，即可求解．
【详解】解：设走路快的人走x步才能追上走路慢的人，此时走路慢的人走了y步，根据题意得：
．
故选：A
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．
8．D
【分析】解答时，把握三个要素：最低温度要满足，温差条件要满足，时间条件要满足连续三天，读图判断即可．
【详解】解：根据题意，得到3号，4号，5号满足条件；得到4号，5号，6号中，6号最低温度不满足条件；得到8号，9号，10号中，9号温差不满足条件；得到12号，13号，14号满足条件；故D正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了温差，最小数，熟练掌握温差计算是解题的关键．
9．（-3，2）
【分析】由两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得到答案．
【详解】点（3，-2）关于原点的对称点的坐标为（-3，2），
故答案为：（-3，2）．
【点睛】考查了平面直角坐标系内关于原点对称的点的坐标特点，解题关键是熟记关于原点对称的点的坐标特点：横坐标与纵坐标都互为相反数．
10．
【分析】利用幂的乘方，整式的加减计算即可．
【详解】，
故答案为：．
【点睛】本题考查了幂的乘方，整式的加减，熟练掌握运算法则是解题的关键．
11．
【分析】先提取公因式，再套用公式分解即可．
【详解】解：

，
故答案为：．
【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握先提取公因式，再套用公式分解是解题的关键．
12．
【分析】用移动小数点的方法确定a值，根据整数位数减一原则确定n值，最后写成的形式即可．
【详解】∵，
故答案为：．
【点睛】本题考查了科学记数法表示大数，熟练掌握把小数点点在左边第一个非零数字的后面确定a，运用整数位数减去1确定n值是解题的关键．
13．>
【分析】先计算两点间的距离，再计算每段的长度，运用平移思想计算出，，，，分别表示的数，计算判断即可．
【详解】∵数轴上与8的距离为，且轴上与8两点间的线段六等分，∴每段长度为，
∴，，，，，
∴，
故答案为：>．
【点睛】本题考查了数轴上两点间的距离，平移计算各点表示的数，熟练平移思想是解题的关键．
14．16
【分析】连接，交于点D，根据菱形的性质，，利用的k的几何意义，得到，代入计算即可．
【详解】连接，交于点D，

∵菱形的顶点B在y轴上，
∴，
∵点C在反比例函数的图像上，
∴，
∴，
故答案为：16．
【点睛】本题考查了菱形的性质，反比例函数的几何意义，熟练掌握菱形的性质，反比例函数的几何意义是解题的关键．
15．64
【分析】连接AB，CD，过点A作AE⊥CD于E，过点B作BF⊥CD于F，求出 CE , EF , DF 即可解决问题；
【详解】解：如图，连接AB，CD，过点A作AE⊥CD于E，过点B作BF⊥CD于F．

∵AB//EF，AE//BF，
∴四边形ABFE是平行四边形，
∵∠AEF＝90°，
∴四边形AEFB是矩形，
∴EF＝AB＝10（cm），
∵AE//PC，
∴∠PCA＝∠CAE＝30°，
∴CE＝AC•sin30°＝27（cm），
同法可得DF＝27（cm），
∴CD＝CE+EF+DF＝27+10+27＝64（cm），
故答案为64．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用,解题的关键是学会添加常用辅助线面构造直角三角形解决问题．
16．
【分析】连接，，由圆周角定理知，又因为，，由锐角三角函数知，所以．
【详解】解：如图，连接，
，
，
，，
，
．
故答案为：．

【点睛】本题主要考查了垂径定理，圆周角定理，连接运用垂径定理，特殊角的三角函数是解答此题的关键．
17．6
【分析】延长与相交于点E，解直角三角形，得出的长，那么，再解直角三角形，即可求出．
【详解】延长与相交于点E，在中，
∵，
∴．
在中，∵ ，
∴，
∴
在中，∵，

故答案为6

【点睛】本题考查的是解直角三角形，角所对的直角边等于斜边的一半，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
18．4
【分析】延长交轴于，延长交轴于，设的横坐标分别是，点为直线上的两点，的坐标是，的坐标是，则，，根据得到的关系，然后利用勾股定理，即可用表示出所求的式子，从而求解．
【详解】解：如图所示，延长交轴于，延长交轴于，

设的横坐标分别是，
点为直线上的两点，
的坐标是，的坐标是，
则，，
两点在双曲线上，
则，
，，
，
，
两边平方得：，
即，
在直角中，
，
同理可得，，
，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了反比例函数、一次函数图象上点的坐标特征、勾股定理，正确利用得到的关系是解题的关键．
19．（1）3；（2）
【分析】（1）利用负整数指数幂，零指数幂，二次根式的化简计算即可．
（2）利用完全平方公式，整式的乘法运算计算即可．
【详解】解：（1）．
（2）．
【点睛】本题考查了完全平方公式，整式的乘法运算，熟练掌握运算法则和公式是解题的关键．
20．；，，0，1，2，3
【分析】根据解不等式组的基本步骤解答即可．
【详解】
解得：．
∴，
则符合条件的整数解为：，，0，1，2，3．
【点睛】本题考查了解不等式组及其整数解，正确解不等式组是解题的关键．
21．(1)C
(2)112分钟
(3)1520人

【分析】(1)根据中位数定义即一组有序的数组中，中间数据或中间两个数据的平均数，计算即可．
(2)根据中加权平均数计算即可．
(3)根据样本估计总体计算即可．
【详解】（1）∵样本容量为100，是偶数，
∴数据的中位数是第50个，第51个数据的平均数，
∵A组数据为8个，B组数据为16个，C组数据为40个，
∴，
故中位数落在C组中，
故答案为：C．
（2）（分钟）
答：这100名学生的平均“劳动时间”为112分钟．
（3）（人）．
答：估计在该校学生中，“劳动时间”不少于90分钟的人数为1520人．
【点睛】本题考查了中位数，加权平均数，样本估计总体，熟练掌握计算公式是解题的关键．
22．(1)
(2)

【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）列表得出所有等可能结果，从中找到小明和小丽被分配到同一个服务监岗的结果，再利用概率公式求解即可．
【详解】（1）∵设立了四个“服务监督岗”，而“文明监督岗”是其中之一，
∴小明被分配到“文明监督岗”的概率为．
（2）根据题意列表如下：

























共有16种等可能的结果，其中小明和小丽被分配到同一个服务监岗的结果数为4，
所以小明和小丽被分配到同一个服务监岗的概率是：．
【点睛】本题主要考查用列表法或画树状图法求概率，理清题意，熟练掌握概率的计算公式是解题的关键．
23．(1)，；
(2)12．

【分析】（1）把点代入，可得双曲线的解析式为，再求出，再把A，B代入，即可求解；
（2）过点B作轴，交延长线于D，可得，，再根据三角形的面积公式计算，即可求解．
【详解】（1）解：把点代入得：
，即，
∴双曲线的解析式为；
把点代入得，，
∴，
把A，B代入得：
，解得：，
∴直线的解析式为；
（2）解：过点B作轴，交AC延长线于D，

∵，轴，垂足为C，
∴点C的坐标为，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴的面积．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，反比例函数图像上点的坐标特征，三角形的面积，求得交点坐标是解题的关键．
24．(1)8
(2)
(3)

【分析】对于（1），将x=1代入y=8x，求出答案即可；
对于（2），将（-2，2），（0，6）代入y=kx+b得二元一次方程组，解方程组得出答案；
对于（3），将y=0分别代入两个关系式，再求解判断即可．
【详解】（1）当x=1时，y=8×1=8；
故答案为：8；
（2）将（-2，2），（0，6）代入，得，
解得；
（3）令，
由，得，∴．（舍去）
由，得，∴．
∴输出的y值为0时，输入的x值为．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数关系式，理解“函数求值机”的计算过程是解题的关键．
25．（1）作图见解析；（2）BP的长是2或8；（3）．
【分析】（1）以AD为直径画圆与BC交于点P1、P2，则点P1、P2为所求点；
（2）由矩形的性质得到AD=BC=10，AB=CD=4根据三角形相似即可解出；
（3）由三角形的中位线得到EF∥BC，EF＝BC＝6，根据EF与BC间距离为3，推出以EF为直径的⊙O与BC相切，得出BC上符合条件的点Q只有一个，记⊙O与BC相切于点Q，连接OQ，过点E作EG⊥BC，垂足为G，证出四边形EOQG为正方形，由勾股定理即可求出．
【详解】解：（1）如图所示，则点P1、P2为所求点；

（2）在矩形ABCD中，AD＝BC＝10，AB＝CD＝4，
设BP＝x，则PC＝10﹣x，
∵∠APD＝90°，
∴∠APB+∠CPD＝90°，
∵∠BAP+∠APB＝90°，
∴∠BAP＝∠CPD，
又∵∠B＝∠C＝90°，
∴△ABP∽△PCD，
∴，
∴，
解得：x1＝2，x2＝8，
∴BP的长是2或8；     
（3）如图：
∵EF分别为AB、AC的中点，
∴EF∥BC，EF=BC=6,
∵AD＝6，AD⊥BC，
∴EF与BC间距离为3，
∴以EF为直径的⊙O与BC相切，
∴BC上符合条件的点Q只有一个，记⊙O与BC相切于点Q，
连接OQ，过点E作EG⊥BC，垂足为G，
∴EG＝OE＝3，
∴四边形EOQG为正方形，
在Rt△EBG中，∠B＝60°，EG＝3，∴，∴．

【点睛】本题考查了基本作图，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，找准BC上符合条件的点Q只有一个是解题的关键．
26．(1)5；
(2)或3；
(3)或．

【分析】(1)利用斜边大于直角边计算判断即可．
(2)分点E在上和边上，两种情况求解．
(3)分点E在上和边上，两种情况求解．
【详解】（1）过点C作交的延长线于点M，
∴，
∴时，取得最大值，
∵，Q是的中点，
∴，

故答案为：5．
（2）或3，
如图当点E在上时，，在中，，
解得：．

如图，当点E在边上时，
连接、，

则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
综上所述，或．
（3）或
如图，当点E在线段上时，连接，延长交于点N，

∵与半圆相切于点M，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，在中，设，
∵，
∴，
解得，
∴，
∵，
∴；
如图，当点E在边上时，点M与点E重合，

∴，∴四边形是矩形，
∴，，
∴．
综上所述，的值为或．
【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，正切函数，切线的性质，分类思想，熟练掌握直角三角形的性质，正切函数，切线的性质，分类思想是解题的关键．
27．(1)；
(2)或；
(3)存在，18．

【分析】(1)将点代入解析式计算即可．
(2)分点P在x轴的上方和下方两种情况计算即可．
(3) 作线段的垂直平分线交x轴于点R，过点C作轴，交于点G，从而得到点Q在以垂直平分线上G点为圆心，且半径为5的圆上的第四象限部分的弧上运动，当M，G，Q三点一线时，取得最大值．
【详解】（1）解：将点代入，
∴，
∴，
∴．
（2）令，则，
∴，
令，则，
∴或，
∴，
∵，
∴，
如图1，当P点在x轴上方时，设与x轴的交点为点G，
∵，，，

∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，
，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
，
∴，
∴，
联立方程组，
∴（舍）或，
∴；
如图2，当P点在x轴下方时，

∵，，
∴，，
∴，
解得（舍去），
∴；
综上所述：P点坐标为或．
（3）线段存在最大值，且为18．理由如下：
作线段的垂直平分线交x轴于点R，过点C作轴，交于点G，
则四边形是矩形，
∴，
∵，  
∴，
连接，
则，
以G点为圆心，半径为5的作，点，
当点Q位于上时，作直径，连接，，，
则，
∵，，
∴，
∴，
∴
∴点G位于的第四象限部分的弧上运动，
故当M，G，Q三点一线时，取得最大值．
∵，∴，
∴，，
∴，，
∴．
【点睛】本题考查了二次函数的解析式确定，正切函数，余弦函数，勾股定理，圆的性质，熟练掌握待定系数法，三角函数，圆的性质是解题的关键．
28．（1）；（2）；（3）主题公园的最大面积为：．
【分析】（1）根据已知，求出即可得到答案；
（2）过A作于M，过C作于N，得到，再利用三角函数求解即可得到答案；
（（3）连接，过点C作，交的延长线于E，连接，设，则，，，通过把平行四边形的面积转化成三角形的面积，由此求解即可．
【详解】解：（1）在中，，，，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）过A作于M，过C作于N，如图：

在中，，
在中，，
∴，
，



；
（3）如图，连接，过点C作，交的延长线于E，连接，

∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，，
设，则，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵为定角，为定长，故画出的外接圆，
如图，当，且经过圆心O时，最大，

∵，设，则，由勾股定理得，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴主题公园的最大面积为：．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，平行四边形的性质等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．