2023年安徽省池州市东至县中考数学一模试卷（含解析）

这是一份2023年安徽省池州市东至县中考数学一模试卷（含解析），共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年安徽省池州市东至县中考数学一模试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.  的相反数是(    )A.  B.  C.  D. 2.  下列计算正确的是(    )A.  B.  C.  D. 3.  年月日，曲靖罗平花海马拉松鸣枪开跑，约有名海内外专业运动员和马拉松爱好者齐聚罗平，在奔跑中畅游最美花海赛道，共赴春日之约，数据用科学记数法可表示为．(    )A.  B.  C.  D. 4.  如图是由个小立方块搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置的小立方块的个数，则这个几何体的左视图是(    )A.  B.  C.  D. 5.  如图，，点在上，平分，若，则的度数为(    )A.
B.
C.
D. 6.  如图，一只蚂蚁沿着半圆形凹槽匀速爬行，则其顺着运动的过程中，运动的时间与蚂蚁离圆心的距离之间的函数图象可大致表示为(    )A.
B.
C.
D. 7.  如图，是的直径，、是上的点，，过点作的切线交的延长线于点，则等于(    )A.
B.
C.
D. 8.  某学校运会在月举行，小明和小刚分别从、、三个组中随机选择一个组参加志愿者活动，假设每人参加这三个组的可能性都相同，小明和小刚恰好选择同一组的概率是(    )A.  B.  C.  D. 9.  如图，在平面直角坐标系中，点，分别在轴负半轴和轴正半轴上，点在上，：：，连接，过点作交的延长线于点若，则的值是(    )
A.  B.  C.  D. 10.  已知二次函数的图象如图，其对称轴为，它与轴的一个交点的横坐标为，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象大致是(    )
 
 A.
B.
C.
D. 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）11.  分解因式：______．12.  若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为        ．13.  一次函数的图象与双曲线相交于和两点，则不等式的解集是______．14.  如图，在正方形中，，、分别为、边上的动点，且，与交于点，则线段的最小值为        ．
 三、解答题（本大题共9小题，共90.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.  本小题分
解不等式组并将其解集在数轴上表示出来．
 16.  本小题分
如图在的正方形网格中，点、、都在格点上，点是与网格线的交点且，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．
作边上高；的长度为        ．
画出点关于的对称点；
在上画点，使．
17.  本小题分某初级中学为了提高教职工的身体素质，举办了“坚持锻炼，活力无限”的健身活动，并准备购买一些体育器材为活动做准备．已知购买副乒乓球拍和副羽毛球拍共需要元，购买副乒乓球拍和副羽毛球拍共需要元．购买一副乒乓球拍和一副羽毛球拍各需多少元？已知该中学需要购买两种球拍共副，羽毛球拍的数量不超过副．现商店推出两种购买方案，方案：购买一副羽毛球拍赠送一副乒乓球拍；方案：按总价的八折付款．试说明选择哪种购买方案更实惠． 18.  本小题分
观察下列算式，完成问题：
算式：
算式：
算式：
算式：

按照以上四个算式的规律，请写出算式：______；
上述算式用文字表示为：“任意两个连续偶数的平方差都是的奇数倍”若设两个连续偶数分别为和为整数，请证明上述命题成立；
命题“任意两个连续奇数的平方差都是的奇数倍”是否成立？若成立，请证明；若不成立，请举出反例．19.  本小题分
如图，某座山的顶部有一座通讯塔，且点，，在同一条直线上从地面处测得塔顶的仰角为，测得塔底的仰角为已知通讯塔的高度为，求这座山的高度结果取整数参考数据：，．
20.  本小题分
如图，在中，，以为直径作交于点，过点作，垂足为点，延长交于点．
求证：是的切线．
若，，直接写出的长．
21.  本小题分
睡眠是人的机体复原整合和巩固记忆的重要环节，对促进中小学生大脑发育、骨骼生长、视力保护、身心健康和提高学习能力与效率至关重要阳光中学为了解本校学生的睡眠情况，随机调查了名学生一周天平均每天的睡眠时间时，并根据调查结果绘制成不完整的频数分布表和扇形统计图． 组别平均每天“睡眠时间”时频数组组组组根据上述信息，解答下列问题：
分别求出表中，的值；
抽取的名学生睡眠时间的中位数落在        组；
若该校共有名学生，请估计该校学生睡眠时间达到时及以上的学生人数．
22.  本小题分
如图所示抛物线与轴交于，两点，，其顶点与轴的距离是．
求抛物线的解析式；
设顶点为，将直线绕点顺时针旋转，得到的直线与抛物线交于点，求点的坐标；
点在抛物线上，过点的直线与抛物线的对称轴交于点当与的面积之比为：时，求的值．
 23.  本小题分
综合与实践
在综合实践课上，同学们以“正方形的旋转”为主题开展学习数学活动．
操作判断
操作一：将正方形与正方形的顶点重合，点在正方形的边上，如图，连接，取的中点，连接，操作发现，与的位置关系是        ；与的数量关系是        ；
操作二：将正方形绕顶点顺时针旋转，中的两个结论是否仍然成立？如果成立，请仅就图的情形进行证明；如果不成立，请说明理由；
拓展应用
若，，当时，请直接写出的长．

答案和解析 1.【答案】 【解析】解：的相反数是．
故选：．
只有符号不同的两个数叫做互为相反数，由此即可得到答案．
本题考查相反数，关键是掌握相反数的定义．
 2.【答案】 【解析】解：，故选项A正确，符合题意；
，故选项B错误，不符合题意；
不能合并，故选项C错误，不符合题意；
，故选项D错误，不符合题意；
故选：．
计算出各个选项中式子的正确结果，即可判断哪个选项正确，本题得以解决．
本题考查整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
 3.【答案】 【解析】解：．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 4.【答案】 【解析】解：左视图是从左边看到的平面图形，发现从左面看一共有两列，左边一列有个正方形，右边一列有个正方形，
故选：．
根据各层小正方体的个数，综合三视图的知识，在这个几何体中，根据各层小正方体的个数即可得出答案．
此题主要考查了学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．
 5.【答案】 【解析】解：，
．
平分，
．
．
故选：．
根据平行线的性质，由，得根据角平分线的定义，得平分，那么，进而求得．
本题主要考查平行线的性质、角平分线，熟练掌握平行线的性质、角平分线的定义是解决本题的关键．
 6.【答案】 【解析】解：一只蚂蚁从点出发，沿着半圆形凹槽匀速爬行，在开始时经过半径这一段，蚂蚁到点的距离随运动时间的增大而增大；
到弧这一段，蚂蚁到点的距离不变，图象是与轴平行的线段；走另一条半径时，蚂蚁离圆心的距离随的增大而减小；
故选：．
根据蚂蚁爬向时距离的距离越来越远，在上运动时，随着时间的变化，距离不发生变化，得出图象是与轴平行的线段，从爬向时距离的距离越来越小即可得出结论．
本题主要考查动点问题的函数图象；根据随着时间的变化，到弧这一段，蚂蚁到点的距离不变，得到图象的特点是解决本题的关键．
 7.【答案】 【解析】解：方法一：连接，
为圆的切线，
，
，
与都对，且，
，
，
，
为的外角，
，
则．
故选：．
方法二：连接，
为圆的切线，
，
，
，
，
，
．
故选：．
方法一：连接，由为圆的切线，利用切线的性质得到垂直于，由，利用等边对等角得到一对角相等，再利用外角性质求出的度数，即可求出的度数．
方法二：连接，由为圆的切线，利用切线的性质得到垂直于，再根据圆周角定理，即可得到的度数，再根据，即可得到的度数．
此题考查了切线的性质，圆周角定理，等腰三角形的性质，以及三角形内角和定理，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．
 8.【答案】 【解析】【分析】
本题考查了画树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
画出树状图，由树状图求得所有等可能的结果以及小明和小刚选到同一组的情况，再利用概率公式求解即可．
【解答】
解：画树状图如下：

共有种等可能的结果，小明和小刚恰好选择同一组的有种情况，
小明和小刚恰好选择同一组的概率为，
故选：．  9.【答案】 【解析】解：，
∽，
，
：：，
，
，
过点作轴于点，如图，

，
，
：：：，，
，
，
，
，
，
．
故选：．
根据，证明出∽，结合：：得到：：：，过点作轴于点，根据，得到，根据平行线分线段成比例定理得到：：：，根据，得到，得到，则可求得，根据正切的定义即可得到的值，从而可求的值．
本题考查了解直角三角形，坐标与图形，根据平行线分线段成比例定理得到：：：是解题的关键．
 10.【答案】 【解析】【分析】
本题主要考查二次函数的图象与系数的关系、反比例函数与一次函数的性质，熟知相关知识是解题关键．
根据二次函数的图象与系数的关系分别得出，，，以此可得一次函数与反比例函数的图象经过的象限，由抛物线对称轴为得，再根据图象得抛物线过点得，以此得到，令，则，最后根据根的判别式即可判断一次函数与反比例函数的交点个数，以此即可选择．
【解答】
解：二次函数的图象开口向下，
，
其对称轴为，即，
，
，
图象与轴的交点在轴正半轴，
，
一次函数的图象过一、二、四象限，
反比例函数的图象过一、三象限，
由图象可知，二次函数的图象过点，
，
，
，
，
令，
，即，
，
一次函数与反比例函数有两个交点．
综上，一次函数的图象过一、二、四象限，反比例函数的图象过一、三象限，且一次函数与反比例函数有两个交点．
故选：．  11.【答案】 【解析】解：原式
．
故答案为：．
原式提取，再利用完全平方公式分解即可．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
 12.【答案】且 【解析】解：方程整理得：，
根据题意得且，
解得且．
故答案为：且．
根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到且，然后求出两不等式的公共部分即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
 13.【答案】或 【解析】解：和在双曲线上，
，
解得．
．
由图可知，当或时，直线没有落在双曲线上方，
即不等式的解集是或．
故答案为：或．
把点、的坐标分别代入反比例函数解析式求得、的值，然后分别画出一次函数与反比例函数的图象，找出直线没有落在双曲线上方的部分对应的自变量的取值范围即可．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，函数图象上点的坐标特征，利用了数形结合思想．
 14.【答案】 【解析】解：取的中点，连接，．

四边形是正方形，
，，
，
≌，
，
，
，
，
，
，，，
，
，
的最小值为．
故答案为：．
取的中点，连接，证明≌，推出，再证明，求出，，可得结论．
本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
 15.【答案】解：，
解不等式，得：，
解不等式，得：，
原不等式组的解集是，
其解集在数轴上表示如下：
． 【解析】先解出每个不等式的解集，即可得到不等式组的解集，然后在数轴上表示出其解集即可．
本题考查解一元一次不等式组，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法．
 16.【答案】 【解析】解：如图，即为所求．
，，
，
解得．
故答案为：．
如图，点即为所求．
如图，点即为所求．
取格点，连接，交于点，则即为所求；根据，，列方程可得答案．
取格点，连接，交网格线于点，则点即为所求．
取格点，连接，交于点，此时，即可得，则．
本题考查作图轴对称变换、三角形的高，熟练掌握轴对称的性质、勾股定理是解答本题的关键．
 17.【答案】解：设购买一副乒乓球拍需元，一副羽毛球需元，
依题意得：，
解得：．
答：购买一副乒乓球拍需元，一副羽毛球需元．
设购买且为整数副羽毛球拍，则选择方案所需总费用为元，选项方案所需总费用为元．
当时，
，
，
；
当时，
；
当时，
，
，
．
答：当购买羽毛球拍的数量少于副时，选项方案更实惠；当当购买羽毛球拍的数量等于副时，选项两种购买方案所需总费用相同；当购买羽毛球拍的数量大于副且不超过副时，选项方案更实惠． 【解析】设购买一副乒乓球拍需元，一副羽毛球需元，根据“购买副乒乓球拍和副羽毛球拍共需要元，购买副乒乓球拍和副羽毛球拍共需要元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
设购买且为整数副羽毛球拍，则选择方案所需总费用为元，选项方案所需总费用为元，分，及三种情况，即可求出的取值范围或的值，此题得解．
本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次方程的应用、列代数式以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，用含的代数式表示出选项各方案所需总费用．
 18.【答案】解：；
由题意可得，
．
能被整除，且为奇数，
任意两个连续偶数的平方差都是的奇数倍成立．
设两个连续奇数为和，
，
是偶数，
任意两个连续奇数的平方差都是的奇数倍不成立．
例如：，即是的倍，是偶数，不是奇数． 【解析】根据题意即可得出答案；
根据平方差公式，即可得出答案；
先设两个连续奇数为和，再由平方差公式，即可得出答案．
本题考查了命题与定理，因式分解平方差公式的应用，有理数的混合运算，合理应用公式是解决本题的关键．
 19.【答案】解：设米，
在中，，
米，
米，
米，
在中，，
，
，
经检验：是原方程的根，
米，
这座山的高度约为米． 【解析】设米，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，然后在中，利用锐角三角函数的定义列出关于的方程，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
 20.【答案】证明：如图，连接，，
为的直径，
，
即，
又，
，
又，
是的中位数，
，
，
，
是半径，
是的切线；
解：如图，连接，
，，
，
又，，
，
，
，
，
∽，
，
即，
解得取正值，
即；． 【解析】根据圆周角定理以及等腰三角形的性质可得，进而得出是三角形的中位线，得出，再由平行线的性质可得，由切线的判定方法可得结论；
利用圆周角定理，直角三角形的性质可得到，进而得到∽，由对应边成比例列方程求解即可．
本题考查切线的判定，圆周角定理，等腰三角形的性质以及三角形中位线定理，掌握切线的判定方法，圆周角定理，等腰三角形的性质以及三角形中位线定理是正确解答的前提．
 21.【答案】 【解析】解：由题意可得，，
故；
由题意可知，抽取的名学生睡眠时间的中位数落在的组别是组，
故答案为：；
名，
答：估计该校有名学生睡眠时间达到小时．
用乘组所占比例可得求出的值，再用减去其它各组人数即可得出的值；
根据中位数的定义即可求解；
用样本估计总体即可．
本题考查频数分布表、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是求出样本容量，利用数形结合的思想解答．
 22.【答案】解：，
抛物线的对称轴为直线，
设抛物线的解析式为，
顶点与轴的距离是，
顶点为，
，
抛物线经过原点，
，
，
；

设旋转，得到的直线与轴交于点，对称轴与轴的交点为，
，其顶点与轴的距离是．
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
设直线为，
代入得，
解得，
直线为，
由解得或，
的坐标为；

设直线与轴的交点为，与轴的交点为，
，，
，，
直线与坐标轴的夹角为，
，，
与的面积之比为：，
：：，
：：，
解得或． 【解析】由题意可得，再将代入求出的值即可求函数的解析式；
通过证得≌，求得，利用待定系数法求得直线的解析式，与抛物线的解析式联立成方程组，解方程组即可求得的坐标；
设直线与轴的交点为，与轴的交点为，则，，由题意可知直线与坐标轴的夹角为，求出，，再由：：，求出的值即可．
本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，等腰直角三角形的性质是解题的关键．
 23.【答案】   【解析】解：延长交于点，

正方形与正方形的顶点重合，
，，，
，
，
的中点，
，
在与中，
，
≌，
，，
，
，，
，
，，
，
故答案为：，；
两个结论仍然成立，理由如下：
连接，作交于点，延长交于点，连接，

四边形是正方形，
，，，
，
，
，
为的中点，
，
，
≌，
，，
在正方形中，，，
，，
，
在正方形与正方形中，，
，
，
，
≌，
，，
，
，
为等腰直角三角形，
为的中点，
，，
，；
的长为或，理由如下：
连接，当在直线上方时，可知，取的中点，连接，
，，
，
，
，
为等边三角形，

，
，
，
根据勾股定理可得：，
由可知：，
连接，当在直线下方时，过点作交的延长线于点，

，
，
，
，，
根据勾股定理可得：，
由可知：，
综上所述，的长为或．
延长交于点，进而利用证明与全等，进而利用全等三角形的性质解答即可；
连接，作交于点，延长交于点，连接，进而利用证明≌，进而利用全等三角形的性质解答即可；
分两种情况，利用勾股定理解答即可．
本题是四边形的综合题，考查的是正方形的性质、旋转变换的性质，掌握正方形的四条边相等、四个角都是直角是解题的关键，注意正方形的性质和勾股定理是关键．