2023年河南省洛阳市西工区中考一模数学试题

这是一份2023年河南省洛阳市西工区中考一模数学试题，共32页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

西工区2022—2023学年第二学期质量检测
九年级数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 绝对值是（　　）
A. B. C. D.
2. 飞沫一般认为是直径大于5微米（5微米＝0.000005米）的含水颗粒．飞沫传播是新型冠状病毒的主要传播途径之一，日常面对面说话、咳嗽、打喷嚏都可能造成飞沫传播．因此有效的预防措施是戴口罩并尽量与他人保持1米以上社交距离．将0.000005用科学记数法表示应为（ ）．
A. B. C. D.
3. 如图是由4个相同的小正方体构成的一个组合体，该组合体的三视图中完全相同的是（ ）

A. 主视图和左视图 B. 主视图和俯视图 C. 左视图和俯视图 D. 三个视图均相同
4. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
5. 如图，AB∥CD，CB∥DE，点A、B、E在DC同侧，若∠B＝71°，则∠D的度数为(　　)

A. 71° B. 109° C. 119° D. 142°
6. 如图，矩形ABCD中，∠AOB＝60°，AB＝3，则BD的长是（ ）

A. B. 5 C. D. 6
7. 已知一元二次方程的两根分别为m，n，则的值是（ ）
A. 5 B. 3 C. －3 D. －5
8. 我国古代把一昼夜划分成十二个时段，每一个时段叫一个时辰，古时与今时的对应关系（部分）如下表所示．天文兴趣小组的小明等4位同学从今夜23：00至明晨7：00将进行接力观测，每人两小时，观测的先后顺序随机抽签确定，小明在子时观测的概率为（　　）
古时
子时
丑时
寅时
卯时
今时
23：00～1：00
1：00～3：00
3：00～5：00
5：00～7：00

A. B. C. D.
9. 如图，的顶点B，C在坐标轴上，点A的坐标为．将沿x轴向右平移得到，使点落在函数的图象上．若线段扫过的面积为9，则点的坐标为（ ）

A B. C. D.
10. 如图①，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D（）．动点P从B点出发，沿折线BA→AC方向运动，运动到点C停止．设点P的运动路程为x，△BPD的面积为y，y与x的函数图像如图②，则BC的长为（ ）

A. 3 B. 6 C. 8 D. 9
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
11. 因式分解：______．
12. 已知，一次函数的图象经过点，请你写出一个符合上述条件的函数关系式：______．
13. 某校准备从甲、乙、丙、丁四个科创小组中选出一组，参加区青少年科技创新大赛，表格反映的是各组平时成绩的平均数（单位：分）及方差S2，如果要选出一个成绩较好且状态稳定的组去参赛，那么应选的组是_____．

甲
乙
丙
丁

7
8
8
7
s2
1
1.2
0.9
18
14. 如图，在菱形中，是对角线，，⊙O与边相切于点，则图中阴影部分的面积为_______．

15. 如图，正方形ABCD中，AB＝6，点E为对角线AC上的动点，以DE为边作正方形DEFG，点H是CD上一点，DH＝CD，连接GH，则GH的最小值为_______．

三、解答题（本大题共8小题，共75.0分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16 （1）计算：；
（2）化简：．
17. 中华文化源远流长，文学方面，《西游记》、《三国演义》、《水浒传》、《红楼梦》是我国古代长篇小说中的典型代表，被称为“四大古典名著”．某中学为了了解学生对四大古典名著的阅读情况，就“四大古典名著你读完了几部”的问题在全校学生中进行了抽样调查，根据调查结果绘制成如下尚不完整的统计图．

请根据以上信息，解决下列问题：
（1）本次调查所得数据的众数是________部，中位数是________部；
（2）扇形统计图中“部”所在扇形的圆心角为________度；
（3）请将条形统计图补充完整；
（4）没有读过四大古典名著的两名学生准备从中各自随机选择一部来阅读，请用列表或画树状图的方法求他们恰好选中同一名著的概率．
18. 如图，矩形的两边，的长分别为3，8，E是的中点，反比例函数的图象经过点E，与交于点F．

（1）若点B坐标为，求m的值及图象经过A，E两点的一次函数的解析式；
（2）若，求反比例函数解析式．
19. 某校安装了红外线体温检测仪（如图1），该设备通过探测人体红外辐射能量对进入测温区域的人员进行快速测温，其红外线探测点O可以在垂直于地面的支杆上下调节（如图2），探测最大角（）为，探测最小角（）为，已知该设备在支杆上下调节时，探测最大角及最小角始终保持不变．若要求测温区域的宽度为2.53米，请你帮助学校确定该设备的安装高度．（结果精确到0.01米，参考数据：，，，，，）

20. 如图，△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O交BC于点D，点E为AC延长线上一点，且∠BAC＝2∠CDE．

（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若cosB＝，CE＝2，求DE．
21. 第39届“中国洛阳牡丹文化节”期间，某工艺品商店促销大小两种牡丹瓷盘，发布如下信息：
※ 每个大盘的批发价比每个小盘多120元；
※※ 一套组合瓷盘包括一个大盘与四个小盘；
※※※ 每套组合瓷盘的批发价为320元．
根据以上信息：
（1）求每个大盘与每个小盘的批发价；
（2）若该商户购进小盘的数量是大盘数量的5倍还多18个，并且大盘和小盘的总数不超过320个，该商户计划将一半的瓷盘按每套500元成套销售，其余按每个大盘300元，每个小盘80元零售．设该商户购进大盘个，
①试用含的关系式表示出该商户计划获取的销售额；
②请帮助他设计一种获取销售额最大的方案，并求出最大销售额．
22. 图1是一个倾斜角为的斜坡的横截面．斜坡顶端B与地面的距离为3米．为了对这个斜坡上的绿地进行喷灌，在斜坡底端安装了一个喷头A，与喷头A的水平距离为6米，喷头A喷出的水珠在空中走过的曲线可以看作抛物线的一部分．设喷出水珠的竖直高度为y (单位：米)(水珠的竖直高度 是指水珠与水平地面的距离)，水珠与喷头A的水平距离为x(单位：米)，y与x之间近似满足二次函数关系，图2记录了x与y的相关数据，其中当水珠与喷头A的水平距离为4米时，喷出的水珠达到最大高度4米．

（1）求y关于x的函数关系式；
（2）斜坡上有一棵高1.9米的树，它与喷头A的水平距离为2米，通过计算判断从A喷出的水珠能否越过这棵树．
23. 下面是某数学兴趣小组探究用不同方法作一条线段的垂直平分线的讨论片段，请仔细阅读，并完成相应任务．
小晃：如图1，（1）分别以A，B为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点P；（2）分别作的平分线，交点为E；（3）作直线．直线即为线段的垂直平分线．
简述作图理由：
由作图可知，，所以点P在线段的垂直平分线上，，因为分别是的平分线，所以，所以，所以点E在线段的垂直平分线上，所以是线段的垂直平分线．
小航：我认为小晃的作图方法很有创意，但是可以改进如下，如图2，（1）分别以A，B为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点P；（2）分别在线段上截取；（3）连接，交点为E；（4）作直线．直线即为线段的垂直平分线．
……


任务：
（1）小晃得出点P在线段的垂直平分线上的依据是__________；
（2）小航作图得到的直线是线段的垂直平分线吗？请判断并说明理由；
（3）如图3，已知，点C，D分别为射线上的动点，且，连接，交点为E，当时，请直接写出线段的长．
西工区2022—2023学年第二学期质量检测
九年级数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 的绝对值是（　　）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据负数绝对值是它的相反数，即可解答．
【详解】解：，
故选：B．
【点睛】本题主要考查绝对值，熟练掌握求一个数的绝对值是解题的关键．
2. 飞沫一般认为是直径大于5微米（5微米＝0.000005米）的含水颗粒．飞沫传播是新型冠状病毒的主要传播途径之一，日常面对面说话、咳嗽、打喷嚏都可能造成飞沫传播．因此有效的预防措施是戴口罩并尽量与他人保持1米以上社交距离．将0.000005用科学记数法表示应为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】将0.000005写成a×10n（1＜|a|＜10，n为整数）的形式即可．
【详解】解：0.000005=5×10-6．
故选D．
【点睛】本题主要考查了科学记数法，将原数写成a×10n（1＜|a|＜10，n为整数）的形式，确定a、n的值成为解答本题的关键．
3. 如图是由4个相同的小正方体构成的一个组合体，该组合体的三视图中完全相同的是（ ）

A. 主视图和左视图 B. 主视图和俯视图
C. 左视图和俯视图 D. 三个视图均相同
【答案】A
【解析】
【分析】画出组合体的三视图，即可得到结论．
【详解】解：所给几何体的三视图如下，

所以，主视图和左视图完全相同，
故选：A．
【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，利用三视图的定义是解题关键．
4. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用合并同类项、单项式除法、幂的乘方、单项式乘法的运算法则逐项判定即可．
【详解】解：A. ，故A选项错误；
B. ，故B选项错误；
C. ，故C选项正确；
D. ，故D选项错误．
故答案为C．
【点睛】本题考查了合并同类项、单项式除法、积的乘方、单项式乘法等知识点，灵活应用相关运算法则是解答此类题的关键．
5. 如图，AB∥CD，CB∥DE，点A、B、E在DC同侧，若∠B＝71°，则∠D的度数为(　　)

A. 71° B. 109° C. 119° D. 142°
【答案】B
【解析】
【分析】根据两直线平行，内错角相等可求出∠C的度数，继而根据两直线平行，同旁内角互补即可求出∠D的度数.
【详解】∵AB//CD，
∴∠C=∠B=71°，
∵CB//DE，
∴∠D+∠C=180°，
∴∠D=180°-71°=109°，
故选B.
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质定理是解题的关键.
6. 如图，矩形ABCD中，∠AOB＝60°，AB＝3，则BD的长是（ ）

A. B. 5 C. D. 6
【答案】D
【解析】
【分析】先根据矩形的性质可得，再根据等边三角形的判定与性质可得，由此即可得出答案．
【详解】四边形ABCD是矩形


是等边三角形


故选：D．
【点睛】本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质，熟记矩形的性质是解题关键．
7. 已知一元二次方程的两根分别为m，n，则的值是（ ）
A. 5 B. 3 C. －3 D. －5
【答案】B
【解析】
【分析】根据一元二次方程根与系数关系可得，再整体代入即可得到答案．
【详解】解：∵一元二次方程的两根分别为m，n，
∴，
∴．
故选：B
【点睛】此题考查了一元二次方程根与系数关系和代数式的求值，熟练掌握一元二次方程根与系数关系是解题的关键．
8. 我国古代把一昼夜划分成十二个时段，每一个时段叫一个时辰，古时与今时的对应关系（部分）如下表所示．天文兴趣小组的小明等4位同学从今夜23：00至明晨7：00将进行接力观测，每人两小时，观测的先后顺序随机抽签确定，小明在子时观测的概率为（　　）
古时
子时
丑时
寅时
卯时
今时
23：00～1：00
1：00～3：00
3：00～5：00
5：00～7：00

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】解：每个人进行抽签，则抽到第一个的概率都是一样的，即每个人子时观测的概率都是，
故选：B．
【点睛】本题主要考查的就是概率的计算法则，属于基础题，难度不大．
9. 如图，的顶点B，C在坐标轴上，点A的坐标为．将沿x轴向右平移得到，使点落在函数的图象上．若线段扫过的面积为9，则点的坐标为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先根据平移的性质、反比例函数的解析式可得点的坐标，从而可得平移的长度，再根据“线段扫过的面积为9”可求出点的坐标，由此即可得出答案．
【详解】解：由题意得：点的纵坐标与点的纵坐标相等，即为，
将代入函数得：，即，
将沿轴向右平移个单位长度得到，
，
设点的坐标为，则点的坐标为，，
线段扫过的图形为平行四边形，且它的面积为9，
，即，
解得，
则点的坐标为，
故选：B．
【点睛】本题考查了反比例函数的几何综合、平移的性质、平行四边形的面积公式等知识点，熟练掌握平移的性质是解题关键．
10. 如图①，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D（）．动点P从B点出发，沿折线BA→AC方向运动，运动到点C停止．设点P的运动路程为x，△BPD的面积为y，y与x的函数图像如图②，则BC的长为（ ）

A. 3 B. 6 C. 8 D. 9
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，AB=AC=，，利用勾股定理，运用完全平方公式变形计算即可．
详解】根据题意，AB=AC=，即，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD=DC，，
∴，
∴或(舍去)，
∴，
∴或 (舍去)，
解得BD=3，AD=2，
∴BC=2BD=6，
故选B．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，完全平方公式的运用，熟练掌握等腰三角形的性质，灵活运用勾股定理，完全平方公式是解题的关键．
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
11. 因式分解：______．
【答案】
【解析】
【分析】利用提公因式法因式分解即可．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题考查提公因式法因式分解，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
12. 已知，一次函数的图象经过点，请你写出一个符合上述条件的函数关系式：______．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】把代入一次函数解析式求出b的值，再选取一个k写出对应的关系式即可．
【详解】解：∵一次函数的图象经过点，
∴，
∴满足题意的一次函数关系式可以为，
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，求出是解题的关键．
13. 某校准备从甲、乙、丙、丁四个科创小组中选出一组，参加区青少年科技创新大赛，表格反映的是各组平时成绩的平均数（单位：分）及方差S2，如果要选出一个成绩较好且状态稳定的组去参赛，那么应选的组是_____．

甲
乙
丙
丁

7
8
8
7
s2
1
1.2
0.9
1.8

【答案】丙
【解析】
【分析】先比较平均数得到乙组和丙组成绩较好，然后比较方差得到丙组的状态稳定，于是可决定选丙组去参赛．
【详解】因为乙组、丙组的平均数比甲组、丁组大，而丙组的方差比乙组的小，
所以丙组的成绩比较稳定，
所以丙组的成绩较好且状态稳定，应选的组是丙组．
故答案为丙．
【点睛】本题考查了方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．也考查了平均数的意义．14. 如图，在菱形中，是对角线，，⊙O与边相切于点，则图中阴影部分的面积为_______．

【答案】
【解析】
【分析】连接OD，先求出等边三角形OAB的面积，再求出扇形的面积，即可求出阴影部分的面积．
【详解】解：如图，连接OD，

∵AB是切线，则OD⊥AB，
在菱形中，
∴，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠AOB=∠A=60°，
∴OD=，
∴，
∴扇形的面积为：，
∴阴影部分的面积为：；
故答案为：．
【点睛】本题考查了求不规则图形的面积，扇形的面积，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，解题的关键是正确求出等边三角形的面积和扇形的面积．
15. 如图，正方形ABCD中，AB＝6，点E为对角线AC上的动点，以DE为边作正方形DEFG，点H是CD上一点，DH＝CD，连接GH，则GH的最小值为_______．

【答案】
【解析】
【分析】连接，证明，推出，推出点的运动轨迹是射线，根据垂线段最短可知，当时，的值最小．
【详解】连接，

四边形是正方形，四边形是正方形，
，，，，
，
，
，
点的运动轨迹是射线，
根据垂线段最短可知，当，的值最小，
，
，
最小值．
故答案为：．
【点睛】此题考查正方形的性质，关键是根据正方形的性质和三角形中位线定理解答．
三、解答题（本大题共8小题，共75.0分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. （1）计算：；
（2）化简：．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）先计算负整数指数幂与零指数幂、算术平方根，再计算加减法即可得；
（2）先计算括号内的分式加法，再计算分式的除法即可得．
【详解】解：（1）原式
；
（2）原式

．
【点睛】本题考查了负整数指数幂与零指数幂、算术平方根、分式的除法与加法，熟练掌握各运算法则是解题关键．
17. 中华文化源远流长，文学方面，《西游记》、《三国演义》、《水浒传》、《红楼梦》是我国古代长篇小说中的典型代表，被称为“四大古典名著”．某中学为了了解学生对四大古典名著的阅读情况，就“四大古典名著你读完了几部”的问题在全校学生中进行了抽样调查，根据调查结果绘制成如下尚不完整的统计图．

请根据以上信息，解决下列问题：
（1）本次调查所得数据的众数是________部，中位数是________部；
（2）扇形统计图中“部”所在扇形的圆心角为________度；
（3）请将条形统计图补充完整；
（4）没有读过四大古典名著的两名学生准备从中各自随机选择一部来阅读，请用列表或画树状图的方法求他们恰好选中同一名著的概率．
【答案】（1）1，2；（2）°；（3）见解析；（4）见解析，
【解析】
【分析】（1）先根据调查的总人数，求得2部对应的人数，进而得到本次调查所得数据的众数以及中位数；
（2）根据扇形圆心角的度数=部分占总体的百分比×360°，即可得到“4部”所在扇形的圆心角；
（3）根据2部对应的人数，即可将条形统计图补充完整；
（4）根据列表所得的结果，可判断他们选中同一名著的概率．
【详解】解：（1）调查的总人数为：10÷25%=40，
∴2部对应的人数为40-2-14-10-8=6，
∴本次调查所得数据的众数是1部，
∵2+14+10=26＞21，2+14＜20，
∴中位数为2部．
故答案为：1，2
（2）扇形统计图中“4部”所在扇形的圆心角为：
故答案为：72°.
（3）2部对应的人数为：40-2-14-10-8=6人
补全统计图如图所示．

（4）将《西游记》、《三国演义》、《水浒传》、《红楼梦》分别记作A，B，C，D，
画树状图可得：

由图可知，共有16种等可能的结果，其中选中同一名著的有4种，．
故答案为：．
【点睛】此题考查了树状图法与列表法求概率，以及条形统计图与扇形统计图的知识．解题时注意：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）= ．
18. 如图，矩形的两边，的长分别为3，8，E是的中点，反比例函数的图象经过点E，与交于点F．

（1）若点B坐标为，求m的值及图象经过A，E两点的一次函数的解析式；
（2）若，求反比例函数的解析式．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）利用矩形的性质得到，，，从而求出点E的坐标，然后利用待定系数法即可求出直线的表达式；
（2）利用勾股定理计算出，从而求出，设，则，，，利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出t的值，然后计算出m的值，从而得到此时反比例函数的表达式．
【小问1详解】
解：∵，四边形为矩形，
∴，，
∵E是的中点，
∴，
∵点B坐标为，
∴，则，
∴，
∴，
∵点B坐标为，，
∴，
设经过A，E两点的一次函数的解析式为，
将点，代入得：
，解得：，
∴经过A，E两点的一次函数的解析式为；
【小问2详解】
解：∵，
而，
∴，
设，则，，
∵，在反比例函数y＝的图象上，
∴，
解得，
∴，
∴，
∴若，则反比例函数的表达式是．
故答案为：．
【点睛】此题考查的是矩形的性质、求一次函数解析式和求反比例函数解析式，掌握矩形的性质和利用待定系数法求一次函数和反比例函数解析式是解决此题的关键．
19. 某校安装了红外线体温检测仪（如图1），该设备通过探测人体红外辐射能量对进入测温区域的人员进行快速测温，其红外线探测点O可以在垂直于地面的支杆上下调节（如图2），探测最大角（）为，探测最小角（）为，已知该设备在支杆上下调节时，探测最大角及最小角始终保持不变．若要求测温区域的宽度为2.53米，请你帮助学校确定该设备的安装高度．（结果精确到0.01米，参考数据：，，，，，）

【答案】1.84米
【解析】
【分析】首先根据题意表示出，然后利用三角函数表示出和，然后列方程求解即可．
详解】解：根据题意可知，（米）．
在中，，
∴．
在中，
，
∴，
∴（米），
∴（米）．
答：该设备的安装高度约为1.84米．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数定义是解决本题的关键．
20. 如图，△ABC中，AB＝AC，以AC为直径⊙O交BC于点D，点E为AC延长线上一点，且∠BAC＝2∠CDE．

（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若cosB＝，CE＝2，求DE．
【答案】（1）详见解析；（2）DE＝4
【解析】
【分析】（1）根据圆周角定理得出∠ADC=90°，按照等腰三角形的性质和已知的2倍角关系，证明∠ODE为直角即可；

（2）通过证得△CDE∽△DAE，根据相似三角形的性质即可求得．
【详解】（1）如图，连接OD，AD，

∵AC是直径，
∴∠ADC＝90°，
∴AD⊥BC，
∵AB＝AC，
∴∠BAC=2∠CAD＝2∠BAD，
∵∠BAC＝2∠CDE．
∴∠CDE＝∠CAD，
∵OA＝OD，
∴∠CAD＝∠ADO，
∵∠ADO+∠ODC＝90°，
∴∠ODC+∠CDE＝90°
∴∠ODE＝90°
又∵OD是⊙O的半径∴DE是⊙O的切线；
（2）∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠ACB=∠B，
∴cos∠ACB=cosB＝
∴AC＝3DC，设DC＝x，则AC＝3x，
∴，
∵∠CDE＝∠CAD，∠DEC＝∠AED，
∴△CDE∽△DAE，
∴，即
∴DE＝4
【点睛】本题考查了圆的切线的判定定理、圆周角定理、等腰三角形的性质、三角形相似的判定和性质，解题的关键是作出辅助线构造直角三角形或等腰三角形．
21. 第39届“中国洛阳牡丹文化节”期间，某工艺品商店促销大小两种牡丹瓷盘，发布如下信息：
※ 每个大盘的批发价比每个小盘多120元；
※※ 一套组合瓷盘包括一个大盘与四个小盘；
※※※ 每套组合瓷盘的批发价为320元．
根据以上信息：
（1）求每个大盘与每个小盘的批发价；
（2）若该商户购进小盘的数量是大盘数量的5倍还多18个，并且大盘和小盘的总数不超过320个，该商户计划将一半的瓷盘按每套500元成套销售，其余按每个大盘300元，每个小盘80元零售．设该商户购进大盘个，
①试用含的关系式表示出该商户计划获取的销售额；
②请帮助他设计一种获取销售额最大的方案，并求出最大销售额．
【答案】（1）大盘160元，小盘40元；（2）①，②购进50个大盘，268个小盘，并按照既定方案全部销售完，可以获得最大销售额33440元．
【解析】
【分析】（1）根据题意列出二元一次方程组，解方程即可；
（2）①根据题意列出函数关系式；②根据①的结论，结合题中所给信息列出一元一次不等式设计方案即可
【详解】（1）解：设每个大盘与每个小盘的批发价分别为元，
根据题意，得：

解得：
答：每个大盘的批发价为160元，每个小盘的批发价为40元．
（2）①设销售额为,则


②该商户购进大盘个，则购进小盘个；根据题意，

解得：
，随的增大而增大，
当时，有最大值，
（元）
此时小盘有：（个）
即当购进50个大盘，268个小盘，并按照既定方案全部销售完，可以获得最大销售额33440元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的实际应用，根据不等式设计方案，找准题中的等量关系列出函数关系式是解题的关键．
22. 图1是一个倾斜角为的斜坡的横截面．斜坡顶端B与地面的距离为3米．为了对这个斜坡上的绿地进行喷灌，在斜坡底端安装了一个喷头A，与喷头A的水平距离为6米，喷头A喷出的水珠在空中走过的曲线可以看作抛物线的一部分．设喷出水珠的竖直高度为y (单位：米)(水珠的竖直高度 是指水珠与水平地面的距离)，水珠与喷头A的水平距离为x(单位：米)，y与x之间近似满足二次函数关系，图2记录了x与y的相关数据，其中当水珠与喷头A的水平距离为4米时，喷出的水珠达到最大高度4米．

（1）求y关于x的函数关系式；
（2）斜坡上有一棵高1.9米的树，它与喷头A的水平距离为2米，通过计算判断从A喷出的水珠能否越过这棵树．
【答案】（1）
（2）能越过
【解析】
【分析】（1）由图象知，顶点坐标为，且图象过点，设y关于x的函数关系式为，利用待定系数法求解可得；
（2）代入求得y的值后与比较大小后即可确定正确的结论．
【小问1详解】
解：由图象知，顶点坐标为，且图象过点，
设y关于x的函数关系式为，将代入，
∴，
解得，
∴
【小问2详解】
当时，，
∵，且，
∴水珠能越过这棵树．
【点睛】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式、直角三角形的性质、二次函数的图象与性质及其平移规律等知识点．
23. 下面是某数学兴趣小组探究用不同方法作一条线段的垂直平分线的讨论片段，请仔细阅读，并完成相应任务．
小晃：如图1，（1）分别以A，B为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点P；（2）分别作的平分线，交点为E；（3）作直线．直线即为线段的垂直平分线．
简述作图理由：
由作图可知，，所以点P在线段的垂直平分线上，，因为分别是的平分线，所以，所以，所以点E在线段的垂直平分线上，所以是线段的垂直平分线．
小航：我认为小晃的作图方法很有创意，但是可以改进如下，如图2，（1）分别以A，B为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点P；（2）分别在线段上截取；（3）连接，交点为E；（4）作直线．直线即为线段的垂直平分线．
……


任务：
（1）小晃得出点P在线段的垂直平分线上的依据是__________；
（2）小航作图得到的直线是线段的垂直平分线吗？请判断并说明理由；
（3）如图3，已知，点C，D分别为射线上的动点，且，连接，交点为E，当时，请直接写出线段的长．
【答案】（1）到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上
（2）是线段的垂直平分线，理由见解析
（3）2或
【解析】
【分析】（1）由线段垂直平分线的判定定理即可得到结论．
（2）证明APDBPC（SAS），得出∠PAD=∠PBC，证出AE=BE，则可得出结论；
（3）分两种情况，①点E在AB上方，②点E在AB下方，由三角函数解直角三角形可得出结论．
【小问1详解】
解：到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；
【小问2详解】
证明：由作图可知：
PA=PB，PC=PD
在APD和BPC中

∴APDBPC（SAS）
∴∠PAD=∠PBC
∵PA=PB
∴点P在线段AB的垂直平分线上
∠PAB=∠PBA
∴∠PAB−∠PAD=∠PBA−∠PBC
即∠DAB=∠CBA
∴AE=BE
∴点E在线段AB的垂直平分线上
∴PE是线段AB垂直平分线
【小问3详解】
解：如图3，在过点E作EMAB于点M

由（2）可知，
EA=EB
∵ADBC
∴∠EAB=∠EBA=45
又∵AB=
∴AM=AB=
如图3,当点E在AB上方时，
在RtEMA中，
cos∠EAM=，即
AE＝=
∵∠P=30，PA=PB
∴∠PAB=∠PBA==75
∴∠CAE=∠PAB−∠EAB=75−45=30
∴在RtCEA中，
cos∠CAE=，即

如图4，当点E在AB下方时，

同理可得AE=
∵∠P=30，PA=PB
∴∠PAB=∠PBA==75
∴∠CAE=180−（∠PAB+∠EAB）=180−（75+45）=60
∴在RtCEA中，
cos∠CAE=，即
AC=
∴综上所述，线段AC的长为2或．
【点睛】本题考查三角形的综合题，考查了线段垂直平分线的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，三角函数解直角三角形等．理解题意掌握线段垂直平分线的性质与判定是解题的关键．