2023年河南省洛阳市中考数学一模试卷（含解析）

2023年河南省洛阳市中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列各数为负数的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  据报道，年河南省一般公共预算教育支出亿元，同比增长数据“亿”用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  如图是由个相同的小正方体组成的几何体，它的左视图是(    )

A.
B.
C.
D.

4.  下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

5.  如图，直线与相交于点，，，则的度数是(    )
 

A.
B.
C.
D.

6.  已知关于的一元二次方程有一个根是，则另一个根是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  为了落实“作业、睡眠、手机、读物、体质”等五项管理要求，了解学生的睡眠状况，调查了一个班名学生每天的睡眠时间，绘成睡眠时间频数分布直方图如图所示，则所调查学生睡眠时间的众数，中位数分别为(    )

A. ， B. ， C. ， D. ，

8.  如图，在平行四边形中，，，分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，作直线，与交于点，与交于点，连接，，则四边形的周长为(    )

A.  B.  C.  D.

9.  如图，在平面直角坐标系中，点，轴于点，将沿翻折得到，连接并延长交轴于点，则点的坐标为(    )

A.  B.  C.  D.

10.  物理课上小刚在探究弹簧测力计的“弹簧的长度与受到的拉力之间的关系”时，在弹簧的弹性限度内，通过实验获得下面的一组数据．在弹簧的弹性限度内，若拉力为，则弹簧长度为(    )

A.  
B.  
C.
D.  

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.  写出一个大于且小于的无理数          ．

12.  已知关于的不等式组，其中在数轴上的对应点如图所示，则这个不等式组的解集为______ ．

13.  第届冬季奥林匹克运动会于年月至日在我国北京一张家口成功举办，其中张家口赛区设有四个冬奥会竞赛场馆，分别为：云顶滑雪公园，国家跳台滑雪中心，国家越野滑雪中心，国家冬季两项中心小亮和小明都是志愿者，他们被随机分配到这四个竞赛场馆中的任意一个场馆的可能性相同小亮和小明被分配到同一场馆做志愿者的概率为______ ．

14.  在扇形中，，点是半径上一点，且，将线段沿方向平移，当平移距离是时，点的对应点恰好落在弧上，则图中阴影部分的面积为______ ．

15.  小明同学将一大一小两个三角板按照如图所示的方式摆放其中，，，连接，取的中点，将三角板绕点按顺时针方向旋转一周，则在旋转过程中，点到直线的距离的最大值是______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
计算：；
化简：

17.  本小题分
某校举办“歌唱祖国”演唱比赛，十位评委对每位同学的演唱进行现场打分，对参加比赛的甲、乙、丙三位同学得分的数据进行整理、描述和分析下面给出了部分信息．
甲、乙两位同学得分的折线图：

丙同学得分：，，，，，，，，，
甲、乙、丙三位同学得分的平均数：

根据以上信息，回答下列问题：
求表中的值；
在参加比赛的同学中，如果某同学得分的个数据的方差越小，则认为评委对该同学演唱的评价越一致据此推断：在甲、乙两位同学中，评委对______ 的评价更一致填“甲”或“乙”．

18.  本小题分
如图，点，在反比例函数的图象上，轴，轴，垂足分别为，，与相交于点．
根据图象直接写出，的大小关系，并通过计算加以验证；
若四边形的面积为，求反比例函数的解析式．

19.  本小题分
如图，郑北大桥横跨亚洲最大铁路编组站，该桥为独塔双索钢混结合梁斜拉桥，是国内同类型桥中最宽的结合梁斜拉桥某数学“综合与实践”小组的同学把“测量郑北大桥的某组斜拉索最高点到桥面的距离”作为一项课题活动，进行了探究，具体过程如下：

方案设计：如图，分别在，两点放置测角仪测得和的度数；
数据收集：，两点的距离为米，测角仪和的高度为米，，；
问题解决：求郑北大桥某组斜拉索最高点到桥面的距离结果保留整数参考数据：，，
根据上述方案及数据，请你完成求解过程；
你认为在本次方案的实行过程中，该小组成员应该注意的事项有哪些写出一条即可．

20.  本小题分
“互联网”让我国经济更具活力牡丹花会期间，某网店直接从工厂购进，两款花会纪念钥匙扣进行销售，进货价和销售价如下表：

网店第一次用元购进，两款钥匙扣共件，求两款钥匙扣分别购进的件数；
第一次购进的花会纪念钥匙扣售完后，该网店计划再次购进，两款钥匙扣共件进货价和销售价都不变，且第二次进货总价不高于元网店这次应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？

21.  本小题分
水车是我国古老的农业灌溉工具，是古人们在征服世界的过程中创造出来的高超劳动技艺，是珍贵的历史文化遗产水车是由立式水轮、竹筒、支撑架和水槽等部件组成．
小明受此启发设计了一个“水车玩具”，设计图如图，若水轮在动力的作用下将水运送到点处，水沿水槽流到水池中，与水面交于点，，且点，，，在同一直线上，与相切于点，连接，，．
请仅就图解答下列问题．
求证：．
若点到点的距离为，请求出水槽的长度．
 

22.  本小题分
在平面直角坐标系中，已知抛物线．
抛物线的顶点坐标为______ 用含的式子表示；
已知抛物线与轴交于，两点在的左侧，与轴交于点．
若，求抛物线的解析式；
若，请直接写出的取值范围．

23.  本小题分
综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动．
操作判断
操作一：对折正方形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平；
操作二：在上选一点，沿折叠，使点落在上的点处，得到折痕，把纸片展平；根据以上操作，直接写出图中的度数：______ ．
拓展应用
小华在以上操作的基础上，继续探究，延长交于点，连接交于点如图判断的形状，并说明理由．
迁移探究
如图，已知正方形的边长为，当点是边的三等分点时，把沿翻折得，延长交于点，请直接写出的长．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、，是正数，故A不符合题意；
B、，是负数，故B符合题意；
C、既不是正数，也不是负数，故C不符合题意；
D、，是正数，故D不符合题意；
故选：．
根据正数大于，负数小于，既不是正数，也不是负数，逐一判断即可解答．
本题考查了实数，熟练掌握负数的意义是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

3.【答案】 

【解析】解：从左边看，是一列两个小正方形．
故选：．
由题意根据从左边看得到的图形是左视图，进行观察判断可得答案．
本题考查简单几何体的三视图，注意掌握从左边看得到的图形是左视图．
 

4.【答案】 

【解析】解：，故该选项不正确，不符合题意；
B.，故该选项不正确，不符合题意；
C.，故该选项不正确，不符合题意；
D.，故该选项正确，符合题意．
故选：．
根据合并同类项，完全平方公式，单项式的除法，积的乘方运算进行计算即可求解．
本题考查了完全平方公式，单项式的除法，积的乘方，掌握合并同类项，完全平方公式，单项式的除法，积的乘方的运算法则是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了角的和差关系，掌握“对顶角相等”是解决本题的关键．
先求出的度数，再根据角的和差关系得结论．
【解答】
解：，
．
，，


．
故选：．  

6.【答案】 

【解析】解：设方程的另一个根是，
根据根与系数的关系，得，
解得，
故选：．
根据与系数的关系先求出．
此题主要考查了根与系数的关系，掌握根与系数的关系式是解题关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：出现了次，出现的次数最多，
所调查学生睡眠时间的众数是；
共有名学生，中位数是第、个数的平均数，
所调查学生睡眠时间的中位数是．
故选：．
直接利用众数以及中位数的概念分别分析求出即可．
此题主要考查了众数、中位数的概念，正确把握中位数的概念是解题关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：设交于点，
则，
由作图得：垂直平分，
，
，
平分，
，
同理：，
四边形的周长为：，
故选：．
先根据平行四边形的性质得出为的中点，再根据三角形中位线的判定定理得出平分，再根据直角三角形的性质求解．
本题考查了基本作图，掌握三角形的中位线的判定定理是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：如图，过点作于点，延长交延长线于点，

则四边形为矩形，
轴于点，，
，
，，
根据折叠可知，，，，
，
，
，
，
∽，
，
设，则，
，
，
，
，
，
解得：，
经检验，是原分式方程的解，
，，
，
设所在直线解析式为，
，
解得：，
所在直线解析式为，
令，得，
解得：，
．
故选：．
过点作于点，延长交延长线于点，则四边形为矩形，由折叠可知，，，利用同角的余角相等可得，易证∽，设，则，根据相似三角形的性质求出值，以此得到点的坐标，再根据待定系数法求出所在直线解析式，以此进一步求出点坐标即可．
本题主要考查矩形的性质、相似三角形的判定与性质、折叠的性质、用待定系数法求函数解析式，正确作出辅助线，构造相似三角形，利用相似三角形的性质求出点的坐标时解题关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：根据题意可设，拉力和弹簧长度的关系式为：，
点，在函数图象上，
，
解得：．
当拉力为时，即时，．
故选：．
由题意知为拉力和弹簧长度之间函数关系式为一次函数，结合的实际意义可设，再利用待定系数法求解．
本题考查了一次函数的应用，比较简单，解答本题的关键是得出拉力和弹簧长度满足一次函数关系式，并根据待定系数法求出关系式．
 

11.【答案】答案不唯一 

【解析】

【分析】
本题考查的是无理数的定义有关知识，根据无理数是无限不循环小数进行解答，由于，故符合题意．
【解答】
解：，
，
故答案为答案不唯一．  

12.【答案】 

【解析】解：由得：，
由数轴知，
则不等式组解集为，
故答案为：．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：画出树状图如下：

由树状图可知，一共有种等可能的情况，其中小亮和小明被分配到同一场馆做志愿者有种可能情况，
小亮和小明被分配到同一场馆做志愿者．
故答案为：．
用列表法或树状图法列出所有等可能的结果，并从中获得小亮和小明分配到同一场馆做志愿者的有多少种，再利用概率公式求出概率即可．
本题考查等可能事件概率的求法，掌握列表法或树状图法是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：由已知可得，
四边形是平行四边形，
又，
四边形是菱形，
，，
，，
是等边三角形，，，
，，
，
，
故答案为：．
根据题意和题目中的数据，可以得到四边形是菱形，的值和的值，以及的度数，再根据图形可知，代入数据计算即可．
本题考查扇形面积的计算、平移的性质、菱形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

15.【答案】 

【解析】解：如图，取的中点，连接，交于，

点是的中点，点是的中点，
，，，
点在以点为圆心，为半径的圆上运动，
当点在的上方，且时，，
，
当点在的下方，且时，点到直线的距离有最大值，
最大值为，
故答案为：．
由三角形的中位线定理可得，，，可得点在以点为圆心，为半径的圆上运动，即可求解．
本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，三角形中位线定理，确定点的运动轨迹是解题的关键．
 

16.【答案】解：

；



． 

【解析】先化简，然后根据有理数的加减法法则计算即可；
先化简括号内的式子，然后将分式的分子和分母分解因式，然后约分即可．
本题考查分式的混合运算、实数的运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
 

17.【答案】甲 

【解析】解：；
甲同学的方差，
乙同学的方差，
，
评委对甲同学演唱的评价更一致．
故答案为：甲．
根据平均数的定义即可求解；
计算甲、乙两位同学的方差，即可求解．
本题考查折线统计图，平均数、方差，理解平均数、方差的意义和计算方法是正确解答的前提．
 

18.【答案】解：，
理由：由题意得：，，
，
，
即：；
由题意得：四边形是矩形，，，
，
解得：，
反比例函数的解析式为：． 

【解析】根据图象比较大小，再根据不等式的性质进行证明；
先用表示矩形的边长，再根据矩形的面积列出方程求解．
本题考查了待定系数法的应用，掌握不等式的性质及矩形的面积公式是解题的关键．
 

19.【答案】解：过点作，并延长交于点，

由题意得：米，米，
设米，
在中，，
米，
在中，，
米，
，
，
解得：，
米，
郑北大桥某组斜拉索最高点到桥面的距离约为米；
我认为在本次方案的实行过程中，该小组成员应该注意的事项是：使用测角仪测量时，要与地面垂直． 

【解析】过点作，并延长交于点，根据题意可得：米，米，然后设米，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而根据，列出关于的方程，进行计算即可解答；
根据测量时需要注意的事项，即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

20.【答案】解：设购进款钥匙扣件，款钥匙扣件，
根据题意得：，
解得：．
答：购进款钥匙扣件，款钥匙扣件．
设购进件款钥匙扣，则购进件款钥匙扣，
根据题意得：，
解得：．
设再次购进的、两款钥匙扣全部售出后获得的总利润为元，则．
，
随的增大而减小，
当时，取得最大值，最大值，
此时．
答：当购进件款钥匙扣，件款钥匙扣时，才能获得最大销售利润，最大销售利润是元． 

【解析】设购进款钥匙扣件，款钥匙扣件，利用总价单价数量，结合该网店第一次用元购进、两款钥匙扣共件，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
设购进件款钥匙扣，则购进件款钥匙扣，利用总价单价数量，结合总价不超过元，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围，设再次购进的、两款钥匙扣全部售出后获得的总利润为元，利用总利润每件的销售利润销售数量，即可得出关于的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用、一元二次方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式．
 

21.【答案】证明：与相切于点，
，
是的直径，
，
，
，
，
，
，
，
；
设的半径为，
在中，，
，
解得：，
，，
，
水槽的长度为． 

【解析】根据切线的性质可得，再根据直径所对的圆周角是直角可得，从而利用等式的性质可得，然后利用等边对等角可得，从而可得，最后根据圆周角定理可得，从而利用等量代换即可解答；
设的半径为，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出，从而求出，的长，最后在中，利用勾股定理进行计算，即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用，圆周角定理，切线的性质，熟练掌握锐角三角函数的定义，以及圆周角定理是解题的关键．
 

22.【答案】 

【解析】解：抛物线，
对称轴为直线，
当时，，
抛物线的顶点坐标为．
故答案为：；
抛物线与轴的交点为，
，
，
，
，
把代入抛物线，可得，
解得，
抛物线的解析式为；
设，两点的横坐标为，，则，，是方程的两个根，
，，
，
，
，
，
，
，
．
利用对称轴公式求得抛物线的对称轴为直线，代入解析式即可求得，从而求得抛物线的顶点坐标为；
求出、的坐标，利用待定系数法可得结论；
设，两点的横坐标为，，则，，是方程的两个根，利用根与系数的关系得到，，根据得出，即，解得．
本题考查了二次函数的图象和系数的关系，待定系数法求二次函数的解析式，抛物线与轴的交点等知识，掌握二次函数与方程的关系是解题的关键．
 

23.【答案】 

【解析】解：四边形为正方形，
，，
根据折叠的性质可得，，，，，，
，，
，
，
故答案为：；
解法一：为等边三角形．理由如下：
四边形为正方形，
，，
根据折叠的性质可得，，，，，
，，，
，为中点，
为的中位线，
，
在中，，
，
在和中，
，
≌，
，即，
，
，
，
为等边三角形；
解法二：由可知，，
，，
根据折叠的性质可得，，，，
，，
，为中点，
为的中位线，
，
在中，，
，
为等边三角形；
点是边的三等分点，
或，
当时，如图，连接，

则，
四边为边长为的正方形，
，，
根据折叠的性质可得，，，，
，
在和中，
，
≌，
，
设，则，，
在中，，
，
解得：，
；
当时，如图，连接，

则，
四边为边长为的正方形，
，，
根据折叠的性质可得，，，，
，
在和中，
，
≌，
，
设，则，，
在中，，
，
解得：，
；
综上，或．
根据折叠的性质可得，，，，，利用含度角的直角三角形性质和平行线的性质得，于是，再利用三角形内角和定理即可求解；
解法一：根据折叠的性质可得，，，，，易证明为的中位线，得到，利用直角三角形斜边上的中线性质得到，，易通过证明≌，得到，根据平行线的性质可得，以此即可得到；
解法二：利用平角的定义得到，根据折叠的性质可得，，，，于是，易证明为的中位线，得到，利用直角三角形斜边上的中线性质得到，，以此即可证明；
分两种情况：当时，连接，根据折叠的性质可得，，，，通过证明≌，得到，于是设，则，，在中，根据勾股定理建立方程，求解即可；当时，连接，根据折叠的性质可得，，，，通过证明≌，得到，于是设，则，，在中，根据勾股定理建立方程，求解即可．
本题主要考查正方形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、含度角的直角三角形性质、等边三角形的判定、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理，本题难度适中，熟练掌握折叠的性质，利用折叠前后的两个图形全等，以此得到边与边之间的关系，再根据勾股定理建立方程并求解是解题关键．