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2023年河南省洛阳市洛龙区中考数学一模试卷附解析
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这是一份2023年河南省洛阳市洛龙区中考数学一模试卷附解析，共38页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年河南省洛阳市洛龙区中考数学一模试卷附解析
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．（3分）如图，被墨迹污染的数可能是（ ）
A．1.5 B．0.5 C．﹣1.5 D．﹣0.5
2．（3分）根据图中三视图可知该几何体是（ ）
A．三棱锥 B．三棱柱 C．四棱锥 D．四棱柱
3．（3分）世卫组织宣布冠状病毒最大直径约为0.00000012m，“0.00000012”用科学记数法可表示为（ ）
A．12×10﹣8 B．0.12×10﹣6 C．1.2×10﹣7 D．1.2×10﹣6
4．（3分）将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则∠1的度数为（ ）
A．70° B．75° C．80° D．85°
5．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a2+a＝a3 B．3a﹣4a＝﹣a
C．（a﹣3）2＝a2﹣9 D．a3⋅a4＝a12
6．（3分）若事件“关于x的一元二次方程ax2+4x﹣1＝0有实数根”是必然事件，则a的取值范围是（ ）
A．a＜4 B．a＞﹣4 C．a≥﹣4且a≠0 D．a≤﹣4且a≠0
7．（3分）端午节又称端阳节，是中华民族重要的传统节日，我国各地都有吃粽子的习俗．某超市以9元每袋的价格购进一批粽子，根据市场调查，售价定为每袋15元，每天可售出200袋；若售价每降低1元，则可多售出70袋，问此种粽子售价降低多少元时，超市每天售出此种粽子的利润可达到1360元？若设每袋粽子售价降低x元，则可列方程为（ ）
A．（15﹣x﹣9）（200+70x）＝1360
B．（15﹣x）（200+70x）＝1360
C．（15﹣x﹣9）（200﹣70x）＝1360
D．（15﹣x）（200﹣70x）＝1360
8．（3分）在2022年北京冬奥会开幕式和闭幕式中，一片“雪花”的故事展现了“世界大同、天下一家”的主题，让世界观众感受了中国人的浪漫．如图，将“雪花”图案（边长为4的正六边形ABCDEF）放在平面直角坐标系中，若AB与x轴垂直，顶点A的坐标为（2，﹣3），则顶点C的坐标为（ ）
A．） B． C． D．
9．（3分）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABOC的顶点O在坐标原点，边BO在x轴的负半轴上，∠BOC＝60°，顶点C的坐标为（a，3），反比例函数y＝的图象与菱形对角线AO交于点D，连接BD，当DB⊥x轴时，k的值是（ ）
A．﹣2 B．﹣3 C．﹣4 D．﹣6
10．（3分）老师布置了任务：过直线AB上一点C作AB的垂线．在没有直角尺的情况下，嘉嘉和淇淇利用手头的学习工具给出了如图所示的两种方案，下列判断正确的是（ ）
①利用一把有刻度的直尺在AB上量出CD＝30cm．
②分别以D，C为圆心，以50cm和40cm为半径画圆弧，两弧相交于点E．
③作直线CE，CE即为所求的垂线．
取一根笔直的木棒，在木棒上标出M，N两点
①使点M与点C重合，点N对应的位置标记为点Q．
②保持点N不动，将木棒绕点N旋转，使点M落在AB上，将旋转后点M对应的位置标记为点R．
③将RQ延长，在延长线上截取线段QS＝MN，得到点S．
④作直线SC，SC即为所求直线．
A．Ⅰ可行、Ⅱ不可行 B．Ⅰ不可行、Ⅱ可行
C．Ⅰ、Ⅱ都不可行 D．Ⅰ、Ⅱ都可行
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
11．（3分）若代数式有意义，则x的取值范围是 ．
12．（3分）分解因式：3m2﹣12＝ ．
13．（3分）如图是小明的健康绿码示意图，用黑白打印机打印于边长为2cm的正方形区域内，为了估计图中黑色部分的总面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右，据此可以估计黑色部分的总面积约为 cm2．
14．（3分）如图1所示，半圆O的直径AB长度为6，半径OC⊥AB，沿OC将半圆剪开得到两个圆心角为90°的扇形．将左侧扇形向右平移至图2位置，则所得图形中重叠部分的面积为 ．
15．（3分）如图，∠AOB＝30°，点P在OA上，且，M是OA上的点，在OB上找点N，以PM为边，P，M，N为顶点作正方形，则MN的长为 ．
三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16．（8分）计算：
（1）；
（2）化简求值：，其中a从﹣2，﹣1，0，1，2中选取一个合适的数．
17．（9分）“此生无悔入华夏，来世再做中国人！”自疫情暴发以来，我国成功地研发出了多种“新冠”疫苗，并在全国范围内免费接种．为了解接种进度，某小区管理人员对小区居民进行了抽样调查，按接种情况可分如下四类：A类——接种了只需要注射一针的疫苗；B类——接种了需要注射二针，且二针之间要间隔一定时间的疫苗；C类——接种了要注射三针，且每二针之间要间隔一定时间的疫苗；D类——还没有接种．图1与图2是根据此次调查得到的统计图（不完整），请根据统计图回答下列问题：
（1）此次抽样调查的人数是 人；
（2）m＝ ；n＝ ；
（3）为了继续宣传新冠疫苗接种的重要性，小区管理部门准备在已经接种疫苗的居民中征集2名志愿宣传者，现有3男2女共5名居民报名，要从这5人中随机挑选2人，求恰好抽到一男和一女的概率是多少？
18．（9分）在一次数学研究性学习中，小敏将两个全等的直角三角形纸片ABC和DEF拼在一起，使点A与点F重合，点C与点D重合（如图1），其中∠ACB＝∠DFE＝90°，BC＝EF＝6cm，AC＝DF＝8cm，并进行如下研究活动，将图1中的纸片DEF沿AC方向平移，连结AE，BD（如图2），当点F与点C重合时停止平移．
（1）图2中的四边形ABDE是平行四边形吗？请说明理由．
（2）当纸片DEF平移到某一位置时，小敏发现四边形ABDE为矩形（如图3），求AF的长．
19．（9分）桔槔俗称“吊杆”“称杆”，如图1，是我国古代农用工具，桔槔始见于（墨子•备城门），是一种利用杠杆原理的取水机械．如图2所示的是桔槔示意图，OM是垂直于水平地面的支撑杆，AB是杠杆，且AB＝5.4米，OA：OB＝2：1．当点A位于最高点时，∠AOM＝127°；当点A从最高点逆时针旋转54.5°到达最低点A1，求此时水桶B上升的高度．
（参考数据：sin37°≈0.6，sin17.5°≈0.3，tan37°≈0.8）
20．（9分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AC于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若AB＝AC＝6，，求DE的长．
21．（9分）2022年4月16日，神舟十三号载人飞船返回舱成功着陆，任务取得圆满成功．航模店看准商机，推出了“神舟”和“天宫”模型．已知每个“天宫”模型的成本比“神舟”模型低20%，同样花费320元，购进“天宫”模型的数量比“神舟”模型多4个．
（1）“神舟”和“天宫”模型的成本各多少元？
（2）该航模店计划购买两种模型共100个，且每个“神舟”模型的售价为35元，“天宫”模型的售价为25元．设购买“神舟”模型a个，销售这批模型的利润为w元．
①求w与a的函数关系式（不要求写出a的取值范围）；
②若购进“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的一半，则购进“神舟”模型多少个时，销售这批模型可以获得最大利润？最大利润是多少？
22．（10分）如图，是某水上乐园为亲子游乐区新设滑梯的示意图，其中线段PA是竖直高度为6米的平台，PO垂直于水平面，滑道分为两部分，其中AB段是双曲线的一部分，BCD段是抛物线的一部分，两滑道的连接点B为抛物线的顶点，且B点的竖直高度为2米，滑道与水平面的交点D距PO的水平距离为8米，以点O为坐标原点建立平面直角坐标系，滑道上点的竖直高度为y，距直线PO的水平距离为x．
（1）请求出滑道BCD段y与x之间的函数关系式；
（2）当滑行者滑到C点时，距地面的距离为1米，求滑行者此时距滑道起点A的水平距离；
（3）在建模实验中发现，为保证滑行者的安全，滑道BCD落地点D与最高点B连线与水平面夹角应不大于45°，且由于实际场地限制，，求OD长度的取值范围．
23．（12分）[问题情境]
（1）王老师给爱好学习的小明和小颖提出这样一个问题：如图①，在△ABC中，AB＝AC，P为边BC上的任一点，过点P作PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D，E，过点C作CF⊥AB，垂足为F．求证：PD+PE＝CF．
小明的证明思路是：
如图①，连接AP，由△ABP与△ACP面积之和等于△ABC的面积可以证得：PD+PE＝CF．
小颖的证明思路是：
如图②，过点P作PG⊥CF，垂足为G，可以证得：PD＝GF，PE＝CG，则PD+PE＝CF．请你选择小明、小颖两种证明思路中的任意一种，写出详细的证明过程．
[变式探究]
（2）如图③，当点P在BC延长线上时，问题情境中，其余条件不变，求证：PD﹣PE＝CF．
[结论运用]
（3）如图④，将矩形ABCD沿EF折叠，使点D落在点B上，点C落在点C′处，点P为折痕EF上的任一点，过点P作PG⊥BE，PH⊥BG，垂足分别为G，H，若AD＝18，CF＝5，求PG+PH的值．
[迁移拓展]
（4）图⑤是一个机器模型的截面示意图，在四边形ABCD中，E为AB边上的一点，ED⊥AD，EC⊥CB，垂足分别为D，C，且AD•CE＝DE•BC，AB＝cm，AD＝3cm，，M、N分别为AE，BE的中点，连接DM，CN，请直接写出△DEM与△CEN的周长之和．
2023年河南省洛阳市洛龙区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．（3分）如图，被墨迹污染的数可能是（ ）
A．1.5 B．0.5 C．﹣1.5 D．﹣0.5
【答案】D
【分析】根据图示，被墨迹污染的数大于﹣1且小于0，据此逐项判断即可．
【解答】解：根据图示，被墨迹污染的数大于﹣1且小于0，
∵1.5＞0，
∴选项A不符合题意；
∵0.5＞0，
∴选项B不符合题意；
∵﹣1.5＜﹣1，
∴选项C不符合题意；
∵﹣1＜﹣0.5＜0，
∴选项D符合题意．
故选：D．
【点评】此题主要考查了数轴的特征和应用，解答此题的关键是要明确：一般来说，当数轴正方向朝右时，右边的数总比左边的数大．
2．（3分）根据图中三视图可知该几何体是（ ）
A．三棱锥 B．三棱柱 C．四棱锥 D．四棱柱
【答案】B
【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．
【解答】解：根据图中三视图可知该几何体是三棱柱．
故选：B．
【点评】本题考查由三视图确定几何体的形状，主要考查学生空间想象能力以及对立体图形的认识．
3．（3分）世卫组织宣布冠状病毒最大直径约为0.00000012m，“0.00000012”用科学记数法可表示为（ ）
A．12×10﹣8 B．0.12×10﹣6 C．1.2×10﹣7 D．1.2×10﹣6
【答案】C
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.00000012＝1.2×10﹣7．
故选：C．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
4．（3分）将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则∠1的度数为（ ）
A．70° B．75° C．80° D．85°
【答案】B
【分析】利用三角形内角和定理和平行线的性质解题即可．
【解答】解：如图，
∵∠2＝90°﹣30°＝60°，
∴∠3＝180°﹣45°﹣60°＝75°，
∵a∥b，
∴∠1＝∠3＝75°，
故选：B．
【点评】此题考查平行线的性质，关键是根据两直线平行，同位角相等解答．
5．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a2+a＝a3 B．3a﹣4a＝﹣a
C．（a﹣3）2＝a2﹣9 D．a3⋅a4＝a12
【答案】B
【分析】A．应用合并同类项的法则进行计算即可得出答案；
B．应用合并同类项的法则进行计算即可得出答案；
C．应用完全平方公式进行计算即可得出答案；
D．应用同底数幂的乘法法则进行计算即可得出答案．
【解答】解：A．因为a2与a不是同类项，不能合并计算，所以A选项计算错误，故A选项不符合题意；
B．因为3a﹣4a＝﹣a，所以B选项计算正确，故B选项符合题意；
C．因为（a﹣3）2＝a2﹣6a+9，所以C选项算不正确，故C选项不符合题意；
D．因为a3•a4＝a7，所以D选项计算不正确，故D选项不符合题意．
故选：B．
【点评】本题主要考查了完全平方公式，合并同类项，同底数幂的乘法，熟练掌握完全平方公式，合并同类项，同底数幂的乘法法则进行计算是解决本题的关键．
6．（3分）若事件“关于x的一元二次方程ax2+4x﹣1＝0有实数根”是必然事件，则a的取值范围是（ ）
A．a＜4 B．a＞﹣4 C．a≥﹣4且a≠0 D．a≤﹣4且a≠0
【答案】C
【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到a≠0且Δ＝42﹣4a×（﹣1）≥0，然后求出两不等式的公共部分即可．
【解答】解：根据题意得a≠0且Δ＝42﹣4a×（﹣1）≥0，
解得a≥﹣4且a≠0．
故选：C．
【点评】本题考查的是随机事件及根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
7．（3分）端午节又称端阳节，是中华民族重要的传统节日，我国各地都有吃粽子的习俗．某超市以9元每袋的价格购进一批粽子，根据市场调查，售价定为每袋15元，每天可售出200袋；若售价每降低1元，则可多售出70袋，问此种粽子售价降低多少元时，超市每天售出此种粽子的利润可达到1360元？若设每袋粽子售价降低x元，则可列方程为（ ）
A．（15﹣x﹣9）（200+70x）＝1360
B．（15﹣x）（200+70x）＝1360
C．（15﹣x﹣9）（200﹣70x）＝1360
D．（15﹣x）（200﹣70x）＝1360
【答案】A
【分析】由售价及销售间的关系，可得出降价后每袋粽子的销售利润为（15﹣x﹣9），每天可售出（200+70x）袋，利用超市每天售出此种粽子的利润＝每袋的销售利润×日销售量，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：根据题意得：每袋粽子的销售利润为（15﹣x﹣9），每天可售出（200+70x）袋，
∴超市每天售出此种粽子的利润（15﹣x﹣9）（200+70x）＝1360．
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
8．（3分）在2022年北京冬奥会开幕式和闭幕式中，一片“雪花”的故事展现了“世界大同、天下一家”的主题，让世界观众感受了中国人的浪漫．如图，将“雪花”图案（边长为4的正六边形ABCDEF）放在平面直角坐标系中，若AB与x轴垂直，顶点A的坐标为（2，﹣3），则顶点C的坐标为（ ）
A．） B． C． D．
【答案】B
【分析】根据正六边形的性质以及坐标与图形的性质进行计算即可．
【解答】解：如图，连接BD交CF于点M，则点B（2，1），
在Rt△BCM中，BC＝4，∠BCM＝×120°＝60°，
∴CM＝BC＝2，BM＝BC＝2，
∴点C的横坐标为﹣（2﹣2）＝2﹣2，纵坐标为1+2＝3，
∴点C的坐标为（2﹣2，3），
故选：B．
【点评】本题考查正多边形与圆，勾股定理，掌握正六边形的性质以及勾股定理是正确计算的前提，理解坐标与图形的性质是解决问题的关键．
9．（3分）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABOC的顶点O在坐标原点，边BO在x轴的负半轴上，∠BOC＝60°，顶点C的坐标为（a，3），反比例函数y＝的图象与菱形对角线AO交于点D，连接BD，当DB⊥x轴时，k的值是（ ）
A．﹣2 B．﹣3 C．﹣4 D．﹣6
【答案】C
【分析】首先过点C作CE⊥x轴于点E，由∠BOC＝60°，顶点C的坐标为（a，3），可求得OC的长，进而根据菱形的性质，可求得OB的长，且∠AOB＝30°，继而求得DB的长，则可求得点D的坐标，又由反比例函数y＝的图象与菱形对角线AO交D点，即可求得答案．
【解答】解：过点C作CE⊥x轴于点E，
∵顶点C的坐标为（a，3），
∴OE＝﹣a，CE＝3，
∴OC＝＝2，
∵菱形ABOC中，∠BOC＝60°，
∴OB＝OC＝2，∠BOD＝∠BOC＝30°，
∵DB⊥x轴，
∴DB＝OB•tan30°＝2×＝2，
∴点D的坐标为：（﹣2，2），
∵反比例函数y＝的图象与菱形对角线AO交于点D，
∴k＝xy＝﹣4．
故选：C．
【点评】此题考查了菱形的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征．注意准确作出辅助线，求出OC是解本题的是关键．
10．（3分）老师布置了任务：过直线AB上一点C作AB的垂线．在没有直角尺的情况下，嘉嘉和淇淇利用手头的学习工具给出了如图所示的两种方案，下列判断正确的是（ ）
①利用一把有刻度的直尺在AB上量出CD＝30cm．
②分别以D，C为圆心，以50cm和40cm为半径画圆弧，两弧相交于点E．
③作直线CE，CE即为所求的垂线．
取一根笔直的木棒，在木棒上标出M，N两点
①使点M与点C重合，点N对应的位置标记为点Q．
②保持点N不动，将木棒绕点N旋转，使点M落在AB上，将旋转后点M对应的位置标记为点R．
③将RQ延长，在延长线上截取线段QS＝MN，得到点S．
④作直线SC，SC即为所求直线．
A．Ⅰ可行、Ⅱ不可行 B．Ⅰ不可行、Ⅱ可行
C．Ⅰ、Ⅱ都不可行 D．Ⅰ、Ⅱ都可行
【答案】D
【分析】两个方案分别根据“勾股定理的逆定理”和“如果三角形一边上我中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形”进行的作图，故都正确．
【解答】解：方案Ⅰ：∵CD2+CE2＝302+402＝502＝DE2，
∴△CDE是直角三角形；
故方案Ⅰ可行；
方案Ⅱ：由作图得：Q是SR的中点，且CQ＝0.5AS，
∴∠ACS＝90°，
∴△CDE是直角三角形，
故选：D．
【点评】本题考查了复杂作图，掌握直角三角形的判定定理是解题的关键．
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
11．（3分）若代数式有意义，则x的取值范围是 x≥2023 ．
【答案】x≥2023．
【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，可得不等式x﹣2023≥0，再解不等式即可．
【解答】解：由题意得：x﹣2023≥0，
解得：x≥2023，
故答案为：x≥2023．
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件；用到的知识点为：二次根式有意义的条件是被开方数为非负数．
12．（3分）分解因式：3m2﹣12＝ 3（m﹣2）（m+2） ．
【答案】3（m﹣2）（m+2）．
【分析】利用提公因式和平方差公式进行因式分解．
【解答】解：3m2﹣12
＝3（m2﹣4）
＝3（m﹣2）（m+2）．
故答案为：3（m﹣2）（m+2）．
【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，解题的关键是掌握提公因式和平方差公式因式分解法．
13．（3分）如图是小明的健康绿码示意图，用黑白打印机打印于边长为2cm的正方形区域内，为了估计图中黑色部分的总面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右，据此可以估计黑色部分的总面积约为 2.4 cm2．
【答案】2.4．
【分析】经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右，可得点落入黑色部分的概率为0.6，根据边长为2cm的正方形的面积为4cm2，进而可以估计黑色部分的总面积．
【解答】解：∵经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右，
∴点落入黑色部分的概率为0.6，
∵边长为2cm的正方形的面积为4cm2，
设黑色部分的面积为S，
则＝0.6，
解得S＝2.4（cm2）．
∴估计黑色部分的总面积约为2.4cm2．
故答案为：2.4．
【点评】本题考查了利用频率估计概率，解决本题的关键是掌握概率公式，知道点落入黑色部分的概率为0.6．
14．（3分）如图1所示，半圆O的直径AB长度为6，半径OC⊥AB，沿OC将半圆剪开得到两个圆心角为90°的扇形．将左侧扇形向右平移至图2位置，则所得图形中重叠部分的面积为 π﹣ ．
【答案】π﹣．
【分析】连接OE，作ED⊥OB于点D，S扇形﹣S△ODE，即可求得弧BE和BD以及DE围成的阴影部分的面积，则阴影部分的面积即可求得．
【解答】解：连接OE，作ED⊥OB于点D．
∵OE＝OB＝2OD，
∴∠OED＝30°，
∴∠EOB＝60°，
∴S扇形＝＝π，
在直角△ODE中，DE＝＝，则S△ODE＝××＝，
则弧BE和BD以及DE围成的阴影部分的面积是：π﹣，
则S阴影＝2（π﹣）＝π﹣．
故答案是：π﹣．
【点评】本题考查了扇形的面积的计算，正确理解不规则的图形的面积转化为规则图形的面积的和、差计算是关键．
15．（3分）如图，∠AOB＝30°，点P在OA上，且，M是OA上的点，在OB上找点N，以PM为边，P，M，N为顶点作正方形，则MN的长为 或或 ．
【答案】或或．
【分析】分三种情况，一是正方形PMDN以MN为对角线，则PM＝PN＝OP•tan30°＝1，所以MN＝＝，此时点M在点P的左侧或右侧，MN的长相同；二是正方形PMNC以PN为对角线，且点M在点P的左侧，则OM＝MN，所以MN+MN＝，则MN＝；三是正方形PMNC以PN为对角线，且点M在点P的右侧，则MN﹣MN＝，所以MN＝．
【解答】解：如图1，正方形PMDN以MN为对角线，且点M在点P的左侧，
∵∠OPN＝90°，∠AOB＝30°，OP＝，
∴PM＝PN＝OP•tan30°＝×＝1，
∵∠MPN＝90°，
∴MN＝＝＝；
当正方形PM′D′N以M′N为对角线，且点M在点P的右侧时，M′N＝MN＝；
如图2，正方形PMNC以PN为对角线，且点M在点P的左侧，
∵∠OMN＝90°，∠AOB＝30°，
∴∠ONM＝60°，
∴OM＝MN•tan60°＝MN，
∵MP＝MN，
∴MN+MN＝，
解得MN＝；
如图3，正方形PMNC以PN为对角线，且点M在点P的右侧，
∵OM＝MN，MP＝MN，
∴MN﹣MN＝，
解得MN＝，
综上所述，MN的长为或或，
故答案为：或或．
【点评】此题重点考查正方形的性质、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，依据正方形的对角线的不同和点M的位置的不同，正确地进行分类是解题的关键．
三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16．（8分）计算：
（1）；
（2）化简求值：，其中a从﹣2，﹣1，0，1，2中选取一个合适的数．
【答案】（1）6；
（2），（答案不唯一）．
【分析】（1）先算乘方，再化简绝对值、二次根式，最后算加减；
（2）先根据分式的混合运算法则化简，再选取合适的数代入计算即可．
【解答】解：（1）原式＝3﹣4﹣1
＝﹣2；
（2）原式＝•
＝•
＝，
根据分式有意义的条件可得a≠0，a≠±1，
当a＝2时，原式＝＝．
【点评】本题考查了实数的运算、分式的化简求值，熟练掌握乘方的运算法则、绝对值的代数意义和分式的混合运算法则是解题关键．
17．（9分）“此生无悔入华夏，来世再做中国人！”自疫情暴发以来，我国成功地研发出了多种“新冠”疫苗，并在全国范围内免费接种．为了解接种进度，某小区管理人员对小区居民进行了抽样调查，按接种情况可分如下四类：A类——接种了只需要注射一针的疫苗；B类——接种了需要注射二针，且二针之间要间隔一定时间的疫苗；C类——接种了要注射三针，且每二针之间要间隔一定时间的疫苗；D类——还没有接种．图1与图2是根据此次调查得到的统计图（不完整），请根据统计图回答下列问题：
（1）此次抽样调查的人数是 200 人；
（2）m＝ 40 ；n＝ 30 ；
（3）为了继续宣传新冠疫苗接种的重要性，小区管理部门准备在已经接种疫苗的居民中征集2名志愿宣传者，现有3男2女共5名居民报名，要从这5人中随机挑选2人，求恰好抽到一男和一女的概率是多少？
【答案】（1）200；
（2）40，30；
（3）．
【分析】（1）根据图1和图2中A的数据计算即可；
（2）根据图1和图2中B的数据和C的数据求解即可；
（3）采用列表法求求出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【解答】解：（1）20÷10%＝200（人），
故答案为：200；
（2）80÷200＝40%，
∴m＝40，
200×15%＝30，
∴n＝30，
故答案为：40，30；
（3）列表如下：
共有20种等可能的结果，恰好抽到一男和一女的有12种，
∴恰好抽到一男一女的概率为＝．
【点评】本题考查了树状图或列表法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．
18．（9分）在一次数学研究性学习中，小敏将两个全等的直角三角形纸片ABC和DEF拼在一起，使点A与点F重合，点C与点D重合（如图1），其中∠ACB＝∠DFE＝90°，BC＝EF＝6cm，AC＝DF＝8cm，并进行如下研究活动，将图1中的纸片DEF沿AC方向平移，连结AE，BD（如图2），当点F与点C重合时停止平移．
（1）图2中的四边形ABDE是平行四边形吗？请说明理由．
（2）当纸片DEF平移到某一位置时，小敏发现四边形ABDE为矩形（如图3），求AF的长．
【答案】（1）是，理由见解析；
（2）cm．
【分析】（1）由全等三角形的性质得出AB＝DE，∠BAC＝∠EDF，则AB∥DE，可得出结论；
（2）连接BE交AD于点O，设AF＝x，则，得出，由勾股定理列出方程，进而求解．
【解答】解：（1）四边形ABDE是平行四边形．
证明：∵△ABC≅△DEF，
∴AB＝DE，∠BAC＝∠EDF，
∴AB∥DE，
∴四边形ABDE是平行四边形；
（2）如图1，连接BE交AD于点O，
∵四边形ABDE为矩形，
∴OA＝OD＝OB＝OE，
设AF＝x，则，
∴，
在Rt△OFE中，OF2+EF2＝OE2，
∴，
解得：，
∴cm．
【点评】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的判定与性质，平移的性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
19．（9分）桔槔俗称“吊杆”“称杆”，如图1，是我国古代农用工具，桔槔始见于（墨子•备城门），是一种利用杠杆原理的取水机械．如图2所示的是桔槔示意图，OM是垂直于水平地面的支撑杆，AB是杠杆，且AB＝5.4米，OA：OB＝2：1．当点A位于最高点时，∠AOM＝127°；当点A从最高点逆时针旋转54.5°到达最低点A1，求此时水桶B上升的高度．
（参考数据：sin37°≈0.6，sin17.5°≈0.3，tan37°≈0.8）
【答案】约为1.6米．
【分析】过O作EF⊥OM，过B作BC⊥EF于C，过B1作B1D⊥EF于D，先求出∠BOC＝∠AOE＝37°，∠B1OD＝∠A1OE＝17.5°，再求出OA1＝OA＝3.6（米），OB1＝OB＝1.8（米），然后由锐角三角函数定义求出B1D≈0.54（米），BC≈1.08（米），即可解决问题．
【解答】解：过O作EF⊥OM，过B作BC⊥EF于C，过B1作B1D⊥EF于D，如图所示：
则∠EOM＝90°，
∵∠AOM＝127°，∠AOA1＝54.5°，
∴∠BOC＝∠AOE＝127°﹣90°＝37°，∠B1OD＝∠A1OE＝54.5°﹣37°＝17.5°，
∵AB＝5.4米，OA：OB＝2：1，
∴OA1＝OA＝3.6（米），OB1＝OB＝1.8（米），
∵sin∠B1OD＝，sin∠BOC＝，
∴B1D＝OB1×sin17.5°≈1.8×0.3＝0.54（米），BC＝OB×sin37°≈1.8×0.6＝1.08（米），
∴B1D+BC＝0.54+1.08≈1.6（米），
即此时水桶B上升的高度约为1.6米．
【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
20．（9分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AC于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若AB＝AC＝6，，求DE的长．
【答案】（1）见解析；
（2）．
【分析】（1）连接OD，AD，利用圆周角定理得到∠ADB＝90°，再证OD∥AC，从而得到OD⊥DE，最后证得结论；
（2）设AC与⊙O交于点F，连接BF，由圆周角定理得到∠BFA＝90°，在Rt△ABF中，根据三角函数的定义和勾股定理求得，证得DE是△CFB的中位线，根据三角形中位线的性质即可求出DE．
【解答】（1）证明：如图，连接OD，AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，点O是AB的中点，
∵AC＝AB，
∴点D是BC的中点，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴OD⊥DE，
∵OD是半径，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：设AC与⊙O交于点F，连接BF，
∵AB是⊙O直径，
∴∠BFA＝90°，
∵，
∴不妨设BF＝3k，AF＝4k，则AB＝5k，
∵AB＝6，
∴5k＝6，
解得，．
∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴CD∥BF．
∵点D是BC的中点，
∴E为CF的中点，
∴DE是△CFB的中位线，
∴．
【点评】本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，圆周角定理，勾股定理，三角形中位线的性质，熟练掌握切线的性质是解决问题的关键．
21．（9分）2022年4月16日，神舟十三号载人飞船返回舱成功着陆，任务取得圆满成功．航模店看准商机，推出了“神舟”和“天宫”模型．已知每个“天宫”模型的成本比“神舟”模型低20%，同样花费320元，购进“天宫”模型的数量比“神舟”模型多4个．
（1）“神舟”和“天宫”模型的成本各多少元？
（2）该航模店计划购买两种模型共100个，且每个“神舟”模型的售价为35元，“天宫”模型的售价为25元．设购买“神舟”模型a个，销售这批模型的利润为w元．
①求w与a的函数关系式（不要求写出a的取值范围）；
②若购进“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的一半，则购进“神舟”模型多少个时，销售这批模型可以获得最大利润？最大利润是多少？
【答案】（1）“神舟”模型成本为每个20元，“天宫”模型成本为每个16元；
（2）购进“神舟”模型33个时，销售这批模型可以获得最大利润，最大利润是1098元．
【分析】（1）设“神舟”模型成本为每个x元，则“天宫”模型成本为每个（1﹣20%）x＝0.8x（元），根据同样花费320元，购进“天官”模型的数量比“神舟”模型多4个．列出方程，解方程即可，注意验根；
（2）①设购买“神舟”模型a个，则购买“天宫”模型（100﹣a）个，根据总利润＝两种模型利润之和列出函数解析式即可；
②根据购进“神舟”模型的数量不超过“天官”模型数量的一半求出a的取值范围，由函数的性质求最值即可．
【解答】解：（1）设“神舟”模型成本为每个x元，则“天宫”模型成本为每个（1﹣20%）x＝0.8x（元），
根据题意得：＝﹣4，
解得x＝20，
经检验，x＝20是原方程的解，且符合实际意义，
0.8x＝16（元），
答：“神舟”模型成本为每个20元，“天宫”模型成本为每个16元；
（2）①设购买“神舟”模型a个，则购买“天宫”模型（100﹣a）个，
则w＝（35﹣20）a+（25﹣16）（100﹣a）＝6a+900，
∴w与a的函数关系式为w＝6a+900；
②∵购进“神舟”模型的数量不超过“天官”模型数量的一半，
∴a≤（100﹣a），
解得a≤，
∵w＝6a+900，4＞0，a是正整数，
∴当x＝33时，w最大，最大值为1098，
答：购进“神舟”模型33个时，销售这批模型可以获得最大利润，最大利润是1098元．
【点评】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用和分式方程的应用，关键是找到等量关系列出函数解析式和方程．
22．（10分）如图，是某水上乐园为亲子游乐区新设滑梯的示意图，其中线段PA是竖直高度为6米的平台，PO垂直于水平面，滑道分为两部分，其中AB段是双曲线的一部分，BCD段是抛物线的一部分，两滑道的连接点B为抛物线的顶点，且B点的竖直高度为2米，滑道与水平面的交点D距PO的水平距离为8米，以点O为坐标原点建立平面直角坐标系，滑道上点的竖直高度为y，距直线PO的水平距离为x．
（1）请求出滑道BCD段y与x之间的函数关系式；
（2）当滑行者滑到C点时，距地面的距离为1米，求滑行者此时距滑道起点A的水平距离；
（3）在建模实验中发现，为保证滑行者的安全，滑道BCD落地点D与最高点B连线与水平面夹角应不大于45°，且由于实际场地限制，，求OD长度的取值范围．
【答案】（1）y＝﹣（x﹣6）2+2；
（2）（4+）米；
（3）8≤OD≤12．
【分析】（1）B点既在双曲线上，又在抛物线上，根据题中数据可求出B点坐标．又因为点B为抛物线的顶点，且B点到地面的距离为2米，D（8，0）．据此可求出解析式．
（2）依据前面的解析式求出A、C的横坐标，它们的差距即为所经过的水平距离；
（3）先判断OD的最小值，再根据已知求出OD最大值即可．
【解答】解：（1）B在双曲线y＝上，且根据题意yB＝2，
∴B（6，2），
∵B为抛物线BCD的最高点，
则设抛物线BCD的解析式为y＝a（x﹣6）2+2顶点式，
根据题意得此时D （8，0），代入解析式得a（8﹣6）2+2＝0，
解得：a＝﹣，
∴滑道BCD段y与x之间函数关系式为y＝﹣（x﹣6）2+2；
（2）令上式y＝1时，则﹣（x﹣6）2+2＝1，
解得x1＝6+，x2＝6﹣（舍去），
∴C（6+，1），
将y＝6代入y＝中得x＝2，
∴A（2，6），
∴6+﹣2＝4+，
此时滑行者距滑道起点的水平距离为（4+）米；
（3）根据上面所得B （6，2），D （8，0）时，此时∠BDO＝45°，
则D点不可往左，可往右，则OD最小值为8，
又∵≥，
∴OD≤2OP＝12，
∴7≤OD≤12．
∴OD长度的取值范围为8≤OD≤12．
【点评】本题主要考查了二次函数的综合应用，其中涉及点的坐标的求法及二次函数的实际应用，借助二次函数解决实际问题，体现了数学建模思想．
23．（12分）[问题情境]
（1）王老师给爱好学习的小明和小颖提出这样一个问题：如图①，在△ABC中，AB＝AC，P为边BC上的任一点，过点P作PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D，E，过点C作CF⊥AB，垂足为F．求证：PD+PE＝CF．
小明的证明思路是：
如图①，连接AP，由△ABP与△ACP面积之和等于△ABC的面积可以证得：PD+PE＝CF．
小颖的证明思路是：
如图②，过点P作PG⊥CF，垂足为G，可以证得：PD＝GF，PE＝CG，则PD+PE＝CF．请你选择小明、小颖两种证明思路中的任意一种，写出详细的证明过程．
[变式探究]
（2）如图③，当点P在BC延长线上时，问题情境中，其余条件不变，求证：PD﹣PE＝CF．
[结论运用]
（3）如图④，将矩形ABCD沿EF折叠，使点D落在点B上，点C落在点C′处，点P为折痕EF上的任一点，过点P作PG⊥BE，PH⊥BG，垂足分别为G，H，若AD＝18，CF＝5，求PG+PH的值．
[迁移拓展]
（4）图⑤是一个机器模型的截面示意图，在四边形ABCD中，E为AB边上的一点，ED⊥AD，EC⊥CB，垂足分别为D，C，且AD•CE＝DE•BC，AB＝cm，AD＝3cm，，M、N分别为AE，BE的中点，连接DM，CN，请直接写出△DEM与△CEN的周长之和．
【答案】（1）证明见解答过程；
（2）证明见解答过程；
（3）4；
（4）5+．
【分析】（1）按照小明，小颖的证明思路即可解决问题．
（2）借鉴小明，小颖的证明思路即可解决问题．
（3）易证BE＝BF，过E作EQ⊥BF，垂足，利用问题情境中的结论可得PG+PH＝EQ，易证EQ＝DC，BF＝DF，只需求即可．
（4）由条AD×CE＝DE×BC联想到三角形相似，从而得∠A＝∠ABC，进而补全等腰三角形，△DEM，△CEN的周长之和就可转化AB+BH，而BH是△ADB的高，只需利用勾股定理建立方程，求出DH，再求BH，就可解决问题．
【解答】（1）证明：连接AP，如图②，
∵PD⊥AB，PE⊥AC，CF⊥AB，
∴S△ABC＝S△ABP+S△ACP，
∴AB×CF＝AB×PD+AC×PE，
∵AB＝AC，
∴CF＝PD+PE．
小颖的证明：
过点P作PG⊥CF，如图2，
∵PD⊥AB，CF⊥AB，PG⊥FC，
∴∠CFD＝∠FDG＝∠FGP＝90°，
∴四边形PDFG为矩形，
∴DP＝FG，∠DPG＝90°，
∴∠CGP＝90°，
∵PE⊥AC，
∴∠CEP＝90°，
∴∠PGC＝∠CEP，
∵∠BDP＝∠DPG＝90°，
∴PG∥AB，
∴∠GPC＝∠B，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∴∠GPC＝∠ECP，
在△PGC和△CEP中，
，
∴△PGC≌△CEP（AAS），
∴CG＝PE，
∴CF＝CG+FG＝PE+PD；
（2）证明：连接AP，如图③，
∵PD⊥AB，PE⊥AC，CF⊥AB，
∴S△ABC＝S△ABP﹣S△ACP，
∴AB×CF＝AB×PD﹣AC×PE，
∵AB＝AC，
∴CF＝PD﹣PE；
证明：
过点C作CG⊥DP，如图③，
∵PD⊥AB，CF⊥AB，CG⊥DP，
∴∠CFD＝∠FDP＝∠FGP＝90°，
∴四边形CFDG是矩形，
∴CF＝GD，∠DGC＝90°，
∵PE⊥AC，
∴∠CEP＝90°，
∴∠CGP＝∠CEP，
∵CG⊥DP，AB⊥DP，
∴∠CGP＝∠BDP＝90°，
∴CG∥AB，
∴∠GCP＝∠B，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∵∠ACB＝∠PCE，
∴∠GCP＝∠ECP，
在△CGP和△CEP中，
，
∴△CGP≌△CEP（AAS），
∴PG＝PE，
∴CF＝DG＝DP﹣PG＝DP﹣PE．
（3）解：如图④，过点E作EQ⊥BC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，∠C＝∠ADC＝90°，
∵AD＝8，CF＝3，
∴BF＝BC﹣CF＝AD﹣CF＝5，
由折叠有，DF＝BF，∠BEF＝∠DEF，
∴DF＝5，
∵∠C＝90°，
∴DC＝＝4，
∵EQ⊥BC，∠C＝∠ADC＝90°，
∴∠EQC＝90°＝∠C＝∠ADC，
∴四边形EQCD是矩形，
∴EQ＝DC＝4，
∵AD∥BC，
∴∠DEF＝∠EFB，
∵∠BEF＝∠DEF，
∴∠BEF＝∠EFB，
∴BE＝BF，
由问题情景中的结论可得：PG+PH＝EQ，
∴PG+PH＝4．
∴PG+PH的值为4．
（4）解：延长AD，BC交于点F，作BH⊥AF，如图⑤，
∵AD×CE＝DE×BC，
∴，
∵ED⊥AD，EC⊥CB，
∴∠ADE＝∠BCE＝90°，
∴△ADE∽△BCE，
∴∠A＝∠CBE，
∴FA＝FB，
由问题情景中的结论可得：ED+EC＝BH，
设DH＝x，
∴AH＝AD+DH＝3+x，
∵BH⊥AF，
∴∠BHA＝90°，
∴BH2＝BD2﹣DH2＝AB2﹣AH2，
∵AB＝，AD＝3，BD＝，
∴（）2﹣x2＝（）2﹣（3+x）2，
∴x＝1，
∴BH2＝BD2﹣DH2＝26﹣1＝25，
∴BH＝5，
∴ED+EC＝5，
∵∠ADE＝∠BCE＝90°，且M，N分别为AE，BE的中点，
∴DM＝EM＝AE，CN＝EN＝BE，
∴△DEM与△CEN的周长之和
＝DE+DM+EM+CN+EN+EC
＝DE+AE+BE+EC
＝DE+AB+EC
＝DE+EC+AB
＝5+，
∴△DEM与△CEN的周长之和（5+）cm．
【点评】本题是几何变换综合题，考查了矩形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，平行线的性质与判定，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理等知识，考查了用面积法证明几何问题，考查了运用已有的经验解决问题的能力，体现了自主探究与合作交流的新理念，是充分体现新课程理念难得的好题．
2023年河南省洛阳市洛龙区中考数学一模试卷附解析
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．（3分）如图，被墨迹污染的数可能是（ ）
A．1.5 B．0.5 C．﹣1.5 D．﹣0.5
2．（3分）根据图中三视图可知该几何体是（ ）
A．三棱锥 B．三棱柱 C．四棱锥 D．四棱柱
3．（3分）世卫组织宣布冠状病毒最大直径约为0.00000012m，“0.00000012”用科学记数法可表示为（ ）
A．12×10﹣8 B．0.12×10﹣6 C．1.2×10﹣7 D．1.2×10﹣6
4．（3分）将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则∠1的度数为（ ）
A．70° B．75° C．80° D．85°
5．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a2+a＝a3 B．3a﹣4a＝﹣a
C．（a﹣3）2＝a2﹣9 D．a3⋅a4＝a12
6．（3分）若事件“关于x的一元二次方程ax2+4x﹣1＝0有实数根”是必然事件，则a的取值范围是（ ）
A．a＜4 B．a＞﹣4 C．a≥﹣4且a≠0 D．a≤﹣4且a≠0
7．（3分）端午节又称端阳节，是中华民族重要的传统节日，我国各地都有吃粽子的习俗．某超市以9元每袋的价格购进一批粽子，根据市场调查，售价定为每袋15元，每天可售出200袋；若售价每降低1元，则可多售出70袋，问此种粽子售价降低多少元时，超市每天售出此种粽子的利润可达到1360元？若设每袋粽子售价降低x元，则可列方程为（ ）
A．（15﹣x﹣9）（200+70x）＝1360
B．（15﹣x）（200+70x）＝1360
C．（15﹣x﹣9）（200﹣70x）＝1360
D．（15﹣x）（200﹣70x）＝1360
8．（3分）在2022年北京冬奥会开幕式和闭幕式中，一片“雪花”的故事展现了“世界大同、天下一家”的主题，让世界观众感受了中国人的浪漫．如图，将“雪花”图案（边长为4的正六边形ABCDEF）放在平面直角坐标系中，若AB与x轴垂直，顶点A的坐标为（2，﹣3），则顶点C的坐标为（ ）
A．） B． C． D．
9．（3分）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABOC的顶点O在坐标原点，边BO在x轴的负半轴上，∠BOC＝60°，顶点C的坐标为（a，3），反比例函数y＝的图象与菱形对角线AO交于点D，连接BD，当DB⊥x轴时，k的值是（ ）
A．﹣2 B．﹣3 C．﹣4 D．﹣6
10．（3分）老师布置了任务：过直线AB上一点C作AB的垂线．在没有直角尺的情况下，嘉嘉和淇淇利用手头的学习工具给出了如图所示的两种方案，下列判断正确的是（ ）
①利用一把有刻度的直尺在AB上量出CD＝30cm．
②分别以D，C为圆心，以50cm和40cm为半径画圆弧，两弧相交于点E．
③作直线CE，CE即为所求的垂线．
取一根笔直的木棒，在木棒上标出M，N两点
①使点M与点C重合，点N对应的位置标记为点Q．
②保持点N不动，将木棒绕点N旋转，使点M落在AB上，将旋转后点M对应的位置标记为点R．
③将RQ延长，在延长线上截取线段QS＝MN，得到点S．
④作直线SC，SC即为所求直线．
A．Ⅰ可行、Ⅱ不可行 B．Ⅰ不可行、Ⅱ可行
C．Ⅰ、Ⅱ都不可行 D．Ⅰ、Ⅱ都可行
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
11．（3分）若代数式有意义，则x的取值范围是 ．
12．（3分）分解因式：3m2﹣12＝ ．
13．（3分）如图是小明的健康绿码示意图，用黑白打印机打印于边长为2cm的正方形区域内，为了估计图中黑色部分的总面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右，据此可以估计黑色部分的总面积约为 cm2．
14．（3分）如图1所示，半圆O的直径AB长度为6，半径OC⊥AB，沿OC将半圆剪开得到两个圆心角为90°的扇形．将左侧扇形向右平移至图2位置，则所得图形中重叠部分的面积为 ．
15．（3分）如图，∠AOB＝30°，点P在OA上，且，M是OA上的点，在OB上找点N，以PM为边，P，M，N为顶点作正方形，则MN的长为 ．
三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16．（8分）计算：
（1）；
（2）化简求值：，其中a从﹣2，﹣1，0，1，2中选取一个合适的数．
17．（9分）“此生无悔入华夏，来世再做中国人！”自疫情暴发以来，我国成功地研发出了多种“新冠”疫苗，并在全国范围内免费接种．为了解接种进度，某小区管理人员对小区居民进行了抽样调查，按接种情况可分如下四类：A类——接种了只需要注射一针的疫苗；B类——接种了需要注射二针，且二针之间要间隔一定时间的疫苗；C类——接种了要注射三针，且每二针之间要间隔一定时间的疫苗；D类——还没有接种．图1与图2是根据此次调查得到的统计图（不完整），请根据统计图回答下列问题：
（1）此次抽样调查的人数是 人；
（2）m＝ ；n＝ ；
（3）为了继续宣传新冠疫苗接种的重要性，小区管理部门准备在已经接种疫苗的居民中征集2名志愿宣传者，现有3男2女共5名居民报名，要从这5人中随机挑选2人，求恰好抽到一男和一女的概率是多少？
18．（9分）在一次数学研究性学习中，小敏将两个全等的直角三角形纸片ABC和DEF拼在一起，使点A与点F重合，点C与点D重合（如图1），其中∠ACB＝∠DFE＝90°，BC＝EF＝6cm，AC＝DF＝8cm，并进行如下研究活动，将图1中的纸片DEF沿AC方向平移，连结AE，BD（如图2），当点F与点C重合时停止平移．
（1）图2中的四边形ABDE是平行四边形吗？请说明理由．
（2）当纸片DEF平移到某一位置时，小敏发现四边形ABDE为矩形（如图3），求AF的长．
19．（9分）桔槔俗称“吊杆”“称杆”，如图1，是我国古代农用工具，桔槔始见于（墨子•备城门），是一种利用杠杆原理的取水机械．如图2所示的是桔槔示意图，OM是垂直于水平地面的支撑杆，AB是杠杆，且AB＝5.4米，OA：OB＝2：1．当点A位于最高点时，∠AOM＝127°；当点A从最高点逆时针旋转54.5°到达最低点A1，求此时水桶B上升的高度．
（参考数据：sin37°≈0.6，sin17.5°≈0.3，tan37°≈0.8）
20．（9分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AC于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若AB＝AC＝6，，求DE的长．
21．（9分）2022年4月16日，神舟十三号载人飞船返回舱成功着陆，任务取得圆满成功．航模店看准商机，推出了“神舟”和“天宫”模型．已知每个“天宫”模型的成本比“神舟”模型低20%，同样花费320元，购进“天宫”模型的数量比“神舟”模型多4个．
（1）“神舟”和“天宫”模型的成本各多少元？
（2）该航模店计划购买两种模型共100个，且每个“神舟”模型的售价为35元，“天宫”模型的售价为25元．设购买“神舟”模型a个，销售这批模型的利润为w元．
①求w与a的函数关系式（不要求写出a的取值范围）；
②若购进“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的一半，则购进“神舟”模型多少个时，销售这批模型可以获得最大利润？最大利润是多少？
22．（10分）如图，是某水上乐园为亲子游乐区新设滑梯的示意图，其中线段PA是竖直高度为6米的平台，PO垂直于水平面，滑道分为两部分，其中AB段是双曲线的一部分，BCD段是抛物线的一部分，两滑道的连接点B为抛物线的顶点，且B点的竖直高度为2米，滑道与水平面的交点D距PO的水平距离为8米，以点O为坐标原点建立平面直角坐标系，滑道上点的竖直高度为y，距直线PO的水平距离为x．
（1）请求出滑道BCD段y与x之间的函数关系式；
（2）当滑行者滑到C点时，距地面的距离为1米，求滑行者此时距滑道起点A的水平距离；
（3）在建模实验中发现，为保证滑行者的安全，滑道BCD落地点D与最高点B连线与水平面夹角应不大于45°，且由于实际场地限制，，求OD长度的取值范围．
23．（12分）[问题情境]
（1）王老师给爱好学习的小明和小颖提出这样一个问题：如图①，在△ABC中，AB＝AC，P为边BC上的任一点，过点P作PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D，E，过点C作CF⊥AB，垂足为F．求证：PD+PE＝CF．
小明的证明思路是：
如图①，连接AP，由△ABP与△ACP面积之和等于△ABC的面积可以证得：PD+PE＝CF．
小颖的证明思路是：
如图②，过点P作PG⊥CF，垂足为G，可以证得：PD＝GF，PE＝CG，则PD+PE＝CF．请你选择小明、小颖两种证明思路中的任意一种，写出详细的证明过程．
[变式探究]
（2）如图③，当点P在BC延长线上时，问题情境中，其余条件不变，求证：PD﹣PE＝CF．
[结论运用]
（3）如图④，将矩形ABCD沿EF折叠，使点D落在点B上，点C落在点C′处，点P为折痕EF上的任一点，过点P作PG⊥BE，PH⊥BG，垂足分别为G，H，若AD＝18，CF＝5，求PG+PH的值．
[迁移拓展]
（4）图⑤是一个机器模型的截面示意图，在四边形ABCD中，E为AB边上的一点，ED⊥AD，EC⊥CB，垂足分别为D，C，且AD•CE＝DE•BC，AB＝cm，AD＝3cm，，M、N分别为AE，BE的中点，连接DM，CN，请直接写出△DEM与△CEN的周长之和．
2023年河南省洛阳市洛龙区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．（3分）如图，被墨迹污染的数可能是（ ）
A．1.5 B．0.5 C．﹣1.5 D．﹣0.5
【答案】D
【分析】根据图示，被墨迹污染的数大于﹣1且小于0，据此逐项判断即可．
【解答】解：根据图示，被墨迹污染的数大于﹣1且小于0，
∵1.5＞0，
∴选项A不符合题意；
∵0.5＞0，
∴选项B不符合题意；
∵﹣1.5＜﹣1，
∴选项C不符合题意；
∵﹣1＜﹣0.5＜0，
∴选项D符合题意．
故选：D．
【点评】此题主要考查了数轴的特征和应用，解答此题的关键是要明确：一般来说，当数轴正方向朝右时，右边的数总比左边的数大．
2．（3分）根据图中三视图可知该几何体是（ ）
A．三棱锥 B．三棱柱 C．四棱锥 D．四棱柱
【答案】B
【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．
【解答】解：根据图中三视图可知该几何体是三棱柱．
故选：B．
【点评】本题考查由三视图确定几何体的形状，主要考查学生空间想象能力以及对立体图形的认识．
3．（3分）世卫组织宣布冠状病毒最大直径约为0.00000012m，“0.00000012”用科学记数法可表示为（ ）
A．12×10﹣8 B．0.12×10﹣6 C．1.2×10﹣7 D．1.2×10﹣6
【答案】C
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.00000012＝1.2×10﹣7．
故选：C．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
4．（3分）将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则∠1的度数为（ ）
A．70° B．75° C．80° D．85°
【答案】B
【分析】利用三角形内角和定理和平行线的性质解题即可．
【解答】解：如图，
∵∠2＝90°﹣30°＝60°，
∴∠3＝180°﹣45°﹣60°＝75°，
∵a∥b，
∴∠1＝∠3＝75°，
故选：B．
【点评】此题考查平行线的性质，关键是根据两直线平行，同位角相等解答．
5．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a2+a＝a3 B．3a﹣4a＝﹣a
C．（a﹣3）2＝a2﹣9 D．a3⋅a4＝a12
【答案】B
【分析】A．应用合并同类项的法则进行计算即可得出答案；
B．应用合并同类项的法则进行计算即可得出答案；
C．应用完全平方公式进行计算即可得出答案；
D．应用同底数幂的乘法法则进行计算即可得出答案．
【解答】解：A．因为a2与a不是同类项，不能合并计算，所以A选项计算错误，故A选项不符合题意；
B．因为3a﹣4a＝﹣a，所以B选项计算正确，故B选项符合题意；
C．因为（a﹣3）2＝a2﹣6a+9，所以C选项算不正确，故C选项不符合题意；
D．因为a3•a4＝a7，所以D选项计算不正确，故D选项不符合题意．
故选：B．
【点评】本题主要考查了完全平方公式，合并同类项，同底数幂的乘法，熟练掌握完全平方公式，合并同类项，同底数幂的乘法法则进行计算是解决本题的关键．
6．（3分）若事件“关于x的一元二次方程ax2+4x﹣1＝0有实数根”是必然事件，则a的取值范围是（ ）
A．a＜4 B．a＞﹣4 C．a≥﹣4且a≠0 D．a≤﹣4且a≠0
【答案】C
【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到a≠0且Δ＝42﹣4a×（﹣1）≥0，然后求出两不等式的公共部分即可．
【解答】解：根据题意得a≠0且Δ＝42﹣4a×（﹣1）≥0，
解得a≥﹣4且a≠0．
故选：C．
【点评】本题考查的是随机事件及根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
7．（3分）端午节又称端阳节，是中华民族重要的传统节日，我国各地都有吃粽子的习俗．某超市以9元每袋的价格购进一批粽子，根据市场调查，售价定为每袋15元，每天可售出200袋；若售价每降低1元，则可多售出70袋，问此种粽子售价降低多少元时，超市每天售出此种粽子的利润可达到1360元？若设每袋粽子售价降低x元，则可列方程为（ ）
A．（15﹣x﹣9）（200+70x）＝1360
B．（15﹣x）（200+70x）＝1360
C．（15﹣x﹣9）（200﹣70x）＝1360
D．（15﹣x）（200﹣70x）＝1360
【答案】A
【分析】由售价及销售间的关系，可得出降价后每袋粽子的销售利润为（15﹣x﹣9），每天可售出（200+70x）袋，利用超市每天售出此种粽子的利润＝每袋的销售利润×日销售量，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：根据题意得：每袋粽子的销售利润为（15﹣x﹣9），每天可售出（200+70x）袋，
∴超市每天售出此种粽子的利润（15﹣x﹣9）（200+70x）＝1360．
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
8．（3分）在2022年北京冬奥会开幕式和闭幕式中，一片“雪花”的故事展现了“世界大同、天下一家”的主题，让世界观众感受了中国人的浪漫．如图，将“雪花”图案（边长为4的正六边形ABCDEF）放在平面直角坐标系中，若AB与x轴垂直，顶点A的坐标为（2，﹣3），则顶点C的坐标为（ ）
A．） B． C． D．
【答案】B
【分析】根据正六边形的性质以及坐标与图形的性质进行计算即可．
【解答】解：如图，连接BD交CF于点M，则点B（2，1），
在Rt△BCM中，BC＝4，∠BCM＝×120°＝60°，
∴CM＝BC＝2，BM＝BC＝2，
∴点C的横坐标为﹣（2﹣2）＝2﹣2，纵坐标为1+2＝3，
∴点C的坐标为（2﹣2，3），
故选：B．
【点评】本题考查正多边形与圆，勾股定理，掌握正六边形的性质以及勾股定理是正确计算的前提，理解坐标与图形的性质是解决问题的关键．
9．（3分）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABOC的顶点O在坐标原点，边BO在x轴的负半轴上，∠BOC＝60°，顶点C的坐标为（a，3），反比例函数y＝的图象与菱形对角线AO交于点D，连接BD，当DB⊥x轴时，k的值是（ ）
A．﹣2 B．﹣3 C．﹣4 D．﹣6
【答案】C
【分析】首先过点C作CE⊥x轴于点E，由∠BOC＝60°，顶点C的坐标为（a，3），可求得OC的长，进而根据菱形的性质，可求得OB的长，且∠AOB＝30°，继而求得DB的长，则可求得点D的坐标，又由反比例函数y＝的图象与菱形对角线AO交D点，即可求得答案．
【解答】解：过点C作CE⊥x轴于点E，
∵顶点C的坐标为（a，3），
∴OE＝﹣a，CE＝3，
∴OC＝＝2，
∵菱形ABOC中，∠BOC＝60°，
∴OB＝OC＝2，∠BOD＝∠BOC＝30°，
∵DB⊥x轴，
∴DB＝OB•tan30°＝2×＝2，
∴点D的坐标为：（﹣2，2），
∵反比例函数y＝的图象与菱形对角线AO交于点D，
∴k＝xy＝﹣4．
故选：C．
【点评】此题考查了菱形的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征．注意准确作出辅助线，求出OC是解本题的是关键．
10．（3分）老师布置了任务：过直线AB上一点C作AB的垂线．在没有直角尺的情况下，嘉嘉和淇淇利用手头的学习工具给出了如图所示的两种方案，下列判断正确的是（ ）
①利用一把有刻度的直尺在AB上量出CD＝30cm．
②分别以D，C为圆心，以50cm和40cm为半径画圆弧，两弧相交于点E．
③作直线CE，CE即为所求的垂线．
取一根笔直的木棒，在木棒上标出M，N两点
①使点M与点C重合，点N对应的位置标记为点Q．
②保持点N不动，将木棒绕点N旋转，使点M落在AB上，将旋转后点M对应的位置标记为点R．
③将RQ延长，在延长线上截取线段QS＝MN，得到点S．
④作直线SC，SC即为所求直线．
A．Ⅰ可行、Ⅱ不可行 B．Ⅰ不可行、Ⅱ可行
C．Ⅰ、Ⅱ都不可行 D．Ⅰ、Ⅱ都可行
【答案】D
【分析】两个方案分别根据“勾股定理的逆定理”和“如果三角形一边上我中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形”进行的作图，故都正确．
【解答】解：方案Ⅰ：∵CD2+CE2＝302+402＝502＝DE2，
∴△CDE是直角三角形；
故方案Ⅰ可行；
方案Ⅱ：由作图得：Q是SR的中点，且CQ＝0.5AS，
∴∠ACS＝90°，
∴△CDE是直角三角形，
故选：D．
【点评】本题考查了复杂作图，掌握直角三角形的判定定理是解题的关键．
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
11．（3分）若代数式有意义，则x的取值范围是 x≥2023 ．
【答案】x≥2023．
【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，可得不等式x﹣2023≥0，再解不等式即可．
【解答】解：由题意得：x﹣2023≥0，
解得：x≥2023，
故答案为：x≥2023．
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件；用到的知识点为：二次根式有意义的条件是被开方数为非负数．
12．（3分）分解因式：3m2﹣12＝ 3（m﹣2）（m+2） ．
【答案】3（m﹣2）（m+2）．
【分析】利用提公因式和平方差公式进行因式分解．
【解答】解：3m2﹣12
＝3（m2﹣4）
＝3（m﹣2）（m+2）．
故答案为：3（m﹣2）（m+2）．
【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，解题的关键是掌握提公因式和平方差公式因式分解法．
13．（3分）如图是小明的健康绿码示意图，用黑白打印机打印于边长为2cm的正方形区域内，为了估计图中黑色部分的总面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右，据此可以估计黑色部分的总面积约为 2.4 cm2．
【答案】2.4．
【分析】经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右，可得点落入黑色部分的概率为0.6，根据边长为2cm的正方形的面积为4cm2，进而可以估计黑色部分的总面积．
【解答】解：∵经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右，
∴点落入黑色部分的概率为0.6，
∵边长为2cm的正方形的面积为4cm2，
设黑色部分的面积为S，
则＝0.6，
解得S＝2.4（cm2）．
∴估计黑色部分的总面积约为2.4cm2．
故答案为：2.4．
【点评】本题考查了利用频率估计概率，解决本题的关键是掌握概率公式，知道点落入黑色部分的概率为0.6．
14．（3分）如图1所示，半圆O的直径AB长度为6，半径OC⊥AB，沿OC将半圆剪开得到两个圆心角为90°的扇形．将左侧扇形向右平移至图2位置，则所得图形中重叠部分的面积为 π﹣ ．
【答案】π﹣．
【分析】连接OE，作ED⊥OB于点D，S扇形﹣S△ODE，即可求得弧BE和BD以及DE围成的阴影部分的面积，则阴影部分的面积即可求得．
【解答】解：连接OE，作ED⊥OB于点D．
∵OE＝OB＝2OD，
∴∠OED＝30°，
∴∠EOB＝60°，
∴S扇形＝＝π，
在直角△ODE中，DE＝＝，则S△ODE＝××＝，
则弧BE和BD以及DE围成的阴影部分的面积是：π﹣，
则S阴影＝2（π﹣）＝π﹣．
故答案是：π﹣．
【点评】本题考查了扇形的面积的计算，正确理解不规则的图形的面积转化为规则图形的面积的和、差计算是关键．
15．（3分）如图，∠AOB＝30°，点P在OA上，且，M是OA上的点，在OB上找点N，以PM为边，P，M，N为顶点作正方形，则MN的长为 或或 ．
【答案】或或．
【分析】分三种情况，一是正方形PMDN以MN为对角线，则PM＝PN＝OP•tan30°＝1，所以MN＝＝，此时点M在点P的左侧或右侧，MN的长相同；二是正方形PMNC以PN为对角线，且点M在点P的左侧，则OM＝MN，所以MN+MN＝，则MN＝；三是正方形PMNC以PN为对角线，且点M在点P的右侧，则MN﹣MN＝，所以MN＝．
【解答】解：如图1，正方形PMDN以MN为对角线，且点M在点P的左侧，
∵∠OPN＝90°，∠AOB＝30°，OP＝，
∴PM＝PN＝OP•tan30°＝×＝1，
∵∠MPN＝90°，
∴MN＝＝＝；
当正方形PM′D′N以M′N为对角线，且点M在点P的右侧时，M′N＝MN＝；
如图2，正方形PMNC以PN为对角线，且点M在点P的左侧，
∵∠OMN＝90°，∠AOB＝30°，
∴∠ONM＝60°，
∴OM＝MN•tan60°＝MN，
∵MP＝MN，
∴MN+MN＝，
解得MN＝；
如图3，正方形PMNC以PN为对角线，且点M在点P的右侧，
∵OM＝MN，MP＝MN，
∴MN﹣MN＝，
解得MN＝，
综上所述，MN的长为或或，
故答案为：或或．
【点评】此题重点考查正方形的性质、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，依据正方形的对角线的不同和点M的位置的不同，正确地进行分类是解题的关键．
三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16．（8分）计算：
（1）；
（2）化简求值：，其中a从﹣2，﹣1，0，1，2中选取一个合适的数．
【答案】（1）6；
（2），（答案不唯一）．
【分析】（1）先算乘方，再化简绝对值、二次根式，最后算加减；
（2）先根据分式的混合运算法则化简，再选取合适的数代入计算即可．
【解答】解：（1）原式＝3﹣4﹣1
＝﹣2；
（2）原式＝•
＝•
＝，
根据分式有意义的条件可得a≠0，a≠±1，
当a＝2时，原式＝＝．
【点评】本题考查了实数的运算、分式的化简求值，熟练掌握乘方的运算法则、绝对值的代数意义和分式的混合运算法则是解题关键．
17．（9分）“此生无悔入华夏，来世再做中国人！”自疫情暴发以来，我国成功地研发出了多种“新冠”疫苗，并在全国范围内免费接种．为了解接种进度，某小区管理人员对小区居民进行了抽样调查，按接种情况可分如下四类：A类——接种了只需要注射一针的疫苗；B类——接种了需要注射二针，且二针之间要间隔一定时间的疫苗；C类——接种了要注射三针，且每二针之间要间隔一定时间的疫苗；D类——还没有接种．图1与图2是根据此次调查得到的统计图（不完整），请根据统计图回答下列问题：
（1）此次抽样调查的人数是 200 人；
（2）m＝ 40 ；n＝ 30 ；
（3）为了继续宣传新冠疫苗接种的重要性，小区管理部门准备在已经接种疫苗的居民中征集2名志愿宣传者，现有3男2女共5名居民报名，要从这5人中随机挑选2人，求恰好抽到一男和一女的概率是多少？
【答案】（1）200；
（2）40，30；
（3）．
【分析】（1）根据图1和图2中A的数据计算即可；
（2）根据图1和图2中B的数据和C的数据求解即可；
（3）采用列表法求求出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【解答】解：（1）20÷10%＝200（人），
故答案为：200；
（2）80÷200＝40%，
∴m＝40，
200×15%＝30，
∴n＝30，
故答案为：40，30；
（3）列表如下：
共有20种等可能的结果，恰好抽到一男和一女的有12种，
∴恰好抽到一男一女的概率为＝．
【点评】本题考查了树状图或列表法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．
18．（9分）在一次数学研究性学习中，小敏将两个全等的直角三角形纸片ABC和DEF拼在一起，使点A与点F重合，点C与点D重合（如图1），其中∠ACB＝∠DFE＝90°，BC＝EF＝6cm，AC＝DF＝8cm，并进行如下研究活动，将图1中的纸片DEF沿AC方向平移，连结AE，BD（如图2），当点F与点C重合时停止平移．
（1）图2中的四边形ABDE是平行四边形吗？请说明理由．
（2）当纸片DEF平移到某一位置时，小敏发现四边形ABDE为矩形（如图3），求AF的长．
【答案】（1）是，理由见解析；
（2）cm．
【分析】（1）由全等三角形的性质得出AB＝DE，∠BAC＝∠EDF，则AB∥DE，可得出结论；
（2）连接BE交AD于点O，设AF＝x，则，得出，由勾股定理列出方程，进而求解．
【解答】解：（1）四边形ABDE是平行四边形．
证明：∵△ABC≅△DEF，
∴AB＝DE，∠BAC＝∠EDF，
∴AB∥DE，
∴四边形ABDE是平行四边形；
（2）如图1，连接BE交AD于点O，
∵四边形ABDE为矩形，
∴OA＝OD＝OB＝OE，
设AF＝x，则，
∴，
在Rt△OFE中，OF2+EF2＝OE2，
∴，
解得：，
∴cm．
【点评】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的判定与性质，平移的性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
19．（9分）桔槔俗称“吊杆”“称杆”，如图1，是我国古代农用工具，桔槔始见于（墨子•备城门），是一种利用杠杆原理的取水机械．如图2所示的是桔槔示意图，OM是垂直于水平地面的支撑杆，AB是杠杆，且AB＝5.4米，OA：OB＝2：1．当点A位于最高点时，∠AOM＝127°；当点A从最高点逆时针旋转54.5°到达最低点A1，求此时水桶B上升的高度．
（参考数据：sin37°≈0.6，sin17.5°≈0.3，tan37°≈0.8）
【答案】约为1.6米．
【分析】过O作EF⊥OM，过B作BC⊥EF于C，过B1作B1D⊥EF于D，先求出∠BOC＝∠AOE＝37°，∠B1OD＝∠A1OE＝17.5°，再求出OA1＝OA＝3.6（米），OB1＝OB＝1.8（米），然后由锐角三角函数定义求出B1D≈0.54（米），BC≈1.08（米），即可解决问题．
【解答】解：过O作EF⊥OM，过B作BC⊥EF于C，过B1作B1D⊥EF于D，如图所示：
则∠EOM＝90°，
∵∠AOM＝127°，∠AOA1＝54.5°，
∴∠BOC＝∠AOE＝127°﹣90°＝37°，∠B1OD＝∠A1OE＝54.5°﹣37°＝17.5°，
∵AB＝5.4米，OA：OB＝2：1，
∴OA1＝OA＝3.6（米），OB1＝OB＝1.8（米），
∵sin∠B1OD＝，sin∠BOC＝，
∴B1D＝OB1×sin17.5°≈1.8×0.3＝0.54（米），BC＝OB×sin37°≈1.8×0.6＝1.08（米），
∴B1D+BC＝0.54+1.08≈1.6（米），
即此时水桶B上升的高度约为1.6米．
【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
20．（9分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AC于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若AB＝AC＝6，，求DE的长．
【答案】（1）见解析；
（2）．
【分析】（1）连接OD，AD，利用圆周角定理得到∠ADB＝90°，再证OD∥AC，从而得到OD⊥DE，最后证得结论；
（2）设AC与⊙O交于点F，连接BF，由圆周角定理得到∠BFA＝90°，在Rt△ABF中，根据三角函数的定义和勾股定理求得，证得DE是△CFB的中位线，根据三角形中位线的性质即可求出DE．
【解答】（1）证明：如图，连接OD，AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，点O是AB的中点，
∵AC＝AB，
∴点D是BC的中点，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴OD⊥DE，
∵OD是半径，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：设AC与⊙O交于点F，连接BF，
∵AB是⊙O直径，
∴∠BFA＝90°，
∵，
∴不妨设BF＝3k，AF＝4k，则AB＝5k，
∵AB＝6，
∴5k＝6，
解得，．
∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴CD∥BF．
∵点D是BC的中点，
∴E为CF的中点，
∴DE是△CFB的中位线，
∴．
【点评】本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，圆周角定理，勾股定理，三角形中位线的性质，熟练掌握切线的性质是解决问题的关键．
21．（9分）2022年4月16日，神舟十三号载人飞船返回舱成功着陆，任务取得圆满成功．航模店看准商机，推出了“神舟”和“天宫”模型．已知每个“天宫”模型的成本比“神舟”模型低20%，同样花费320元，购进“天宫”模型的数量比“神舟”模型多4个．
（1）“神舟”和“天宫”模型的成本各多少元？
（2）该航模店计划购买两种模型共100个，且每个“神舟”模型的售价为35元，“天宫”模型的售价为25元．设购买“神舟”模型a个，销售这批模型的利润为w元．
①求w与a的函数关系式（不要求写出a的取值范围）；
②若购进“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的一半，则购进“神舟”模型多少个时，销售这批模型可以获得最大利润？最大利润是多少？
【答案】（1）“神舟”模型成本为每个20元，“天宫”模型成本为每个16元；
（2）购进“神舟”模型33个时，销售这批模型可以获得最大利润，最大利润是1098元．
【分析】（1）设“神舟”模型成本为每个x元，则“天宫”模型成本为每个（1﹣20%）x＝0.8x（元），根据同样花费320元，购进“天官”模型的数量比“神舟”模型多4个．列出方程，解方程即可，注意验根；
（2）①设购买“神舟”模型a个，则购买“天宫”模型（100﹣a）个，根据总利润＝两种模型利润之和列出函数解析式即可；
②根据购进“神舟”模型的数量不超过“天官”模型数量的一半求出a的取值范围，由函数的性质求最值即可．
【解答】解：（1）设“神舟”模型成本为每个x元，则“天宫”模型成本为每个（1﹣20%）x＝0.8x（元），
根据题意得：＝﹣4，
解得x＝20，
经检验，x＝20是原方程的解，且符合实际意义，
0.8x＝16（元），
答：“神舟”模型成本为每个20元，“天宫”模型成本为每个16元；
（2）①设购买“神舟”模型a个，则购买“天宫”模型（100﹣a）个，
则w＝（35﹣20）a+（25﹣16）（100﹣a）＝6a+900，
∴w与a的函数关系式为w＝6a+900；
②∵购进“神舟”模型的数量不超过“天官”模型数量的一半，
∴a≤（100﹣a），
解得a≤，
∵w＝6a+900，4＞0，a是正整数，
∴当x＝33时，w最大，最大值为1098，
答：购进“神舟”模型33个时，销售这批模型可以获得最大利润，最大利润是1098元．
【点评】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用和分式方程的应用，关键是找到等量关系列出函数解析式和方程．
22．（10分）如图，是某水上乐园为亲子游乐区新设滑梯的示意图，其中线段PA是竖直高度为6米的平台，PO垂直于水平面，滑道分为两部分，其中AB段是双曲线的一部分，BCD段是抛物线的一部分，两滑道的连接点B为抛物线的顶点，且B点的竖直高度为2米，滑道与水平面的交点D距PO的水平距离为8米，以点O为坐标原点建立平面直角坐标系，滑道上点的竖直高度为y，距直线PO的水平距离为x．
（1）请求出滑道BCD段y与x之间的函数关系式；
（2）当滑行者滑到C点时，距地面的距离为1米，求滑行者此时距滑道起点A的水平距离；
（3）在建模实验中发现，为保证滑行者的安全，滑道BCD落地点D与最高点B连线与水平面夹角应不大于45°，且由于实际场地限制，，求OD长度的取值范围．
【答案】（1）y＝﹣（x﹣6）2+2；
（2）（4+）米；
（3）8≤OD≤12．
【分析】（1）B点既在双曲线上，又在抛物线上，根据题中数据可求出B点坐标．又因为点B为抛物线的顶点，且B点到地面的距离为2米，D（8，0）．据此可求出解析式．
（2）依据前面的解析式求出A、C的横坐标，它们的差距即为所经过的水平距离；
（3）先判断OD的最小值，再根据已知求出OD最大值即可．
【解答】解：（1）B在双曲线y＝上，且根据题意yB＝2，
∴B（6，2），
∵B为抛物线BCD的最高点，
则设抛物线BCD的解析式为y＝a（x﹣6）2+2顶点式，
根据题意得此时D （8，0），代入解析式得a（8﹣6）2+2＝0，
解得：a＝﹣，
∴滑道BCD段y与x之间函数关系式为y＝﹣（x﹣6）2+2；
（2）令上式y＝1时，则﹣（x﹣6）2+2＝1，
解得x1＝6+，x2＝6﹣（舍去），
∴C（6+，1），
将y＝6代入y＝中得x＝2，
∴A（2，6），
∴6+﹣2＝4+，
此时滑行者距滑道起点的水平距离为（4+）米；
（3）根据上面所得B （6，2），D （8，0）时，此时∠BDO＝45°，
则D点不可往左，可往右，则OD最小值为8，
又∵≥，
∴OD≤2OP＝12，
∴7≤OD≤12．
∴OD长度的取值范围为8≤OD≤12．
【点评】本题主要考查了二次函数的综合应用，其中涉及点的坐标的求法及二次函数的实际应用，借助二次函数解决实际问题，体现了数学建模思想．
23．（12分）[问题情境]
（1）王老师给爱好学习的小明和小颖提出这样一个问题：如图①，在△ABC中，AB＝AC，P为边BC上的任一点，过点P作PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D，E，过点C作CF⊥AB，垂足为F．求证：PD+PE＝CF．
小明的证明思路是：
如图①，连接AP，由△ABP与△ACP面积之和等于△ABC的面积可以证得：PD+PE＝CF．
小颖的证明思路是：
如图②，过点P作PG⊥CF，垂足为G，可以证得：PD＝GF，PE＝CG，则PD+PE＝CF．请你选择小明、小颖两种证明思路中的任意一种，写出详细的证明过程．
[变式探究]
（2）如图③，当点P在BC延长线上时，问题情境中，其余条件不变，求证：PD﹣PE＝CF．
[结论运用]
（3）如图④，将矩形ABCD沿EF折叠，使点D落在点B上，点C落在点C′处，点P为折痕EF上的任一点，过点P作PG⊥BE，PH⊥BG，垂足分别为G，H，若AD＝18，CF＝5，求PG+PH的值．
[迁移拓展]
（4）图⑤是一个机器模型的截面示意图，在四边形ABCD中，E为AB边上的一点，ED⊥AD，EC⊥CB，垂足分别为D，C，且AD•CE＝DE•BC，AB＝cm，AD＝3cm，，M、N分别为AE，BE的中点，连接DM，CN，请直接写出△DEM与△CEN的周长之和．
【答案】（1）证明见解答过程；
（2）证明见解答过程；
（3）4；
（4）5+．
【分析】（1）按照小明，小颖的证明思路即可解决问题．
（2）借鉴小明，小颖的证明思路即可解决问题．
（3）易证BE＝BF，过E作EQ⊥BF，垂足，利用问题情境中的结论可得PG+PH＝EQ，易证EQ＝DC，BF＝DF，只需求即可．
（4）由条AD×CE＝DE×BC联想到三角形相似，从而得∠A＝∠ABC，进而补全等腰三角形，△DEM，△CEN的周长之和就可转化AB+BH，而BH是△ADB的高，只需利用勾股定理建立方程，求出DH，再求BH，就可解决问题．
【解答】（1）证明：连接AP，如图②，
∵PD⊥AB，PE⊥AC，CF⊥AB，
∴S△ABC＝S△ABP+S△ACP，
∴AB×CF＝AB×PD+AC×PE，
∵AB＝AC，
∴CF＝PD+PE．
小颖的证明：
过点P作PG⊥CF，如图2，
∵PD⊥AB，CF⊥AB，PG⊥FC，
∴∠CFD＝∠FDG＝∠FGP＝90°，
∴四边形PDFG为矩形，
∴DP＝FG，∠DPG＝90°，
∴∠CGP＝90°，
∵PE⊥AC，
∴∠CEP＝90°，
∴∠PGC＝∠CEP，
∵∠BDP＝∠DPG＝90°，
∴PG∥AB，
∴∠GPC＝∠B，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∴∠GPC＝∠ECP，
在△PGC和△CEP中，
，
∴△PGC≌△CEP（AAS），
∴CG＝PE，
∴CF＝CG+FG＝PE+PD；
（2）证明：连接AP，如图③，
∵PD⊥AB，PE⊥AC，CF⊥AB，
∴S△ABC＝S△ABP﹣S△ACP，
∴AB×CF＝AB×PD﹣AC×PE，
∵AB＝AC，
∴CF＝PD﹣PE；
证明：
过点C作CG⊥DP，如图③，
∵PD⊥AB，CF⊥AB，CG⊥DP，
∴∠CFD＝∠FDP＝∠FGP＝90°，
∴四边形CFDG是矩形，
∴CF＝GD，∠DGC＝90°，
∵PE⊥AC，
∴∠CEP＝90°，
∴∠CGP＝∠CEP，
∵CG⊥DP，AB⊥DP，
∴∠CGP＝∠BDP＝90°，
∴CG∥AB，
∴∠GCP＝∠B，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∵∠ACB＝∠PCE，
∴∠GCP＝∠ECP，
在△CGP和△CEP中，
，
∴△CGP≌△CEP（AAS），
∴PG＝PE，
∴CF＝DG＝DP﹣PG＝DP﹣PE．
（3）解：如图④，过点E作EQ⊥BC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，∠C＝∠ADC＝90°，
∵AD＝8，CF＝3，
∴BF＝BC﹣CF＝AD﹣CF＝5，
由折叠有，DF＝BF，∠BEF＝∠DEF，
∴DF＝5，
∵∠C＝90°，
∴DC＝＝4，
∵EQ⊥BC，∠C＝∠ADC＝90°，
∴∠EQC＝90°＝∠C＝∠ADC，
∴四边形EQCD是矩形，
∴EQ＝DC＝4，
∵AD∥BC，
∴∠DEF＝∠EFB，
∵∠BEF＝∠DEF，
∴∠BEF＝∠EFB，
∴BE＝BF，
由问题情景中的结论可得：PG+PH＝EQ，
∴PG+PH＝4．
∴PG+PH的值为4．
（4）解：延长AD，BC交于点F，作BH⊥AF，如图⑤，
∵AD×CE＝DE×BC，
∴，
∵ED⊥AD，EC⊥CB，
∴∠ADE＝∠BCE＝90°，
∴△ADE∽△BCE，
∴∠A＝∠CBE，
∴FA＝FB，
由问题情景中的结论可得：ED+EC＝BH，
设DH＝x，
∴AH＝AD+DH＝3+x，
∵BH⊥AF，
∴∠BHA＝90°，
∴BH2＝BD2﹣DH2＝AB2﹣AH2，
∵AB＝，AD＝3，BD＝，
∴（）2﹣x2＝（）2﹣（3+x）2，
∴x＝1，
∴BH2＝BD2﹣DH2＝26﹣1＝25，
∴BH＝5，
∴ED+EC＝5，
∵∠ADE＝∠BCE＝90°，且M，N分别为AE，BE的中点，
∴DM＝EM＝AE，CN＝EN＝BE，
∴△DEM与△CEN的周长之和
＝DE+DM+EM+CN+EN+EC
＝DE+AE+BE+EC
＝DE+AB+EC
＝DE+EC+AB
＝5+，
∴△DEM与△CEN的周长之和（5+）cm．
【点评】本题是几何变换综合题，考查了矩形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，平行线的性质与判定，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理等知识，考查了用面积法证明几何问题，考查了运用已有的经验解决问题的能力，体现了自主探究与合作交流的新理念，是充分体现新课程理念难得的好题．
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