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2021年河南省洛阳市中考数学一模试卷
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这是一份2021年河南省洛阳市中考数学一模试卷，共32页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年河南省洛阳市中考数学一模试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．下列各数中，相反数为﹣1的数是（ ）
A． B．﹣ C． D．﹣
2．地球绕太阳每小时转动通过的路程约是1.1×105千米，用科学记数法表示地球一天（以24小时计）转动通过的路程约是（ ）
A．0.264×107千米 B．2.64×106千米
C．26.4×105千米 D．264×104千米
3．下列运算正确的是（ ）
A．（xy3）2＝xy6 B．
C．2x12÷x6＝2x6 D．（a﹣3）2＝a2﹣9
4．桌上摆着一个由若干个相同正方体组成的几何体，从正面、左面看所得的平面图形，如图所示，这个几何体最多可以由（ ）个这样的正方体组成．
A．13 B．12 C．11 D．14
5．已知：直线l1∥l2，一块含30°角的直角三角板如图所示放置，∠1＝25°，则∠2等于（ ）
A．30° B．35° C．40° D．45°
6．定义运算：a※b＝3ab2﹣4ab﹣2．例如：4※2＝3×4×22﹣4×4×2﹣2＝14．则方程2※x＝0的根的情况为（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定
7．郑州市某中学获评“2019年河南省中小学书香校园”，学校在创建过程中购买了一批图书．已知购买科普类图书花费12000元，购买文学类图书花费10500元，其中科普类图书平均每本的价格比文学类图书平均每本的价格贵5元，且购买科普书的数量比购买文学书的数量少100本，求科普类图书平均每本的价格是多少元？若设科普类图书平均每本的价格是x元，则可列方程为（ ）
A．﹣＝100 B．﹣＝100
C．﹣＝100 D．﹣＝100
8．如图：已知菱形ABCD的顶点B（﹣2，0），且∠ABC＝60°，点A在y轴的正半轴上．按以下步骤作图：①以点B为圆心，适当长度为半径作弧，分别交边AB、BC于点M、N；②分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径作弧，两弧在∠ABC内交于点P；③作射线BP，交菱形的对角线AC于点E，则点E的坐标为（ ）
A．（1，） B．（1，2） C．（，1） D．（）
9．我们定义一种新函数：形如y＝|ax2+bx+c|（a≠0，b2﹣4ac＞0）的函数叫做“鹊桥”函数．小腾同学画出了“鹊桥”函数y＝|x2﹣2x﹣3|的图象（如图所示），并写出下列四个结论：其中正确结论的个数是（ ）
①图象与坐标轴的交点为（﹣1，0）和（3，0）；
②当﹣1≤x≤1或x≥3时，函数值y随x值的增大而增大；
③当x＝1时，函数有最大值是4；
④函数与直线y＝m有4个公共点，则m的取值范围是0＜m＜4．
A．1 B．2 C．3 D．4
10．矩形ABCD中，AD＝8cm，AB＝6cm．动点E从点C开始沿边CB向点B以2cm/s的速度运动，动点F从点C同时出发沿边CD向点D以1cm/s的速度运动至点D停止．如图可得到矩形CFHE，设运动时间为x（单位：s），此时矩形ABCD去掉矩形CFHE后剩余部分的面积为y（单位：cm2），则y与x之间的函数关系用图象表示大致是下图中的（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．计算：＝ ．
12．不等式组的整数解之和为 ．
13．在一个口袋中有4个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，随机地摸出一个小球不放回，再随机地摸出一个小球，则两次摸出的小球的标号的和为奇数的概率是 ．
14．如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，OA＝2，以OB为直径作半圆，圆心为点C，过点C作OA的平行线分别交两弧于点D、E，则阴影部分的面积为 ．
15．如图，在矩形ABMN中，AN＝，点C是MN的中点，分别连接AC，BC，且BC＝2，点D为AC的中点，点E为边AB上一个动点，连接DE，点A关于直线DE的对称点为点F，分别连接DF，EF，当EF⊥AC时，AE的长为 ．
三、解答题（本大题共8道小题，满分75分）
16．先化简÷（﹣x+1），然后从﹣＜x＜的范围内选取一个合适的整数作为x的值代入求值．
17．为引导学生广泛阅读文学名著，某校在七年级、八年级开展了读书知识竞赛．该校七、八年级各有学生400人，各随机抽取20名学生进行了抽样调查，获得了他们知识竞赛成绩（分），并对数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
七年级：
74 97 96 89 98 74 69 76 72 78
99 72 97 76 99 74 99 73 98 74
八年级：
76 88 93 65 78 94 89 68 95 50
89 88 89 89 77 94 87 88 92 91
成绩
人数
年级
50≤x≤59
60≤x≤69
70≤x≤79
80≤x≤89
90≤x≤100
七年级
0
1
10
1
8
八年级
1
a
3
8
6
平均数、中位数、众数如表所示：
年级
平均数
中位数
众数
七年级
84.2
77
74
八年级
84
m
n
根据以上信息，回答下列问题：
（1）a＝ ，m＝ ，n＝ ；
（2）你认为哪个年级读书知识竞赛的总体成绩较好，说明理由（至少从两个不同的角度说明推断的合理性）；
（3）该校对读书知识竞赛成绩不少于80分的学生授予“阅读小能手”称号，请你估计该校七、八年级所有学生中获得“阅读小能手”称号的大约有 人．
18．南海是我国的南大门，如图所示，某天我国一艘海监执法船在南海海域正在进行常态化巡航，在A处测得北偏东30°方向上，距离为20海里的B处有一艘不明身份的船只正在向正东方向航行，便迅速沿北偏东75°的方向前往监视巡查，经过一段时后，在C处成功拦截不明船只，问我海监执法船在前往监视巡查的过程中大约行驶了多少海里（最后结果保留整数）？（参考数据：cos75°＝0.26，sin75°＝0.97，tan75°＝3.73，＝1.7，＝1.4）
19．如图，已知反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A、B，点B的坐标为（3，3），过点A作AC⊥x轴，垂足为C，过点B作BD⊥y轴，垂足为D，AC与BD交于点F，一次函数y＝mx+n的图象经过点A、D，与x轴的负半轴交于点E．
（1）若AC＝OD，求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）在（1）的条件下，连接BE，求△ABE的面积；
（3）若BC∥AE，请直接写出BC的长．
20．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D是AB边上一点，以BD为直径的⊙O与边AC相切于点E，与边BC交于点F，过点E作EH⊥AB于点H，连接BE．
（1）求证：EH＝EC；
（2）若BC＝4，AB＝6，求AD的长．
21．某山区不仅有美丽风光，也有许多令人喜爱的土特产，为实现脱贫奔小康，某村组织村民加工包装土特产销售给游客，以增加村民收入，试销的30天中，该村第一天卖出土特产42千克，为了扩大销量，采取了降价措施，以后每天比前一天多卖出6千克，第x天的售价为y元/千克，y关于x的函数解析式为y＝，且第14天的售价为34元/千克，第27天的售价为27元/千克．已知土特产的成本是21元/千克，每天的利润是W元（利润＝销售收入﹣成本）．
（1）m＝ ，n＝ ；
（2）求每天的利润W元与销售的天数x（天）之间的函数关系式；
（3）在销售土特产的30天中，当天利润不低于1224元的共有多少天？
22．如图①，在正方形ABCD中，AB＝5，点F在AC上，且CF＝2，过点F作EF⊥AC于点F，交CD于点E，连接AE，BF．
【问题发现】
（1）线段AE与BF的数量关系是 ，直线AE与BF所夹锐角的度数是 ；
【拓展探究】
（2）当△CEF绕点C顺时针旋转时，上述结论是否成立？若成立，请写出结论，并结合图②给出证明；若不成立，请说明理由；
【解决问题】
（3）在（2）的条件下，当点F到直线BC的距离为2时，请直接写出AE的长．
23．如图，直线y＝x﹣3与x轴、y轴分别交于B、C两点，抛物线y＝x2+bx+c经过B、C，且与x轴另一交点为A，连接AC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点E在抛物线上，连接EC，当∠ECB+∠ACO＝45°时，求点E的横坐标；
（3）点M从点A出发，沿线段AB由A向B运动，同时点N从点C出发沿线段CA由C向A运动，M，N的运动速度都是每秒1个单位长度，当N点到达A点时，M，N同时停止运动，问在坐标平面内是否存在点D，使M，N运动过程中的某些时刻t，以A，D，M，N为顶点的四边形为菱形？若存在，直接写出t的值；若不存在，说明理由．
参考答案
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．下列各数中，相反数为﹣1的数是（ ）
A． B．﹣ C． D．﹣
【分析】根据相反数的定义即可解答．
解：﹣1的相反数是1＝，
故选：A．
2．地球绕太阳每小时转动通过的路程约是1.1×105千米，用科学记数法表示地球一天（以24小时计）转动通过的路程约是（ ）
A．0.264×107千米 B．2.64×106千米
C．26.4×105千米 D．264×104千米
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
解：1.1×105×24＝26.4×105＝2.64×106．
故选：B．
3．下列运算正确的是（ ）
A．（xy3）2＝xy6 B．
C．2x12÷x6＝2x6 D．（a﹣3）2＝a2﹣9
【分析】A：根据积的乘方计算；
B：化简二次根式后计算；
C：根据单项式除以单项式计算；
D：根据完全平方公式计算；
解：A：原式＝x2y6，∴不合题意；
B：原式＝2+＝3，∴不合题意；
C：原式＝2x6，∴合题意；
D：原式＝a2﹣6a+9，∴不合题意；
故选：C．
4．桌上摆着一个由若干个相同正方体组成的几何体，从正面、左面看所得的平面图形，如图所示，这个几何体最多可以由（ ）个这样的正方体组成．
A．13 B．12 C．11 D．14
【分析】主视图、左视图是分别从物体正面、左面看，所得到的图形．
解：易得第一层最多有9个正方体，第二层最多有4个正方体，所以此几何体共有13个正方体．
故选：A．
5．已知：直线l1∥l2，一块含30°角的直角三角板如图所示放置，∠1＝25°，则∠2等于（ ）
A．30° B．35° C．40° D．45°
【分析】先根据三角形外角的性质求出∠3的度数，再由平行线的性质得出∠4的度数，由直角三角形的性质即可得出结论．
解：∵∠3是△ADG的外角，
∴∠3＝∠A+∠1＝30°+25°＝55°，
∵l1∥l2，
∴∠3＝∠4＝55°，
∵∠4+∠EFC＝90°，
∴∠EFC＝90°﹣55°＝35°，
∴∠2＝35°．
故选：B．
6．定义运算：a※b＝3ab2﹣4ab﹣2．例如：4※2＝3×4×22﹣4×4×2﹣2＝14．则方程2※x＝0的根的情况为（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定
【分析】利用新定义得到6x2﹣8x﹣2＝0，然后利用Δ＞0可判断方程根的情况．
解：由新定义得6x2﹣8x﹣2＝0，
∵Δ＝（﹣8）2﹣4×6×（﹣2）＝112＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：B．
7．郑州市某中学获评“2019年河南省中小学书香校园”，学校在创建过程中购买了一批图书．已知购买科普类图书花费12000元，购买文学类图书花费10500元，其中科普类图书平均每本的价格比文学类图书平均每本的价格贵5元，且购买科普书的数量比购买文学书的数量少100本，求科普类图书平均每本的价格是多少元？若设科普类图书平均每本的价格是x元，则可列方程为（ ）
A．﹣＝100 B．﹣＝100
C．﹣＝100 D．﹣＝100
【分析】直接利用购买科普书的数量比购买文学书的数量少100本得出等式进而得出答案．
解：设科普类图书平均每本的价格是x元，则可列方程为：﹣＝100．
故选：D．
8．如图：已知菱形ABCD的顶点B（﹣2，0），且∠ABC＝60°，点A在y轴的正半轴上．按以下步骤作图：①以点B为圆心，适当长度为半径作弧，分别交边AB、BC于点M、N；②分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径作弧，两弧在∠ABC内交于点P；③作射线BP，交菱形的对角线AC于点E，则点E的坐标为（ ）
A．（1，） B．（1，2） C．（，1） D．（）
【分析】如图，作EH⊥BC于H．证明△ABC是等边三角形，求出OA＝BE＝2即可解决问题．
解：如图，作EH⊥BC于H．
∵四边形ABCD都是菱形，
∴AB＝BC，
∵∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∵B（﹣2，0），
∴OB＝2，OA＝2，
由作图可知：BE平分∠ABC，
∴BE⊥AC，
∴BE＝OA＝2，
∴EH＝，BH＝EH＝3，
∴OH＝1，
∴E（1，），
故选：A．
9．我们定义一种新函数：形如y＝|ax2+bx+c|（a≠0，b2﹣4ac＞0）的函数叫做“鹊桥”函数．小腾同学画出了“鹊桥”函数y＝|x2﹣2x﹣3|的图象（如图所示），并写出下列四个结论：其中正确结论的个数是（ ）
①图象与坐标轴的交点为（﹣1，0）和（3，0）；
②当﹣1≤x≤1或x≥3时，函数值y随x值的增大而增大；
③当x＝1时，函数有最大值是4；
④函数与直线y＝m有4个公共点，则m的取值范围是0＜m＜4．
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】由（﹣1，0），（3，0）和（0，3）坐标都满足函数y＝|x2﹣2x﹣3|知①是错误的；
根据函数的图象和性质，发现当﹣1≤x≤1或x≥3时，函数值y随x值的增大而增大，因此②是正确的；
从图象上看，当x＜﹣1或x＞3，函数值有大于4的值，因此③是错误的；
由图象可知，函数与直线y＝m有4个公共点，则m的取值范围是0＜m＜4，故④正确．
解：①∵（﹣1，0），（3，0）和（0，3）坐标都满足函数y＝|x2﹣2x﹣3|，
∴①是错误的；
②根据函数的图象和性质，发现当﹣1≤x≤1或x≥3时，函数值y随x值的增大而增大，因此②是正确的；
③由图象可知，当x＜﹣1时，函数值随x的减小而增大，当x＞3时，函数值随x的增大而增大，均存在大于顶点坐标的函数值，故当x＝1时的函数值4并非最大值，故③错误．
④由图象可知，函数与直线y＝m有4个公共点，则m的取值范围是0＜m＜4，故④正确．
故选：B．
10．矩形ABCD中，AD＝8cm，AB＝6cm．动点E从点C开始沿边CB向点B以2cm/s的速度运动，动点F从点C同时出发沿边CD向点D以1cm/s的速度运动至点D停止．如图可得到矩形CFHE，设运动时间为x（单位：s），此时矩形ABCD去掉矩形CFHE后剩余部分的面积为y（单位：cm2），则y与x之间的函数关系用图象表示大致是下图中的（ ）
A． B．
C． D．
【分析】重点考查学生的阅读理解能力、分析研究能力．在解答时要注意先总结出函数的解析式，由解析式结合其取值范围判断，不要只靠感觉．
解：此题在读懂题意的基础上，分两种情况讨论：
当x≤4时，y＝6×8﹣（x•2x）＝﹣2x2+48，此时函数的图象为抛物线的一部分，它的最上点抛物线的顶点（0，48），最下点为（4，16）；
当4＜x≤6时，点E停留在B点处，故y＝48﹣8x＝﹣8x+48，此时函数的图象为直线y＝﹣8x+48的一部分，它的最上点可以为（4，16），它的最下点为（6，0）．
结合四个选项的图象知选A项．
故选：A．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．计算：＝ ．
【分析】利用负整数指数幂的运算法则，零指数幂的运算法则，实数的运算法则对所求式子进行运算即可．
解：
＝+1
＝+1
＝．
故答案为：．
12．不等式组的整数解之和为 ﹣3 ．
【分析】首先分别解出两个不等式，再根据大小小大中间找确定不等式组的解集，再在解集范围内找到整数解，然后求其和即可．
解：，
由①得：x≤，
由②得：x＞﹣4，
不等式组的解集为：﹣4＜x≤，
整数解为：﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，
﹣3+（﹣2）+（﹣1）+0+1+2＝﹣3，
故答案为：﹣3．
13．在一个口袋中有4个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，随机地摸出一个小球不放回，再随机地摸出一个小球，则两次摸出的小球的标号的和为奇数的概率是 ．
【分析】先画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出其中两次摸出的小球的标号的和为奇数的结果数，然后根据概率公式求解．
解：画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中两次摸出的小球的标号的和为奇数的结果数为8，
所以两次摸出的小球的标号的和为奇数的概率＝＝．
故答案为．
14．如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，OA＝2，以OB为直径作半圆，圆心为点C，过点C作OA的平行线分别交两弧于点D、E，则阴影部分的面积为 π﹣ ．
【分析】根据题意和图形，作出合适的辅助线，即可求得阴影部分的面积．
解：连接OE，
∵∠BOA＝90°，点C为BD的中点，CE∥OA，OA＝2，
∴∠ECO+∠COA＝180°，OB＝OE＝2，OC＝1，
∴∠OCE＝90°，OE＝2OC，
∴∠EOC＝60°，CE＝，
∴阴影部分的面积为：﹣﹣＝π﹣，
故答案为π﹣．
15．如图，在矩形ABMN中，AN＝，点C是MN的中点，分别连接AC，BC，且BC＝2，点D为AC的中点，点E为边AB上一个动点，连接DE，点A关于直线DE的对称点为点F，分别连接DF，EF，当EF⊥AC时，AE的长为 或 ．
【分析】首先证明∠CAB＝∠CBA＝30°．分两种情形画出图形分别求解即可．
解：∵四边形ABMN是矩形，
∴AN＝BM＝，∠M＝∠N＝90°，
∵CM＝CN，
∴△BMC≌△ANC（SAS），
∴BC＝AC＝2，
∴AC＝2AN，
∴∠ACN＝30°，
∵AB∥MN，
∴∠CAB＝∠CBA＝30°，
①如图1中，当DF⊥AB时，∠ADF＝60°，
∵DA＝DF，
∴△ADF是等边三角形，
∴∠AFD＝60°，
∵∠DFE＝∠DAE＝30°，
∴EF平分∠AFD，
∴EF⊥AD，此时AE＝．
②如图2中，当△AEF是等边三角形时，EF⊥AC，此时EF＝．
综上所述，满足条件的EF的值为或．
故答案为：或．
三、解答题（本大题共8道小题，满分75分）
16．先化简÷（﹣x+1），然后从﹣＜x＜的范围内选取一个合适的整数作为x的值代入求值．
【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后在﹣＜x＜中选取一个使得原分式有意义的整数值代入化简后的式子即可解答本题．
解：÷（﹣x+1）
＝
＝
＝
＝，
∵﹣＜x＜且x+1≠0，x﹣1≠0，x≠0，x是整数，
∴x＝﹣2时，原式＝﹣．
17．为引导学生广泛阅读文学名著，某校在七年级、八年级开展了读书知识竞赛．该校七、八年级各有学生400人，各随机抽取20名学生进行了抽样调查，获得了他们知识竞赛成绩（分），并对数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
七年级：
74 97 96 89 98 74 69 76 72 78
99 72 97 76 99 74 99 73 98 74
八年级：
76 88 93 65 78 94 89 68 95 50
89 88 89 89 77 94 87 88 92 91
成绩
人数
年级
50≤x≤59
60≤x≤69
70≤x≤79
80≤x≤89
90≤x≤100
七年级
0
1
10
1
8
八年级
1
a
3
8
6
平均数、中位数、众数如表所示：
年级
平均数
中位数
众数
七年级
84.2
77
74
八年级
84
m
n
根据以上信息，回答下列问题：
（1）a＝ 2 ，m＝ 88.5 ，n＝ 89 ；
（2）你认为哪个年级读书知识竞赛的总体成绩较好，说明理由（至少从两个不同的角度说明推断的合理性）；
（3）该校对读书知识竞赛成绩不少于80分的学生授予“阅读小能手”称号，请你估计该校七、八年级所有学生中获得“阅读小能手”称号的大约有 460 人．
【分析】（1）根据总数据可得a的值，根据中位数和众数的定义可得m和n的值；
（2）根据平均数，众数和中位数这几方面的意义解答可得；
（3）分别计算该校七、八年级所有学生中获得“阅读小能手”称号的人数，相加可得结论．
解：（1）a＝20﹣1﹣3﹣8﹣6＝2，
八年级20人的成绩：50，65，68，76，77，78，87，88，88，88，
89，89，89，89，91，92，93，94，94，95，
∴m＝＝88.5，n＝89，
故答案为：2，88.5，89．
（2）∵八年级读书知识竞赛的总体成绩的众数高于七年级，且八年级的中位数89高于七年级的中位数74，说明八年级分数不低于89分的人数比七年级多，
∴八年级读书知识竞赛的总体成绩较好．
（3）+＝460，
则估计该校七、八年级所有学生中获得“阅读小能手”称号的大约有460人．
故答案为：460．
18．南海是我国的南大门，如图所示，某天我国一艘海监执法船在南海海域正在进行常态化巡航，在A处测得北偏东30°方向上，距离为20海里的B处有一艘不明身份的船只正在向正东方向航行，便迅速沿北偏东75°的方向前往监视巡查，经过一段时后，在C处成功拦截不明船只，问我海监执法船在前往监视巡查的过程中大约行驶了多少海里（最后结果保留整数）？（参考数据：cos75°＝0.26，sin75°＝0.97，tan75°＝3.73，＝1.7，＝1.4）
【分析】过点C作CD⊥AB交线段AB延长线于点D，证△ACD是等腰直角三角形，得AD＝CD，由勾股定理得AC＝CD，AD＝CD＝BD，然后由AD﹣BD＝AB求出BD，进而求解．
解：如图，过点C作CD⊥AB交线段AB延长线于点D，
∵∠BAC＝75°﹣30°＝45°，
∴△ACD是等腰直角三角形，
∴AD＝CD，
∴AC＝＝CD，
∵BC∥AE，
∴∠DBC＝∠BAE＝90°﹣30°＝60°，
∴∠BCD＝30°，
∴BC＝2BD，AD＝CD＝＝＝BD，
∵AD﹣BD＝AB，
∴BD﹣BD＝20海里，
解得：BD＝10（+1）海里，
∴CD＝BD＝（30+10）海里≈47海里，
∴AC＝CD≈66（海里），
答：我海监执法船在前往监视巡查的过程中大约行驶了66海里．
19．如图，已知反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A、B，点B的坐标为（3，3），过点A作AC⊥x轴，垂足为C，过点B作BD⊥y轴，垂足为D，AC与BD交于点F，一次函数y＝mx+n的图象经过点A、D，与x轴的负半轴交于点E．
（1）若AC＝OD，求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）在（1）的条件下，连接BE，求△ABE的面积；
（3）若BC∥AE，请直接写出BC的长．
【分析】（1）求出A点坐标，代入反比例函数及一次函数解析式求得；
（2）S△ABE＝S△ABD+S△BDE求得；
（3）设A点坐标，求出kAE和kBC，由kAE＝kBC可得．
解：（1）∵B（3，3），
∴＝3，
∴k＝9，
∴y＝，
∵OD＝3，
∴AC＝OD＝4，
∴＝4，
∴x＝，
∴A（，4），
∴，
∴，
∴；
（2）S△ABE＝S△ABD+S△BDE
＝+
＝
＝
＝6；
（3）设A（a，），
直线AD：y＝mx+3过A点，
∴am+3＝，
∴m＝，
设直线BC的解析式是：y＝cx+d，
∴，
∴c＝，
∵BC∥AE，
∴＝，
∴a＝，
经检验．a＝是原方程的解，
∴C（，0），
∴BC2＝（3﹣）2+（）2，
∴BC＝．
20．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D是AB边上一点，以BD为直径的⊙O与边AC相切于点E，与边BC交于点F，过点E作EH⊥AB于点H，连接BE．
（1）求证：EH＝EC；
（2）若BC＝4，AB＝6，求AD的长．
【分析】（1）根据切线的性质可得AC⊥OE，即可得OE∥BC，可证∠CBE＝∠EBO，根据角平分线的性质可得CE＝EH；
（2）根据sinA＝＝＝＝，设OE＝2a，AO＝3a，（a≠0），根据AB＝6，可求a的值，根据AD＝AB﹣BD＝6﹣4a，可求AD的值．
【解答】（1）证明：如图，连接OE，
∵AC与⊙O相切，
∴OE⊥AC，且BC⊥AC，
∴OE∥BC，
∴∠CBE＝∠OEB，
∵EO＝OB，
∴∠EBO＝∠OEB
∴∠CBE＝∠EBO，且CE⊥BC，EH⊥AB，
∴CE＝EH；
（2）解：∵sinA＝＝＝＝，
∴设OE＝2a，AO＝3a，（a≠0）
∴OB＝2a，
∵AB＝AO+OB＝3a+2a＝6，
∴a＝，
∵AD＝AB﹣BD＝6﹣4a，
∴AD＝．
21．某山区不仅有美丽风光，也有许多令人喜爱的土特产，为实现脱贫奔小康，某村组织村民加工包装土特产销售给游客，以增加村民收入，试销的30天中，该村第一天卖出土特产42千克，为了扩大销量，采取了降价措施，以后每天比前一天多卖出6千克，第x天的售价为y元/千克，y关于x的函数解析式为y＝，且第14天的售价为34元/千克，第27天的售价为27元/千克．已知土特产的成本是21元/千克，每天的利润是W元（利润＝销售收入﹣成本）．
（1）m＝ ﹣ ，n＝ 27 ；
（2）求每天的利润W元与销售的天数x（天）之间的函数关系式；
（3）在销售土特产的30天中，当天利润不低于1224元的共有多少天？
【分析】（1）根据“第14天的售价为34元/千克，第27天的售价为27元/千克”将x和y的值代入相应的函数解析式求解；
（2）先求得第x天的销售量，然后根据利润＝（售价﹣成本价）×销售料分段列出函数解析式；
（3）结合一次函数和二次函数的性质及利润不低于1224元的条件分析求解．
解：（1）∵第14天的售价为34元/千克，
∴当x＝14时，y＝34，
∵1＜14＜20，
∴把x＝14，y＝34代入y＝mx﹣82m中，
14m﹣82m＝34，
解得：m＝﹣，
∵第27天的售价为27元/千克，
∴当x＝27时，y＝27，
∵27＞20，
∴把y＝27代入y＝n中，
得：n＝27，
故答案为：﹣，27；
（2）由题意，第x天的销售量为42+6（x﹣1）＝6x+36，
∴第x天的售价为y＝，
∴当1≤x＜20时，
W＝（﹣x+41﹣21）（6x+36）＝﹣3x2+102x+720，
当20≤x＜30时，
W＝（27﹣21）（6x+36）＝36x+216，
综上，W＝，且x为正整数，
（3）当1≤x＜20，W＝1224时，
﹣3x2+102x+720＝1224，
解得：x1＝6，x2＝28，
∵﹣3＜0，
∴当W≥1224时，6≤x＜20，且x为正整数，
∴x可取6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16，17，18，19共14天，
当20≤x≤30，W＝1224时，
36x+216＝1224，
解得：x＝28，
∵36＞0，
∴当W≥1224时，28≤x≤30，且x为正整数，
∴x可取28，29，30共3天，
14+3＝17（天），
综上，当天利润不低于1224元的共有17天．
22．如图①，在正方形ABCD中，AB＝5，点F在AC上，且CF＝2，过点F作EF⊥AC于点F，交CD于点E，连接AE，BF．
【问题发现】
（1）线段AE与BF的数量关系是 AE＝BF ，直线AE与BF所夹锐角的度数是 45° ；
【拓展探究】
（2）当△CEF绕点C顺时针旋转时，上述结论是否成立？若成立，请写出结论，并结合图②给出证明；若不成立，请说明理由；
【解决问题】
（3）在（2）的条件下，当点F到直线BC的距离为2时，请直接写出AE的长．
【分析】（1）如图①中，延长BF交AE的延长线于点T．证明△ACE∽△BCF，推出＝＝，∠CAE＝∠CBF，可得结论．
（2）结论不变，证明方法类似（1）．
（3）分四种情形：如图③﹣1中，当点F在AC上时，如图③﹣2中，当点F到BC的距离为2时，利用勾股定理求出BF即可，当点F在直线BC的下方时，同法可得AE的长．
解：（1）如图①中，延长BF交AE的延长线于点T．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC＝BC，∠ACB＝∠ACE＝45°，
∵EF⊥CF，
∴∠CFE＝90°，
∴∠CEF＝∠FCE＝45°，
∴EC＝CF，
∴＝＝，
∴△ACE∽△BCF，
∴＝＝，∠CAE＝∠CBF，
∴AE＝BF，
∵∠CFB＝∠AFT，
∴∠ATF＝∠BCF＝45°，
∴直线AE与直线BF的夹角为45°，
故答案为：AE＝BF，45°．
（2）结论不变．
理由：如图②中，设AC交BF于点O，延长BF交AE于点J．
∵△ABC，△CFE都是等腰直角三角形，
∴∠ACB＝∠ECF＝45°，AC＝BC，EC＝CF，
∴∠BCF＝∠ACE，＝，
∴△ACE∽△BCF，
∴＝＝，∠CAE＝∠CBF，
∴AE＝BF，
∵∠BOC＝∠AOJ，
∴∠AJO＝∠ACB＝45°，
∴直线AE与直线BF的夹角为45°．
（3）如图③﹣1中，当点F在AC上时，过点F作FH⊥BC于点H．
∵△CFH是等腰直角三角形，CF＝2，
∴FH＝CH＝2，
此时点F到BC的距离为2，满足条件，
∴BH＝BC＝CH＝5﹣2＝3，
∴BF＝＝＝，
∴AE＝BF＝．
如图③﹣2中，当点F到BC的距离为2时，
BF＝＝＝，
∴AE＝BF＝，
当点F在直线BC的下方时，同法可得AE的长为或，
综上所述，满足条件的AE的值为或．
23．如图，直线y＝x﹣3与x轴、y轴分别交于B、C两点，抛物线y＝x2+bx+c经过B、C，且与x轴另一交点为A，连接AC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点E在抛物线上，连接EC，当∠ECB+∠ACO＝45°时，求点E的横坐标；
（3）点M从点A出发，沿线段AB由A向B运动，同时点N从点C出发沿线段CA由C向A运动，M，N的运动速度都是每秒1个单位长度，当N点到达A点时，M，N同时停止运动，问在坐标平面内是否存在点D，使M，N运动过程中的某些时刻t，以A，D，M，N为顶点的四边形为菱形？若存在，直接写出t的值；若不存在，说明理由．
【分析】（1）首先求出点B、C的坐标，然后利用待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）满足条件的点E有两种情形，需要分类讨论：
①当点E在x轴上方时，设CE与x轴交于A′，则OA′＝OA，
②当点E在x轴下方时，延长CE2交x轴于点G，则AC⊥CG．
（3）△AMN的三边均可能成为菱形的对角线，以此为基础进行分类讨论：
①若以AN为菱形对角线，如图2，此时AM＝CN＝t，AN＝﹣t，由＝cosθ＝，得5AE＝3AM，建立方程求解即可；
②若以MN为菱形对角线，如图3．由AM＝AN，建立方程求解即可；
③若以AM为菱形对角线，如图4．由＝cosθ＝，得5AE＝3AN，建立方程求解即可．
解：（1）∵直线y＝x﹣3与x轴、y轴分别交于B、C两点，
∴B（3，0），C（0，﹣3），
∵抛物线y＝x2+bx+c经过B（3，0），C（0，﹣3），
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣3；
（2）∵OB＝OC＝3，∠BOC＝90°，
∴∠BCO＝∠OBC＝45°，
①当点E在x轴上方时，设CE与x轴交于A′，
∵∠ECB+∠ACO＝45°，∠ECB+∠A′CO＝45°，
∴∠A′CO＝∠ACO，
∵∠A′OC＝∠AOC＝90°，OC＝OC，
∴△A′OC≌△AOC（ASA），
∴OA′＝OA，
由x2﹣x﹣3＝0，得：x1＝，x2＝3，
∴A（，0），
∴A′（，0），
设直线CA′的解析式为y＝kx+d，
∵C（0，﹣3），A′（，0），
∴，
解得：，
∴直线CA′的解析式为y＝x﹣3，
联立方程组，
解得：，，
∴E1（，2）；
②当点E在x轴下方时，
∵∠ECB+∠ACO＝45°，∠BCO＝45°，
∴∠ACE2＝90°，
延长CE2交x轴于点G，
∵∠AOC＝∠COG＝∠ACG＝90°，
∴∠GCO+∠ACO＝90°，∠ACO+∠CAO＝90°，
∴∠GCO＝∠CAO，
∴△GCO∽△CAO，
∴＝，
∴＝，
∴OG＝4，
∴G（4，0），
设直线CG的解析式为y＝mx+n，
∵C（0，﹣3），G（4，0），
∴，
解得：，
∴直线CG的解析式为y＝x﹣3，
联立方程组，得：，
解得：，，
∴E2（，）；
综上，点E的横坐标为或；
（3）在Rt△ACO中，OA＝，OC＝3，∠AOC＝90°，
∴AC＝＝＝，
设∠CAO＝θ，则tanθ＝＝＝，sinθ＝，cosθ＝，
假设存在满足条件的点D，设菱形的对角线交于点E，设运动时间为t，且0＜t＜，
①若以AN为菱形对角线，如图2，此时AM＝CN＝t，AN＝﹣t，
∵四边形AMND是菱形，
∴AE＝AN＝﹣t，∠AEM＝90°，
∴＝cosθ＝，
∴5AE＝3AM，即5（﹣t）＝3t，
解得：t＝；
②若以MN为菱形对角线，如图3，
∵AM＝AN，
∴t＝﹣t，
解得：t＝；
③若以AM为菱形对角线，如图4，设DN与AM交于点E，
∵四边形ANMD为菱形，
∴AM与DN互相垂直平分，即AE＝AM＝t，∠AEN＝90°，
∴＝cosθ＝，
∴5AE＝3AN，即5×t＝3×（﹣t），
解得：t＝；
综上，当t＝或或时，以A，D，M，N为顶点的四边形为菱形．
2021年河南省洛阳市中考数学一模试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．下列各数中，相反数为﹣1的数是（ ）
A． B．﹣ C． D．﹣
2．地球绕太阳每小时转动通过的路程约是1.1×105千米，用科学记数法表示地球一天（以24小时计）转动通过的路程约是（ ）
A．0.264×107千米 B．2.64×106千米
C．26.4×105千米 D．264×104千米
3．下列运算正确的是（ ）
A．（xy3）2＝xy6 B．
C．2x12÷x6＝2x6 D．（a﹣3）2＝a2﹣9
4．桌上摆着一个由若干个相同正方体组成的几何体，从正面、左面看所得的平面图形，如图所示，这个几何体最多可以由（ ）个这样的正方体组成．
A．13 B．12 C．11 D．14
5．已知：直线l1∥l2，一块含30°角的直角三角板如图所示放置，∠1＝25°，则∠2等于（ ）
A．30° B．35° C．40° D．45°
6．定义运算：a※b＝3ab2﹣4ab﹣2．例如：4※2＝3×4×22﹣4×4×2﹣2＝14．则方程2※x＝0的根的情况为（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定
7．郑州市某中学获评“2019年河南省中小学书香校园”，学校在创建过程中购买了一批图书．已知购买科普类图书花费12000元，购买文学类图书花费10500元，其中科普类图书平均每本的价格比文学类图书平均每本的价格贵5元，且购买科普书的数量比购买文学书的数量少100本，求科普类图书平均每本的价格是多少元？若设科普类图书平均每本的价格是x元，则可列方程为（ ）
A．﹣＝100 B．﹣＝100
C．﹣＝100 D．﹣＝100
8．如图：已知菱形ABCD的顶点B（﹣2，0），且∠ABC＝60°，点A在y轴的正半轴上．按以下步骤作图：①以点B为圆心，适当长度为半径作弧，分别交边AB、BC于点M、N；②分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径作弧，两弧在∠ABC内交于点P；③作射线BP，交菱形的对角线AC于点E，则点E的坐标为（ ）
A．（1，） B．（1，2） C．（，1） D．（）
9．我们定义一种新函数：形如y＝|ax2+bx+c|（a≠0，b2﹣4ac＞0）的函数叫做“鹊桥”函数．小腾同学画出了“鹊桥”函数y＝|x2﹣2x﹣3|的图象（如图所示），并写出下列四个结论：其中正确结论的个数是（ ）
①图象与坐标轴的交点为（﹣1，0）和（3，0）；
②当﹣1≤x≤1或x≥3时，函数值y随x值的增大而增大；
③当x＝1时，函数有最大值是4；
④函数与直线y＝m有4个公共点，则m的取值范围是0＜m＜4．
A．1 B．2 C．3 D．4
10．矩形ABCD中，AD＝8cm，AB＝6cm．动点E从点C开始沿边CB向点B以2cm/s的速度运动，动点F从点C同时出发沿边CD向点D以1cm/s的速度运动至点D停止．如图可得到矩形CFHE，设运动时间为x（单位：s），此时矩形ABCD去掉矩形CFHE后剩余部分的面积为y（单位：cm2），则y与x之间的函数关系用图象表示大致是下图中的（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．计算：＝ ．
12．不等式组的整数解之和为 ．
13．在一个口袋中有4个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，随机地摸出一个小球不放回，再随机地摸出一个小球，则两次摸出的小球的标号的和为奇数的概率是 ．
14．如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，OA＝2，以OB为直径作半圆，圆心为点C，过点C作OA的平行线分别交两弧于点D、E，则阴影部分的面积为 ．
15．如图，在矩形ABMN中，AN＝，点C是MN的中点，分别连接AC，BC，且BC＝2，点D为AC的中点，点E为边AB上一个动点，连接DE，点A关于直线DE的对称点为点F，分别连接DF，EF，当EF⊥AC时，AE的长为 ．
三、解答题（本大题共8道小题，满分75分）
16．先化简÷（﹣x+1），然后从﹣＜x＜的范围内选取一个合适的整数作为x的值代入求值．
17．为引导学生广泛阅读文学名著，某校在七年级、八年级开展了读书知识竞赛．该校七、八年级各有学生400人，各随机抽取20名学生进行了抽样调查，获得了他们知识竞赛成绩（分），并对数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
七年级：
74 97 96 89 98 74 69 76 72 78
99 72 97 76 99 74 99 73 98 74
八年级：
76 88 93 65 78 94 89 68 95 50
89 88 89 89 77 94 87 88 92 91
成绩
人数
年级
50≤x≤59
60≤x≤69
70≤x≤79
80≤x≤89
90≤x≤100
七年级
0
1
10
1
8
八年级
1
a
3
8
6
平均数、中位数、众数如表所示：
年级
平均数
中位数
众数
七年级
84.2
77
74
八年级
84
m
n
根据以上信息，回答下列问题：
（1）a＝ ，m＝ ，n＝ ；
（2）你认为哪个年级读书知识竞赛的总体成绩较好，说明理由（至少从两个不同的角度说明推断的合理性）；
（3）该校对读书知识竞赛成绩不少于80分的学生授予“阅读小能手”称号，请你估计该校七、八年级所有学生中获得“阅读小能手”称号的大约有 人．
18．南海是我国的南大门，如图所示，某天我国一艘海监执法船在南海海域正在进行常态化巡航，在A处测得北偏东30°方向上，距离为20海里的B处有一艘不明身份的船只正在向正东方向航行，便迅速沿北偏东75°的方向前往监视巡查，经过一段时后，在C处成功拦截不明船只，问我海监执法船在前往监视巡查的过程中大约行驶了多少海里（最后结果保留整数）？（参考数据：cos75°＝0.26，sin75°＝0.97，tan75°＝3.73，＝1.7，＝1.4）
19．如图，已知反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A、B，点B的坐标为（3，3），过点A作AC⊥x轴，垂足为C，过点B作BD⊥y轴，垂足为D，AC与BD交于点F，一次函数y＝mx+n的图象经过点A、D，与x轴的负半轴交于点E．
（1）若AC＝OD，求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）在（1）的条件下，连接BE，求△ABE的面积；
（3）若BC∥AE，请直接写出BC的长．
20．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D是AB边上一点，以BD为直径的⊙O与边AC相切于点E，与边BC交于点F，过点E作EH⊥AB于点H，连接BE．
（1）求证：EH＝EC；
（2）若BC＝4，AB＝6，求AD的长．
21．某山区不仅有美丽风光，也有许多令人喜爱的土特产，为实现脱贫奔小康，某村组织村民加工包装土特产销售给游客，以增加村民收入，试销的30天中，该村第一天卖出土特产42千克，为了扩大销量，采取了降价措施，以后每天比前一天多卖出6千克，第x天的售价为y元/千克，y关于x的函数解析式为y＝，且第14天的售价为34元/千克，第27天的售价为27元/千克．已知土特产的成本是21元/千克，每天的利润是W元（利润＝销售收入﹣成本）．
（1）m＝ ，n＝ ；
（2）求每天的利润W元与销售的天数x（天）之间的函数关系式；
（3）在销售土特产的30天中，当天利润不低于1224元的共有多少天？
22．如图①，在正方形ABCD中，AB＝5，点F在AC上，且CF＝2，过点F作EF⊥AC于点F，交CD于点E，连接AE，BF．
【问题发现】
（1）线段AE与BF的数量关系是 ，直线AE与BF所夹锐角的度数是 ；
【拓展探究】
（2）当△CEF绕点C顺时针旋转时，上述结论是否成立？若成立，请写出结论，并结合图②给出证明；若不成立，请说明理由；
【解决问题】
（3）在（2）的条件下，当点F到直线BC的距离为2时，请直接写出AE的长．
23．如图，直线y＝x﹣3与x轴、y轴分别交于B、C两点，抛物线y＝x2+bx+c经过B、C，且与x轴另一交点为A，连接AC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点E在抛物线上，连接EC，当∠ECB+∠ACO＝45°时，求点E的横坐标；
（3）点M从点A出发，沿线段AB由A向B运动，同时点N从点C出发沿线段CA由C向A运动，M，N的运动速度都是每秒1个单位长度，当N点到达A点时，M，N同时停止运动，问在坐标平面内是否存在点D，使M，N运动过程中的某些时刻t，以A，D，M，N为顶点的四边形为菱形？若存在，直接写出t的值；若不存在，说明理由．
参考答案
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．下列各数中，相反数为﹣1的数是（ ）
A． B．﹣ C． D．﹣
【分析】根据相反数的定义即可解答．
解：﹣1的相反数是1＝，
故选：A．
2．地球绕太阳每小时转动通过的路程约是1.1×105千米，用科学记数法表示地球一天（以24小时计）转动通过的路程约是（ ）
A．0.264×107千米 B．2.64×106千米
C．26.4×105千米 D．264×104千米
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
解：1.1×105×24＝26.4×105＝2.64×106．
故选：B．
3．下列运算正确的是（ ）
A．（xy3）2＝xy6 B．
C．2x12÷x6＝2x6 D．（a﹣3）2＝a2﹣9
【分析】A：根据积的乘方计算；
B：化简二次根式后计算；
C：根据单项式除以单项式计算；
D：根据完全平方公式计算；
解：A：原式＝x2y6，∴不合题意；
B：原式＝2+＝3，∴不合题意；
C：原式＝2x6，∴合题意；
D：原式＝a2﹣6a+9，∴不合题意；
故选：C．
4．桌上摆着一个由若干个相同正方体组成的几何体，从正面、左面看所得的平面图形，如图所示，这个几何体最多可以由（ ）个这样的正方体组成．
A．13 B．12 C．11 D．14
【分析】主视图、左视图是分别从物体正面、左面看，所得到的图形．
解：易得第一层最多有9个正方体，第二层最多有4个正方体，所以此几何体共有13个正方体．
故选：A．
5．已知：直线l1∥l2，一块含30°角的直角三角板如图所示放置，∠1＝25°，则∠2等于（ ）
A．30° B．35° C．40° D．45°
【分析】先根据三角形外角的性质求出∠3的度数，再由平行线的性质得出∠4的度数，由直角三角形的性质即可得出结论．
解：∵∠3是△ADG的外角，
∴∠3＝∠A+∠1＝30°+25°＝55°，
∵l1∥l2，
∴∠3＝∠4＝55°，
∵∠4+∠EFC＝90°，
∴∠EFC＝90°﹣55°＝35°，
∴∠2＝35°．
故选：B．
6．定义运算：a※b＝3ab2﹣4ab﹣2．例如：4※2＝3×4×22﹣4×4×2﹣2＝14．则方程2※x＝0的根的情况为（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定
【分析】利用新定义得到6x2﹣8x﹣2＝0，然后利用Δ＞0可判断方程根的情况．
解：由新定义得6x2﹣8x﹣2＝0，
∵Δ＝（﹣8）2﹣4×6×（﹣2）＝112＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：B．
7．郑州市某中学获评“2019年河南省中小学书香校园”，学校在创建过程中购买了一批图书．已知购买科普类图书花费12000元，购买文学类图书花费10500元，其中科普类图书平均每本的价格比文学类图书平均每本的价格贵5元，且购买科普书的数量比购买文学书的数量少100本，求科普类图书平均每本的价格是多少元？若设科普类图书平均每本的价格是x元，则可列方程为（ ）
A．﹣＝100 B．﹣＝100
C．﹣＝100 D．﹣＝100
【分析】直接利用购买科普书的数量比购买文学书的数量少100本得出等式进而得出答案．
解：设科普类图书平均每本的价格是x元，则可列方程为：﹣＝100．
故选：D．
8．如图：已知菱形ABCD的顶点B（﹣2，0），且∠ABC＝60°，点A在y轴的正半轴上．按以下步骤作图：①以点B为圆心，适当长度为半径作弧，分别交边AB、BC于点M、N；②分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径作弧，两弧在∠ABC内交于点P；③作射线BP，交菱形的对角线AC于点E，则点E的坐标为（ ）
A．（1，） B．（1，2） C．（，1） D．（）
【分析】如图，作EH⊥BC于H．证明△ABC是等边三角形，求出OA＝BE＝2即可解决问题．
解：如图，作EH⊥BC于H．
∵四边形ABCD都是菱形，
∴AB＝BC，
∵∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∵B（﹣2，0），
∴OB＝2，OA＝2，
由作图可知：BE平分∠ABC，
∴BE⊥AC，
∴BE＝OA＝2，
∴EH＝，BH＝EH＝3，
∴OH＝1，
∴E（1，），
故选：A．
9．我们定义一种新函数：形如y＝|ax2+bx+c|（a≠0，b2﹣4ac＞0）的函数叫做“鹊桥”函数．小腾同学画出了“鹊桥”函数y＝|x2﹣2x﹣3|的图象（如图所示），并写出下列四个结论：其中正确结论的个数是（ ）
①图象与坐标轴的交点为（﹣1，0）和（3，0）；
②当﹣1≤x≤1或x≥3时，函数值y随x值的增大而增大；
③当x＝1时，函数有最大值是4；
④函数与直线y＝m有4个公共点，则m的取值范围是0＜m＜4．
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】由（﹣1，0），（3，0）和（0，3）坐标都满足函数y＝|x2﹣2x﹣3|知①是错误的；
根据函数的图象和性质，发现当﹣1≤x≤1或x≥3时，函数值y随x值的增大而增大，因此②是正确的；
从图象上看，当x＜﹣1或x＞3，函数值有大于4的值，因此③是错误的；
由图象可知，函数与直线y＝m有4个公共点，则m的取值范围是0＜m＜4，故④正确．
解：①∵（﹣1，0），（3，0）和（0，3）坐标都满足函数y＝|x2﹣2x﹣3|，
∴①是错误的；
②根据函数的图象和性质，发现当﹣1≤x≤1或x≥3时，函数值y随x值的增大而增大，因此②是正确的；
③由图象可知，当x＜﹣1时，函数值随x的减小而增大，当x＞3时，函数值随x的增大而增大，均存在大于顶点坐标的函数值，故当x＝1时的函数值4并非最大值，故③错误．
④由图象可知，函数与直线y＝m有4个公共点，则m的取值范围是0＜m＜4，故④正确．
故选：B．
10．矩形ABCD中，AD＝8cm，AB＝6cm．动点E从点C开始沿边CB向点B以2cm/s的速度运动，动点F从点C同时出发沿边CD向点D以1cm/s的速度运动至点D停止．如图可得到矩形CFHE，设运动时间为x（单位：s），此时矩形ABCD去掉矩形CFHE后剩余部分的面积为y（单位：cm2），则y与x之间的函数关系用图象表示大致是下图中的（ ）
A． B．
C． D．
【分析】重点考查学生的阅读理解能力、分析研究能力．在解答时要注意先总结出函数的解析式，由解析式结合其取值范围判断，不要只靠感觉．
解：此题在读懂题意的基础上，分两种情况讨论：
当x≤4时，y＝6×8﹣（x•2x）＝﹣2x2+48，此时函数的图象为抛物线的一部分，它的最上点抛物线的顶点（0，48），最下点为（4，16）；
当4＜x≤6时，点E停留在B点处，故y＝48﹣8x＝﹣8x+48，此时函数的图象为直线y＝﹣8x+48的一部分，它的最上点可以为（4，16），它的最下点为（6，0）．
结合四个选项的图象知选A项．
故选：A．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．计算：＝ ．
【分析】利用负整数指数幂的运算法则，零指数幂的运算法则，实数的运算法则对所求式子进行运算即可．
解：
＝+1
＝+1
＝．
故答案为：．
12．不等式组的整数解之和为 ﹣3 ．
【分析】首先分别解出两个不等式，再根据大小小大中间找确定不等式组的解集，再在解集范围内找到整数解，然后求其和即可．
解：，
由①得：x≤，
由②得：x＞﹣4，
不等式组的解集为：﹣4＜x≤，
整数解为：﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，
﹣3+（﹣2）+（﹣1）+0+1+2＝﹣3，
故答案为：﹣3．
13．在一个口袋中有4个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，随机地摸出一个小球不放回，再随机地摸出一个小球，则两次摸出的小球的标号的和为奇数的概率是 ．
【分析】先画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出其中两次摸出的小球的标号的和为奇数的结果数，然后根据概率公式求解．
解：画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中两次摸出的小球的标号的和为奇数的结果数为8，
所以两次摸出的小球的标号的和为奇数的概率＝＝．
故答案为．
14．如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，OA＝2，以OB为直径作半圆，圆心为点C，过点C作OA的平行线分别交两弧于点D、E，则阴影部分的面积为 π﹣ ．
【分析】根据题意和图形，作出合适的辅助线，即可求得阴影部分的面积．
解：连接OE，
∵∠BOA＝90°，点C为BD的中点，CE∥OA，OA＝2，
∴∠ECO+∠COA＝180°，OB＝OE＝2，OC＝1，
∴∠OCE＝90°，OE＝2OC，
∴∠EOC＝60°，CE＝，
∴阴影部分的面积为：﹣﹣＝π﹣，
故答案为π﹣．
15．如图，在矩形ABMN中，AN＝，点C是MN的中点，分别连接AC，BC，且BC＝2，点D为AC的中点，点E为边AB上一个动点，连接DE，点A关于直线DE的对称点为点F，分别连接DF，EF，当EF⊥AC时，AE的长为 或 ．
【分析】首先证明∠CAB＝∠CBA＝30°．分两种情形画出图形分别求解即可．
解：∵四边形ABMN是矩形，
∴AN＝BM＝，∠M＝∠N＝90°，
∵CM＝CN，
∴△BMC≌△ANC（SAS），
∴BC＝AC＝2，
∴AC＝2AN，
∴∠ACN＝30°，
∵AB∥MN，
∴∠CAB＝∠CBA＝30°，
①如图1中，当DF⊥AB时，∠ADF＝60°，
∵DA＝DF，
∴△ADF是等边三角形，
∴∠AFD＝60°，
∵∠DFE＝∠DAE＝30°，
∴EF平分∠AFD，
∴EF⊥AD，此时AE＝．
②如图2中，当△AEF是等边三角形时，EF⊥AC，此时EF＝．
综上所述，满足条件的EF的值为或．
故答案为：或．
三、解答题（本大题共8道小题，满分75分）
16．先化简÷（﹣x+1），然后从﹣＜x＜的范围内选取一个合适的整数作为x的值代入求值．
【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后在﹣＜x＜中选取一个使得原分式有意义的整数值代入化简后的式子即可解答本题．
解：÷（﹣x+1）
＝
＝
＝
＝，
∵﹣＜x＜且x+1≠0，x﹣1≠0，x≠0，x是整数，
∴x＝﹣2时，原式＝﹣．
17．为引导学生广泛阅读文学名著，某校在七年级、八年级开展了读书知识竞赛．该校七、八年级各有学生400人，各随机抽取20名学生进行了抽样调查，获得了他们知识竞赛成绩（分），并对数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
七年级：
74 97 96 89 98 74 69 76 72 78
99 72 97 76 99 74 99 73 98 74
八年级：
76 88 93 65 78 94 89 68 95 50
89 88 89 89 77 94 87 88 92 91
成绩
人数
年级
50≤x≤59
60≤x≤69
70≤x≤79
80≤x≤89
90≤x≤100
七年级
0
1
10
1
8
八年级
1
a
3
8
6
平均数、中位数、众数如表所示：
年级
平均数
中位数
众数
七年级
84.2
77
74
八年级
84
m
n
根据以上信息，回答下列问题：
（1）a＝ 2 ，m＝ 88.5 ，n＝ 89 ；
（2）你认为哪个年级读书知识竞赛的总体成绩较好，说明理由（至少从两个不同的角度说明推断的合理性）；
（3）该校对读书知识竞赛成绩不少于80分的学生授予“阅读小能手”称号，请你估计该校七、八年级所有学生中获得“阅读小能手”称号的大约有 460 人．
【分析】（1）根据总数据可得a的值，根据中位数和众数的定义可得m和n的值；
（2）根据平均数，众数和中位数这几方面的意义解答可得；
（3）分别计算该校七、八年级所有学生中获得“阅读小能手”称号的人数，相加可得结论．
解：（1）a＝20﹣1﹣3﹣8﹣6＝2，
八年级20人的成绩：50，65，68，76，77，78，87，88，88，88，
89，89，89，89，91，92，93，94，94，95，
∴m＝＝88.5，n＝89，
故答案为：2，88.5，89．
（2）∵八年级读书知识竞赛的总体成绩的众数高于七年级，且八年级的中位数89高于七年级的中位数74，说明八年级分数不低于89分的人数比七年级多，
∴八年级读书知识竞赛的总体成绩较好．
（3）+＝460，
则估计该校七、八年级所有学生中获得“阅读小能手”称号的大约有460人．
故答案为：460．
18．南海是我国的南大门，如图所示，某天我国一艘海监执法船在南海海域正在进行常态化巡航，在A处测得北偏东30°方向上，距离为20海里的B处有一艘不明身份的船只正在向正东方向航行，便迅速沿北偏东75°的方向前往监视巡查，经过一段时后，在C处成功拦截不明船只，问我海监执法船在前往监视巡查的过程中大约行驶了多少海里（最后结果保留整数）？（参考数据：cos75°＝0.26，sin75°＝0.97，tan75°＝3.73，＝1.7，＝1.4）
【分析】过点C作CD⊥AB交线段AB延长线于点D，证△ACD是等腰直角三角形，得AD＝CD，由勾股定理得AC＝CD，AD＝CD＝BD，然后由AD﹣BD＝AB求出BD，进而求解．
解：如图，过点C作CD⊥AB交线段AB延长线于点D，
∵∠BAC＝75°﹣30°＝45°，
∴△ACD是等腰直角三角形，
∴AD＝CD，
∴AC＝＝CD，
∵BC∥AE，
∴∠DBC＝∠BAE＝90°﹣30°＝60°，
∴∠BCD＝30°，
∴BC＝2BD，AD＝CD＝＝＝BD，
∵AD﹣BD＝AB，
∴BD﹣BD＝20海里，
解得：BD＝10（+1）海里，
∴CD＝BD＝（30+10）海里≈47海里，
∴AC＝CD≈66（海里），
答：我海监执法船在前往监视巡查的过程中大约行驶了66海里．
19．如图，已知反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A、B，点B的坐标为（3，3），过点A作AC⊥x轴，垂足为C，过点B作BD⊥y轴，垂足为D，AC与BD交于点F，一次函数y＝mx+n的图象经过点A、D，与x轴的负半轴交于点E．
（1）若AC＝OD，求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）在（1）的条件下，连接BE，求△ABE的面积；
（3）若BC∥AE，请直接写出BC的长．
【分析】（1）求出A点坐标，代入反比例函数及一次函数解析式求得；
（2）S△ABE＝S△ABD+S△BDE求得；
（3）设A点坐标，求出kAE和kBC，由kAE＝kBC可得．
解：（1）∵B（3，3），
∴＝3，
∴k＝9，
∴y＝，
∵OD＝3，
∴AC＝OD＝4，
∴＝4，
∴x＝，
∴A（，4），
∴，
∴，
∴；
（2）S△ABE＝S△ABD+S△BDE
＝+
＝
＝
＝6；
（3）设A（a，），
直线AD：y＝mx+3过A点，
∴am+3＝，
∴m＝，
设直线BC的解析式是：y＝cx+d，
∴，
∴c＝，
∵BC∥AE，
∴＝，
∴a＝，
经检验．a＝是原方程的解，
∴C（，0），
∴BC2＝（3﹣）2+（）2，
∴BC＝．
20．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D是AB边上一点，以BD为直径的⊙O与边AC相切于点E，与边BC交于点F，过点E作EH⊥AB于点H，连接BE．
（1）求证：EH＝EC；
（2）若BC＝4，AB＝6，求AD的长．
【分析】（1）根据切线的性质可得AC⊥OE，即可得OE∥BC，可证∠CBE＝∠EBO，根据角平分线的性质可得CE＝EH；
（2）根据sinA＝＝＝＝，设OE＝2a，AO＝3a，（a≠0），根据AB＝6，可求a的值，根据AD＝AB﹣BD＝6﹣4a，可求AD的值．
【解答】（1）证明：如图，连接OE，
∵AC与⊙O相切，
∴OE⊥AC，且BC⊥AC，
∴OE∥BC，
∴∠CBE＝∠OEB，
∵EO＝OB，
∴∠EBO＝∠OEB
∴∠CBE＝∠EBO，且CE⊥BC，EH⊥AB，
∴CE＝EH；
（2）解：∵sinA＝＝＝＝，
∴设OE＝2a，AO＝3a，（a≠0）
∴OB＝2a，
∵AB＝AO+OB＝3a+2a＝6，
∴a＝，
∵AD＝AB﹣BD＝6﹣4a，
∴AD＝．
21．某山区不仅有美丽风光，也有许多令人喜爱的土特产，为实现脱贫奔小康，某村组织村民加工包装土特产销售给游客，以增加村民收入，试销的30天中，该村第一天卖出土特产42千克，为了扩大销量，采取了降价措施，以后每天比前一天多卖出6千克，第x天的售价为y元/千克，y关于x的函数解析式为y＝，且第14天的售价为34元/千克，第27天的售价为27元/千克．已知土特产的成本是21元/千克，每天的利润是W元（利润＝销售收入﹣成本）．
（1）m＝ ﹣ ，n＝ 27 ；
（2）求每天的利润W元与销售的天数x（天）之间的函数关系式；
（3）在销售土特产的30天中，当天利润不低于1224元的共有多少天？
【分析】（1）根据“第14天的售价为34元/千克，第27天的售价为27元/千克”将x和y的值代入相应的函数解析式求解；
（2）先求得第x天的销售量，然后根据利润＝（售价﹣成本价）×销售料分段列出函数解析式；
（3）结合一次函数和二次函数的性质及利润不低于1224元的条件分析求解．
解：（1）∵第14天的售价为34元/千克，
∴当x＝14时，y＝34，
∵1＜14＜20，
∴把x＝14，y＝34代入y＝mx﹣82m中，
14m﹣82m＝34，
解得：m＝﹣，
∵第27天的售价为27元/千克，
∴当x＝27时，y＝27，
∵27＞20，
∴把y＝27代入y＝n中，
得：n＝27，
故答案为：﹣，27；
（2）由题意，第x天的销售量为42+6（x﹣1）＝6x+36，
∴第x天的售价为y＝，
∴当1≤x＜20时，
W＝（﹣x+41﹣21）（6x+36）＝﹣3x2+102x+720，
当20≤x＜30时，
W＝（27﹣21）（6x+36）＝36x+216，
综上，W＝，且x为正整数，
（3）当1≤x＜20，W＝1224时，
﹣3x2+102x+720＝1224，
解得：x1＝6，x2＝28，
∵﹣3＜0，
∴当W≥1224时，6≤x＜20，且x为正整数，
∴x可取6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16，17，18，19共14天，
当20≤x≤30，W＝1224时，
36x+216＝1224，
解得：x＝28，
∵36＞0，
∴当W≥1224时，28≤x≤30，且x为正整数，
∴x可取28，29，30共3天，
14+3＝17（天），
综上，当天利润不低于1224元的共有17天．
22．如图①，在正方形ABCD中，AB＝5，点F在AC上，且CF＝2，过点F作EF⊥AC于点F，交CD于点E，连接AE，BF．
【问题发现】
（1）线段AE与BF的数量关系是 AE＝BF ，直线AE与BF所夹锐角的度数是 45° ；
【拓展探究】
（2）当△CEF绕点C顺时针旋转时，上述结论是否成立？若成立，请写出结论，并结合图②给出证明；若不成立，请说明理由；
【解决问题】
（3）在（2）的条件下，当点F到直线BC的距离为2时，请直接写出AE的长．
【分析】（1）如图①中，延长BF交AE的延长线于点T．证明△ACE∽△BCF，推出＝＝，∠CAE＝∠CBF，可得结论．
（2）结论不变，证明方法类似（1）．
（3）分四种情形：如图③﹣1中，当点F在AC上时，如图③﹣2中，当点F到BC的距离为2时，利用勾股定理求出BF即可，当点F在直线BC的下方时，同法可得AE的长．
解：（1）如图①中，延长BF交AE的延长线于点T．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC＝BC，∠ACB＝∠ACE＝45°，
∵EF⊥CF，
∴∠CFE＝90°，
∴∠CEF＝∠FCE＝45°，
∴EC＝CF，
∴＝＝，
∴△ACE∽△BCF，
∴＝＝，∠CAE＝∠CBF，
∴AE＝BF，
∵∠CFB＝∠AFT，
∴∠ATF＝∠BCF＝45°，
∴直线AE与直线BF的夹角为45°，
故答案为：AE＝BF，45°．
（2）结论不变．
理由：如图②中，设AC交BF于点O，延长BF交AE于点J．
∵△ABC，△CFE都是等腰直角三角形，
∴∠ACB＝∠ECF＝45°，AC＝BC，EC＝CF，
∴∠BCF＝∠ACE，＝，
∴△ACE∽△BCF，
∴＝＝，∠CAE＝∠CBF，
∴AE＝BF，
∵∠BOC＝∠AOJ，
∴∠AJO＝∠ACB＝45°，
∴直线AE与直线BF的夹角为45°．
（3）如图③﹣1中，当点F在AC上时，过点F作FH⊥BC于点H．
∵△CFH是等腰直角三角形，CF＝2，
∴FH＝CH＝2，
此时点F到BC的距离为2，满足条件，
∴BH＝BC＝CH＝5﹣2＝3，
∴BF＝＝＝，
∴AE＝BF＝．
如图③﹣2中，当点F到BC的距离为2时，
BF＝＝＝，
∴AE＝BF＝，
当点F在直线BC的下方时，同法可得AE的长为或，
综上所述，满足条件的AE的值为或．
23．如图，直线y＝x﹣3与x轴、y轴分别交于B、C两点，抛物线y＝x2+bx+c经过B、C，且与x轴另一交点为A，连接AC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点E在抛物线上，连接EC，当∠ECB+∠ACO＝45°时，求点E的横坐标；
（3）点M从点A出发，沿线段AB由A向B运动，同时点N从点C出发沿线段CA由C向A运动，M，N的运动速度都是每秒1个单位长度，当N点到达A点时，M，N同时停止运动，问在坐标平面内是否存在点D，使M，N运动过程中的某些时刻t，以A，D，M，N为顶点的四边形为菱形？若存在，直接写出t的值；若不存在，说明理由．
【分析】（1）首先求出点B、C的坐标，然后利用待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）满足条件的点E有两种情形，需要分类讨论：
①当点E在x轴上方时，设CE与x轴交于A′，则OA′＝OA，
②当点E在x轴下方时，延长CE2交x轴于点G，则AC⊥CG．
（3）△AMN的三边均可能成为菱形的对角线，以此为基础进行分类讨论：
①若以AN为菱形对角线，如图2，此时AM＝CN＝t，AN＝﹣t，由＝cosθ＝，得5AE＝3AM，建立方程求解即可；
②若以MN为菱形对角线，如图3．由AM＝AN，建立方程求解即可；
③若以AM为菱形对角线，如图4．由＝cosθ＝，得5AE＝3AN，建立方程求解即可．
解：（1）∵直线y＝x﹣3与x轴、y轴分别交于B、C两点，
∴B（3，0），C（0，﹣3），
∵抛物线y＝x2+bx+c经过B（3，0），C（0，﹣3），
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣3；
（2）∵OB＝OC＝3，∠BOC＝90°，
∴∠BCO＝∠OBC＝45°，
①当点E在x轴上方时，设CE与x轴交于A′，
∵∠ECB+∠ACO＝45°，∠ECB+∠A′CO＝45°，
∴∠A′CO＝∠ACO，
∵∠A′OC＝∠AOC＝90°，OC＝OC，
∴△A′OC≌△AOC（ASA），
∴OA′＝OA，
由x2﹣x﹣3＝0，得：x1＝，x2＝3，
∴A（，0），
∴A′（，0），
设直线CA′的解析式为y＝kx+d，
∵C（0，﹣3），A′（，0），
∴，
解得：，
∴直线CA′的解析式为y＝x﹣3，
联立方程组，
解得：，，
∴E1（，2）；
②当点E在x轴下方时，
∵∠ECB+∠ACO＝45°，∠BCO＝45°，
∴∠ACE2＝90°，
延长CE2交x轴于点G，
∵∠AOC＝∠COG＝∠ACG＝90°，
∴∠GCO+∠ACO＝90°，∠ACO+∠CAO＝90°，
∴∠GCO＝∠CAO，
∴△GCO∽△CAO，
∴＝，
∴＝，
∴OG＝4，
∴G（4，0），
设直线CG的解析式为y＝mx+n，
∵C（0，﹣3），G（4，0），
∴，
解得：，
∴直线CG的解析式为y＝x﹣3，
联立方程组，得：，
解得：，，
∴E2（，）；
综上，点E的横坐标为或；
（3）在Rt△ACO中，OA＝，OC＝3，∠AOC＝90°，
∴AC＝＝＝，
设∠CAO＝θ，则tanθ＝＝＝，sinθ＝，cosθ＝，
假设存在满足条件的点D，设菱形的对角线交于点E，设运动时间为t，且0＜t＜，
①若以AN为菱形对角线，如图2，此时AM＝CN＝t，AN＝﹣t，
∵四边形AMND是菱形，
∴AE＝AN＝﹣t，∠AEM＝90°，
∴＝cosθ＝，
∴5AE＝3AM，即5（﹣t）＝3t，
解得：t＝；
②若以MN为菱形对角线，如图3，
∵AM＝AN，
∴t＝﹣t，
解得：t＝；
③若以AM为菱形对角线，如图4，设DN与AM交于点E，
∵四边形ANMD为菱形，
∴AM与DN互相垂直平分，即AE＝AM＝t，∠AEN＝90°，
∴＝cosθ＝，
∴5AE＝3AN，即5×t＝3×（﹣t），
解得：t＝；
综上，当t＝或或时，以A，D，M，N为顶点的四边形为菱形．
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