初中数学苏科版八年级下册9.3 平行四边形优秀巩固练习

专题04 解题技巧专题：特殊平行四边形中折叠、旋转问题

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【典型例题】

【考点一 矩形中的折叠问题】

例题：（2022秋·甘肃兰州·九年级统考期中）将矩形纸片沿折叠得到，与交于点E，若，则的度数为（    ）

A．15° B．20° C．25° D．30°

【变式训练】

1．（2022春·江苏苏州·八年级校考阶段练习）如图，矩形纸片中，，现将其沿对折，使得点落在边上的点处，折痕与边交于点，则的长为（　　）

A． B． C． D．

2．（2022秋·湖北武汉·八年级统考期末）如图，将一张长方形纸片按如图方式折叠，、为折痕，若，则的度数为（    ）．

A． B． C． D．

3．（2022秋·全国·八年级专题练习）如图，将矩形纸片ABCD沿BE折叠，使点A落在对角线BD上的点A'处．若∠DBC＝22°，则∠A'EB的大小为（　　）

A．68° B．34° C．56° D．46°

4．（2021春·山东济宁·七年级济宁学院附属中学校考期中）将长方形沿折叠，得到如图所示的图形．已知，则________．

5．（2023秋·河南南阳·七年级校考期末）如图，把一个长方形纸片沿折叠后，C，D两点分别落在，两点处，若，则______度．

6．（2023秋·广东·八年级校联考期末）在长方形中，，，点E是边上的一个动点，把沿BE折叠，点A落在处，当是直角三角形时，的长为______．

7．（2023春·八年级单元测试）如图，已知矩形，点E为的中点，将沿直线折叠，点B落在点处，连接．

(1)求证：．

(2)若，，求线段的长．

8．（2021春·江苏南京·八年级校考期中）如图，在矩形中，点E在边上，折叠使点A落在边上的点F处，折痕为，过点A作交于点G，连接．

(1)求证：四边形是菱形．

(2)若，，求四边形的面积．

【考点二 菱形中的折叠问题】

例题：（2021春·浙江台州·八年级统考期末）如图，在菱形纸片ABCD中，∠A=60°，折叠菱形纸片ABCD，使点C落在DP（P为AB中点）所在的直线上，得到经过点D的折痕DE．则∠BEC′的大小为（   ）

A．20° B．25° C．30° D．35°

【变式训练】

1．（2022秋·九年级课时练习）如图，把菱形沿折叠，使点落在上的点处，若，则的大小为（    ）．

A． B． C． D．

2．（2022·全国·八年级专题练习）如图，菱形纸片，，，将该菱形纸片折叠，使点B恰好落在边的中点处，折痕与边、分别交于点M、N．则的长为 _______．

3．（2022秋·九年级课时练习）如图，在菱形中，是上一点，沿折叠，点恰好落在上的点处，连接，若，则__________．

4．（2021·云南红河·统考一模）如图，菱形的周长为8厘米，，点M为的中点，点N是边上任一点，把沿直线折叠，点A落在图中的点E处，当_________厘米时，是直角三角形．

5．（2022·安徽合肥·校考二模）如图，在菱形中，，，点是边上一点，以为对称轴将折叠得到，再折叠使落在直线上，点的对应点为点，折痕为且交于点．

（1）______；

（2）若点是的中点，则的长为______．

【考点三 正方形中的折叠问题】

例题：（2022秋·广东梅州·九年级校考阶段练习）如图，将正方形纸片按如图折叠， 为折痕，点 落在对角线 上的点 处，则 的度数为（   ）

A． B． C． D．

【变式训练】

1．（2022春·河南郑州·八年级校考期末）如图，是一个正方形纸片，、分别为、的中点，沿过点的折痕将翻折，使点落在上如图的点，折痕交于点，那么(    )

A． B． C． D．

2．（2023·全国·八年级专题练习）如图，将正方形沿对折，使点落在对角线上的处，连接，则 _________．

3．（2022秋·福建宁德·八年级校考阶段练习）如图，在正方形中，，点E在边上，将沿对折至，延长交于点G，G恰好是边的中点，则的长是________．

4．（2022秋·全国·七年级专题练习）如图，将正方形纸片折叠，使点落在边点处，点落在点处，折痕为，若，求的大小．

5．（2022秋·四川成都·八年级成都七中校考期中）已知：如图，在边长为的正方形中，点在边上，，将沿折叠至，延长交于点，连接

(1)求的度数：

(2)求的长度

6．（2023春·江苏·八年级专题练习）如图1，在正方形中，点E为上一点，连接，把沿折叠得到，延长交于G，连接．

(1)求证：．

(2)如图2，E为的中点，连接．

①求证：；②若正方形边长为6，求线段的长．

【考点四 特殊平行四边形折叠后求周长、面积问题】

例题：（2022秋·江苏·八年级统考期中）把一张矩形纸片（矩形）按如图方式折叠，使顶点和点重合，折痕为．若cm， cm．则重叠部分的面积为_____．

【变式训练】

1．（2022秋·辽宁沈阳·九年级统考期末）如图，已知正方形面积为2，将正方形沿直线折叠，则图中阴影部分的周长为（    ）

A． B． C． D．

2．（2022春·江苏徐州·八年级邳州市新城中学校考阶段练习）将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，恰好得到菱形AECF，若AB=3，则菱形AECF的面积为（　　　　）

A．1 B．2 C．2 D．4

3．（2022春·广东韶关·八年级统考期末）如图，矩形中，，，将矩形沿折叠，点落在点处，则重叠部分的面积为______．

5．（2022春·广东汕头·八年级校考阶段练习）如图，将矩形沿直线折叠，顶点D恰好落在边上点F处，已知，则阴影部分的面积为___________．

6．（2022秋·江苏苏州·八年级苏州中学校考期中）如图，长方形纸片的边长，．将矩形纸片沿折叠，使点与点重合，折叠后在其一面着色．

(1)求的长；

(2)求图中阴影部分的面积．

【考点五 特殊平行四边形中旋转问题】

例题：（2021秋·陕西渭南·九年级统考阶段练习）如图，四边形是矩形，以点B为旋转中心，顺时针旋转矩形得到矩形，点，，的对应点分别为点，，，点恰好在的延长线上．

(1)求证：：

(2)若，求的长．

【变式训练】

1．（2021秋·浙江绍兴·九年级绍兴市元培中学校考期中）如图，将矩形绕点A顺时针旋转到矩形的位置，若旋转角为，则为（    ）

A． B． C． D．

2．（2022秋·广东广州·九年级广州市第一一三中学校考期中）如图，将矩形绕点A顺时针旋转后，得到矩形，如果，那么_______．

3．（2022秋·江西宜春·九年级校考期中）如图，将边长为的正方形绕点顺时针旋转30°到的位置，则阴影部分的面积是___________．

4．（2022秋·安徽铜陵·九年级铜陵市第十五中学校考期中）如图，在菱形中， ，把菱形绕点A顺时针旋转 得到菱形，则图中阴影部分的面积为_________．

5．（2022秋·天津河北·九年级天津二中校考期末）在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点，点，点．以点A为中心，顺时针旋转矩形，得到矩形，点O，B，C的对应点分别为D，E，F，记旋转角为．

(1)如图1，当时，求点D的坐标；

(2)如图2，当点E落在的延长线上时，求点D的坐标；

(3)当点D落在线段上时，直接写出点E的坐标．

6．（2022春·江苏连云港·八年级统考期中）已知，四边形和四边形都是正方形，点为的中点．

(1)连接、．

①如图1，若点在边上，猜想和的关系，并给予证明：

②若将图1中的正方形绕点顺时针旋转，使点落在对角线的延长线上，请你在图2中补全图形，猜想和的关系，并给予证明．

(2)如图3，若，，将正方形绕点旋转，连接．请你直接写出的取值范围___________．

7．（2022秋·山西吕梁·九年级统考期中）综合与实践

【情境呈现】如图1，将两个正方形纸片和放置在一起.若固定正方形，将正方形绕着点A旋转．

(1)【数学思考】如图1，当点E在边上，点G在边上时，线段与的数量关系是    ，位置关系是     ．

(2)如图2，是将正方形绕着点A逆时针旋转度得到的，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

(3)【拓展探究】如图3，若点D，E，G在同一条直线上，且，求线段的长度（直接写出答案）．

8．（2021秋·陕西汉中·九年级统考阶段练习）【问题情境】

已知正方形中，点O是线段的中点，将正方形绕点O顺时针旋转得到正方形（点、、、分别是点A、B、C、D的对应点）．

【问题提出】

(1)如图1，在正方形绕点O旋转过程中，顺次连接点B、、C、得到四边形，求证；四边形是矩形；

(2)如图2，在旋转过程中，当点落在对角线BD上时，与交于点M，求证；四边形是正方形；

【问题探究】

(3)如图3，若点O是线段的三等分点且，在正方形绕点O旋转的过程中当线段经过点D时，请求出的值．