数学-2022年高考考前押题密卷（新高考Ⅰ卷）（全解全析）

这是一份数学-2022年高考考前押题密卷（新高考Ⅰ卷）（全解全析），共11页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022 年高考考前押题密卷（新高考Ⅰ卷）
数学·全解全析

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
A
D
A
B
C
B
D
D
BC
ACD
AB
ABC
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1．【答案】A
【解析】因为 A = {x | -2 < x < 2} ， B = {x | 0 £ x £ 4} ，所以 A∪B=（-2，4]．故选 A． 2．【答案】D
【解析】因为 z = 1 - i ，所以 2z - iz =2(1 - i) - i(1 + i)=3 - 3i ，


所以| 2z - iz |=
32 + (-3)2 =3
．故选 D．



2
1 -sin a+
2
æ p ö
ç 4 ÷
è
ø
3．【答案】A

aÎæ p , p ö



p æ p , 3p ö



æ p ö 3


【解析】由
ç 4 2 ÷ ，得a+ 4 Îç 2 4
÷ ，则cosça+ 4 ÷ = -
= - ，
5

è ø è ø è ø


cosa= cos éæa+ p ö - pù = cos æa+ p öcos p + sin æa+ p ösin p = - 3´


2 + 4´ 2 = 2 ．



êç 4 ÷ 4 ú
ç 4 ÷ 4 ç 4 ÷
4 5 2 5 2 10



故选 A． 4．【答案】B
ëè ø û
è ø è ø

【解析】设正项等比数列{an }的公比为 q (q > 0) .

由a = a4 可得： a = q2 ，所以a = q, a


= 1.

a
3 3 2 1
2

所以 S
= a + a + a = 1 + q + q2 = 7 ，解得： q = 2 （ q = -3 舍去），

3 1 2 3

所以a = a q4 = 1´ 24 = 16 .故选 B．
5 1

5. 【答案】C
3
2 4 3
【解析】从这三类乐器中各选 1 种乐器的选法有C1 C1 C1 = 24（种），将 3 种乐器分配给甲､乙､丙三位同学演奏的方法有A3 = 6 （种），因此不同的分配方案共有24´ 6 = 144 （种）.故选 C．
6. 【答案】B
【解析】由题知Ta = 25 ℃，由一杯 80℃的热水降至 75℃大约用时 1 分钟，

1 1
可得75 - 25 = æ 1 öh ( 80 - 25) ，所以æ 1 ö h = 50 = 10 ，


2
2
ç ÷ ç ÷
è ø è ø
55 11

t t
又水温从 75℃降至 45℃，所以45 - 25 = æ 1 ö h (75 - 25 ) ，即æ 1 ö h = 20 = 2 ，


2
2
è ø
ç ÷
è ø
t
t é 1 ù t


ç ÷ 50 5

所以æ 1 ö h = êæ 1 ö h ú


= æ 10 ö


= 2 ，



ç 2 ÷ êç 2 ÷ ú ç 11 ÷ 5
è ø è ø è ø
ë û
=
lg 2

所以t = log 2


5
10
11
5

lg 10
11
= 2 lg 2 -1 » 2 ´ 0.3 -1 = 10 ，
1 - lg11 1 -1.04

所以水温从 75℃降至 45℃，大约还需要 10 分钟.故选 B.
7. 【答案】D


【 解 析 】 因 为
(x2 + x + 1 )5
4
= [(x + 1 )2 ]5 = (x + 1 )10
2 2

， 所 以
(x + 1 )10
2

展 开 式 的 通 项 公 式 为

T = Cr x10-r × 1 r ，当10 - r = 7 时， r = 3 ， T
( )


= C3 x7 ×
1 3 ， 则 3


1 3 = 15 ，x7 的系数为 15.


r +1 10 2
8. 【答案】D
4 10 ( 2)
C10 ( 2)

【解析】由题知 f ( x ) 是定义域为 R 的偶函数．
= æ 1 ö æ - 1 ö

a f ç log ÷ = f ç log 1 3 2 ÷ = f (-log2 3) = f (log2 3) ，
è 2 3 ø è 22 ø

= æ 1 ö æ - 1 ö

b f ç log ÷ = f ç log 1 2 2 ÷ = f (-log3 2) = f (log3 2) ，
è 3 2 ø è 32 ø

æ - 4 ö æ - 4 ö

c = f ç -3 3 ÷ = f ç 3 3 ÷ ， log2 3 > log2 2 = 1 ，
è ø è ø
ö
æ
1 3 1 3 1 1 4

23 = 3 = 3, 所以 23 > æ 33 ö , 2 > 33 ，所以1 = log 3 > log 2 > log 33 = 1 ， 0 < 3 3 < 3 = 1 ，
- -1

8, ç3 ÷ ç ÷
3 3 3 3 3

è ø è ø
因为 f ( x ) 在[0, +¥) 上单调递增，所以a > b > c .故选 D．
二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，
全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分．
2xy
9. 【答案】BC


【解析】由已知，得 x + 2 y = 2 ³ 2
，则 xy £ 1 ，当且仅当 x = 2 y = 1时取等号，所以 xy 的最大值是 1 ，


所以选项 A 错误；

2
2


æ 4 ö2 4 4 2 4
2


2 2 4

x2 + y2 = (2 - 2 y ) + y2 = 5ç y -
÷ + ³ ，当且仅当 x = ，y = 时取等号，所以 x + y 的最小值是 ，


所以选项 B 正确；
è 5 ø 5 5 5 5 5

2x + 4 y ³ 2
= 4 ，当且仅当 x = 2 y = 1时取等号，所以2x + 4y 的最小值是 4，所以选项 C 正确；

2x+2 y
1 + 2 = 1 æ 1 + 2 ö( x + 2 y) = 1 é5 + 2æ y + x öù ³ 9 ，当且仅当 x = y = 2 时取等号，所以 1 + 2 的最小值是 9 ，

x y 2 ç x y ÷
ê ç ÷ú
è ø
2
x y
2
ë è øû
3 x y 2

所以选项 D 错误．故选 BC．
10. 【答案】ACD
【解析】因为 f (x) = sin(4x + p) + cos(4x - p)
3 6
，
)
= 1 sin 4x + 3 cos 4x + 3 cos 4x + 1 sin 4x = sin 4x + 3 cos 4x = 2sin(4x + p
2 2 2 2 3
由正弦函数的性质可知， f (x) 的最大值为 2，A 正确；
p p p 5p kp p kp
令- + 2kp £ 4x + £ + 2kp，k Î Z 解得- + £ x £ + ，
2 3 2 24 2 24 2
令 k = 0 得，函数的一个单调递增区间为[- 5p , p ] ，B 错误；
24 24
p p kp - p
令 f (x) = 0 得sin（4x + 3 ）= 0 ，则 4x + 3 = kp ，即 x = 3 ，k Î Z ，
4
当 k = 1 时，x = p ，当 k = 2 时，x = 5p ，当 k = 3 时，x = 2p ，当 k = 4 时，x = 11p ，当 k = 5 时，x = 7p > p ，
6 12 3 12 6
故 f (x) 在[0,p] 上有 4 个零点，C 正确；
把 f (x) 的图象向右平移 p 个单位长度，得到函数 y=2sin4x 的图象关于直线 x = - p 对称，D 正确．
12 8
故选 ACD． 11．【答案】AB
【解析】由题意知 AP ¹ PF ，设 P ( x, y)(x > 0) ，
若 AF = PF ，则1+ 5 = x +1 ，解得 x = 5 ，
4 4
则点 P 的坐标为æ 5 , 5 ö或æ 5 , - 5 ö，
ç 4 ÷ ç 4 ÷
è ø è ø

所以k = 2 5 或k = - 2 5 ；
AP 5 AP 5

若 AP =
AF ，则æ x +
5 ö2
÷
+ y2 = æ1+
5 ö2
÷ .

ç
ç
è 4 ø è 4 ø
因为 y2 = 4x ，所以2x2 +13x - 7 = 0 ，解得 x = 1 或 x = -7 （舍去），
2
所以点 P 的坐标为æ 1 , 2 ö 或æ 1 , - 2 ö ，
ç 2 ÷ ç 2 ÷
è ø è ø

4 2
7
所以kAP = 或kAP = - 472 .故选 AB．

12．【答案】ABC
íln x, x ³1
【解析】因为 y = lnx = ì- ln x, 0 < x < 1 ，
î
所以，当0 < x < 1时， y¢ = - 1 ；当 x ³ 1时， y¢ = 1 ，
x x
2
1 2
不妨设点 P1 ， P2 的横坐标分别为x1 ，x2 ，且 x1 < x2 ，


1
若0 < x < x £ 1 时，直线l ， l 的斜率分别为k
= - 1 ， k = - 1 ，此时k k = 1

> 0 ，不合题意；

1 2 1 2
1 x2
x1 x2


1
若 x > x ³ 1时，则直线l ， l 的斜率分别为k
= 1 ， k = 1 ，此时k k = 1

x
> 0 ，不合题意.

2 1 1 2
1 x2
x1 x2


x
2
1 2
1
所以0 < x

£ 1 < x

或0 < x

< 1 £ x

，则k
= - 1 ， k = ，

1 2 1 2
1 x2


由题意可得k1k2
= - 1
x1 x2

1
x
2
= -1，可得 x1 x2

= 1 ，

若 x1 = 1 ，则 x2 = 1；若 x2 = 1，则 x1 = 1 ，不合题意，所以0 < x1 < 1 < x2 ，选项 A 对； 对于选项 B，易知点 P1 ( x1, -ln x1 ) ， P2 ( x2 , ln x2 ) ，

所以，直线 PP 的斜率为k
= ln x2 + ln x1 = ln ( x1x2 ) = 0 ，选项 B 对；


1 2 P1P2
x - x x - x

2 1 2 1


对于选项 C，直线l 的方程为 y + ln x
= - 1 (x - x

) ，令 x = 0 可得 y = 1 - ln x ，即点 A (0,1 - ln x ) ，

x
1 1 1 1 1
1


直线l 的方程为 y - ln x
= 1 (x - x
) ，令 x = 0 可得 y = ln x
-1 = - ln x -1，即点 B (0, -ln x -1)，

x
2 2 2
2
2 1 1

所以， AB = (1- ln x1 ) - (-1- ln x1 ) = 2 ，选项 C 对；
ì y = - 1 x + 1 - ln x


ï x 1
2x x 2x

对于选项 D，联立í
ï y =
ïî

2x
1
2
1 x + ln x -1
x2
可得 xP = 1 2 = 1 ，
x + 2x x +1
1 2 1


2(1- x2 )


令 f ( x ) =
x2 +1
，其中 x Î(0,1) ，则 f ¢( x) =
(x2 +1)2
> 0 ，

1
2
所以，函数 f ( x ) 在(0,1) 上单调递增，则当 x Î(0,1) 时， f ( x)Î(0,1) ，


所以， S

△ABP =

AB × xP
= 2x1
1
x2 +1
Î (0,1) ，选项 D 错.


故选 ABC.
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．

13．【答案】 5 （或2.5 ）
2
【解析】因为(la - b) ^ b ，所以(la - b)× b = 0 ，即la × b - b2 = 0 ，代入坐标得10l- 25 = 0 ，解得 λ = 5 ，
2
故答案为： 5 .
2
14. 【答案】3p
【解析】由题知过直线 PO 的平面截该圆锥所得的截面是面积为3 3 的正三角形（如下图），



设该正三角形的边长为a ，可得
3 a2 = 3
4
，解得a = 2
，所以底面圆的半径r = ，圆锥的高h = 3 ，

3
3
3
(
所以该圆锥的体积为V = 1pr2h = 1p
3 3
3 )2 ´ 3 = 3p.故答案为： 3p.



15. 【答案】 5
2
【解析】因为 PF1


= 6 ，则 PF2


= 6 - 2a ，且 F1F2


a2 +1
= 2c = 2 ．



5 5 PF 2 + PF
2 - F F 2
5 36 + 36 - 24a + 4a2 - 4a2 - 4


又cos ÐF PF
= ，所以
= 1 2 1 2 ，即 =

，解得 a = 2 .所

1 2 6
6 2 PF1
PF2
6 2 ´ 6 ´ (6 - 2a)


5
以c = ，所以双曲线的离心率e = c = 5 ．
a 2
16．【答案】(4, 4) 44
【解析】因为h ( x ) = f ( x - 4) + x ，所以h(x + 4) + h(4 - x) = f (4 + x - 4) + 4 + x + f (4 - x - 4) + 4 - x
= f (x) + f (-x) + 8
= e-x - ex + ex - e-x + 8 = 8，
所以h ( x) 的图象的对称中心为æ 4 + 4 , 8 ö ，即为(4, 4) ，
ç 2 2 ÷
è ø
因为等差数列{an }中， a1 + a2 + a3 +L + a11 = 44 ，所以2a6 ´ 5 + a6 = 44 ，得a6 = 4 ，因为h ( x) 的图象的对称中心为(4, 4) ，
所以h(a1 ) + h(a11 ) = 2 ´ 4 = 8 ， h(a2 ) + h(a10 ) = 2 ´ 4 = 8 ， h(a3 ) + h(a9 ) = 2 ´ 4 = 8 ， h(a4 ) + h(a8 ) = 2 ´ 4 = 8 ，

h(a5 ) + h(a7 ) = 2 ´ 4 = 8 ，
因为h(a6 ) = h(4) = f (0) + 4 = 4 ，所以h (a1 ) + h (a2 ) +L+ h (a11 ) = 5´8 + 4 = 44 ，故答案为： (4, 4) ，44．
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10 分）


【解析】（1）由b sin C = sin C +
3 cos C 得c sin B = 2sinæ C + pö ，（1 分）


ç 3 ÷
è ø
又 A = p， A + B + C = p，所以csin B = 2sin(p- B) = 2sin B ，（2 分）
3
而0 < B < p，故sin B ¹ 0 ，故c = 2 ．（4 分）


（2）选①：设 BC 边上的中线为 AD ，则 AD =

Ð = - Ð
AD2 + BD2 - AB2
由cos ADB cos ADC 得 ，
2AD × BD
2 ，（5 分）
2
= - AD2 + CD2 - AC2
2AD × CD



，（7 分）

1 + a2 - = - æ 1 + a2 - 2 ö
 2 2


即 2 4 4 ç 2 4
b ÷ ，即a
= 2b
+ 6 ，

è ø
由余弦定理a2 = b2 + c2 - 2bc cos A 得a2 = b2 - 2b + 4 ，即b2 + 2b + 2 = 0 ， 该方程无实数解，故符合条件的三角形不存在. （10 分）
7
选②：设 AB 边上的中线为CF ，则CF = ．（5 分）
在V ACF 中，由余弦定理得CF 2 = AF 2 + AC2 - 2AC × AF cos A，
即7 = 1 + AC2 - 2 ´1´ AC cosp，（7 分）
3
整理得 AC2 - AC - 6 = 0 ，解得 AC = 3 或 AC = -2 （舍去），


故VABC 的面积 S = 1 AC × AB sin A = 1 ´ 3´ 2´
3 = 3 3

．（10 分）

2 2 2 2
选③，依题意得 AB + BC + CA = 6 ，由（1）知 AB = 2 ， 所以 BC + CA = 4 ，（5 分）
在VABC 中，由余弦定理得， BC2 = AB2 + CA2 - 2AB × CAcos A ，
所以CB2 = 22 + CA2 - 2 ´ 2 ´ 1 CA ，即CB2 = 4 + CA2 - 2CA ，（7 分）
2
所以(4 - CA)2 = 4 + CA2 - 2CA ，解得 BC = CA = 2 ，

3
所以VABC 的面积S = 1 AC × AB sin A = 1 ´ 2´ 2´ 3 = ．（10 分）
2 2 2
18．（12 分）

【解析】（1）设等比数列{an }的公比是 q，首项是a1 .
由8a3 = a6 ，可得q = 2 .（2 分）
由a + a = 36 ，可得a q (1+ q3 ) = 36 ，所以a = 2 ，（4 分）
2 5 1 1

n
所以a = 2n ；（6 分）

（2）证明：因为b = an
= 1 - 1



，（7 分）

n (a +1)( a
+1)

2n +1 2n+1 +1

n n+1


所以T

= b + b
+ ××× + b =æ 1
- 1 ö +æ 1


- 1 ö+ ××× + æ 1 -


1 ö （8 分）



è ø è ø
n 1 2
n ç 21 + 1 22 + 1 ÷ ç 22 + 1 23 + 1 ÷
ç 2n +1 2n +1 +1÷

è ø
= 1 - 1

= 1 - 1


.（10 分）

21 +1 2n+1 +1 3 2n+1 +1
又 1 > 0 ，所以T < 1 .（12 分）


2n +1 + 1 n 3
19．（12 分）
【解析】（1）根据以上数据，得观测值 K


200´(90´ 30 - 50´ 30)2 25
2 = = » >
3.571 2.706 ，（3 分）
140´ 60´120´80 7

所以有90%的把握认为是否参加直播带货与性别有关.（4 分）
（2）由题意，女生未参加过直播带货的频率为 30 = 1 ，
120 4
将频率视为概率，每个女生未参加过直播带货的概率为 1 ，（5 分）
4
因为每次抽取的结果是相互独立的，所以 X ~ B æ 3, 1 ö ，（7 分）
ç 4 ÷



所以 P( X = k ) = Ck

æ 1 ök æ
-
1



1 ö3-k


è ø

， k = 0,1, 2, 3 ，

3 ç 4 ÷ ç 4 ÷

è ø è ø
所以 P( X = 0) = 27 ， P( X = 1) = 27 ， P( X = 2) =

9 ， P( X = 3) = 1 .（10 分）

64 64
所以随机变量 X 的分布列为
64 64


X
0
1
2
3

P
27

64
27

64
9

64
1

64


所以随机变量的均值 E( X ) = 3 ´ 1 = 3 .（12 分）
4 4
（11 分）

20．（12 分）
【解析】（1）如图，连接CE ，



因为几何体是由等高的半个圆柱和 1 个圆柱拼接而成，
4
所以ÐECD = ÐDCG = 45o ， ÐECG = 90o ， CE ^ CG ，（2 分）因为 BC∥EF ， BC = EF ，
所以四边形 BCEF 为平行四边形， BF∥CE ，所以 BF ^ CG ，（3 分）因为 BC ^ 平面 ABF ， BF Ì 平面 ABF ，所以 BC ^ BF ，（4 分）
因为 BC ÇCG = C ，所以 BF ^ 平面 BCG ，（5 分）
因为 BF Ì 平面 BFD ，所以平面 BFD ^ 平面 BCG .（6 分）
（2）如图，以 A 为坐标原点建立空间直角坐标系，设 AF = 2 ， AD = t ，

则 A(0, 0, 0) 、 B (0, 2, 0) 、 F (2, 0, 0) 、 D (0, 0, t)、G (-1,1, t)，
AB = (0, 2, 0) ， AG = (-1,1, t ) ， FB = (-2, 2, 0) ， FD = (-2, 0, t ) ，（7 分）设平面 BDF 的一个法向量为n = ( x, y, z ) ，

ìn × FB = 0
则ín × uuuv
ì-2x + 2 y = 0
，整理得í-2x + tz = 0 ，

î FD = 0 î
令 z = 2 ，则 x = t, y = t, 则平面 BDF 的一个法向量为n = (t, t, 2)，（9 分）设平面 ABG 的一个法向量为 m = ( x¢, y¢, z¢) ，

ìm × AB = 0
则ím × uuuv
ì y¢ = 0
，整理得í- x¢ + y¢ + tz¢ = 0 ，

î AG = 0 î
令 z¢ = 1，则 x¢ = t, y¢ = 0, 则平面 ABG 的一个法向量为 m = (t, 0,1)，（10 分）


cos

m, n
= m × n =
t 2 + 2
2t 2 + 4 × t 2 +1
，


m × n
因为平面 BDF 与平面 ABG 所成锐二面角的余弦值为 15 ，
5

t 2 + 2
2t 2 + 4 × t 2 +1
所以

= ，解得t = 2 ，即 AD = 2 .（11 分）
15
5


因为 DA ^ 平面 ABF ，所以ÐDFA 即直线 DF 与平面 ABF 所成的角，
在V ADF 中，因为ÐDAF = 90o ， AD = AF = 2 ，所以ÐDFA = 45o ，故直线 DF 与平面 ABF 所成的角为45o .（12 分）
21．（12 分）

ì b = 1
2
ï c

ìï a =
2


【解析】（1）由已知得ï = ,解得í
,（2 分）

a
2
ï
í ïîb = c = 1
ïîa2 = b2 + c2
x2 2


所以椭圆C 的标准方程 + y
2
= 1 .（4 分）

（2）由（1）的结论可知，椭圆的左焦点 F (-1, 0) ,（5 分）
设 A( x , y ), B ( x , y ) ,则M (-2, y ), N (-2, y ) , G æ -2, y1 + y2 ö .

1 1 2 2
1 2 ç 2 ÷


y - æ y1 + y2 ö


è ø

y - 0

1 ç 2 ÷


y - y ， k
= 2 = - y .（6 分）

kAG =
è ø = 1 2
x1 + 2 2 (x1 + 2 )
FN -2 + 1 2

因为直线 y = k ( x +1)(k ¹ 0)与椭圆交于 A, B 两点， 所以 y1 = k ( x1 +1), y2 = k ( x2 +1), （7 分）
由于直线 y = k ( x +1)(k ¹ 0)与直线l : x = -2 不平行，

所以四边形 AGNF 为梯形的充分必要条件是 AG / / FN ，即




y1 - y2

2 ( x1 + 2 )





= - y2 ，

即 y1 + 3 y2 + 2x1 y2 = 0 ,即k ( x1 +1) + 3k ( x2 +1) + 2x1k ( x2 +1) = 0 ,（8 分） 因为k ¹ 0 ,所以上式又等价于( x1 +1) + 3( x2 +1) + 2x1 ( x2 +1) = 0 ，
即3( x1 + x2 ) + 2x1x2 + 4 = 0 （*）.

ì y = k ( x +1)
ï
x + 2
联立í 2
y = 1


,消去 y 得(1+ 2k 2 ) x2 + 4k 2 x + 2k 2 - 2 = 0,（10 分）

îï 2


4k 2

2 (k 2 -1)

所以 x1 + x2 = - 1+ 2k 2 , x1 x2 =
,
1+ 2k 2

æ 4k 2 ö
2(k 2 - 1)
-12k 2 + 4k 2 - 4 + 4 + 8k 2

3( x1 + x2 ) + 2x1x2 + 4 = 3´ç -
2 ÷ + 2´
+ 4=
2

2 = 0 ，


所以（*）成立，
è 1+ 2k ø
1+ 2k
1+ 2k

所以四边形 AGNF 为梯形.（12 分）
22．（12 分）
【解析】（1）依题意，函数 f (x) 的定义域为(0, +¥) ，（1 分）
当a = e 时， f (x) = ln ex - e ln x ， f ¢(x) = - ln x - ex ，（2 分）
x x2
令h(x) = -ln x - ex ，则 h¢(x) = - 1 - e < 0 ，则 h(x) 在(0, +¥) 上单调递减，而h æ 1 ö = 0 ，（3 分）
e
ç ÷
x è ø
当0 < x < 1 时， h(x) > 0 ， f ¢(x) > 0 ，当 x > 1 时， h(x) < 0 ， f ¢(x) < 0 ，（4 分）
e e
所以函数 f (x) 的单调递增区间为æ 0, 1 ö ，单调递减区间为æ 1 , +¥ ö .（5 分）
ç e ÷ ç e ÷
è ø è ø
（2）当a > e 时， f ¢(x) = 1 - ln ax - e = 1 - ln ax - ex ， x > 0 .（6 分）
x2 x x2
令j(x) = 1- ln ax - ex ，则j¢(x) = - 1 - e < 0 ，
x
j(x) 在(0, +¥) 上单调递减，而jæ 1 ö = 1- e > 0 ，jæ 1 ö = -ln a < 0 ，（7 分）



则$x
ç ÷
a
e
è ø
Î æ 1 , 1 ö 使得j( x ) = 0 ，即1- ln ax


a

- ex
ç ÷
è ø

= 0 ，有ln ax
e

= 1- ex ，

0 ç a e ÷ 0
0 0 0 0

è ø
当 x Î(0, x0 ) 时，j(x) > 0 ， f ¢( x) > 0 ， f (x) 在(0, x0 ) 上单调递增，
x Î( x0 , +¥) 时，j(x) < 0 ， f ¢( x) < 0 ， f (x) 在( x0 , +¥) 上单调递减，

因此，函数 f (x) 在 x = x0 时取最大值，即 f (x) £ f (x0
) = ln ax0 - e ln x =
x 0
1 - e - e ln x x 0

，（9 分）

0 0

令函数r(x) = 1 - e - e ln x ，则r(x) 在 x Îæ 1 , 1 ö上单调递减，即有r ( x ) < r æ 1 ö = a -e +eln a，（10 分）
ç a e ÷ 0 ç a ÷
x è ø è ø
要证 f (x) < (a -1) e ，即证a - e + eln a < (a -1)e ，只需证(1- e)a + eln a < 0 ，

令 F (a) = (1- e)a + eln a(a > e) ， F ¢(a) = 1 - e + e < 2 - e < 0 ，则 F (a ) 在(e, +¥) 上单调递减，（11 分）
a
因此， F (a) < F (e) = (1- e)e + e = 2e - e2 < 0 ，即(1- e)a + eln a < 0 成立，则有 f (x) < (a -1) e 成立， 所以当a > e 时，不等式 f (x) < (a -1)e 成立.（12 分）