2023年中考数学高频考点突破——圆的综合(含答案)

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2023年中考数学高频考点突破——圆的综合
1．如图，在中，，是的角平分线，平分交于点，点在边上，以点为圆心的经过、两点，交于点．

（1）求证：是的切线；
（2）若，，求阴影部分的面积．
2．如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径⊙O分别交AC，BC于点D，E，过点B作⊙O的切线，交AC的延长线于点F．
（1）求证：∠CBF=∠BAC；
（2）若⊙O的半径为5，tan∠CBF=，求BC和BF的长．

3．如图，AB是⊙O的直径，点D是⊙O上一点，∠BAD的平分线交⊙O于点C，过点C的直线与AD互相垂直，垂足为点E，直线EC与AB的延长线交于点P，连接BC，已知PB∶PC=1∶．
（1）求证：CP是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为r，试探究线段PB与r的数量关系并证明．

4．如图，为的直径，弦，垂足为是延长线上一点，，垂足为，．
（1）求证：为的切线；
（2）已知，求的半径和的长．

5．如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，连接AC，BC．OE∥BC交AC于E，过点A作⊙O的切线交OE的延长线于点D，连接DC并延长交AB的延长线于点F．
（1）求证：DC是⊙O的切线；
（2）若∠BAC＝30°，AB＝4，直接写出线段CF的长．

6．如图．是的直径，为上一点，，的延长线交于点，连接，且．

（1）求证：是的切线；
（2）若，求的长．
7．如图，△ABC中，BE是它的角平分线，∠C＝90°，D在AB边上，以DB为直径的半圆O经过点E，交BC于点F．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）已知∠A＝30°，⊙O的半径为4，求图中阴影部分的面积．

8．如图，四边形内接于，，对角线经过点O，过点D作的切线，交的延长线于点E．

（1）求证：；
（2）若，求的长．
9．如图，AC是⊙O的直径，AD是⊙O的切线．点E在直径AC上，连接ED交⊙O于点B，连接AB，且AB＝BD．

(1)求证：AB＝BE；
(2)若⊙O的半径长为5，AB＝6，求线段AE的长．
10．如图，已知是半圆的直径，圆心为为半圆上的两个动点，且，过点C作的切线，交的延长线于点于点F．
（1）四边形的形状是______________________．
（2）连接，若，则当 时四边形为平行四边形；若四边形为菱形，四边形的面积是，求直径的长．

11．如图，已知AB为半圆O的直径，过点B作PB⊥OB，连接AP交半圆O于点C，D为BP上一点，CD是半圆O的切线．
（1）求证：CD＝DP．
（2）已知半圆O的直径为，PC＝1，求CD的长．

12．如图所示，已知A，B两点的坐标分别为（2，0），（0，10），P是△AOB外接圆⊙C上的一点，OP交AB于点 D．

（1）当OP⊥AB时，求OP；
（2）当∠AOP＝30°时，求AP．
13．已知如图：在⊙O中，直径AB⊥弦CD于G，E为DC延长线上一点，BE交⊙O于点F．

（1）求证：∠EFC＝∠BFD；
（2）若F为半圆弧AB的中点，且2BF＝3EF，求tan∠EFC的值．
14．如图，在△ABC中，，是的平分线，的平分线交于点，点在上，以点为圆心，的长为半径的圆经过点，交于点，交于点．

（1）求证：为⊙O的切线；
（2）当，时，求⊙O的半径．
15．如图，E是的斜边AB上一点，以AE为直径的与边BC相切于点D，交边AC于点F，连结AD．
（1）求证：AD平分．
（2）若，，求的长．

16．如图，在△中，∠＝90°，＝，＝10，以为直径作⊙交于点，作⊥交⊙于点，交于点，连结交于点．

（1）求证：＝．
（2）求的长．
17．如图，CD为⊙O的直径，AB，AC为弦，且∠ADC=∠DAB+∠ACD，AB交CD于E点．
（1）求证：AB=AC．
（2）DF为切线，若DE=2，CE=10，求cos∠ADF的值．

18．如图，在中，，点为上一点，以点为圆心，为半径的与相切于点，交的延长线于点．

（1）求证：；
（2）若，，求的半径和的长．



参考答案：
1．（1）详见解析；（2）
【分析】(1)连接OE,由半径相等得出角度相等,再由角平分线得出角度相等从而得出OE∥BC,由等腰三角形的三线合一性质得出∠ADB＝90°,由平行得出∠AEO＝90°,即可证明．
(2)根据条件先算出AOE的面积,再算出扇形EOF的面积,相减即可得出阴影部分的面积．
【解析】
（1）连接
∵，
∴．
∵平分，
∴，
∴，
∴
∵，是的角平分线，
∴，
∴
∴
即
∵是的半径，
∴是的切线．
（2）∵是的角平分线，
∵
∴
由（1）知，
∴，
∴，，
∴，
∵，，
∴
∵，，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，
∵

∴
【点评】本题考查切线的证明和扇形的面积公式,关键在于熟练掌握基础知识,结合题意灵活运用定理．
2．（1）证明见解析；（2）BC=4，．
【分析】（1）连接AE，根据圆周角定理得到∠AEB=90°，根据切线的性质即可得到结论；
（2）解直角三角形得到，过C作CG⊥AB于G，根据三角形的面积公式得到，求得AG=AB-BG=6，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解析】解：（1）连接AE，

∵AB为⊙O直径，
∴∠AEB=90°，
∵AB=AC，
∴∠BAE=∠BAC，
∵BF是⊙O的切线，
∴∠BAE+∠ABE=∠CBF+∠ABE=90°，
∴∠CBF=∠BAE=∠BAC；
（2）在Rt△BAE中，∵tan∠BCE=tan∠CBF=，
∴，
∴，
∴，
过C作CG⊥AB于G，
AE=2BE=4，BC=4，AB=10，
∴，
∴BG=4，
∴AG=AB-BG=6，
∵CG∥BF，
∴△AGC∽△ABF，
∴，即，
∴．
【点评】本题考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．
3．（1）证明见解析；（2）PB=r，证明见解析
【分析】（1）先判断出∠CAE=∠CAB，进而得出∠CAE=∠OCA，即可得出OC∥AE，即可得出结论；
（2）设出PB=x，则PC=x，先判断出△PBC∽△PCA，即可得出比例式即可得出PA=3x，即可得出结论．
【解析】（1）连接OC，

∴OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∵AC是∠BAD的平分线，
∴∠CAE=∠CAB，
∴∠CAE=∠OCA，
∴OC∥AE，
∵PC⊥AE，
∴PC⊥OC，
∵点C在⊙O上，
∴PC是⊙O的切线；
（2）PB=r，
理由：由（1）知，∠PCB＋∠OCB=90°，  ∠OCB＋∠OCA=90°，  ∠OAC=∠OCA，
∴∠PCB=∠PAC，
∵∠A=∠A，
∴△PBC∽△PCA，
∴，
∵PB∶PC=1∶．
∴设PB=x，则PC=x，
∴，
∴PA=3x，
∴PA=PB＋AB=x＋2r=3x，
∴r=x，
∴PB=r．
【点评】本题主要考查了角平分线定理，圆周角定理，切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解（1）的关键是判断出OC∥AE，解（2）的关键是证出△PBC∽△PCA．
4．（1）详见解析； （2）半径，DE=
【分析】（1）连接OA，根据垂线的定义结合角的运算，即可得出，即可证AE为的切线；（2）设的半径为，在中，根据勾股定理可求出的值，再由得出，进而得出，根据相似三角形的性质即可求出的长度．
【解析】（1）证明：证明：连接OA，如图所示
，



又
又点A在圆上，
AE为的切线．
（2）设的半径为，在中，
，即
解得：
的半径为．


，即
解得：．

【点评】本题考查切线的判定与性质、相似三角形的判定与性质、垂径定理，借助于辅助线OA，利用平行得出相似是解题的关键，属于中考常考题型．
5．（1）见解析；（2）2
【分析】（1）连接OC，根据平行线的性质得到∠OEA＝∠ACB，由圆周角定理得到∠OEA＝∠ACB＝90°，根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DC，证明△ADO≌△CDO（SSS），得出∠DAO＝∠OCD，根据切线的性质得到∠DAO＝90°，求得OC⊥DC，于是得到结论；
（2）证明△BOC是等边三角形，得出∠BOC＝60°，解直角三角形即可得到结论．
【解析】（1）证明：连接OC，

∵OE∥BC，
∴∠OEA＝∠ACB，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠OEA＝∠ACB＝90°，
∴OD⊥AC，由垂径定理得OD垂直平分AC，
∴DA＝DC，
∵DO＝DO，OC＝OA，
∴△ADO≌△CDO（SSS），
∴∠DAO＝∠OCD，
∵DA为⊙O的切线，OA是半径，
∴∠DAO＝90°，
∴∠OCD＝∠DAO＝90°，
即OC⊥DC，
∵OC是⊙O的半径，
∴DC是⊙O的切线；
（2）解：在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，
∴∠ABC＝60°，
又∵OB＝OC，
∴△BOC是等边三角形，
∴∠FOC＝60°，
又∵AB＝4，
∴OB＝OC＝OA＝2，
在Rt△COF中，tan∠FOC＝，
∴CF＝2．
【点评】本题主要考查了切线的判定、等边三角形、特殊角的锐角三角函数值，掌握切线的判定及特殊角的锐角三角函数值是解题的关键．
6．（1）证明见解析；（2）．
【分析】（1）如图（见解析），先根据圆周角定理可得，，再根据等腰三角形的性质可得，然后根据等量代换可得，最后根据圆的切线的判定即可得证；
（2）先根据线段的和差可得，再根据相似三角形的判定与性质即可得．
【解析】（1）如图，连接
∵是的直径
∴，即
∵

∴
由圆周角定理得：
又∵

∴
∴，即
∴是的切线；

（2）∵

∵
∴
∴，即
解得或（不符题意，舍去）
故CH的长为．
【点评】本题考查了圆周角定理、圆的切线的判定、相似三角形的判定与性质等知识点，较难的是题（1），通过作辅助线，利用到圆周角定理是解题关键．
7．（1）见解析；（2）
【分析】（1）连接OE．根据OB＝OE得到∠OBE＝∠OEB，然后再根据BE是△ABC的角平分线得到∠OEB＝∠EBC，从而判定OE∥BC，最后根据∠C＝90°得到∠AEO＝∠C＝90°证得结论AC是⊙O的切线．
（2）连接OF，利用S阴影部分＝S梯形OECF﹣S扇形EOF求解即可．
【解析】解：（1）连接OE．
∵OB＝OE
∴∠OBE＝∠OEB
∵BE是∠ABC的角平分线
∴∠OBE＝∠EBC
∴∠OEB＝∠EBC
∴OE∥BC
∵∠C＝90°
∴∠AEO＝∠C＝90°
∴AC是⊙O的切线；
（2）连接OF．
∵∠A＝30°，⊙O的半径为4，
∴AO＝2OE＝8，
∴AE＝4 ，∠AOE＝60°，
∴AB＝12，
∴BC＝AB＝6，AC＝6，
∴CE＝AC﹣AE＝2．
∵OB＝OF，∠ABC＝60°，
∴△OBF是正三角形．
∴∠FOB＝60°，CF＝6﹣4＝2，
∴∠EOF＝60°．
∴S梯形OECF＝＝6．
S扇形EOF＝ ＝，
∴S阴影部分＝S梯形OECF﹣S扇形EOF＝

【点评】本题考查了切线的判定与性质及扇形面积的计算，解题的关键是连接圆心和切点，利用过切点且垂直于过切点的半径来判定切线．
8．（1）见解析（2）．
【分析】（1）连接，根据为直径，，再根据，得，根据是的切线，，根据同旁内角互补可证；
（2）根据，为直径，可得，，根据，，可得，再根据等腰直角三角形得性质可得．
【解析】（1）证明：如图，连接，
为直径，
．
，
．
是的切线，
，

．

（2）解：，
．
为直径，
．
在中，，
，
，
．
【点评】本题考查平行的证明，切线的性质定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
9．(1)证明见解析；(2)．
【分析】（1）过B作BF⊥AD于点F，由等腰三角形的性质得F是AD的中点，再由切线的性质得AC⊥AD，进而得BF是△ADE的中位线便可得结论；
（2）过O作OM⊥AB于点M，过B作BN⊥AC于点N，根据垂径定理求得AM，再解直角三角形求得cos∠OAM，进而在Rt△ABN中求得AN，便可求得结果．
【解析】解：（1）过B作BF⊥AD于点F，如图1，

∵AB＝BD，
∴AF＝DF，
∵AD是⊙O的切线，
∴AC⊥AD，
∴AC∥BF，
∵AF＝DF，
∴BD＝DE，
∴AB＝BE；
（2）过O作OM⊥AB于点M，过B作BN⊥AC于点N，如图2，

∵AB＝6，AB＝BE，
∴AM＝BM＝＝3，AE＝2AN，
∵OA＝5，
∴cos∠OAM＝，
∴cos∠BAN＝，
∴AN＝，
∴AE＝2AN＝．
【点评】本题主要考查了圆的基本性质，切线的性质，等腰三角形的性质，三角形的中位线定理，解直角三角形，第（2）关键是构造直角三角形，利用解直角三角形的知识解决问题．
10．（1）矩形；（2）k＝1，
【分析】（1）依据“有三个角是直角的四边形是矩形”进行证明即可得到结论；
（2）先假设四边形AOCE为平行四边形，可证明四边形AOCE是菱形得AO=EC，再证明Rt△AOF≌Rt△ECD得DE=AF，从而可证DE=EF，进而可得结论；解Rt△EDC得，根据矩形OCDF的面积是可求得，从而可得结论.
【解析】（1）∵CD是的切线，
∴OC⊥CD，∠OCD=90°，
∵
∴F为AE的中点，∠OFE=90°,
∵
∴∠OFE+∠COF=90°，
∠COF=90°
∴四边形是矩形.
故答案为：矩形
（2）假设四边形AOCE为平行四边形，
连接EC、EO， 如图，

∵OA=OC，
四边形AOCE是菱形，
∵OE=OA，OF⊥AE，
∴AF=EF，
在Rt△AOF和Rt△ECD中，

∴Rt△AOF≌Rt△ECD，
∴DE=AF，
∴DE=EF，
∴，
即k=1时，四边形AOCE为平行四边形；
故答案为：1；
若四边形AOCE是菱形，则
由于四边形OCDF是矩形，
所以在Rt△EDC中，
∴由于矩形OCDF的面积是

所以所以
【点评】本题考查了圆综合题，全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质、菱形的判定与性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
11．（1）证明见解析，（2）CD＝．
【分析】（1）如图1（见解析），连接OC，先根据圆的切线的性质得出，从而可得，再根据直角三角形的性质可得，然后根据等腰三角形的性质可得，从而可得，最后根据等腰三角形的性质即可得证；
（2）如图2（见解析），连接OC、BC，先根据圆周角定理得出，再根据相似三角形的判定与性质可得，从而可求出，然后在中利用勾股定理可求出，最后根据角的和差、等腰三角形的性质可得，结合题（1）的结论可得，由此即可得．
【解析】（1）如图1，连接OC
∵CD是半圆O的切线
∴OC⊥CD，即
∴
∵PB⊥AB
∴
∴

又

∴
∴；

（2）如图2，连接OC、BC
∵AB是半圆O的直径
∴，
∴
又∵
∴
∴，即
∵
∴
解得或（不符题意，舍去）
∴
在中，
由（1）得
即
∵
∴
∴
∴
由（1）知
∴．

【点评】本题考查圆的切线的性质、圆周角定理、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质等知识点，较难的是题（2），通过作辅助线，构造相似三角形是解题关键．
12．（1）OP＝；（2）AP＝2．
【分析】（1）当OP⊥AB时，由垂径定理可知OD=DP，根据等面积可求出斜边上的高OD的长，进而可求出PO的长；
（2）连接CP，由圆周角定理可知∠ACP=60°，进而可证明△ACP为等边三角形，则AP=AC，即求出圆的半径即可．
【解析】（1）∵A，B两点的坐标分别为（2，0），（0，10），
∴AO＝2，OB＝10，
∵AO⊥BO，
∴AB＝＝4，
∵OP⊥AB，
∴＝，CD＝DP，
∴CD＝，
∴OP＝2CD＝；
（2）连接CP，如图所示：

∵∠AOP＝30°，
∴∠ACP＝60°，
∵CP＝CA，
∴△ACP为等边三角形，
∴AP＝AC＝AB＝2．
【点评】考查了三角形的外接圆与外心的性质、圆周角定理的运用、勾股定理的运用以及等边三角形的判定和性质，解题关键是熟记和圆有关的各种性质定理．
13．（1）见解析；（2）
【分析】（1）连接BD，圆心角、弧、弦间的关系得到∠BFD＝∠CDB；根据邻补角的定义和园内接四边形对角互补的性质推知∠EFC＝∠CDB，则∠EFC＝∠BFD；
（2）如图，连OF，OC，BC，由于∠EFC所在的三角形不是直角三角形，欲求求正切值，需要将其转化为求∠BCG的正切值，据此推知相关线段的长度即可．
【解析】（1）证明：如图，连接BD，
∵AB⊥CD 且AB为直径，
∴弧CB=弧BD．
∴∠BFD＝∠CDB．
又∵∠EFC+∠CFB＝180°，
而∠CFB+∠CDB＝180°，
∴∠EFC＝∠CDB，
∴∠EFC＝∠BFD；

（2）解：如图，连OF，OC，BC，
∵弧CB=弧BD，
∴∠DCB＝∠CDB，
∵∠EFC＝∠CDB，
∴∠EFC＝∠BFD＝∠BCG，
又F为半圆AB的中点，
∴∠FOB＝∠FOA＝90°，
∴OF//CD，
∴OG：OB＝EF：FB＝2：3．
设OG＝2x，则OB＝OC＝3x，则CG＝x，
∴tan∠EFC＝tan∠BCG＝＝．
【点评】本题考查了圆周角定理，垂径定理，平行线分线段成比例定理，解直角三角形以及圆心角、弧、弦的关系等知识点，解题的关键是正确作出辅助线，运用好圆的有关基础知识．
14．（1）见解析；（2）⊙O的半径为3
【分析】（1）连接OM，利用角平分线的性质和平行线的性质得到AE⊥OM，后即可证得AE是⊙O的切线；
（2）设⊙O的半径为r，根据OM∥BE，得到△OMA∽△BEA，利用平行线的性质得到
，即可解得 , ⊙O的半径为3．
【解析】解：（1）证明：连接.
∵，平分，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴是⊙O的切线；

（2）设⊙O的半径为，    
∵，∴，
∵，∴，
∴，即，
解得，
∴⊙O的半径为3．
【点评】本题属于圆的综合题，考查了切线的证明，相似三角形的判定与性质等，属于中考热点题型，证明切线的思路：连接圆心和准切点，证明半径垂直准切线，准切点在圆上即可．
15．（1）证明见解析；（2）．
【分析】（1）连结OD，由切线的性质及∠C=90°可得OD∥AC，进而得∠CAD=∠ODA，再由OA=OD得∠OAD=∠ODA，等量代换即可得证；
（2）先由∠CAD=25°求得∠EOF=100°，再利用弧长公式计算即可．
【解析】（1）如图，连结OD．
∵⊙O与边BC相切于点D，
∴OD⊥BC，
∴∠ODB=90°．
∵∠C=90°，
∴∠C=∠ODB=90°，
∴OD∥AC，
∴∠CAD=∠ODA．
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∴∠OAD=∠CAD．
∴AD平分∠BAC．
（2）如图，连结OF．
∵AD平分∠BAC，且∠CAD=25°，
∴，
∴∠EOF=100°，
∴的长为．

【点评】本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，弧长公式等知识，熟练掌握切线的性质是解题的关键．
16．（1）证明见解析；（2）CG=6
【分析】（1）首先解直角三角形ABC，求出BC=6，AB=8，再证明∠CGB=∠CBG，从而可得GC=BC；
（2）由BC=6根据（1）的结论可得到CG=6．
【解析】在中，，，，
，
由勾股定理得，，











（2），
∴
【点评】此题主要考查了解直角三角形以及垂径定理的应用，证明是解此题的关键．
17．（1）见解析；（2）
【分析】（1）根据圆周角定理即以及等腰三角形的判定即可求出答案．
（2）连接AO并延长交BC于点G，连接BD，根据切线的性质以及锐角三角函数的定义即可求出答案．
【解析】（1）由圆周角定理可知：∠ADC=∠B，∠DAB=∠DCB，
∵∠ADC=∠DAB+∠ACD，
∴∠ADC=∠DCB+∠ACD，
∴∠B=∠ACB，
∴AB=AC．
（2）连接AO并延长交BC于点G，连接BD，

∵DF为切线，
∴∠CDF=90°，
∴∠ADF=∠ACD，
∵DE=2，CE=10，
∴CD=12，
∴OD=OA=6，
∴OE=OD﹣DE=4，
∵CD是⊙O的直径，
∴∠DAC=∠DBC=90°，
∴BD∥AG，
∴△BDE∽△AOE，
∴，
∴BD=3，
∵OG是△BCD的中位线，
∴OG=，
在Rt△OCG中，
由勾股定理可知：CG=，
在Rt△AGC中，
由勾股定理可知：AC=3，
∴cos∠ADF=cos∠ACD=．
【点评】本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定．
18．（1）见解析；（2）的半径是6，的长是．
【分析】(1)利用切线的性质证得OD=OC，证得BO为的平分线，利用等角的余角相等结合对顶角相等即可证得结论；
(2)利用正切函数求得AB=20，设的半径为R，在中，利用切线长定理求得AD=8，AO=16-R，根据勾股定理求得R的值，在中，求得，利用正弦函数即可求解．
【解析】(1)如图，连接，

∵与相切于点，
∴，
∵，
∴，
∴BC是的切线，
又，
∴为的平分线，
∴，
∵于点，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴；
(2)∵，，
∴AC=16，
∵，即，
∴AB=20，
由(1)得，BD、BC都是切线，
∴BD=BC=12，
∴AD=AB-BD=20-12=8，
设的半径为R，
在中，OD=R，AO=16-R，AD=8，
∵，即，
∴R=6，
在中，BC=12，OC=6，
∵，即，
∴，
∵，
∴，即，
∴．
【点评】本题主要考查切线的判定与性质，勾股定理的应用，锐角三角函数的知识，解题的关键是掌握切线的判定、切线长定理以及解直角三角形的应用．