2023年中考数学高频考点突破-圆的综合题

这是一份2023年中考数学高频考点突破-圆的综合题，共28页。试卷主要包含了复习方法，复习难点等内容，欢迎下载使用。

一、复习方法
1.以专题复习为主。 2.重视方法思维的训练。
3.拓宽思维的广度，培养多角度、多维度思考问题的习惯。
二、复习难点
1.专题的选择要准，安排时间要合理。 2.专项复习要以题带知识。
3.在复习的过程中要兼顾基础，在此基础上适当增加变式和难度，提高能力。
2023年中考数学高频考点突破-圆的综合题
1．数学课上，王老师画好图后并出示如下内容：“已知：AB为⊙O的直径，⊙O过AC的中点D，DE为⊙O的切线。”
（1）王老师要求同学们根据已知条件，在不添加线段与标注字母的前提下，写出三个正确的结论，并选择其中一个加以证明。
（2）王老师说：如果添加条件“DE=1，tanC=12 “则能求出⊙O的直径，请你写出求解过程。
2．如图，已知以BC为斜边的Rt△ABC内接于☉O，∠BAC的平分线交☉O于点D，过点D作DE∥BC交AB的延长线于点E，连接DB，DC．
（1）求证：ED为☉O的切线；
（2）求证：BC2=2ED⋅FC；
（3）若tan∠ABC=2，AD=322，求BC的长．
3．如图，⊙O是等边△ABC的外接圆，M是BC延长线上一点，连接AM交⊙O于点D，延长BD至点N，使得BN=AM，连接CN，MN．
（1）判断△CMN的形状，并证明你的结论；
（2）求证：CN是⊙O的切线；
（3）若等边△ABC的边长是2，求AD•AM的值．
4．如图所示，AB是⊙O的直径，AE是弦，C是劣弧AE的中点，过C作CD⊥AB于点D，CD交AE于点F，过C作CG∥AE交BA的延长线于点G．
（1）求证：CG是⊙O的切线．
（2）求证：AF=CF．
（3）若∠EAB=30°，CF=2，求GA的长．
5．如图①，在⊙O中，弦CD垂直直径AB于点E.已知AC＝4，DB＝2.
（1）求直径AB的长.
（2）小慧说“若将题目条件中的‘直径AB’改为‘弦AB’，其余条件均不变（如图②），⊙O的直径仍不变”，你觉得小慧的说法正确吗？请说明理由.
6．已知⊙O经过四边形ABCD的B、D两点，并与四条边分别交于点E、F、G、H，且 EF=GH ．
（1）如图①，连接BD，若BD是⊙O的直径，求证：∠A＝∠C；
（2）如图②，若 EF 的度数为θ，∠A＝α，∠C＝β，请直接写出θ、α和β之间的数量关系．
7．如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠C＝90°，以AD为直径的⊙O与BC相切于点E，交CD于点F，连接DE.
（1）证明：DE平分∠ADC；
（2）已知AD＝4，设CD的长为x（2＜x＜4）.
①当x＝2.5时，求弦DE的长度；
②当x为何值时，DF•FC的值最大？最大值是多少？
8．如图，AB是⊙O的直径，弦DE垂直平分半径OB，垂足为M，DE=4，连接AD，过E作AD平行线交AB延长线于点C.
（1）求⊙O的半径；
（2）求证：CE是⊙O的切线；
（3）若弦DF与直径AB交于点N，当∠DNB=30°时，求图中阴影部分的面积.
9．已知：如图，AB是⊙O的直径，AC为弦，P为AC延长线上一点，且AC＝PC，PB的延长线交⊙O于D．求证：AC＝DC．
10．已知CD为Rt△ABC斜边AB上的高，以CD为直径的圆交BC于E点，交AC于F点，G为BD的中点。
（1）求证：GE为⊙O的切线；
（2）若tanB=21，GE=5，求AD的长。
11．如图，四边形ABCD中，∠B＝∠D，AB＝CD，AB与DC不平行，过点A作 AE∥DC ，交△ABC的外接圆⊙O于点E，连接CE、OA．
（1）求证：四边形ADCE为平行四边形；
（2）求证：AO平分∠BAE．
12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8cm，BC=6cm，点M是边AB的中点，连结CM，点P从点C出发，以1cm/s的速度沿CB运动到点B停止，以PC为边作正方形PCDE，点D落在线段AC上．设点P的运动时间为t（s）．
（1）当t= 时，点E落在△MBC的边上；
（2）以E为圆心，1cm为半径作圆E，则当t= 时，圆E与直线AB或直线CM相切．
13．在圆O中，点A，B，C均在⊙O上，请仅用无刻度直尺按要求画图：
（1）在图1中，以点C为顶点作一锐角，使该锐角与∠CAB互余；
（2）在图2中，弦AD∥BC且AD≠BC，过点A作一直线将△ABC的面积平分．
14．如图1，点C是半圆O的直径AB上一动点（不包括端点），AB=6cm ，过点C作 CD⊥AB 交半圆于点D，连结AD，过点C作 CE//AD 交半圆于点E，连结EB.牛牛想探究在点C运动过程中EC与EB的大小关系.他根据学习函数的经验，记 AC=xcm ， EC=y1cm ， EB=y2cm .请你一起参与探究函数 y1 、 y2 随自变量x变化的规律.
通过几何画板取点、画图、测量，得出如下几组对应值，并在图2中描出了以各对对应值为坐标的点，画出了不完整图象.
（1）当 x=3 时， y1 ＝ .
（2）在图2中画出函数 y2 的图象，并结合图象判断函数值 y1 与 y2 的大小关系.
（3）由（2）知“AC取某值时，有 EC=EB ”.如图3，牛牛连结了OE，尝试通过计算EC，EB的长来验证这一结论，请你完成计算过程.
15．如图，⊙O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交于点E、F．
（1）若∠E＝∠F时，求证：∠ADC＝∠ABC；
（2）若∠E＝∠F＝42°时，求∠A的度数；
（3）若∠E＝α，∠F＝β，且α≠β请你用含有α、β的代数式表示∠A的大小．
16．如图，AB是⊙O的直径，C为圆周上的一点，过点C的直线MN满足∠MCA＝∠CBA.
（1）求证：直线MN是⊙O的切线；
（2）过点A作AD⊥MN于点D，交⊙O于点E，已知AB＝6，BC＝3，求阴影部分的面积.
答案解析部分
1．【答案】（1）正确的结论可以是：
①∠A=∠C； ②AB=CB； ③△ABC是等腰三角形； ④DE⊥BC； ⑤DC²=CE·CB等
选择结论“DE上BC”进行证明。
证明：连结BD
∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°，
又∵D为AC的中点，∴△ABD≌△CBD(SAS)
∴△ABC是等腰三角形。
∴∠A=∠C
∵DE切⊙O于点D，∴∠A=∠BDE，
∴∠BDE=∠C
而∠BDE+∠ED C=90°，∴∠EDC+∠C=90°，
∴∠DEC=90°，即DE⊥BC。
（2）由(1) 知，在Rt△DEC中，
∵DE=1，tanC= 12 ，∴EC=2，
由勾股定理得：DC= DE2+EC2=5
∴AD=DC= 5
∵tanA=tanC= 12 ，
∴tanA= BDAD=BD5=12 ，
∴BD= 52
∴AB= BD2+AD2=(52)2+(5)2=52
∴⊙O的直径为 52
【知识点】圆的综合题
【解析】【分析】（1）根据已知条件，结合图形，写出正确的结论；连结BD，利用圆周角定理可得到∠ADB=90°，再利用SAS证明△ABD≌△CBD，利用全等三角形的性质可推出△ABC是等腰三角形，就可得到∠A=∠C；然后证明∠DEC=90°，就可证得结论。
（2） 在Rt△DEC中，利用解直角三角形求出EC的长，利用勾股定理求出DC的长，从而可求出AD的长；再利用解直角三角形求出BD的长，然后利用勾股定理求出AB的长。
2．【答案】（1）证明：如图①，连接OD．
∵BC为⊙O的直径，
∴∠BAC=90°．
∵AD平分∠BAC，
∴BD=CD．
∴OD⊥BC．
∵DE∥BC，
∴OD⊥ED．
∴ED为⊙O的切线．
（2）证明：由（1）可得△BCD为等腰直角三角形．
∵DE∥BC，
∴∠E=∠ABC=∠ADC，∠BDE=∠DBC=∠DCB=45°．
∴△BED∽△FDC．
∴BDDE=FCCD
即BD2=DE⋅FC．
又BC=2BD，
∴BC2=2ED⋅FC．
（3）解：如图②，过点D作DG⊥AD交AC的延长线于点G．
∴∠CDG+∠ADC=90°，∠DGC=∠DAG=45°．
又∠ADB+∠ADC=90°，
∴∠ADB=∠GDC
∵DB=DC，∠BAD=∠DGC=45°，
∴△ABD≌△GCD．
∴AB=CG，AD=DG．
∴△ADG为等腰直角三角形，
∴AB+AC=AG=2AD=3．
∵tan∠ABC=2，
∴设AB=x，则AC=2x．
∴3x=3，x=1．
即AB=1，AC=2．
∴BC=5．
【知识点】切线的判定；圆的综合题
【解析】【分析】（1）先证明OD⊥BC，再结合DE∥BC可得OD⊥ED，即可得到ED为⊙O的切线；
（2）先证明△BED∽△FDC可得BDDE=FCCD，即BD2=DE⋅FC，再结合BC=2BD，即可得到BC2=2ED⋅FC；
（3）过点D作DG⊥AD交AC的延长线于点G，先证明△ADG为等腰直角三角形，可得AB+AC=AG=2AD=3，再结合tan∠ABC=2，设AB=x，则AC=2x，列出方程3x=3，求出x的值，即可得到BC=5。
3．【答案】（1）解：△CMN为等边三角形．理由如下：
∵△ABC为等边三角形，
∴CB=CA，∠ABC=∠ACB=60°，
在△BCN和△ACM中
BC=AC∠CBN=∠CAMBN=AM ，
∴△BCN≌△ACM，
∴CN=CM，∠BCN=∠ACM，
∴∠ACB+∠ACN=∠ACN+∠MCN，
∴∠MCN=∠ACB=60°，
∴△CMN为等边三角形
（2）证明：连接OC，如图，
∵CA=CB，
∴CA = CB ，
∴OC⊥AB，
∵∠ABC=∠MCN=60°，
∴AB∥CN，
∴OC⊥CN，
∴CN是⊙O的切线
（3）解：连接CD，如图，
∵∠ADC+∠ABC=180°，∠ACM+∠ACB=180°，
而∠ABC=∠ACB=60°，
∴∠ADC=∠ACM，
而∠DAC=∠CAM，
∴△ACD∽△AMC，
∴AC：AD=AM：AC，
∴AD•AM=AC2，
∵等边△ABC的边长是2，
∴AC=2，
∴AD•DM=4．
【知识点】圆的综合题
【解析】【分析】（1）利用等边三角形的性质得到CB=CA，∠ABC=∠ACB=60°，再证明△BCN≌△ACM得到CN=CM，∠BCN=∠ACM，则∠MCN=∠ACB=60°，于是可判断△CMN为等边三角形；（2）连接OC，如图，利用CA=CB得到 CA = CB ，则根据垂径定理的推论得到OC⊥AB，再证明AB∥CN，则OC⊥CN，然后根据切线的判定方法可判断CN是⊙O的切线；（3）连接CD，如图，证明△ACD∽△AMC，利用相似比得到AD•AM=AC2，然后利用等边△ABC的边长是2可得到AD•DM的值．
4．【答案】（1） 证明：连结OC，如图，
∵C是劣弧AE的中点，
∴OC⊥AE，
∵CG∥AE，
∴CG⊥OC，
∵OC是半径
∴CG是⊙O的切线；
（2）证明：连结AC、BC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90∘，∴∠2+∠BCD=90∘，∵CD⊥AB，∴∠B+∠BCD=90∘，∴∠B=∠2，∵C是劣弧AE的中点，∴AC⏜=CE⏜，∴∠1=∠B，∴∠1=∠2，∴AF=CF；
（3） 在Rt△ADF中，∠DAF=30°，FA=FC=2，
∴DF=12AF=1，
∴AD=AF2−DF2=22−12=3，
∵AF∥CG，
∴DA：AG=DF：CF，即3：AG=1：2，
∴AG=23.
【知识点】圆的综合题
【解析】【分析】（1）连结OC，由C是劣弧AE的中点，根据垂径定理可证得OC⊥AE，再由CG∥AE，易证CG⊥OC，然后根据切线的判定定理即可得到结论。
（2）连结AC、BC，根据圆周角定理及垂直饿定义可证得∠ACB=90°，∠CDB=90°，再根据等角的余角相等可得到∠B=∠2，由C是劣弧AE的中点，利用等弧所对的圆周角相等，可证得∠1=∠B，从而可证得∠1=∠2，然后根据等角对等边可证得结论。
（3）在Rt△ADF中，根据含30度的直角三角形三边的关系求出DF的长，再利用勾股定理求出AD，再由AF∥CG，根据平行线分线段成比例得到DA：AG=DF：CF，然后代入就可求出AG的长。
5．【答案】（1）解：连接AD，如图所示：
∵AB为直径，
∴∠ADB＝90°，
∵弦CD垂直直径AB于点E，
∴由垂径定理可知：AD＝AC＝4，
在Rt△ADB中，AB＝ AD2+DB2=42+22=25
（2）解：小慧的说法不正确，理由如下：因为若将题目条件中的“直径AB“改为“弦AB”，则不具备垂径定理条件，无法求出⊙O直径，所以小慧说法不正确
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆周角定理；圆的综合题
【解析】【分析】（1）连接AD，根据圆周角定理可得∠ADB=90°，由垂径定理可得AD=AC=4，然后在 Rt△ADB中 ，应用勾股定理求解即可；
（2）根据垂径定理的条件判断即可.
6．【答案】（1）解：连接DF、DG
∵BD是⊙O的直径
∴∠DFB＝∠DGB =90°，
∵EF=GH
∴∠EDF＝∠HDG，
∵∠DFB＝∠EDF+∠A
∠DGB＝∠HDG+∠C，
∴∠A＝∠C
（2）解：连接DF，BH
∵EF=GH
∴∠ADF=∠HBG= 12 θ
又∵∠DFB=∠A+∠ADF，∠DHB=∠C+∠HBG
∴∠DFB+∠DHB=∠A+∠ADF+∠C+∠HBG
根据圆内接四边形对角互补，可得
∴α+β+θ =180°
【知识点】圆的综合题
【解析】【分析】 (1) 根据圆周角定理及同弧所对的圆周角相等，得到 ∠EDF＝∠HDG ，然后利用外角的性质即可求证；
(2) 利用外角性质及圆内接四边形对角互补即可得证。
7．【答案】（1）证明：如图，连接OE，
∵BC是⊙O的切线，
∴OE⊥BC，
∵AB∥CD，∠C＝90°，
∴∠B＝90°，
∴AB⊥BC，CD⊥BC，
∴AB∥OE∥CD，
∴∠OED＝∠CDE，
∵OD＝OE，
∴∠OED＝∠ODE，
∴∠ODE＝∠CDE，
∴ED平分∠ADC；
（2）解：①连接AF交OE于H，
∵AB∥OE∥CD，AO＝OD，
∴BE＝EC，
∴OE＝ 12 （AB+CD），
∵OE＝2，CD＝2.5，
∴AB＝1.5，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠AFD＝90°，
∵∠B＝∠C＝9°，
∴四边形ABCF是矩形，
∴AF∥BC，
∵OE⊥BC，
∴OE⊥AF，
∴AH＝FH，AB＝CF＝HE＝1.5，
∴OH＝OE﹣EH＝0.5，
∴AH＝ AO2−OH2 = 22−(0.5)2 = 152 ，
∴AH＝FH＝CE＝ 152 ，
∴DE＝ CD2+EC2 ＝ (52)2+(152)2 ＝ 10 ；
②设AB＝CF＝m，
∵OE＝ 12 （AB+CD），
∴x+m＝4，
∴m＝4﹣x，
∴DF•CF＝（（4﹣x）（2x﹣4）＝﹣2x2+12x﹣16＝﹣2（x﹣3）2+2，
∵﹣2＜0，
∴x＝3时，DF•CF的值最大，最大值为2.
【知识点】圆的综合题
【解析】【分析】（1）连接OE，根据已知可推出AB∥OE∥CD，可得∠OED＝∠CDE，再根据OD＝OE，可得∠OED＝∠ODE，即可证明；
（2）①连接AF交OE于H，由现有条件可推出AB＝1.5，然后可证四边形ABCF是矩形，可得AH＝FH，AB＝CF＝HE＝1.5，OH＝OE﹣EH＝0.5，可得AH＝ AO2−OH2 = 22−(0.5)2 = 152 ，根据勾股定理即可得出答案；②设AB＝CF＝m，根据OE＝ 12 （AB+CD），可得x+m＝4，即可得DF•CF的函数表达式，根据函数的性质即可得出答案.
8．【答案】（1）解：连接OE.
∵DE垂直平分半径OB，
∴OM= 12 OB
∵OB=OE，
∴OM= 12 OE，ME= 12 DE=2，
∴∠OEM=30°，
∴OE= EMcs30° = 433
（2）证明：由（1）知：∠BOE=60°，弧BE，
∴∠A= 12 ∠BOE=30°，
∴∠ADE=60°
∵AD∥CE，
∴∠CED=∠ADE=60°，
∴∠CEO=∠CED+∠OEM=60°+30°=90°，
∴OE⊥EC，
∴EC是⊙O的切线
（3）解：连接OF.
∵∠DNB=30°，
∵∠DMA=90°，
∴∠MDN=60°，
∴∠EOF=2∠EDF=120°，
∴S阴影=S扇形EOF-S△EOF= 120·π×（433）2360 - 433 = 16π9−433 .
【知识点】圆的综合题
【解析】【分析】（1）连接OE，根据垂径定理可得OM= 12 OB，ME= 12 DE=2，利用直角三角形的性质可得∠OEM=30°，由cs∠OEM=cs30°=EMOE，即可求出OE的长.
（2）利用（1）条件可得∠BOE=60°，根据垂径定理及圆周角定理可得出∠A=30°，即得∠ADE=60°，根据平行线的性质可得∠CED=∠ADE=60°，从而求出∠CEO=90°，根据切线的判定可证EC是⊙O的切线.
（3）连接OF，根据在等圆或同圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角的一半，可得∠EOF的度数，由S阴影=S扇形EOF-S△EOF，利用扇形的面积公式及三角形的面积公式计算即可.
9．【答案】解：连接BC，
∵AB是直径，
∴BC⊥AC，
∵AC＝CP，
∴AB＝BP，
∴∠P＝∠A，
∵∠A＝∠D，
∴∠P＝∠BDC，
∴CP＝DC，
∵AC＝PC，
∴AC＝DC．
【知识点】圆的综合题
【解析】【分析】 连接BC， 利用直径所对的圆周角为直角，可得出 BC⊥AC ，结合条件得出 ∠P＝∠A ，由同弧所对的圆周角相等可得 ∠A＝∠D 进而 ∠P＝∠BDC，根据等角对等边可得结论。
10．【答案】（1）证明：连DE、OE，
∵CD为OO的直径，
∴∠CED=∠BED=90°，
∵G为BD的中点，
∴GE=GD，
∴∠GED=∠GDE，
∵OE=OD，
∴∠OED=∠ODE，
∴∠GEO=∠GDO，
∴CD⊥AB，
∴∠GEO=∠GDO=90°，
∴GE为⊙O的切线；
（2）解：∵CD⊥AB，
∴∠ACD=90°-∠A，
∵∠BCA=90°，
∴∠B=90°-∠A，
∴∠B=∠ACD，
∵tanB= 12=CDBD =tan∠DCA= ADCD=12
∴BD=4AD，
∵EG=5，
∴BD=10，AD= 52
【知识点】圆的综合题
【解析】【分析】（1） 连DE、OE ，先利用圆周角定理证出 ∠CED=∠BED=90° ，利用直角三角形斜边上的中线的性质证出GE=GD，进而证出∠GED=∠GDE；再利用圆的半径相等证出∠OED=∠ODE，从而可得∠GEO=∠GDO=90°，从而得证；
（2）先证出∠B=∠ACD，从而得tan∠DCA=tanB，进而得BD=4AD，然后利用直角三角形斜边上的中线的性质求出BD，即可求出结论。
11．【答案】（1）证明：由圆周角定理得，∠B=∠E，又∠B=∠D，
∴∠E=∠D，
∵AE∥DC ，
∴∠D+∠DAE=180°，
∴∠E+∠DAE=180°，
∴AD∥CE ，
∴四边形AECD为平行四边形；
（2）作OM⊥BA于M，ON⊥AE于N，
∵四边形AECD为平行四边形，
∴AE=CD，
又AB=DC，
∴AE=AB，
又OM⊥BA，ON⊥AE，
∴AN=AM，
而 ON2=OA2−AN2，OM2=OA2−AM2，
∴OM=ON，
∴AO平分∠BAE．
【知识点】平行四边形的判定；圆的综合题
【解析】【分析】（1）根据平行线的性质得出 ∠E+∠DAE=180°， 等量代换得出 ∠D+∠DAE=180°， 根据平行线的判定定理得出 AE∥DC ， 由平行四边形的判定定理得出 四边形AECD为平行四边形；
（2） 作OM⊥BA于M，ON⊥AE于N， 根据平行四边形的性质得出 AE=CD， 求得 AE=AB， 根据垂径定理得出 AN=AM，即可得出结论。
12．【答案】（1）247
（2）197 ； 297 ；5
【知识点】圆的综合题
【解析】【解答】解：（1）如图1，∵四边形PCDE是正方形，
∴DP∥AC，
∴EPAC = BPBC ，
即 t8 = CE2−BC2 ，
解得t= 247 ；（2）如图2，当点E在△ABC的内部时，圆E与直线AB相切，EF⊥
AB，且EF=1时，
连接AE、BE、CE，
∵∠ACB=90°，AC=8，BC=6，
∴AB=10，
12 ×AB×EF+ 12×AC×DE + 12 ×BC×EP= 12 ×AC×BC，
12 ×10×1+ 12 ×8×t+ 12 ×6×t= 12 ×8×6，
解得t= 197 ；
如图3，当点E在△ABC的外部时，圆E与直线AB相切，EG⊥AB，且EG=1时，
∵∠EGH=∠BPH，∠EHG=∠BHP，
∴∠GEH=∠PBH，
∴cs∠GEH=cs∠ABC= BCAB = 35 ，又EG=1，
∴EH= 53 ，
∵HPAC = BPBC ，∴HP= 24−4t3 ，
则 53 + 24−4t3 =t，
解得t= 297 ；
如图4，当圆E与直线CM相切时，EN=1，
作MR∥BC，则MR= 12 BC=3，CR= 12 AC=4，
∵点M是边AB的中点，
∴CM= 12 AB=5，
tan∠ACM= MRRC = 34 ，
∴QRCD = 34 ，CD=t，
则QD= 34 t，EQ= 14 t，
∵∠NEQ=∠ACM，
∴ENEQ = 114t = 45 ，
解得t=5．
【分析】（1）根据DP∥AC得到成比例线段，代入计算即可；（2）分点E在△ABC的内部、点E在△ABC的外部与AB相切和圆与CM相切三种情况进行分析，运用三角形的面积和锐角三角函数的概念进行解答即可．
13．【答案】（1）解：如图1，∠BCE为所作；
理由：∵CB=CB
∴∠CAB=∠BEC，
∵CE是直径，
∴∠BEC+∠BCE=90°，
∴∠BCE+∠CAB=90°，
∴∠BCE与∠CAB互余；
（2）解：如图2，直线AF为所作．
理由：∵AD∥BC，
∴∠C=∠DCB，
∵AC=AC，
∴∠B=∠D，
∴∠DCB=∠B，
∴JF垂直平分BC，
则AF是△ABC的中线，
∴AF将△ABC的面积平分．
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆的综合题
【解析】【分析】（1）根据CB⌢=CB⌢，可得∠CAB=∠BEC，再结合∠BEC+∠BCE=90°，可得∠BCE+∠CAB=90°，从而可得 ∠BCE与∠CAB互余；
（2）根据要求作出图形即可。
14．【答案】（1）3
（2）解：函数y2的图象如图2所示，过两图象的交点M作x轴的垂线，垂足为N，则垂足N表示的数 x≈2 .
∴从图象可以看出：
当 x≈2 时， y1=y2 ；
当0当x>2时， y1>y2
（3）解：如图3，连结OD，过点E作 EH⊥AB 于点H.
由（2）的初步判断，当 x≈2 时， y1=y2 ，即EC=EB.
不妨取AC=x=2，此时， OC=1 ， OD=3 .
∵DC⊥AB ，
∴在 Rt△ODC 中，
CD=OD2−OC2=32−12=22 .
设 OH=m ，则 CH=1+m ， EH=OE2−OH2=32−m2=9−m2 .
∵AD∥CE，
∴∠DAC=∠ECO.
又 ∵∠DCA=∠EHC=90° ，
∴△DAC∽△ECH .
∴DCAC=EHCH .
∴222=9−m21+m .
∴9−m2=2(1+m) .
两边平方并整理得， 3m2+4m−7=0 .
解得， m1=1 ，m2=−73 （不合题意，舍去）.
∴OH=m=1.
∴HC=OH+OC=1+1=2， EH=9−m2=9−12=22 .
∴EC=CH2+EH2=22+(22)2=12=23 .
又∵HB=OB-OH=3-1=2，
∴EB=BH2+EH2=22+(22)2=12=23 .
∴EC=EB.
∴通过以上计算可知，当取AC=2时，（2）中的结论EC=EB成立.
【知识点】圆的综合题；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：（1）当x=3时，动点C与圆心O重合，此时，y1=OE=3.
故答案为：3
【分析】（1）当x=3时，动点C与圆心O重合，即可求出OE（y1）的值.
（2）过点M作MN⊥x轴于点N，可得到点M的横坐标约等于2，分情况讨论：当 x≈2 时;当02时， 利用函数图象，可得到y1与y2的大小关系.
（3）连结OD，过点E作 EH⊥AB 于点H，利用（2）的判断可知EC=BE，取AC=x=2，此时，可求出OC，OD的长；利用勾股定理求出CD的长，设OH=m，可表示出CH的长，利用勾股定理表示出EH的长；再证明△DAC∽△ECH，利用相似三角形的性质可建立关于m的方程，解方程求出符合题意的m的值；由此可求出HC，EH的长；然后利用勾股定理求出EC的长及EB的长，由此可证得结论.
15．【答案】（1）解：在△CDE与△CBF中，
∵∠E=∠F，∠ECD=∠FCB，
∴∠CDE=∠CBF，
∴180°-∠CDE=180°-∠CBF，
即∠ADC=∠ABC，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠ADC+∠ABC=180°，
∴∠ADC=∠ABC=90°；
（2）解：∵∠E=∠F=42°，由（1）可知∠ABC=90°，
∴∠A=90°-∠E=48°；
（3）解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠ADC+∠ABC=180°，
∴∠EDC+∠FBC=180°，
∵∠E+∠EDC+∠ECD=180°，∠F+∠FCB+∠FBC=180°，
∴∠E+∠F+∠ECD+∠FCB=180°，
∴∠ECD+∠FCB=180°-（∠E+∠F），
∵∠E＝α，∠F＝β，
∴∠ECD+∠FCB=180°-（α+β），
∴∠BCD+∠FCE=360°-（∠ECD+∠FCB）=180°+（α+β），
∵∠BCD=∠FCE，
∴∠BCD= 12 （∠BCD+∠FCE）=90°+ α+β2 ，
∵∠A+∠BCD=180°，
∴∠A=180°-∠BCD=90°- α+β2 ．
【知识点】圆内接四边形的性质；圆的综合题
【解析】【分析】（1）根据三角形的内角和可得180°-∠CDE=180°-∠CBF，即∠ADC=∠ABC，再利用圆内接四边形的性质可得∠ADC+∠ABC
=180°， 即可得到∠ADC=∠ABC=90°；
（2）利用三角形的内角和可得 ∠A=90°-∠E=48°；
（3）利用圆内接四边形的性质、三角形的内角和及角的运算求解即可。
16．【答案】（1）证明：如图，连接OC，
∵AB是⊙O直径，C为圆周上的一点，
∴∠ACB= 90° ，即∠ACO+∠OCB= 90° ，
∵OC=OB，
∴∠OCB=∠OBC，又∠MCA=∠CBA，
∴∠MCA=∠OCB，
∴∠ACO+∠MCA= 90° ，
即OC⊥MN，
∵OC为半径，
∴直线MN是⊙O的切线；
（2）解：如图，连接OE、CE，
由（1）OC⊥MN，AD⊥MN，得OC∥AE，
在Rt△ACB中，cs∠B= BCAB=12 ，
∴∠B= 60° ，
∴OC=OB=BC=3，
∴△OBC是等边三角形，
∴∠COB= 60° ，
∵OC∥AE，
∴∠EAO=∠COB= 60° ，
∵OE=OA，
∴△OEA是等边三角形，
∴OC=AE，四边形AOCE是平行四边形，故S△EAC=S△EOC，
于是 S阴影=S△ADC−S扇形EOC ，
在 Rt△ACB 中， BC=3 ， AB=6 ，则 AC=33 ，
在 Rt△ACD 中， AC=33 ， ∠ACD=60° ，则 CD=332 ， AD=92 ，
S△ACD=12AD·CD=2738 ，而 S扇形EOC=60π×32360=3π2 ，
∴S阴影=S△ADC−S扇形EOC=2738−3π2
【知识点】圆的综合题
【解析】【分析】（1）连接OC，根据直径所对的圆周角是直角可得∠ACO+∠OCB=90°，再根据等边对等角可得∠OCB=∠OBC ，结合已知及等量代换得 ∠ACO+∠MCA= 90° ，故 OC⊥MN， 可得 直线MN是⊙O的切线；
（2） 连接OE、CE，由余弦函数的定义可得∠B=60°，故△OBC是等边三角形 ，由 OC∥AE可得∠EAO=∠COB= 60° ，故∠COE=60°，由同底等高的三角形的面积相等可得S∆AEC=S∆COE，故 S阴影=S△ADC−S扇形EOC ，从而即可解决问题.x
…
0.30
0.80
1.60
2.40
3.20
4.00
4.80
5.60
…
y1
…
2.01
2.98
3.46
3.33
2.83
2.11
1.27
0.38
…
y2
…
5.60
4.95
3.95
2.96
2.06
1.24
0.57
0.10
…