2023届高考数学二轮复习 微专题作业13 利用基本不等式求代数式的最值问题（含解析）

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1.正数x，y满足x＋2y＝2，则eq \f(x＋8y,xy)的最小值为________．
2．若a>b>0，则a2＋eq \f(1,ab)＋eq \f(1,a（a－b）)的最小值为________．
3．(2018·苏州大学届考前指导)已知a>0，b>0，则eq \f(a,2a＋b)＋eq \f(2b,2b＋a)的最大值为________．
4．设正实数x，y满足xy＝eq \f(x＋y,x－y)，则实数x的最小值为________．
5．(2017·苏北四市高三期中)已知正数a，b满足eq \f(1,a)＋eq \f(9,b)＝eq \r(ab)－5，则ab的最小值为________．
6．已知正实数a，b，c满足a2＋b2＝c2，则
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(c,a)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(c,b)))的最小值为________．
7.已知对任何实数x，y，不等式ax2y2＋x2＋y2－3xy＋a－1≥0恒成立，求实数a的范围．
8．设实数x，y满足eq \f(x2,4)－y2＝1，求3x2－2xy的最小值．
微专题13
1．答案：9.
解析：eq \f(x＋8y,xy)＝eq \f(1,y)＋eq \f(8,x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,y)＋\f(8,x)))×eq \f(x＋2y,2)＝eq \f(1,2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(10＋\f(16y,x)＋\f(x,y)))≥
eq \f(1,2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(10＋2\r(\f(16y,x)·\f(x,y))))＝9，当且仅当x＝4y＝eq \f(4,3)时取等号．
2．答案：4.
解析：a2＋eq \f(1,ab)＋eq \f(1,a（a－b）)＝a2＋eq \f(1,ab)＋eq \f(1,a2－ab)＝[(a2－ab)＋ab]＋eq \f(1,ab)＋eq \f(1,a2－ab)≥2＋2＝4，当且仅当eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(ab＝1，,a2－ab＝1，))即a＝eq \r(2)，b＝eq \f(\r(2),2)时，a2＋eq \f(1,ab)＋eq \f(1,a（a－b）)的最小值为4.
3．答案：2－eq \f(2\r(2),3).
解析：设m＝2a＋b>0，n＝2b＋a>0，则a＝eq \f(2m－n,3)，b＝eq \f(2n－m,3)，所以原式＝eq \f(\f(2m－n,3),m)＋eq \f(\f(4n－2m,3),n)＝2－eq \f(n,3m)－eq \f(2m,3n)≤2－2eq \r(\f(n,3m)·\f(2m,3n))＝2－eq \f(2\r(2),3)，当且仅当eq \f(n,3m)＝eq \f(2m,3n)，即n＝eq \r(2)m时等号成立．
4．答案：eq \r(2)＋1.
解析：由xy＝eq \f(x＋y,x－y)得到x－y＝eq \f(1,x)＋eq \f(1,y)，那么x－eq \f(1,x)＝y＋eq \f(1,y)≥2；又由x>0得到x≥eq \r(2)＋1.
5．答案：36.
解析：因为eq \f(1,a)＋eq \f(9,b)＝eq \r(ab)－5≥
2eq \r(\f(1,a)·\f(9,b))＝eq \f(6,\r(ab))，所以
eq \r(ab)(eq \r(ab)－5)≥6，解得eq \r(ab)≥6，即ab≥36，当且仅当a＝2，b＝18时，等号成立．
6．答案：3＋2eq \r(2).
解析：设u＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(c,a)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(c,b)))＝1＋eq \f(c,a)＋eq \f(c,b)＋eq \f(c2,ab)≥1＋
2eq \r(\f(c2,ab))＋eq \f(c2,ab)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\r(\f(c2,ab))))eq \s\up12(2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\r(\f(a2＋b2,ab))))eq \s\up12(2)≥(1＋eq \r(2))2＝3＋2eq \r(2)，当且仅当a＝b＝eq \f(\r(2),2)c时，等号成立．
7．答案：eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2)＋1,2)，＋∞)).
解析：ax2y2＋x2＋y2－3xy＋a－1≥0等价于a(x2y2＋1)＋2xy－3xy－1≥0，即a≥eq \f(xy＋1,x2y2＋1)，下面只要求f(x，y)＝eq \f(xy＋1,x2y2＋1)的最大值即可．令t＝xy，那么eq \f(t＋1,t2＋1)＝eq \f(1,\f(t2＋1,t＋1))＝eq \f(1,t＋1＋\f(2,t＋1)－2)≤eq \f(1,2（\r(2)－1）)＝eq \f(\r(2)＋1,2)，故a≥eq \f(\r(2)＋1,2).当且仅当eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(t＋1＝\f(2,t＋1),x＝y))时取“＝”，当且仅当2a2＝b2时等号成立．
8．答案：6＋4eq \r(2).
解析：由eq \f(x2,4)－y2＝1等价于x2－4y2＝4，则(x－2y)(x＋2y)＝4；设eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－2y＝a，,x＋2y＝b，))那么有ab＝4且x＝eq \f(a＋b,2)，y＝eq \f(b－a,4)；故3x2－2xy＝eq \f(3（a2＋2ab＋b2）,4)－2·eq \f(a＋b,2)·eq \f(b－a,4)＝6＋eq \f(2a2＋b2,2)≥6＋eq \r(2a2b2)＝6＋4eq \r(2).即3x2－2xy的最小值为6＋4eq \r(2).