2023届高考数学二轮复习 微专题作业11 与平面向量相关的最值问题（含解析）

这是一份2023届高考数学二轮复习 微专题作业11 与平面向量相关的最值问题（含解析），共5页。
1.给定两长度为1的平面向量eq \(OA,\s\up6(→))和eq \(OB,\s\up6(→))，它们的夹角为eq \f(2π,3)，如图，点C在以O为圆心的圆弧eq \(AB,\s\up8(︵))(包含端点)上变动．若eq \(OC,\s\up6(→))＝xeq \(OA,\s\up6(→))＋yeq \(OB,\s\up6(→))，其中x，y∈R，则x＋y的最大值是________．
2．如图，在正六边形ABCDEF中，P是三角形CDE内(包含边界)的动点，eq \(AP,\s\up6(→))＝xeq \(AB,\s\up6(→))＋yeq \(AF,\s\up6(→))，则x＋y的取值范围是________．
3．在△ABC中，D，E分别是边BC上的两个三等分点，点P是线段DE上一点，且eq \(AP,\s\up6(→))＝xeq \(AB,\s\up6(→))＋yeq \(AC,\s\up6(→))(x，y∈R)，则xy的取值范围为________．
4．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝2eq \r(3)，P为矩形内一点，且AP＝2，若eq \(AP,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))＋μeq \(AD,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，则λ＋eq \r(3)μ的最大值为________．
5．如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB＝90°，AD＝AB＝4，CD＝1，动点P在边BC上，且满足eq \(AP,\s\up6(→))＝meq \(AB,\s\up6(→))＋neq \(AD,\s\up6(→))(m，n＞0)，求eq \f(1,m)＋eq \f(1,n)的最小值．
6．如图，在等腰三角形ABC中，已知AB＝AC＝1，∠A＝120°，E，F分别是边AB，AC上的点，且eq \(AE,\s\up6(→))＝meq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AF,\s\up6(→))＝neq \(AC,\s\up6(→))，其中m，n∈(0，1)．若EF，BC的中点分别为M，N，且m＋4n＝1，则|eq \(MN,\s\up6(→))|的最小值为________．
7．已知O为三角形ABC的外心，AB＝2a，AC＝eq \f(2,a)，∠BAC＝120°，若eq \(AO,\s\up6(→))＝xeq \(AB,\s\up6(→))＋yeq \(AC,\s\up6(→))(x，y∈R)，求3x＋6y的最小值．
8．如图，在△ABC中，E为边AC上一点，且eq \(AC,\s\up6(→))＝3eq \(AE,\s\up6(→))，P为BE上一点，且满足eq \(AP,\s\up6(→))＝meq \(AB,\s\up6(→))＋
neq \(AC,\s\up6(→))(m＞0，n＞0)，求eq \f(m＋n＋mn,mn)的最小值．
微专题11
1．答案：2.
解法1以O为原点，OA所在直线为x轴，OA的垂线为y轴建立平面直角坐标系，则A(1，0)，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，C(csθ，sinθ)，则θ∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(2π,3))).因为eq \(OC,\s\up6(→))＝xeq \(OA,\s\up6(→))＋yeq \(OB,\s\up6(→))，即(csθ，sinθ)＝x(1，0)＋yeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，则
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(csθ＝x－\f(y,2)，,sinθ＝\f(\r(3)y,2)，))从而得
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝csθ＋\f(\r(3)sinθ,3)，,y＝\f(2\r(3)sinθ,3)，))所以x＋y＝csθ＋eq \f(\r(3)sinθ,3)＋eq \f(2\r(3)sinθ,3)＝csθ＋eq \r(3)sinθ＝
2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,6)))，θ∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(2π,3)))，当θ＝eq \f(π,3)时，x＋y取得最大值2.
解法2记OC与AB的交点为D，由等和线的知识可知x＋y＝eq \f(|\(OC,\s\up6(→))|,|\(OD,\s\up6(→))|)＝eq \f(1,|\(OD,\s\up6(→))|)，易得当OD最小时，x＋y取得最大值，此时D为AB中点，x＋y取得最大值2.
2．答案：[3，4]．
解法1设在正六边形ABCDEF的边长为1，以A为原点，AB所在直线为x轴，AE所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，则A(0，0)，B(1，0)，Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，\f(\r(3),2)))，D(1，eq \r(3))，E(0，eq \r(3))，设点P(x，y)，则x，y满足
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋\r(3)y－3≥0，,\r(3)x＋y－2\r(3)≤0，,y－\r(3)≤0，))
设直线l：x＋y＝t，由线性规划知识可知，当l平移至过EC时，x＋y取得最小值3，当l平移至过D时，x＋y取得最大值4，所以x＋y的取值范围是[3，4]．
解法2连接BF，AD，记AD与BF，CE分别交于M，N，由等和线的知识可知，x＋y∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(|\(AN,\s\up6(→))|,|\(AM,\s\up6(→))|)，\f(|\(AD,\s\up6(→))|,|\(AM,\s\up6(→))|)))＝[3，4]．
3．答案：eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(2,9)，\f(1,4))).
解析：因为点P，B，C三点共线，所以x＋y＝1，且eq \f(1,3)≤x≤eq \f(2,3)，xy＝x(1－x)＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))eq \s\up12(2)＋eq \f(1,4)，所以xy∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(2,9)，\f(1,4))).
4．答案：eq \r(2).
解法1以A为原点，AD所在直线为x轴，AB所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则A(0，0)，B(0，2)，D(2eq \r(3)，0)，P(2csθ，2sinθ)，则θ∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2))).因为eq \(AP,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))＋μeq \(AD,\s\up6(→))，即(2csθ，2sinθ)＝λ(0，2)＋μ(2eq \r(3)，0)，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2csθ＝2\r(3)μ，,2sinθ＝2λ，))从而得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(λ＝sinθ，,μ＝\f(\r(3)csθ,3)，))所以λ＋eq \r(3)μ＝sinθ＋csθ＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))，θ∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，当θ＝eq \f(π,4)时，λ＋eq \r(3)μ取得最大值eq \r(2).
解法2以A为圆心，2为半径作圆交AD于E，则AE＝eq \f(\r(3),3)AD，连接BE交AP于点Q，因为eq \(AP,\s\up6(→))＝
λeq \(AB,\s\up6(→))＋μeq \(AD,\s\up6(→)).所以eq \(AP,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))＋eq \r(3)μ×eq \f(\r(3),3)eq \(AD,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))＋
eq \r(3)μeq \(AE,\s\up6(→))，由等和线知识可知，λ＋eq \r(3)μ＝eq \f(|\(AP,\s\up6(→))|,|\(AQ,\s\up6(→))|)＝eq \f(2,|\(AQ,\s\up6(→))|)，当|eq \(AQ,\s\up6(→))|最小时，取得最大值eq \r(2)，此时Q位于BE中点．
5．答案：eq \f(7＋4\r(3),4).
解析：设eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AD,\s\up6(→))＝b，则eq \(BC,\s\up6(→))＝
－eq \f(3,4)a＋b，设eq \(BP,\s\up6(→))＝λeq \(BC,\s\up6(→))，则eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BP,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(3,4)λ))a＋λb，因为eq \(AP,\s\up6(→))＝ma＋nb，所以有1－eq \f(3,4)λ＝m，λ＝n，消去λ得m＋eq \f(3,4)n＝1，从而eq \f(1,m)＋eq \f(1,n)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,m)＋\f(1,n)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(m＋\f(3,4)n))＝eq \f(7,4)＋eq \f(3n,4m)＋eq \f(m,n)≥eq \f(7,4)＋2eq \r(\f(3n,4m)·\f(m,n))＝eq \f(7＋4\r(3),4)(当且仅当m＝4－2eq \r(3)，n＝eq \f(8\r(3)－12,3)时取等号)．
6．答案：eq \f(\r(7),7).
解析：以N为原点，BC所在直线为x轴，NA所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，因为AB＝AC＝1，A＝120°，则Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),2)，0))，Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)，0))，又因为eq \(AE,\s\up6(→))＝meq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AF,\s\up6(→))＝neq \(AC,\s\up6(→))，所以
Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),2)m，\f(1－m,2)))，Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)n，\f(1－n,2)))，由于M，N分别为EF、BC的中点，所以
Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),4)（n－m），\f(1,4)（2－m－n）))，N(0，0)，所以|eq \(MN,\s\up6(→))|2＝[eq \f(1,2)(1－m)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)(1－n)eq \(AC,\s\up6(→))]2＝eq \f(1,4)(1－m)2－eq \f(1,4)(1－m)(1－n)＋eq \f(1,4)(1－n)2.∵m＋4n＝1，可得1－m＝4n.代入上式可得eq \(MN,\s\up6(→))2＝eq \f(1,4)(4n)2－eq \f(1,4)×4n(1－n)＋eq \f(1,4)(1－n)2＝eq \f(21,4)n2－eq \f(3,2)n＋eq \f(1,4)，∵m，n∈(0，1)．当n＝eq \f(1,7)时，eq \(MN,\s\up6(→))2的最小值为eq \f(1,7)，此时|eq \(MN,\s\up6(→))|的最小值为eq \f(\r(7),7).
7．答案：6＋2eq \r(2).
解析：因为eq \(AO,\s\up6(→))＝xeq \(AB,\s\up6(→))＋yeq \(AC,\s\up6(→))，所以eq \(AO,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝xeq \(AB,\s\up6(→))2＋yeq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))，即4a2x－2y＝2a2，①同理可得eq \(AO,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝xeq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＋yeq \(AC,\s\up6(→))2，即－2x＋eq \f(4,a2)y＝eq \f(2,a2)，②联立①和②，可以得到eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝\f(2a2＋1,3a2)，,y＝\f(a2＋2,3)，))所以3x＋6y＝eq \f(2a2＋1,a2)＋2a2＋4＝6＋2a2＋eq \f(1,a2)≥6＋2eq \r(2a2·\f(1,a2))＝6＋
2eq \r(2)，当且仅当2a2＝eq \f(1,a2)时，即a＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up6(\f(1,4))时等号成立，即3x＋6y的最小值是6＋2eq \r(2).
8．答案：5＋2eq \r(3).
解析：因为eq \(AC,\s\up6(→))＝3eq \(AE,\s\up6(→))，所以eq \(AP,\s\up6(→))＝meq \(AB,\s\up6(→))＋neq \(AC,\s\up6(→))＝meq \(AB,\s\up6(→))＋3neq \(AE,\s\up6(→))，又因为P为BE上一点，不妨设eq \(BP,\s\up6(→))＝λeq \(BE,\s\up6(→))(0＜λ＜1)．所以eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BP,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋λeq \(BE,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋λ(eq \(AE,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→)))＝(1－λ)eq \(AB,\s\up6(→))＋λeq \(AE,\s\up6(→))，meq \(AB,\s\up6(→))＋
3neq \(AE,\s\up6(→))＝(1－λ)eq \(AB,\s\up6(→))＋λeq \(AE,\s\up6(→))，因为eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AE,\s\up6(→))不共线，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m＝1－λ，,3n＝λ，))则m＋3n＝1－λ＋λ＝1.所以eq \f(m＋n＋mn,mn)＝eq \f(1,m)＋eq \f(1,n)＋1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,m)＋\f(1,n)))(m＋3n)＋1＝5＋eq \f(3n,m)＋eq \f(m,n)≥5＋2eq \r(3)，当且仅当eq \f(3n,m)＝eq \f(m,n)，即m＝eq \r(3)n时等号成立．