2020中考数学二轮复习专题训练4——代数与几何综合题

这是一份2020中考数学二轮复习专题训练4——代数与几何综合题，共27页。
(1)用含有t的代数式表示AE＝____；
(2)如图②，当t为何值时，四边形AQPD为菱形；
(3)求运动过程中，四边形AQPD的面积的最大值．
第1题图
解：(1)5－t；
【解法提示】∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8 cm，BC＝6 cm，∴由勾股定理得：AB＝10 cm，∵点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为2 cm/s，∴BP＝2t cm，∴AP＝AB－BP＝10－2t，∵四边形AQPD为平行四边形，∴AE＝eq \f(1,2)AP＝5－t.
(2)如解图①，当四边形AQPD是菱形时，DQ⊥AP，则cs∠BAC＝eq \f(AE,AQ)＝eq \f(AC,AB)，
即eq \f(5－t,2t)＝eq \f(8,10)，解得t＝eq \f(25,13)，
∴当t＝eq \f(25,13)时，四边形AQPD是菱形；
(3)如解图②，作PM⊥AC于M，设平行四边形AQPD的面积为S.
∵PM∥BC，
∴△APM∽△ABC，
∴eq \f(AP,AB)＝eq \f(PM,BC)，即eq \f(10－2t,10)＝eq \f(PM,6)，
∴PM＝eq \f(6,5)(5－t)，
∴S＝AQ·PM＝2t·eq \f(6,5)(5－t)＝－eq \f(12,5)t2＋12t=(0＜t≤4)，
∵－eq \f(12,5)＜0，∴当t＝eq \f(5,2)时，S有最大值，最大值为15 cm2.
第1题解图
2. 已知，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝AC，AB＝6，D是AB的中点，动点E从点D出发，在AB边上向左或右运动，以CE为边向左侧作正方形CEFG，直线BG，FE相交于点N(点E向左运动时如图①，点E向右运动时如图②)．
(1)在点E的运动过程中，直线BG与CD的位置关系为________；
(2)设DE＝x，NB＝y，求y与x之间的函数关系式，并求出y的最大值；
(3)如图②，当DE的长度为eq \r(3)时，求∠BFE的度数．
第2题图
解：(1)BG∥CD；
【解法提示】∵四边形EFGC是正方形，∴CG＝CE，∠GCE＝∠GFE＝∠FEC＝90°，∵∠ACB＝∠GCE＝90°，∴∠GCB＝∠ECA，∵GC＝CE，CB＝CA，∴△CAE≌△CBG.又∵∠ACB＝90°，BC＝AC，D是AB的中点，∴∠CBG＝∠CAE＝45°，∠BCD＝45°，∴∠CBG＝∠BCD，∴BG∥CD.
(2)∵CB＝CA，CD⊥AB，∠ACB＝90°，
∴CD＝BD＝AD＝3，∠CBA＝∠A＝45°，
易得△CAE≌△CBG，
∴∠CBG＝∠A＝45°，
∴∠GBA＝∠GBC＋∠CBA＝90°.
∵∠BEN＋∠BNE＝90°，∠BEN＋∠CED＝90°，
∴∠BNE＝∠CED，
∵∠EBN＝∠CDE＝90°，
∴△NBE∽△EDC，
∴eq \f(BN,ED)＝eq \f(BE,CD)，
∴eq \f(y,x)＝eq \f(3－x,3)，
∴y＝－(x－eq \f(3,2))2＋eq \f(3,4)，
∵－＜0，∴x＝eq \f(3,2)时，y的最大值为eq \f(3,4)；
(3)如解图，作FH⊥AB于点H.∵CB＝CA，BD＝CD，∠BCA＝90°，
∴CD⊥AB，CD＝BD＝AD＝3，
∴tan∠DCE＝eq \f(DE,CD)＝eq \f(\r(3),3)，
∴∠DCE＝30°，
∵四边形EFGC是正方形，
∴EF＝EC，
∵∠CDE＝∠EHF＝90°，易证∠DCE＝∠HEF，
∴△CDE≌△EHF，
∴∠DCE＝∠HEF＝30°，FH＝DE，CD＝EH，
∵CD＝BD，
∴BD＝EH，
∴BH＝DE＝FH，
∴△BHF是等腰直角三角形，
∴∠BFH＝45°，∵∠EFH＝90°－∠HEF=60°，
∴∠BFE＝∠BFH+∠EFH＝105°.
第2题解图
3. 如图，在直角梯形ABCD中，∠A＝∠D＝90°，AB＝8 cm，CD＝10 cm，AD＝6 cm，点E从点A出发，沿A→D→C方向运动，运动速度为2 cm/s，点F同时从点A出发，沿A→B方向运动，运动速度为1 cm/s.设运动时间为t(s)，△CEF的面积为S(cm2)．
(1)当0≤t≤3时，t＝________，EF＝eq \r(10).
(2)当0≤t≤3时(如图①)，求S与t的函数关系式，并化为S＝a(t－h)2＋k的形式，指出当t为何值时，S有最大值，最大值为多少？
(3)当3≤t≤8时(如图②)，求S与t的函数关系式，并求出当t为何值时，S有最大值，最大值为多少？
第3题图
解：(1)eq \r(2)； 【解法提示】根据题意知，AF＝t，AE＝2t，∵∠A＝90°，∴AF2＋AE2＝EF2，即t2＋(2t)2＝(eq \r(10))2，解得：t＝eq \r(2)(负值舍去)．
(2)当0≤t≤3时，如解图①，过点C作CP⊥AB，交AB延长线于点P，
第3题解图①
∵∠A＝∠D＝90°，
∴四边形APCD是矩形，
则CP＝AD＝6 cm，
∵AB＝8 cm，AD＝6 cm，
∴BF＝(8－t)cm，DE＝(6－2t)cm，
则S＝S梯形ABCD－S△AEF－S△CBF－S△CDE
＝eq \f(1,2)×(8＋10)×6－eq \f(1,2)×t×2t－eq \f(1,2)×(8－t)×6－eq \f(1,2)×(6－2t)×10
＝－t2＋13t
＝－(t－eq \f(13,2))2＋eq \f(169,4)，
即S＝－(t－eq \f(13,2))2＋eq \f(169,4)，
∵当t＜eq \f(13,2)时，S随t的增大而增大，
∴当t＝3时，S取得最大值，最大值为30；
(3)当3≤t≤8时，如解图②，过点F作FQ⊥CD于点Q，
第3题解图②
由∠A＝∠D＝90°，知四边形ADQF是矩形，
∴FQ＝AD＝6 cm，
∵AD＋DE＝2t，AD＝6 cm，CD＝10 cm，
∴CE＝(16－2t)cm，
则此时S＝eq \f(1,2)×(16－2t)×6＝48－6t，
∵－6＜0，
∴S随t的增大而减小，
∴当t＝3时，S取得最大值，最大值为30cm2．
4. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，CD⊥AB于点D.点P从点D出发，沿线段DC向点C运动，点Q从点C出发，沿线段CA向点A运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度，当点P运动到C时，两点都停止．设运动时间为t秒．
(1)①求线段CD的长；
②求证：△CBD∽△ABC；
(2)设△CPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并求出S的最大值；
(3)是否存在某一时刻t，使得△CPQ为等腰三角形？若存在，请直接写出满足条件的t的值；若不存在，请说明理由．
(1)①解：∵∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，
∴AB＝10，
∵CD⊥AB，
∴S△ABC＝eq \f(1,2)BC·AC＝eq \f(1,2)AB·CD，
∴CD＝eq \f(BC·AC,AB)＝eq \f(6×8,10)＝，
∴线段CD的长为；
②证明：∵∠B＝∠B，∠CDB＝∠BCA＝90°，
∴△CBD∽△ABC；
(2)解：如解图②，过点P作PH⊥AC，垂足为H，
由题可知DP＝t，CQ＝t，
则CP＝－t，
∵∠ACB＝∠CDB＝90°，
∴∠HCP＝90°－∠DCB＝∠B，
∵PH⊥AC，
∴∠CHP＝90°，
∴∠CHP＝∠ACB，
∴△CHP∽△BCA，
∴eq \f(PH,AC)＝eq \f(PC,BA)，
∴eq \f(PH,8)＝，
∴PH＝eq \f(96,25)－eq \f(4,5)t，
∴S＝eq \f(1,2)CQ·PH＝eq \f(1,2)t(eq \f(96,25)－eq \f(4,5)t)＝
－eq \f(2,5)(t－eq \f(12,5))2＋eq \f(288,125)，
∵＜0，
∴当t＝eq \f(12,5)时，S最大＝eq \f(288,125)；
(3)存在，t＝eq \f(12,5)或eq \f(14.4,55)或eq \f(24,11).
【解法提示】①若CQ＝CP，如解图①，则t＝－t.解得：t＝eq \f(12,5)；②若PQ＝PC，如解图②所示．∵PQ＝PC，PH⊥QC，∴QH＝CH＝eq \f(1,2)QC＝eq \f(t,2).∵△CHP∽△BCA.∴eq \f(CH,BC)＝eq \f(CP,AB).∴eq \f(\f(t,2),6)＝，解得t＝eq \f(144,55)；③若QC＝QP，如解图③，过点Q作QE⊥CP，垂足为E，同理可得：t＝eq \f(24,11).综上所述：当t为秒或eq \f(144,55)秒或eq \f(24,11)秒时，△CPQ为等腰三角形．
第4题解图
5. 如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm.如果点E由点B出发沿BC方向向点C匀速运动，同时点F由点D出发沿DA方向向点A匀速运动，它们的速度分别为2cm/s和1cm/s.FQ⊥BC，分别交AC、BC于点P和Q，设运动时间为t(s)(0＜t＜4)．
(1)连接EF、DQ，若四边形EQDF为平行四边形，求t的值；
(2)连接EP，设△EPC的面积为ycm2，求y与t的函数关系式，并求y的最大值；
(3)若△EPQ与△ADC相似，请直接写出t的值．
解：(1)在矩形ABCD中，∵AB＝6 cm，BC＝8 cm，
∴CD＝AB＝6 cm，AD＝BC＝8 cm，∠BAD＝∠ADC＝∠DCB＝∠B＝90°，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC＝10，
∵FQ⊥BC，
∴∠FQC＝90°，
∴四边形CDFQ是矩形，
∴DF＝QC，FQ＝DC＝6 cm，
由题意知，BE＝2t，QC＝DF＝t，
∴EQ＝BC－BE－QC＝8－3t，
∵四边形EQDF为平行四边形，
∴FD＝EQ，
即t＝8－3t，
解得t＝2；
(2)∵∠FQC＝90°，∠B＝90°，
∴∠FQC＝∠B，
∴PQ∥AB，
∴△CPQ∽△CAB，
∴eq \f(PQ,AB)＝eq \f(QC,BC)，
即eq \f(PQ,6)＝eq \f(t,8)，
∴PQ＝eq \f(3,4)t，
∵S△EPC＝eq \f(1,2)EC·PQ，
∴y＝eq \f(1,2)·(8－2t)·eq \f(3,4)t＝－eq \f(3,4)t2＋3t＝－eq \f(3,4)(t－2)2＋3，
即y＝－eq \f(3,4)(t－2)2＋3，
∵a＝－eq \f(3,4)＜0，
∴当t＝2时，y有最大值，y的最大值为3；
(3)t的值为2或eq \f(128,57)或eq \f(128,39).
【解法提示】分两种情况讨论：若E在FQ左边，①当△EPQ∽△ACD时，可得：eq \f(PQ,CD)＝eq \f(EQ,AD)，即eq \f(\f(3,4)t,6)＝eq \f(8－3t,8)，解得t＝2；②当△EPQ∽△CAD时，可得：eq \f(PQ,AD)＝eq \f(EQ,CD)，即eq \f(\f(3,4)t,8)＝eq \f(8－3t,6)，解得t＝eq \f(128,57).若E在FQ右边，③当△EPQ∽△ACD时，可得：eq \f(PQ,CD)＝eq \f(EQ,AD)，即eq \f(\f(3,4)t,6)＝eq \f(3t－8,8)，解得t＝4(舍去)；④当△EPQ∽△CAD时，可得：eq \f(PQ,AD)＝eq \f(EQ,CD)，即eq \f(\f(3,4)t,8)＝eq \f(3t－8,6)，解得t＝eq \f(128,39).综上所述，若△EPQ与△ADC相似，则t的值为：2或eq \f(128,57)或eq \f(128,39).
类型二 动线型探究题
6. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，AC＝2 cm.长为1 cm的线段MN在△ABC的边AB上沿AB方向以1 cm/s的速度向点B运动(运动前点M与点A重合)．过M，N分别作AB的垂线交直角边于P，Q两点，线段MN运动的时间为t s.
(1)若△AMP的面积为y，写出y与t的函数关系式(写出自变量t的取值范围)，并求出y的最大值；
(2)在线段MN运动过程中，四边形MNQP有可能成为矩形吗？若有可能，求出此时t的值；若不可能，说明理由；
(3)t为何值时，以C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？
第6题图
解：(1)当点P在AC上时，
∵AM＝t，∴PM＝AM·tan60°＝eq \r(3)t，
∴y＝eq \f(1,2)t·eq \r(3)t＝eq \f(\r(3),2)t2(0