2018-2020江苏中考数学真题汇编 专题16 图形变换（平移、旋转、对称、折叠）

这是一份2018-2020江苏中考数学真题汇编 专题16 图形变换（平移、旋转、对称、折叠），共61页。
2018-2020江苏中考数学试题汇编
——图形变换（平移、旋转、对称、折叠）
一．选择题（共6小题）
1．（2019•南京）如图，△A'B'C'是由△ABC经过平移得到的，△A'B'C'还可以看作是△ABC经过怎样的图形变化得到？下列结论：①1次旋转；②1次旋转和1次轴对称；③2次旋转；④2次轴对称．其中所有正确结论的序号是（　　）

A．①④ B．②③ C．②④ D．③④
2．（2019•南通）如图，△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝30°，△ABC绕点A逆时针旋转α（0°＜α＜120°）得到△AB′C′，B′C′与BC，AC分别交于点D，E．设CD+DE＝x，△AEC′的面积为y，则y与x的函数图象大致（　　）

A． B．C．D．
3．（2018•南通）如图，矩形ABCD中，E是AB的中点，将△BCE沿CE翻折，点B落在点F处，tan∠DCE=43．设AB＝x，△ABF的面积为y，则y与x的函数图象大致为（　　）

A．B． C．D．
4．（2019•苏州）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AC＝4，BD＝16，将△ABO沿点A到点C的方向平移，得到△A'B'O'．当点A'与点C重合时，点A与点B'之间的距离为（　　）

A．6 B．8 C．10 D．12

第4题 第5题
5．（2020•连云港）如图，将矩形纸片ABCD沿BE折叠，使点A落在对角线BD上的A'处．若∠DBC＝24°，则∠A'EB等于（　　）
A．66° B．60° C．57° D．48°
6．（2019•连云港）如图，在矩形ABCD中，AD＝22AB．将矩形ABCD对折，得到折痕MN；沿着CM折叠，点D的对应点为E，ME与BC的交点为F；再沿着MP折叠，使得AM与EM重合，折痕为MP，此时点B的对应点为G．下列结论：①△CMP是直角三角形；②点C、E、G不在同一条直线上；③PC=62MP；④BP=22AB；⑤点F是△CMP外接圆的圆心，其中正确的个数为（　　）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二．填空题（共11小题）
7．（2018•南京）如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝4，以CD为直径作⊙O．将矩形ABCD绕点C
旋转，使所得矩形A′B′CD′的边A′B′与⊙O相切，切点为E，边CD′与⊙O相交于点F，则CF的长为　 　．

第7题 第8题 第9题
8．（2018•苏州）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝25，BC=5．将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到△AB'C′，连接B'C，则sin∠ACB′＝　 　．
9．（2019•扬州）如图，将四边形ABCD绕顶点A顺时针旋转45°至四边形AB′C′D′的位置，若AB＝16cm，则图中阴影部分的面积为　 　cm2．
10．（2018•扬州）如图，四边形OABC是矩形，点A的坐标为（8，0），点C的坐标为（0，4），把矩形OABC沿OB折叠，点C落在点D处，则点D的坐标为　 　．

第10题 第11题
11．（2020•盐城）如图，已知点A（5，2）、B（5，4）、C（8，1）．直线l⊥x轴，垂足为点M（m，0）．其中m＜52，若△A′B′C′与△ABC关于直线l对称，且△A′B′C′有两个顶点在函数y=kx（k≠0）的图象上，则k的值为　 　．
12．（2019•淮安）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，H是AB的中点，将△CBH沿CH折叠，点B落在矩形内点P处，连接AP，则tan∠HAP＝　 　．

第12题 第13题
13．（2020•宿迁）如图，在矩形ABCD中，AB＝1，AD=3，P为AD上一个动点，连接BP，线段BA与线段BQ关于BP所在的直线对称，连接PQ，当点P从点A运动到点D时，线段PQ在平面内扫过的面积为　 　．
14．（2018•宿迁）如图，将含有30°角的直角三角板ABC放入平面直角坐标系，顶点A、B分别落在x、y轴的正半轴上，∠OAB＝60°，点A的坐标为（1，0）．将三角板ABC沿x轴向右作无滑动的滚动（先绕点A按顺时针方向旋转60°，再绕点C按顺时针方向旋转90°…），当点B第一次落在x轴上时，则点B运动的路径与两坐标轴围成的图形面积是　 　．

第14题 第15题
15．（2020•镇江）如图，在△ABC中，BC＝3，将△ABC平移5个单位长度得到△A1B1C1，点P、Q分别是AB、A1C1的中点，PQ的最小值等于　 　．
16．（2019•镇江）将边长为1的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转到FECG的位置（如图），使得点D落在对角线CF上，EF与AD相交于点H，则HD＝　 　．（结果保留根号）

第16题 第17题
17．（2018•镇江）如图，△ABC中，∠BAC＞90°，BC＝5，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转90°，点B对应点B′落在BA的延长线上．若sin∠B′AC=910，则AC＝　 　．
三．解答题（共19小题）
18．（2020•南京）如图①，要在一条笔直的路边l上建一个燃气站，向l同侧的A、B两个城镇分别铺设管道输送燃气．试确定燃气站的位置，使铺设管道的路线最短．
（1）如图②，作出点A关于l的对称点A'，线段A'B与直线l的交点C的位置即为所求，即在点C处建燃气站，所得路线ACB是最短的．
为了证明点C的位置即为所求，不妨在直线1上另外任取一点C'，连接AC'、BC'，证明AC+CB＜AC′+C'B．请完成这个证明．
（2）如果在A、B两个城镇之间规划一个生态保护区，燃气管道不能穿过该区域．请分别给出下列两种情形的铺设管道的方案（不需说明理由）．
①生态保护区是正方形区域，位置如图③所示；
②生态保护区是圆形区域，位置如图④所示．

19．（2018•南通）如图，正方形ABCD中，AB＝25，O是BC边的中点，点E是正方形内一动点，OE＝2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得DF，连接AE，CF．

（1）求证：AE＝CF；
（2）若A，E，O三点共线，连接OF，求线段OF的长．
（3）求线段OF长的最小值．


20．（2020•徐州）我们知道：如图①，点B把线段AC分成两部分，如果BCAB=ABAC，那么称点B为线段AC的黄金分割点．它们的比值为5-12．
（1）在图①中，若AC＝20cm，则AB的长为　 　cm；
（2）如图②，用边长为20cm的正方形纸片进行如下操作：对折正方形ABCD得折痕EF，连接CE，将CB折叠到CE上，点B对应点H，得折痕CG．试说明：G是AB的黄金分割点；
（3）如图③，小明进一步探究：在边长为a的正方形ABCD的边AD上任取点E（AE＞DE），连接BE，作CF⊥BE，交AB于点F，延长EF、CB交于点P．他发现当PB与BC满足某种关系时，E、F恰好分别是AD、AB的黄金分割点．请猜想小明的发现，并说明理由．

21．（2019•徐州）如图，将平行四边形纸片ABCD沿一条直线折叠，使点A与点C重合，点D落在点G处，折痕为EF．求证：
（1）∠ECB＝∠FCG；
（2）△EBC≌△FGC．




22．（2018•徐州）如图，将等腰直角三角形纸片ABC对折，折痕为CD．展平后，再将点B折叠在边AC上（不与A、C重合），折痕为EF，点B在AC上的对应点为M，设CD与EM交于点P，连接PF．已知BC＝4．
（1）若M为AC的中点，求CF的长；
（2）随着点M在边AC上取不同的位置，
①△PFM的形状是否发生变化？请说明理由；
②求△PFM的周长的取值范围．









23．（2019•苏州）如图，△ABC中，点E在BC边上，AE＝AB，将线段AC绕A点旋转到AF的位置，使得∠CAF＝∠BAE，连接EF，EF与AC交于点G．
（1）求证：EF＝BC；
（2）若∠ABC＝65°，∠ACB＝28°，求∠FGC的度数．









24．（2020•常州）如图1，点B在线段CE上，Rt△ABC≌Rt△CEF，∠ABC＝∠CEF＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1．
（1）点F到直线CA的距离是　 　；
（2）固定△ABC，将△CEF绕点C按顺时针方向旋转30°，使得CF与CA重合，并停止旋转．
①请你在图1中用直尺和圆规画出线段EF经旋转运动所形成的平面图形（用阴影表示，保留画图痕迹，不要求写画法）．该图形的面积为　 　；
②如图2，在旋转过程中，线段CF与AB交于点O，当OE＝OB时，求OF的长．



25．（2019•常州）如图，把平行四边形纸片ABCD沿BD折叠，点C落在点C′处，BC′与AD相交于点E．
（1）连接AC′，则AC′与BD的位置关系是　 　；
（2）EB与ED相等吗？证明你的结论．






26．（2019•扬州）如图，已知等边△ABC的边长为8，点P是AB边上的一个动点（与点A、B不重合）．直线1是经过点P的一条直线，把△ABC沿直线1折叠，点B的对应点是点B′．
（1）如图1，当PB＝4时，若点B′恰好在AC边上，则AB′的长度为　 　；
（2）如图2，当PB＝5时，若直线1∥AC，则BB′的长度为　 　；
（3）如图3，点P在AB边上运动过程中，若直线1始终垂直于AC，△ACB′的面积是否变化？若变化，说明理由；若不变化，求出面积；
（4）当PB＝6时，在直线1变化过程中，求△ACB′面积的最大值．





27．（2018•泰州）对给定的一张矩形纸片ABCD进行如下操作：先沿CE折叠，使点B落在CD边上（如图①），再沿CH折叠，这时发现点E恰好与点D重合（如图②）
（1）根据以上操作和发现，求CDAD的值；
（2）将该矩形纸片展开．
①如图③，折叠该矩形纸片，使点C与点H重合，折痕与AB相交于点P，再将该矩形纸片展开．求证：∠HPC＝90°；
②不借助工具，利用图④探索一种新的折叠方法，找出与图③中位置相同的P点，要求只有一条折痕，且点P在折痕上，请简要说明折叠方法．（不需说明理由）

28．（2020•无锡）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，点E为边CD上的一点（与C、D不重合），四边形ABCE关于直线AE的对称图形为四边形ANME，延长ME交AB于点P，记四边形PADE的面积为S．
（1）若DE=33，求S的值；
（2）设DE＝x，求S关于x的函数表达式．





29．（2019•无锡）如图1，在矩形ABCD中，BC＝3，动点P从B出发，以每秒1个单位的速度，沿射线BC方向移动，作△PAB关于直线PA的对称△PAB′，设点P的运动时间为t（s）．
（1）若AB＝23．
①如图2，当点B′落在AC上时，显然△PAB′是直角三角形，求此时t的值；
②是否存在异于图2的时刻，使得△PCB′是直角三角形？若存在，请直接写出所有符合题意的t的值？若不存在，请说明理由．
（2）当P点不与C点重合时，若直线PB′与直线CD相交于点M，且当t＜3时存在某一时刻有结论∠PAM＝45°成立，试探究：对于t＞3的任意时刻，结论“∠PAM＝45°”是否总是成立？请说明理由．






30．（2018•无锡）如图，矩形ABCD中，AB＝m，BC＝n，将此矩形绕点B顺时针方向旋转θ（0°＜θ＜90°）得到矩形A1BC1D1，点A1在边CD上．
（1）若m＝2，n＝1，求在旋转过程中，点D到点D1所经过路径的长度；
（2）将矩形A1BC1D1继续绕点B顺时针方向旋转得到矩形A2BC2D2，点D2在BC的延长线上，设边A2B与CD交于点E，若A1EEC=6-1，求nm的值．


31．（2019•盐城）如图①是一张矩形纸片，按以下步骤进行操作：
（Ⅰ）将矩形纸片沿DF折叠，使点A落在CD边上点E处，如图②；
（Ⅱ）在第一次折叠的基础上，过点C再次折叠，使得点B落在边CD上点B′处，如图③，两次折痕交于点O；
（Ⅲ）展开纸片，分别连接OB、OE、OC、FD，如图④．
【探究】
（1）证明：△OBC≌△OED；
（2）若AB＝8，设BC为x，OB2为y，求y关于x的关系式．





32．（2020•淮安）[初步尝试]
（1）如图①，在三角形纸片ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC折叠，使点B与点C重合，折痕为MN，则AM与BM的数量关系为　 　；
[思考说理]
（2）如图②，在三角形纸片ABC中，AC＝BC＝6，AB＝10，将△ABC折叠，使点B与点C重合，折痕为MN，求AMBM的值；
[拓展延伸]
（3）如图③，在三角形纸片ABC中，AB＝9，BC＝6，∠ACB＝2∠A，将△ABC沿过顶点C的直线折叠，使点B落在边AC上的点B′处，折痕为CM．
①求线段AC的长；
②若点O是边AC的中点，点P为线段OB′上的一个动点，将△APM沿PM折叠得到△A′PM，点A的对应点为点A′，A′M与CP交于点F，求PFMF的取值范围．


33．（2019•宿迁）如图①，在钝角△ABC中，∠ABC＝30°，AC＝4，点D为边AB中点，点E为边BC中点，将△BDE绕点B逆时针方向旋转α度（0≤α≤180）．
（1）如图②，当0＜α＜180时，连接AD、CE．求证：△BDA∽△BEC；
（2）如图③，直线CE、AD交于点G．在旋转过程中，∠AGC的大小是否发生变化？如变化，请说明理由；如不变，请求出这个角的度数；
（3）将△BDE从图①位置绕点B逆时针方向旋转180°，求点G的运动路程．


34．（2018•宿迁）如图，在边长为1的正方形ABCD中，动点E、F分别在边AB、CD上，将正方形ABCD沿直线EF折叠，使点B的对应点M始终落在边AD上（点M不与点A、D重合），点C落在点N处，MN与CD交于点P，设BE＝x．
（1）当AM=13时，求x的值；
（2）随着点M在边AD上位置的变化，△PDM的周长是否发生变化？如变化，请说明理由；如不变，请求出该定值；
（3）设四边形BEFC的面积为S，求S与x之间的函数表达式，并求出S的最小值．



35．（2018•镇江）（1）如图1，将矩形ABCD折叠，使BC落在对角线BD上，折痕为BE，点C落在点C′处，若∠ADB＝46°，则∠DBE的度数为　 　°．
（2）小明手中有一张矩形纸片ABCD，AB＝4，AD＝9．
【画一画】
如图2，点E在这张矩形纸片的边AD上，将纸片折叠，使AB落在CE所在直线上，折痕设为MN（点M，N分别在边AD，BC上），利用直尺和圆规画出折痕MN（不写作法，保留作图痕迹，并用黑色水笔把线段描清楚）；
【算一算】
如图3，点F在这张矩形纸片的边BC上，将纸片折叠，使FB落在射线FD上，折痕为GF，点A，B分别落在点A′，B′处，若AG=73，求B′D的长；
【验一验】
如图4，点K在这张矩形纸片的边AD上，DK＝3，将纸片折叠，使AB落在CK所在直线上，折痕为HI，点A，B分别落在点A′，B′处，小明认为B′I所在直线恰好经过点D，他的判断是否正确，请说明理由．

36．（2019•连云港）问题情境：如图1，在正方形ABCD中，E为边BC上一点（不与点B、C重合），垂直于AE的一条直线MN分别交AB、AE、CD于点M、P、N．判断线段DN、MB、EC之间的数量关系，并说明理由．
问题探究：在“问题情境”的基础上．
（1）如图2，若垂足P恰好为AE的中点，连接BD，交MN于点Q，连接EQ，并延长交边AD于点F．求∠AEF的度数；
（2）如图3，当垂足P在正方形ABCD的对角线BD上时，连接AN，将△APN沿着AN翻折，点P落在点P'处，若正方形ABCD的边长为4，AD的中点为S，求P'S的最小值．
问题拓展：如图4，在边长为4的正方形ABCD中，点M、N分别为边AB、CD上的点，将正方形ABCD沿着MN翻折，使得BC的对应边B'C'恰好经过点A，C'N交AD于点F．分别过点A、F作AG⊥MN，FH⊥MN，垂足分别为G、H．若AG=52，请直接写出FH的长．


2018-2020江苏中考数学试题汇编
——图形变换（平移、旋转、对称、折叠）
一．选择题（共6小题）
1．（2019•南京）如图，△A'B'C'是由△ABC经过平移得到的，△A'B'C'还可以看作是△ABC经过怎样的图形变化得到？下列结论：①1次旋转；②1次旋转和1次轴对称；③2次旋转；④2次轴对称．其中所有正确结论的序号是（　　）

A．①④ B．②③ C．②④ D．③④
【解答】先将△ABC绕着B'B的中点旋转180°，再将所得的三角形绕着点B'旋转180°，即可得到△A'B'C'；

先将△ABC沿着B'C的垂直平分线翻折，再将所得的三角形沿着B'C'的垂直平分线翻折，即可得到△A'B'C'；故选：D．
2．（2019•南通）如图，△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝30°，△ABC绕点A逆时针旋转α（0°＜α＜120°）得到△AB′C′，B′C′与BC，AC分别交于点D，E．设CD+DE＝x，△AEC′的面积为y，则y与x的函数图象大致（　　）

A． B．C．D．
【解答】∵△ABC绕点A逆时针旋转α，设AB′与BC交于点F，
则∠BAB′＝∠CAC′＝α，∠B＝∠C′＝30°，AB＝AC＝AC′，
∴△ABF≌△AC′E（AAS），
∴BF＝C′E，AE＝AF，
同理△CDE≌△B′DF（AAS），
∴B′D＝CD，
∴B′D+DE＝CD+ED＝x，
AB＝AC＝2，∠B＝30°，则△ABC的高为1，等于△AEC′的高，
BC＝23=B′C′，
y=12EC′×△AEC′的EC′边上的高=12（23-x）=-12x+3，
故选：B．
3．（2018•南通）如图，矩形ABCD中，E是AB的中点，将△BCE沿CE翻折，点B落在点F处，tan∠DCE=43．设AB＝x，△ABF的面积为y，则y与x的函数图象大致为（　　）

A．B． C．D．
【解答】设AB＝x，则AE＝EB=12x
由折叠，FE＝EB=12x
则∠AFB＝90°
由tan∠DCE=43
∴BC=23x，EC=56x
∵F、B关于EC对称
∴∠FBA＝∠BCE
∴△AFB∽△EBC
∴yS△EBC=(ABEC)2
∴y=16x2×3625=625x2
故选：D．
4．（2019•苏州）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AC＝4，BD＝16，将△ABO沿点A到点C的方向平移，得到△A'B'O'．当点A'与点C重合时，点A与点B'之间的距离为（　　）
A．6 B．8 C．10 D．12

第4题 第5题
【解答】∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO＝OC=12AC＝2，OB＝OD=12BD＝8，
∵△ABO沿点A到点C的方向平移，得到△A'B'O'，点A'与点C重合，
∴O'C＝OA＝2，O'B'＝OB＝8，∠CO'B'＝90°，
∴AO'＝AC+O'C＝6，
∴AB'=O'B'2+AO'2=82+62=10；
故选：C．
5．（2020•连云港）如图，将矩形纸片ABCD沿BE折叠，使点A落在对角线BD上的A'处．若∠DBC＝24°，则∠A'EB等于（　　）
A．66° B．60° C．57° D．48°
【解答】∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠ABC＝90°，
由折叠的性质得：∠BA'E＝∠A＝90°，∠A'BE＝∠ABE，
∴∠A'BE＝∠ABE=12（90°﹣∠DBC）=12（90°﹣24°）＝33°，
∴∠A'EB＝90°﹣∠A'BE＝90°﹣33°＝57°；
故选：C．
6．（2019•连云港）如图，在矩形ABCD中，AD＝22AB．将矩形ABCD对折，得到折痕MN；沿着CM折叠，点D的对应点为E，ME与BC的交点为F；再沿着MP折叠，使得AM与EM重合，折痕为MP，此时点B的对应点为G．下列结论：①△CMP是直角三角形；②点C、E、G不在同一条直线上；③PC=62MP；④BP=22AB；⑤点F是△CMP外接圆的圆心，其中正确的个数为（　　）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【解答】∵沿着CM折叠，点D的对应点为E，
∴∠DMC＝∠EMC，
∵再沿着MP折叠，使得AM与EM重合，折痕为MP，
∴∠AMP＝∠EMP，
∵∠AMD＝180°，
∴∠PME+∠CME=12×180°＝90°，
∴△CMP是直角三角形；故①正确；
∵沿着CM折叠，点D的对应点为E，
∴∠D＝∠MEC＝90°，
∵再沿着MP折叠，使得AM与EM重合，折痕为MP，
∴∠MEG＝∠A＝90°，
∴∠GEC＝180°，
∴点C、E、G在同一条直线上，故②错误；
∵AD＝22AB，
∴设AB＝x，则AD＝22x，
∵将矩形ABCD对折，得到折痕MN；
∴DM=12AD=2x，
∴CM=DM2+CD2=3x，
∵∠PMC＝90°，MN⊥PC，
∴CM2＝CN•CP，
∴CP=3x22x=32x，
∴PN＝CP﹣CN=22x，
∴PM=MN2+PN2=62x，
∴PCPM=32x62x=3，
∴PC=3MP，故③错误；
∵PC=32x，
∴PB＝22x-32x=22x，
∴ABPB=x22x，
∴PB=22AB，故④正确，
∵CD＝CE，EG＝AB，AB＝CD，
∴CE＝EG，
∵∠CEM＝∠G＝90°，
∴FE∥PG，
∴CF＝PF，
∵∠PMC＝90°，
∴CF＝PF＝MF，
∴点F是△CMP外接圆的圆心，故⑤正确；
故选：B．
二．填空题（共11小题）
7．（2018•南京）如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝4，以CD为直径作⊙O．将矩形ABCD绕点C旋转，使所得矩形A′B′CD′的边A′B′与⊙O相切，切点为E，边CD′与⊙O相交于点F，则CF的长为　 　．

第7题 第8题 第9题
【解答】连接OE，延长EO交CD于点G，作OH⊥B′C于点H，
则∠OEB′＝∠OHB′＝90°，
∵矩形ABCD绕点C旋转所得矩形为A′B′C′D′，
∴∠B′＝∠B′CD′＝90°，AB＝CD＝5、BC＝B′C＝4，
∴四边形OEB′H和四边形EB′CG都是矩形，OE＝OD＝OC＝2.5，
∴B′H＝OE＝2.5，
∴CH＝B′C﹣B′H＝1.5，
∴CG＝B′E＝OH=OC2-CH2=2．52-1．52=2，
∵四边形EB′CG是矩形，
∴∠OGC＝90°，即OG⊥CD′，
∴CF＝2CG＝4，
故答案为：4．

8．（2018•苏州）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝25，BC=5．将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到△AB'C′，连接B'C，则sin∠ACB′＝　 　．
【解答】在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC=(25)2+(5)2=5，
过C作CM⊥AB′于M，过A作AN⊥CB′于N，
∵根据旋转得出AB′＝AB＝25，∠B′AB＝90°，
即∠CMA＝∠MAB＝∠B＝90°，
∴CM＝AB＝25，AM＝BC=5，
∴B′M＝25-5=5，
在Rt△B′MC中，由勾股定理得：B′C=CM2+B'M2=(25)2+(5)2=5，
∴S△AB′C=12×CB'×AN=12×CM×AB'，
∴5×AN＝25×25，
解得：AN＝4，
∴sin∠ACB′=ANAC=45，
故答案为：45．
9．（2019•扬州）如图，将四边形ABCD绕顶点A顺时针旋转45°至四边形AB′C′D′的位置，若AB＝16cm，则图中阴影部分的面积为　 　cm2．
【解答】由旋转的性质得：∠BAB'＝45°，四边形AB'C'D'≌四边形ABCD，
则图中阴影部分的面积＝四边形ABCD的面积+扇形ABB'的面积﹣四边形AB'C'D'的面积＝扇形ABB'的面积=45π×162360=32π；
故答案为：32π．
10．（2018•扬州）如图，四边形OABC是矩形，点A的坐标为（8，0），点C的坐标为（0，4），把矩形OABC沿OB折叠，点C落在点D处，则点D的坐标为　 　．

第10题 第11题
【解答】由折叠得：∠CBO＝∠DBO，
∵矩形ABCO，
∴BC∥OA，
∴∠CBO＝∠BOA，
∴∠DBO＝∠BOA，
∴BE＝OE，
在△ODE和△BAE中，
∠D=∠BAO=90°∠OED=∠BEAOE=BE，
∴△ODE≌△BAE（AAS），
∴AE＝DE，
设DE＝AE＝x，则有OE＝BE＝8﹣x，
在Rt△ODE中，根据勾股定理得：42+x2＝（8﹣x）2，
解得：x＝3，即OE＝5，DE＝3，
过D作DF⊥OA，
∵S△OED=12OD•DE=12OE•DF，
∴DF=125，OF=42-(125)2=165，
则D（165，-125）．
故答案为：（165，-125）
11．（2020•盐城）如图，已知点A（5，2）、B（5，4）、C（8，1）．直线l⊥x轴，垂足为点M（m，0）．其中m＜52，若△A′B′C′与△ABC关于直线l对称，且△A′B′C′有两个顶点在函数y=kx（k≠0）的图象上，则k的值为　 　．
【解答】∵点A（5，2）、B（5，4）、C（8，1），直线l⊥x轴，垂足为点M（m，0）．其中m＜52，△A′B′C′与△ABC关于直线l对称，
∴A′（2m﹣5，2），B′（2m﹣5，4），C′（2m﹣8，1），
∵A′、B′的横坐标相同，
∴在函数y=kx（k≠0）的图象上的两点为，A′、C′或B′、C′，
当A′、C′在函数y=kx（k≠0）的图象上时，则k＝2（2m﹣5）＝2m﹣8，解得m＝1，
∴k＝﹣6；
当B′、C′在函数y=kx（k≠0）的图象上时，则k＝4（2m﹣5）＝2m﹣8，解得m＝2，
∴k＝﹣4，
综上，k的值为﹣6或﹣4，
故答案为﹣6或﹣4．
12．（2019•淮安）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，H是AB的中点，将△CBH沿CH折叠，点B落在矩形内点P处，连接AP，则tan∠HAP＝　 　．

第12题 第13题
【解答】如图，连接PB，交CH于E，
由折叠可得，CH垂直平分BP，
∴E为BP的中点，
又∵H为AB的中点，
∴HE是△ABP的中位线，
∴AP∥HE，
∴∠BAP＝∠BHE，
又∵Rt△BCH中，tan∠BHC=BCBH=43，
∴tan∠HAP=43，
故答案为：43．
13．（2020•宿迁）如图，在矩形ABCD中，AB＝1，AD=3，P为AD上一个动点，连接BP，线段BA与线段BQ关于BP所在的直线对称，连接PQ，当点P从点A运动到点D时，线段PQ在平面内扫过的面积为　 　．
【解答】∵当点P从点A运动到点D时，线段PQ的长度不变，
∴点Q运动轨迹是圆弧，如图，阴影部分的面积即为线段PQ在平面内扫过的面积，

∵矩形ABCD中，AB＝1，AD=3，
∴∠ABC＝∠BAC＝∠C＝∠Q＝90°．
∴∠ADB＝∠DBC＝∠ODB＝∠OBQ＝30°，
∴∠ABQ＝120°，
由矩形的性质和轴对称性可知，△BOQ≌△DOC，
∴S阴影部分＝S四边形ABQD﹣S扇形ABQ＝S四边形ABOD+S△BOQ﹣S扇形ABQ，
＝S四边形ABOD+S△COD﹣S扇形ABQ，
＝S矩形ABCD﹣S△ABQ＝1×3-120π×12360=3-π3．
故答案为：3-π3．

14．（2018•宿迁）如图，将含有30°角的直角三角板ABC放入平面直角坐标系，顶点A、B分别落在x、y轴的正半轴上，∠OAB＝60°，点A的坐标为（1，0）．将三角板ABC沿x轴向右作无滑动的滚动（先绕点A按顺时针方向旋转60°，再绕点C按顺时针方向旋转90°…），当点B第一次落在x轴上时，则点B运动的路径与两坐标轴围成的图形面积是　 　．

第14题 第15题
【解答】由点A的坐标为（1，0）．得OA＝1，又∵∠OAB＝60°，∴AB＝2，
∵∠ABC＝30°，AB＝2，∴AC＝1，BC=3，
在旋转过程中，三角板的长度和角度不变，
∴点B运动的路径与两坐标轴围成的图形面积12×1×3+60360π×22+12×1×3+90360π×(3)2=3+1712π．
故答案：3+1712π

15．（2020•镇江）如图，在△ABC中，BC＝3，将△ABC平移5个单位长度得到△A1B1C1，点P、Q分别是AB、A1C1的中点，PQ的最小值等于　 　．
【解答】取AC的中点M，A1B1的中点N，连接PM，MQ，NQ，PN，
∵将△ABC平移5个单位长度得到△A1B1C1，
∴B1C1＝BC＝3，PN＝5，
∵点P、Q分别是AB、A1C1的中点，
∴NQ=12B1C1=32，
∴5-32≤PQ≤5+32，
即72≤PQ≤132，
∴PQ的最小值等于72，
故答案为：72．

16．（2019•镇江）将边长为1的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转到FECG的位置（如图），使得点D落在对角线CF上，EF与AD相交于点H，则HD＝　 　．（结果保留根号）

第16题 第17题
【解答】∵四边形ABCD为正方形，
∴CD＝1，∠CDA＝90°，
∵边长为1的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转到FECG的位置，使得点D落在对角线CF上，
∴CF=2，∠CFE＝45°，
∴△DFH为等腰直角三角形，
∴DH＝DF＝CF﹣CD=2-1．
故答案为2-1．
17．（2018•镇江）如图，△ABC中，∠BAC＞90°，BC＝5，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转90°，点B对应点B′落在BA的延长线上．若sin∠B′AC=910，则AC＝　 　．
【解答】作CD⊥BB′于D，如图，
∵△ABC绕点C按顺时针方向旋转90°，点B对应点B′落在BA的延长线上，
∴CB＝CB′＝5，∠BCB′＝90°，
∴△BCB′为等腰直角三角形，
∴BB′=2BC＝52，
∴CD=12BB′=522，
在Rt△ACD中，∵sin∠DAC=CDAC=910，
∴AC=522×109=2529．
故答案为2529．
三．解答题（共19小题）
18．（2020•南京）如图①，要在一条笔直的路边l上建一个燃气站，向l同侧的A、B两个城镇分别铺设管道输送燃气．试确定燃气站的位置，使铺设管道的路线最短．
（1）如图②，作出点A关于l的对称点A'，线段A'B与直线l的交点C的位置即为所求，即在点C处建燃气站，所得路线ACB是最短的．
为了证明点C的位置即为所求，不妨在直线1上另外任取一点C'，连接AC'、BC'，证明AC+CB＜AC′+C'B．请完成这个证明．
（2）如果在A、B两个城镇之间规划一个生态保护区，燃气管道不能穿过该区域．请分别给出下列两种情形的铺设管道的方案（不需说明理由）．
①生态保护区是正方形区域，位置如图③所示；
②生态保护区是圆形区域，位置如图④所示．

【解答】证明：（1）如图②，连接A'C'，
∵点A，点A'关于l对称，点C在l上，
∴CA＝CA'，
∴AC+BC＝A'C+BC＝A'B，
同理可得AC'+C'B＝A'C'+BC'，
∵A'B＜A'C'+C'B，
∴AC+BC＜AC'+C'B；
（2）如图③，

在点C出建燃气站，铺设管道的最短路线是AC+CD+DB；（其中点D是正方形的顶点）；
如图④，

在点C出建燃气站，铺设管道的最短路线是AC+CD+DE+EB，（其中CD，BE都与圆相切）

19．（2018•南通）如图，正方形ABCD中，AB＝25，O是BC边的中点，点E是正方形内一动点，OE＝2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得DF，连接AE，CF．

（1）求证：AE＝CF；
（2）若A，E，O三点共线，连接OF，求线段OF的长．
（3）求线段OF长的最小值．
【解答】（1）证明：如图1，由旋转得：∠EDF＝90°，ED＝DF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC＝90°，AD＝CD，
∴∠ADC＝∠EDF，
即∠ADE+∠EDC＝∠EDC+∠CDF，
∴∠ADE＝∠CDF，
在△ADE和△CDF中，
∵AD=CD∠ADE=∠CDFDE=DF，
∴△ADE≌△CDF（SAS），
∴AE＝CF；
（2）如图2，过F作OC的垂线，交BC的延长线于P，
∵O是BC的中点，且AB＝BC＝25，
∵A，E，O三点共线，
∴OB=5，
由勾股定理得：AO＝5，
∵OE＝2，
∴AE＝5﹣2＝3，
由（1）知：△ADE≌△CDF，
∴∠DAE＝∠DCF，CF＝AE＝3，
∵∠BAD＝∠DCP，
∴∠OAB＝∠PCF，
∵∠ABO＝∠P＝90°，
∴△ABO∽△CPF，
∴ABOB=CPPF=255=2，
∴CP＝2PF，
设PF＝x，则CP＝2x，
由勾股定理得：32＝x2+（2x）2，
x=355或-355（舍），
∴FP=355，OP=5+655=1155，
由勾股定理得：OF=(355)2+(1155)2=26，
（3）如图3，由于OE＝2，所以E点可以看作是以O为圆心，2为半径的半圆上运动，
延长BA到P点，使得AP＝OC，连接PE，
∵AE＝CF，∠PAE＝∠OCF，
∴△PAE≌△OCF，
∴PE＝OF，
当PE最小时，为O、E、P三点共线，
OP=OB2+PB2=(5)2+(35)2=52，
∴PE＝OF＝OP﹣OE＝52-2，
∴OF的最小值是52-2．

20．（2020•徐州）我们知道：如图①，点B把线段AC分成两部分，如果BCAB=ABAC，那么称点B为线段AC的黄金分割点．它们的比值为5-12．
（1）在图①中，若AC＝20cm，则AB的长为　 　cm；
（2）如图②，用边长为20cm的正方形纸片进行如下操作：对折正方形ABCD得折痕EF，连接CE，将CB折叠到CE上，点B对应点H，得折痕CG．试说明：G是AB的黄金分割点；
（3）如图③，小明进一步探究：在边长为a的正方形ABCD的边AD上任取点E（AE＞DE），连接BE，作CF⊥BE，交AB于点F，延长EF、CB交于点P．他发现当PB与BC满足某种关系时，E、F恰好分别是AD、AB的黄金分割点．请猜想小明的发现，并说明理由．
【解答】（1）∵点B为线段AC的黄金分割点，AC＝20cm，
∴AB=5-12×20＝（105-10）cm．
故答案为：（105-10）．
（2）延长EA，CG交于点M，

∵四边形ABCD为正方形，
∴DM∥BC，
∴∠EMC＝∠BCG，
由折叠的性质可知，∠ECM＝∠BCG，
∴∠EMC＝∠ECM，
∴EM＝EC，
∵DE＝10，DC＝20，
∴EC=DE2+DC2=102+202=105，
∴EM＝105，
∴DM＝105+10，
∴tan∠DMC=DCDM=20105+10=25+1=5-12．
∴tan∠BCG=5-12，
即BGBC=5-12，
∵AB＝BC，
∴BGAB=5-12，
∴G是AB的黄金分割点；
（3）当BP＝BC时，满足题意．
理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠BAE＝∠CBF＝90°，
∵BE⊥CF，
∴∠ABE+∠CFB＝90°，
又∵∠BCF+∠BFC＝90°，
∴∠BCF＝∠ABE，
∴△ABE≌△BCF（ASA），
∴BF＝AE，
∵AD∥CP，
∴△AEF∽△BPF，
∴AEBP=AFBF，
当E、F恰好分别是AD、AB的黄金分割点时，
∵AE＞DE，
∴AFBF=BFAB，
∵BF＝AE，AB＝BC，
∴AFBF=BFAB=AEBC，
∴AEBP=AEBC，
∴BP＝BC．
21．（2019•徐州）如图，将平行四边形纸片ABCD沿一条直线折叠，使点A与点C重合，点D落在点G处，折痕为EF．求证：
（1）∠ECB＝∠FCG；
（2）△EBC≌△FGC．


【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠BCD，
由折叠可得，∠A＝∠ECG，
∴∠BCD＝∠ECG，
∴∠BCD﹣∠ECF＝∠ECG﹣∠ECF，
∴∠ECB＝∠FCG；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠D＝∠B，AD＝BC，
由折叠可得，∠D＝∠G，AD＝CG，
∴∠B＝∠G，BC＝CG，
又∵∠ECB＝∠FCG，
∴△EBC≌△FGC（ASA）．



22．（2018•徐州）如图，将等腰直角三角形纸片ABC对折，折痕为CD．展平后，再将点B折叠在边AC上（不与A、C重合），折痕为EF，点B在AC上的对应点为M，设CD与EM交于点P，连接PF．已知BC＝4．
（1）若M为AC的中点，求CF的长；
（2）随着点M在边AC上取不同的位置，
①△PFM的形状是否发生变化？请说明理由；
②求△PFM的周长的取值范围．

【解答】（1）∵M为AC的中点，
∴CM=12AC=12BC＝2，
由折叠的性质可知，FB＝FM，
设CF＝x，则FB＝FM＝4﹣x，
在Rt△CFM中，FM2＝CF2+CM2，即（4﹣x）2＝x2+22，
解得，x=32，即CF=32；
（2）①△PFM的形状是等腰直角三角形，不会发生变化，
理由如下：由折叠的性质可知，∠PMF＝∠B＝45°，
∵CD是中垂线，
∴∠ACD＝∠DCF＝45°，
∴∠PMO＝∠FCO，
∵∠POM＝∠FOC，
∴△POM∽△FOC，
∴OMOC=OPOF，
∴OMOP=OCOF
∵∠POF＝∠MOC，
∴△POF∽△MOC，
∴∠PFO＝∠MCO＝45°，
∴∠PFM＝∠PMF＝45°，
∴∠MPF＝90°，
∴△PFM是等腰直角三角形．

②∵△PFM是等腰直角三角形，设FM＝y，
由勾股定理可知：PF＝PM=22y，
∴△PFM的周长＝（1+2）y，
∵2＜y＜4，
∴△PFM的周长满足：2+22＜（1+2）y＜4+42．
23．（2019•苏州）如图，△ABC中，点E在BC边上，AE＝AB，将线段AC绕A点旋转到AF的位置，使得∠CAF＝∠BAE，连接EF，EF与AC交于点G．
（1）求证：EF＝BC；
（2）若∠ABC＝65°，∠ACB＝28°，求∠FGC的度数．





【解答】（1）证明：∵∠CAF＝∠BAE，
∴∠BAC＝∠EAF．
∵将线段AC绕A点旋转到AF的位置，
∴AC＝AF．
在△ABC与△AEF中，
AB=AE∠BAC=∠EAFAC=AF，
∴△ABC≌△AEF（SAS），
∴EF＝BC；

（2）∵AB＝AE，∠ABC＝65°，
∴∠BAE＝180°﹣65°×2＝50°，
∴∠FAG＝∠BAE＝50°．
∵△ABC≌△AEF，
∴∠F＝∠C＝28°，
∴∠FGC＝∠FAG+∠F＝50°+28°＝78°．
24．（2020•常州）如图1，点B在线段CE上，Rt△ABC≌Rt△CEF，∠ABC＝∠CEF＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1．
（1）点F到直线CA的距离是　 　；
（2）固定△ABC，将△CEF绕点C按顺时针方向旋转30°，使得CF与CA重合，并停止旋转．
①请你在图1中用直尺和圆规画出线段EF经旋转运动所形成的平面图形（用阴影表示，保留画图痕迹，不要求写画法）．该图形的面积为　 　；
②如图2，在旋转过程中，线段CF与AB交于点O，当OE＝OB时，求OF的长．

【解答】（1）如图1中，作FD⊥AC于D，
∵Rt△ABC≌Rt△CEF，∠ABC＝∠CEF＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1．
∴∠ACB＝60°，∠FCE＝∠BAC＝30°，AC＝CF，
∴∠ACF＝30°，
∴∠BAC＝∠FCD，
在△ABC和△CDF中，
∠BAC=∠FCD∠ABC=∠CDFAC=CF，
∴△ABC≌△CDF（AAS），
∴FD＝BC＝1，
故答案为1；
（2）线段EF经旋转运动所形成的平面图形如图所示，此时点E落在CF上的点H处．
S阴＝S△EFC+S扇形ACF﹣S扇形CEH﹣S△AHC＝S扇形ACF﹣S扇形ECH=30⋅π⋅22360-30⋅π⋅(3)2360=π12．
故答案为π12．
（3）如图2中，过点E作EH⊥CF于H．设OB＝OE＝x．
在Rt△ECF中，∵EF＝1，∠ECF＝30°，EH⊥CF，
∴EC=3EF=3，EH=32，CH=3EH=32，
在Rt△BOC中，OC=OB2+BC2=1+x2，
∴OH＝CH﹣OC=32-1+x2，
在Rt△EOH中，则有x2＝（32）2+（32-1+x2）2，
解得x=73或-73（不合题意舍弃），
∴OC=1+(73)2=43，
∵CF＝2EF＝2，
∴OF＝CF﹣OC＝2-43=23．
25．（2019•常州）如图，把平行四边形纸片ABCD沿BD折叠，点C落在点C′处，BC′与AD相交于点E．
（1）连接AC′，则AC′与BD的位置关系是　 　；
（2）EB与ED相等吗？证明你的结论．

【解答】（1）连接AC′，∵四边形ABCD平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴∠ADB＝∠CBD，
由折叠知，BC'＝BC，∠C'BD＝∠CBD，
∴AD＝BC'，∠ADB＝∠C'BD，
∴BE＝DE，
∴AE＝C'E，
∴∠DAC'=12（180°﹣∠AEC'）＝90°-12∠AEC'，
同理：∠ADB＝90°-12∠BED，
∵∠AEC'＝∠BED，
∴∠DAC'＝∠ADB，
∴AC'∥BD，
故答案为：AC′∥BD；
（2）EB与ED相等．
由折叠可得，∠CBD＝∠C'BD，
∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠CBD，
∴∠EDB＝∠CBD，
∴BE＝DE．
26．（2019•扬州）如图，已知等边△ABC的边长为8，点P是AB边上的一个动点（与点A、B不重合）．直线1是经过点P的一条直线，把△ABC沿直线1折叠，点B的对应点是点B′．
（1）如图1，当PB＝4时，若点B′恰好在AC边上，则AB′的长度为　 　；
（2）如图2，当PB＝5时，若直线1∥AC，则BB′的长度为　 　；
（3）如图3，点P在AB边上运动过程中，若直线1始终垂直于AC，△ACB′的面积是否变化？若变化，说明理由；若不变化，求出面积；
（4）当PB＝6时，在直线1变化过程中，求△ACB′面积的最大值．

【解答】（1）如图1中，

∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝60°，AB＝BC＝AC＝8，
∵PB＝4，
∴PB′＝PB＝PA＝4，
∵∠A＝60°，
∴△APB′是等边三角形，
∴AB′＝AP＝4．
当直线l经过C时，点B′与A重合，此时AB′＝0
故答案为4或0．

（2）如图2中，设直线l交BC于点E．连接BB′交PE于O．

∵PE∥AC，
∴∠BPE＝∠A＝60°，∠BEP＝∠C＝60°，
∴△PEB是等边三角形，
∵PB＝5，
∴∵B，B′关于PE对称，
∴BB′⊥PE，BB′＝2OB
∴OB＝PB•sin60°=532，
∴BB′＝53．
故答案为53．

（3）如图3中，结论：面积不变．

∵B，B′关于直线l对称，
∴BB′⊥直线l，
∵直线l⊥AC，
∴AC∥BB′，
∴S△ACB′＝S△ACB=12×8×32×8＝163．

（4）如图4中，当B′P⊥AC时，△ACB′的面积最大，

设直线PB′交AC于E，
在Rt△APE中，∵PA＝2，∠PAE＝60°，
∴PE＝PA•sin60°=3，
∴B′E＝6+3，
∴S△ACB′的最大值=12×8×（6+3）＝43+24．
解法二：如图5中，过点P作PH垂直于AC，

由题意可得：B’在以P为圆心半径长为6的圆上运动，
当PH的延长线交圆P于点B′时面积最大，
此时BH＝6+3，S△ACB′的最大值=12×8×（6+3）＝43+24．

27．（2018•泰州）对给定的一张矩形纸片ABCD进行如下操作：先沿CE折叠，使点B落在CD边上（如图①），再沿CH折叠，这时发现点E恰好与点D重合（如图②）
（1）根据以上操作和发现，求CDAD的值；
（2）将该矩形纸片展开．
①如图③，折叠该矩形纸片，使点C与点H重合，折痕与AB相交于点P，再将该矩形纸片展开．求证：∠HPC＝90°；
②不借助工具，利用图④探索一种新的折叠方法，找出与图③中位置相同的P点，要求只有一条折痕，且点P在折痕上，请简要说明折叠方法．（不需说明理由）

【解答】（1）由图①，可得∠BCE=12∠BCD＝45°，
又∵∠B＝90°，
∴△BCE是等腰直角三角形，
∴BCEC=cos45°=22，即CE=2BC，
由图②，可得CE＝CD，而AD＝BC，
∴CD=2AD，
∴CDAD=2；

（2）①设AD＝BC＝a，则AB＝CD=2a，BE＝a，
∴AE＝（2-1）a，
如图③，连接EH，则∠CEH＝∠CDH＝90°，
∵∠BEC＝45°，∠A＝90°，
∴∠AEH＝45°＝∠AHE，
∴AH＝AE＝（2-1）a，
设AP＝x，则BP=2a﹣x，由翻折可得，PH＝PC，即PH2＝PC2，
∴AH2+AP2＝BP2+BC2，
即[（2-1）a]2+x2＝（2a﹣x）2+a2，
解得x＝a，即AP＝BC，
又∵PH＝CP，∠A＝∠B＝90°，
∴Rt△APH≌Rt△BCP（HL），
∴∠APH＝∠BCP，
又∵Rt△BCP中，∠BCP+∠BPC＝90°，
∴∠APH+∠BPC＝90°，
∴∠CPH＝90°；
②折法：如图，由AP＝BC＝AD，可得△ADP是等腰直角三角形，PD平分∠ADC，
故沿着过D的直线翻折，使点A落在CD边上，此时折痕与AB的交点即为P；

折法：如图，由∠BCE＝∠PCH＝45°，可得∠BCP＝∠ECH，
由∠DCE＝∠PCH＝45°，可得∠PCE＝∠DCH，
又∵∠DCH＝∠ECH，
∴∠BCP＝∠PCE，即CP平分∠BCE，
故沿着过点C的直线折叠，使点B落在CE上，此时，折痕与AB的交点即为P．
28．（2020•无锡）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，点E为边CD上的一点（与C、D不重合），四边形ABCE关于直线AE的对称图形为四边形ANME，延长ME交AB于点P，记四边形PADE的面积为S．
（1）若DE=33，求S的值；
（2）设DE＝x，求S关于x的函数表达式．


【解答】（1）当DE=33，
∵AD＝1，
∴tan∠AED=3，AE=233，
∴∠AED＝60°，
∵AB∥CD，
∴∠BAE＝60°，
∵四边形ABCE关于直线AE的对称图形为四边形ANME，
∴∠AEC＝∠AEM，
∵∠PEC＝∠DEM，
∴∠AEP＝∠AED＝60°，
∴△APE为等边三角形，
∴S=34×（233）2+12×33×1=32；
（2）过E作EF⊥AB于F，
由（1）可知，∠AEP＝∠AED＝∠PAE，
∴AP＝PE，
设AP＝PE＝a，AF＝ED＝x，
则PF＝a﹣x，EF＝AD＝1，
在Rt△PEF中，（a﹣x）2+1＝a2，解得：a=x2+12x，
∴S=12⋅x×1+12×x2+12x×1=12x+x2+14x．

29．（2019•无锡）如图1，在矩形ABCD中，BC＝3，动点P从B出发，以每秒1个单位的速度，沿射线BC方向移动，作△PAB关于直线PA的对称△PAB′，设点P的运动时间为t（s）．
（1）若AB＝23．
①如图2，当点B′落在AC上时，显然△PAB′是直角三角形，求此时t的值；
②是否存在异于图2的时刻，使得△PCB′是直角三角形？若存在，请直接写出所有符合题意的t的值？若不存在，请说明理由．
（2）当P点不与C点重合时，若直线PB′与直线CD相交于点M，且当t＜3时存在某一时刻有结论∠PAM＝45°成立，试探究：对于t＞3的任意时刻，结论“∠PAM＝45°”是否总是成立？请说明理由．

【解答】（1）①如图1中，

∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，
∴AC=AB2+BC2=21，
∵∠PCB′＝∠ACB，∠PB′C＝∠ABC＝90°，
∴△PCB′∽△ACB，
∴CB'CB=PB'AB，
∴21-233=PB'23，
∴PB′＝27-4．
∴t＝PB＝27-4．
②如图2﹣1中，当∠PCB′＝90°时，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝90°，AB＝CD＝23，AD＝BC＝3，
∴DB′=(23)2-32=3，
∴CB′＝CD﹣DB′=3，
在Rt△PCB′中，∵B′P2＝PC2+B′C2，
∴t2＝（3）2+（3﹣t）2，
∴t＝2．

如图2﹣2中，当∠PCB′＝90°时，

在Rt△ADB′中，DB′=AB'2-AD2=3，
∴CB′＝33
在Rt△PCB′中则有：(33)2+(t-3)2=t2，解得t＝6．

如图2﹣3中，当∠CPB′＝90°时，易证四边形ABP′为正方形，易知t＝23．

综上所述，满足条件的t的值为2s或6s或23s．
（2）如图3﹣1中，

∵∠PAM＝45°
∴∠2+∠3＝45°，∠1+∠4＝45°
又∵翻折，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
又∵∠ADM＝∠AB′M，AM＝AM，
∴△AMD≌△AMB′（AAS），
∴AD＝AB′＝AB，
即四边形ABCD是正方形，
如图，设∠APB＝x．
∴∠PAB＝90°﹣x，
∴∠DAP＝x，
易证△MDA≌△B′AM（HL），
∴∠BAM＝∠DAM，
∵翻折，
∴∠PAB＝∠PAB′＝90°﹣x，
∴∠DAB′＝∠PAB′﹣∠DAP＝90°﹣2x，
∴∠DAM=12∠DAB′＝45°﹣x，
∴∠MAP＝∠DAM+∠PAD＝45°．


30．（2018•无锡）如图，矩形ABCD中，AB＝m，BC＝n，将此矩形绕点B顺时针方向旋转θ（0°＜θ＜90°）得到矩形A1BC1D1，点A1在边CD上．
（1）若m＝2，n＝1，求在旋转过程中，点D到点D1所经过路径的长度；
（2）将矩形A1BC1D1继续绕点B顺时针方向旋转得到矩形A2BC2D2，点D2在BC的延长线上，设边A2B与CD交于点E，若A1EEC=6-1，求nm的值．

【解答】（1）作A1H⊥AB于H，连接BD，BD1，则四边形ADA1H是矩形．
∴AD＝HA1＝n＝1，
在Rt△A1HB中，∵BA1＝BA＝m＝2，
∴BA1＝2HA1，
∴∠ABA1＝30°，
∴旋转角为30°，
∵BD=12+22=5，
∴D到点D1所经过路径的长度=30⋅π⋅5180=56π．
（2）∵△BCE∽△BA2D2，
∴CECB=A2D2A2B=nm，
∴CE=n2m
∵EA1EC=6-1，
∴A1CEC=6，
∴A1C=6•n2m，
∴BH＝A1C=m2-n2=6•n2m，
∴m2﹣n2＝6•n4m2，
∴m4﹣m2n2＝6n4，
1-n2m2=6•n4m4，
∴nm=33

31．（2019•盐城）如图①是一张矩形纸片，按以下步骤进行操作：
（Ⅰ）将矩形纸片沿DF折叠，使点A落在CD边上点E处，如图②；
（Ⅱ）在第一次折叠的基础上，过点C再次折叠，使得点B落在边CD上点B′处，如图③，两次折痕交于点O；
（Ⅲ）展开纸片，分别连接OB、OE、OC、FD，如图④．
【探究】
（1）证明：△OBC≌△OED；
（2）若AB＝8，设BC为x，OB2为y，求y关于x的关系式．

【解答】（1）证明：由折叠可知，AD＝ED，∠BCO＝∠DCO＝∠ADO＝∠CDO＝45°
∴BC＝DE，∠COD＝90°，OC＝OD，
在△OBC≌△OED中，
OC=OD∠OCB=∠ODEBC=DE，
∴△OBC≌△OED（SAS）；
（2）过点O作OH⊥CD于点H．
由（1）△OBC≌△OED，
OE＝OB，
∵BC＝x，则AD＝DE＝x，
∴CE＝8﹣x，
∵OC＝OD，∠COD＝90°
∴CH=12CD=12AB=12×8=4，
OH=12CD＝4，
∴EH＝CH﹣CE＝4﹣（8﹣x）＝x﹣4
在Rt△OHE中，由勾股定理得
OE2＝OH2+EH2，
即OB2＝42+（x﹣4）2，
∴y关于x的关系式：y＝x2﹣8x+32．
32．（2020•淮安）[初步尝试]
（1）如图①，在三角形纸片ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC折叠，使点B与点C重合，折痕为MN，则AM与BM的数量关系为　 　；
[思考说理]
（2）如图②，在三角形纸片ABC中，AC＝BC＝6，AB＝10，将△ABC折叠，使点B与点C重合，折痕为MN，求AMBM的值；
[拓展延伸]
（3）如图③，在三角形纸片ABC中，AB＝9，BC＝6，∠ACB＝2∠A，将△ABC沿过顶点C的直线折叠，使点B落在边AC上的点B′处，折痕为CM．
①求线段AC的长；
②若点O是边AC的中点，点P为线段OB′上的一个动点，将△APM沿PM折叠得到△A′PM，点A的对应点为点A′，A′M与CP交于点F，求PFMF的取值范围．

【解答】（1）如图①中，

∵△ABC折叠，使点B与点C重合，折痕为MN，
∴MN垂直平分线段BC，
∴CN＝BN，
∵∠MNB＝∠ACB＝90°，
∴MN∥AC，
∵CN＝BN，
∴AM＝BM．
故答案为AM＝BM．
（2）如图②中，
∵CA＝CB＝6，
∴∠A＝∠B，
由题意MN垂直平分线段BC，
∴BM＝CM，
∴∠B＝∠MCB，
∴∠BCM＝∠A，
∵∠B＝∠B，
∴△BCM∽△BAC，
∴BCBA=BMBC，
∴610=BM6，
∴BM=185，
∴AM＝AB﹣BM＝10-185=325，
∴AMBM=325185=169．
（3）①如图③中，
由折叠的性质可知，CB＝CB′＝6，∠BCM＝∠ACM，
∵∠ACB＝2∠A，
∴∠BCM＝∠A，
∵∠B＝∠B，
∴△BCM∽△BAC，
∴BCAB=BMBC=CMAC
∴69=BM6，
∴BM＝4，
∴AM＝CM＝5，
∴69=5AC，
∴AC=152．
②如图③﹣1中，
∵∠A＝∠A′＝∠MCF，∠PFA′＝∠MFC，PA＝PA′，
∴△PFA′∽△MFC，
∴PFFM=PA'CM，
∵CM＝5，
∴PFFM=PA'5，
∵点P在线段OB上运动，OA＝OC=154，AB′=152-6=32，
∴32≤PA′≤154，
∴310≤PFFM≤34．

33．（2019•宿迁）如图①，在钝角△ABC中，∠ABC＝30°，AC＝4，点D为边AB中点，点E为边BC中点，将△BDE绕点B逆时针方向旋转α度（0≤α≤180）．
（1）如图②，当0＜α＜180时，连接AD、CE．求证：△BDA∽△BEC；
（2）如图③，直线CE、AD交于点G．在旋转过程中，∠AGC的大小是否发生变化？如变化，请说明理由；如不变，请求出这个角的度数；
（3）将△BDE从图①位置绕点B逆时针方向旋转180°，求点G的运动路程．

【解答】（1）如图②中，
由图①，∵点D为边AB中点，点E为边BC中点，
∴DE∥AC，
∴BDBA=BEBC，
∴BDBE=BABC，
∵∠DBE＝∠ABC，
∴∠DBA＝∠EBC，
∴△DBA∽△EBC．
（2）∠AGC的大小不发生变化，∠AGC＝30°．
理由：如图③中，设AB交CG于点O．

∵△DBA∽△EBC，
∴∠DAB＝∠ECB，
∵∠DAB+∠AOG+∠G＝180°，∠ECB+∠COB+∠ABC＝180°，∠AOG＝∠COB，
∴∠G＝∠ABC＝30°．
（3）如图③﹣1中．设AB的中点为K，连接DK，以AC为边向左边等边△ACO，连接OG，OB．

以O为圆心，OA为半径作⊙O，
∵∠AGC＝30°，∠AOC＝60°，
∴∠AGC=12∠AOC，
∴点G在⊙O上运动，
以B为圆心，BD为半径作⊙B，当直线与⊙B相切时，BD⊥AD，
∴∠ADB＝90°，
∵BK＝AK，
∴DK＝BK＝AK，
∵BD＝BK，
∴BD＝DK＝BK，
∴△BDK是等边三角形，
∴∠DBK＝60°，
∴∠DAB＝30°，
∴∠BOG＝2∠DAB＝60°，
∴BG的长=60⋅π⋅4180=4π3，
观察图象可知，点G的运动路程是BG的长的两倍=8π3．
34．（2018•宿迁）如图，在边长为1的正方形ABCD中，动点E、F分别在边AB、CD上，将正方形ABCD沿直线EF折叠，使点B的对应点M始终落在边AD上（点M不与点A、D重合），点C落在点N处，MN与CD交于点P，设BE＝x．
（1）当AM=13时，求x的值；
（2）随着点M在边AD上位置的变化，△PDM的周长是否发生变化？如变化，请说明理由；如不变，请求出该定值；
（3）设四边形BEFC的面积为S，求S与x之间的函数表达式，并求出S的最小值．

【解答】（1）如图，在Rt△AEM中，AE＝1﹣x，EM＝BE＝x，AM=13，
∵AE2+AM2＝EM2，
∴（1﹣x）2+（13）2＝x2，
∴x=59．
（2）△PDM的周长不变，为2．
理由：设AM＝y，则BE＝EM＝x，MD＝1﹣y，
在Rt△AEM中，由勾股定理得AE2+AM2＝EM2，
（1﹣x）2+y2＝x2，解得1+y2＝2x，
∴1﹣y2＝2（1﹣x）
∵∠EMP＝90°，∠A＝∠D，
∴Rt△AEM∽Rt△DMP，
∴AE+EM+AMDM+MP+DP=AEMD，即1-x+x+yDM+MP+DP=1-x1-y，
解得DM+MP+DP=1-y21-x=2．
∴△DMP的周长为2．
（3）作FH⊥AB于H．则四边形BCFH是矩形．连接BM交EF于O，交FH于K．
在Rt△AEM中，AM=x2-(1-x)2=2x-1，
∵B、M关于EF对称，
∴BM⊥EF，
∴∠KOF＝∠KHB，∵∠OKF＝∠BKH，
∴∠KFO＝∠KBH，
∵AB＝BC＝FH，∠A＝∠FHE＝90°，
∴△ABM≌△HFE，
∴EH＝AM=2x-1，
∴CF＝BH＝x-2x-1，
∴S=12（BE+CF）•BC=12（x+x-2x-1）=12[（2x-1）2-2x-1+1]=12（2x-1-12）2+38．
当2x-1=12时，S有最小值=38．



35．（2018•镇江）（1）如图1，将矩形ABCD折叠，使BC落在对角线BD上，折痕为BE，点C落在点C′处，若∠ADB＝46°，则∠DBE的度数为　 　°．
（2）小明手中有一张矩形纸片ABCD，AB＝4，AD＝9．
【画一画】
如图2，点E在这张矩形纸片的边AD上，将纸片折叠，使AB落在CE所在直线上，折痕设为MN（点M，N分别在边AD，BC上），利用直尺和圆规画出折痕MN（不写作法，保留作图痕迹，并用黑色水笔把线段描清楚）；
【算一算】
如图3，点F在这张矩形纸片的边BC上，将纸片折叠，使FB落在射线FD上，折痕为GF，点A，B分别落在点A′，B′处，若AG=73，求B′D的长；
【验一验】
如图4，点K在这张矩形纸片的边AD上，DK＝3，将纸片折叠，使AB落在CK所在直线上，折痕为HI，点A，B分别落在点A′，B′处，小明认为B′I所在直线恰好经过点D，他的判断是否正确，请说明理由．

【解答】（1）如图1中，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBC＝46°，
由翻折不变性可知，∠DBE＝∠EBC=12∠DBC＝23°，
故答案为23．
（2）【画一画】，如图2中，


【算一算】如图3中，

∵AG=73，AD＝9，
∴GD＝9-73=203，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠DGF＝∠BFG，
由翻折不变性可知，∠BFG＝∠DFG，
∴∠DFG＝∠DGF，
∴DF＝DG=203，
∵CD＝AB＝4，∠C＝90°，
∴在Rt△CDF中，CF=DF2-CD2=163，
∴BF＝BC﹣CF=113，
由翻折不变性可知，FB＝FB′=113，
∴DB′＝DF﹣FB′=203-113=3．

【验一验】如图4中，小明的判断不正确．

理由：连接ID，在Rt△CDK中，∵DK＝3，CD＝4，
∴CK=32+42=5，
∵AD∥BC，
∴∠DKC＝∠ICK，
由折叠可知，∠A′B′I＝∠B＝90°，
∴∠IB′C＝90°＝∠D，
∴△CDK∽△IB′C，
∴CDIB'=DKB'C=CKIC，即4IB'=3B'C=5IC，
设CB′＝3k，IB′＝4k，IC＝5k，
由折叠可知，IB＝IB′＝4k，
∴BC＝BI+IC＝4k+5k＝9，
∴k＝1，
∴IC＝5，IB′＝4，B′C＝3，
在Rt△ICB′中，tan∠B′IC=CB'IB'=34，
连接ID，在Rt△ICD中，tan∠DIC=DCIC=45，
∴tan∠B′IC≠tan∠DIC，
∴B′I所在的直线不经过点D．

36．（2019•连云港）问题情境：如图1，在正方形ABCD中，E为边BC上一点（不与点B、C重合），垂直于AE的一条直线MN分别交AB、AE、CD于点M、P、N．判断线段DN、MB、EC之间的数量关系，并说明理由．
问题探究：在“问题情境”的基础上．
（1）如图2，若垂足P恰好为AE的中点，连接BD，交MN于点Q，连接EQ，并延长交边AD于点F．求∠AEF的度数；
（2）如图3，当垂足P在正方形ABCD的对角线BD上时，连接AN，将△APN沿着AN翻折，点P落在点P'处，若正方形ABCD的边长为4，AD的中点为S，求P'S的最小值．
问题拓展：如图4，在边长为4的正方形ABCD中，点M、N分别为边AB、CD上的点，将正方形ABCD沿着MN翻折，使得BC的对应边B'C'恰好经过点A，C'N交AD于点F．分别过点A、F作AG⊥MN，FH⊥MN，垂足分别为G、H．若AG=52，请直接写出FH的长．
【解答】问题情境：
线段DN、MB、EC之间的数量关系为：DN+MB＝EC；理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABE＝∠BCD＝90°，AB＝BC＝CD，AB∥CD，
过点B作BF∥MN分别交AE、CD于点G、F，如图1所示：
∴四边形MBFN为平行四边形，
∴NF＝MB，
∴BF⊥AE，
∴∠BGE＝90°，
∴∠CBF+∠AEB＝90°，
∵∠BAE+∠AEB＝90°，
∴∠CBF＝∠BAE，
在△ABE和△BCF中，∠BAE=∠CBFAB=BC∠ABE=∠BCF=90°，
∴△ABE≌△BCF（ASA），
∴BE＝CF，
∵DN+NF+CF＝BE+EC，
∴DN+MB＝EC；
问题探究：
（1）连接AQ，过点Q作HI∥AB，分别交AD、BC于点H、I，如图2所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴四边形ABIH为矩形，
∴HI⊥AD，HI⊥BC，HI＝AB＝AD，
∵BD是正方形ABCD的对角线，
∴∠BDA＝45°，
∴△DHQ是等腰直角三角形，HD＝HQ，AH＝QI，
∵MN是AE的垂直平分线，
∴AQ＝QE，
在Rt△AHQ和Rt△QIE中，AQ=QEAH=QI，
∴Rt△AHQ≌Rt△QIE（HL），
∴∠AQH＝∠QEI，
∴∠AQH+∠EQI＝90°，
∴∠AQE＝90°，
∴△AQE是等腰直角三角形，
∴∠EAQ＝∠AEQ＝45°，即∠AEF＝45°；
（2）连接AC交BD于点O，如图3所示：
则△APN的直角顶点P在OB上运动，
设点P与点B重合时，则点P′与点D重合；设点P与点O重合时，则点P′的落点为O′，
∵AO＝OD，∠AOD＝90°，
∴∠ODA＝∠ADO′＝45°，
当点P在线段BO上运动时，过点P作PG⊥CD于点G，过点P′作P′H⊥CD交CD延长线于点H，连接PC，
∵点P在BD上，
∴AP＝PC，
在△APB和△CPB中，AP=PCBP=BPAB=BC，
∴△APB≌△CPB（SSS），
∴∠BAP＝∠BCP，
∵∠BCD＝∠MPA＝90°，
∴∠PCN＝∠AMP，
∵AB∥CD，
∴∠AMP＝∠PNC，
∴∠PCN＝∠PNC，
∴PC＝PN，
∴AP＝PN，
∴∠PNA＝45°，
∴∠PNP′＝90°，
∴∠P′NH+PNG＝90°，
∵∠P′NH+∠NP′H＝90°，∠PNG+∠NPG＝90°，
∴∠NPG＝∠P′NH，∠PNG＝∠NP′H，
由翻折性质得：PN＝P′N，
在△PGN和△NHP'中，∠NPG=∠P'NHPN=P'N∠PNG=∠NP'H，
∴△PGN≌△NHP'（ASA），
∴PG＝NH，GN＝P'H，
∵BD是正方形ABCD的对角线，
∴∠PDG＝45°，
易得PG＝GD，
∴GN＝DH，
∴DH＝P'H，
∴∠P'DH＝45°，故∠P'DA＝45°，
∴点P'在线段DO'上运动；
过点S作SK⊥DO'，垂足为K，
∵点S为AD的中点，
∴DS＝2，则P'S的最小值为2；
问题拓展：
延长AG交BC于E，交DC的延长线于Q，延长FH交CD于P，如图4：
则EG＝AG=52，PH＝FH，
∴AE＝5，
在Rt△ABE中，BE=AE2-AB2=3，
∴CE＝BC﹣BE＝1，
∵∠B＝∠ECQ＝90°，∠AEB＝∠QEC，
∴△ABE∽△QCE，
∴AEQE=BECE=3，
∴QE=13AE=53，
∴AQ＝AE+QE=203，
∵AG⊥MN，
∴∠AGM＝90°＝∠B，
∵∠MAG＝∠EAB，
∴△AGM∽△ABE，
∴AMAE=AGAB，即AM5=524，
解得：AM=258，
由折叠的性质得：AB'＝EB＝3，∠B'＝∠B＝90°，∠C'＝∠BCD＝90°，
∴B'M=AM2-AB'2=78，AC'＝1，
∵∠BAD＝90°，
∴∠B'AM＝∠C'FA，
∴△AFC'∽△MAB'，
∴AFAM=AC'B'M=178，
解得：AF=257，
∴DF＝4-257=37，
∵AG⊥MN，FH⊥MN，
∴AG∥FH，
∴AQ∥FP，
∴△DFP∽△DAQ，
∴FPAQ=DFAD，即FP203=374，
解得：FP=57，
∴FH=12FP=514．