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期末考试卷（一）-2022-2023学年九年级数学上册课后培优分级练（人教版）
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期末考试卷（一）课后培优练
（时间120分钟，满分120分）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题（每小题3分，共30分）
1．下列图案中，既不是中心对称图形也不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】A选项，此图案是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B选项，此图案既不是中心对称图形也不是轴对称图形，故此选项符合题意；
C选项，此图案是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D选项，此图案是中心对称图形，故此选项不符合题意；
故选B．
2．用配方法解方程，方程应变形为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：∵，
∴，
∴，即，
故选D．
3．下列事件为不可能事件的是（ ）
A．某射击运动员射击一次，射中靶心 B．掷一次骰子，向上一面的点数是3
C．找到一个三角形，其内角和是360° D．经过城市中某一有交通信号灯的路口遇到红灯
【答案】C
【详解】A．某射击运动员射击一次，命中靶心可能发生，也可能不发生，属于随机事件，不符合题意，
B．掷一次骰子，向上一面的点数是3可能发生，也可能不发生，属于随机事件，不符合题意；
C．找到一个三角形，其内角和为360°，是不可能发生的事件，符合题意，
D．经过城市中某一有交通信号灯的路口，遇到红灯是随机事件，不符合题意．
故选：C．
4．如图所示，A，D是⊙O上的两个点，BC是直径，若∠D＝35°，则∠ACB的度数是（ ）
A．35° B．55° C．65° D．70°
【答案】B
【详解】解：连接AB，
由同弧所对的圆周角相等得∠ABC＝∠D＝35°，
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAC＝90°，
∴∠ACB＝90°－35°＝55°．
故选B．
5．二次函数y＝a x 2＋bx＋c的图象如图所示，且方程a x 2＋bx＋c＝k有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＜2 B．k≤2 C．k＜3 D．1＜k ＜3
【答案】A
【详解】由图象可知二次函数y＝a x 2＋bx＋c的顶点坐标为（2，2），
∴＝2，即b2－4ac＝－8a，
∵a x 2＋bx＋c＝k有两个不相等的实数根，
∴方程a x 2＋bx＋c－k＝0的判别式⊿＞0，
即b2－4a（c－k ）＝b2－8a＋4ak＝－4a（2－k ）＞0，
∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∴2－k＞0，
∴k＜2．
故选A．
6．在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax+a和y＝-ax2+2x+2（a是常数，且a≠0）的图象可能是（ ）
A． B．C． D．
【答案】B
【详解】解：当时，函数的图象经过一、二、三象限；函数的开口向下，对称轴在y轴的右侧；
当时，函数的图象经过二、三、四象限；函数的开口向上，对称轴在y轴的左侧，故B正确．
故选B．
7．关于的方程有实数根，则满足（ ）
A． B．且 C．且 D．
【答案】A
【详解】解：分类讨论：
当即时，方程变为，此时方程一定有实数根；
当即时，
关于的方程有实数根
，
．
的取值范围为．
故选：A．
8．如图，在△ABC中，，，点D，E分别在AC和BC上，，若以DE为直径的⊙O交AB的中点F，则⊙O的直径是（ ）
A． B．2 C． D．5
【答案】C
【详解】解：作FG⊥AC，FH⊥CB，垂足分别为G、H，如图
则四边形BCGF是矩形，，，
∵，点F是AB的中点，
∴，
∴四边形BCGF是正方形，
∴∠GFH=90°，
∵DE是直径，则∠DFE=90°，
∴，
∴，
∵，，
∴△DFG≌△EFH，
∴DF=EF，
∵在直角△DFG中，，，
∴，
在直角△DEF中，
；
故选：C
9．已知抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论正确的是（ ）
①b＜1；②2a+b＞0；③a+c+1＞0；④a﹣b+c＜0；⑤最大值为3．
A．②③④⑤ B．②③④ C．②③ D．①②④
【答案】B
【详解】①由图可知，x=-1时，y=-2，
所以，a-b+c=-2，
∴c=-2-a+b，
∵x=1时，y＞0，
∴a+b+c＞0，
∴a+b+（-2-a+b）＞0，
∴b＞1，
故①不正确；
②∵二次函数开口向下，
∴a＜0，
∵对称轴x=1的右边，
∴-＞1，
∴b＞-2a，
2a+b＞0，
故②正确；
③∵a+b+c＞0，
∴a+c＞-b，
∴2a+2c＞a-b+c，
∵a-b+c=-2，
∴2a+2c＞-2，
∴a+c＞-1，
∴a+c+1＞0；
故③正确；
④由①知：a-b+c=-2，
∴a-b+c＜0，
故④正确；
⑤∵当x=-2时，y＜0，
∴4a-2b+c＜0，
∴a+b+c＜3b-3a，
∵b＞1，a＜0，
∴b-a＞0，
∴＜3，
故⑤错误；
综上所述，结论正确的是②③④共3个．
故选B．
10．在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，D、E分别是AC、BC上的一点，且DE=3， 若以DE为直径的圆与斜边AB相交于M、N，则MN的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：取DE的中点O，过点O作OG⊥MN于点G，作CH⊥AB于点H.
∴，
当弦心距OG最短时，MN取最大值，
∴当点C，O，G三点共线时，即当点O在CH上时，MN取最大值，
连接OM.
∵∠C=90°，BC=3，AC=4，
∴CH==2.4
∴OH=2.4-1.5=0.9，
∴OM=1.5，
则在Rt△MOH中，由勾股定理得MH=1.2，
根据垂径定理，MN=2MH=2.4.
故选D.
二、填空题（每小题3分，共30分）
11．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点P，若∠P=40°，则∠ADC=_________．
【答案】115°
【详解】解：连接OC，如图所示，
由题意可得，，，
∴，
∵，
∴，
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴，
∴，
故答案为：115°．
12．若二次函数的图象与轴有一个公共点，则________
【答案】1
【详解】解：由题可知，只有一个实根，
，，，
，
即4-4k=0，得k=1
故答案为：1
13．在实数范围内定义一种运算“*”，其规则为a*b＝a2﹣b2，根据这个规则，方程（x+2）*5＝0的解为_____________．
【答案】x＝3或x＝﹣7
【详解】解：据题意得，
∵（x+2）*5＝（x+2）2﹣52
∴x2+4x﹣21＝0，
∴（x﹣3）（x+7）＝0，
∴x＝3或x＝﹣7．
故答案为：x＝3或x＝﹣7
14．已知线段，将线段以点A为旋转中心，逆时针旋转得到线段则点B、点的距离为________．
【答案】
【详解】解：由旋转变换的性质可知，，，
由勾股定理得，，
故答案为：．
15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过平移得到抛物线，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积是_______
【答案】4
【详解】∵，
∴平移后抛物线的顶点坐标为（2，−2），对称轴为直线x＝2，
当x＝2时，，
∴平移后阴影部分的面积等于如图三角形的面积，
×（2＋2）×2＝4，
故填：4．
16．如图，某小区规划在一个长30m、宽20m的矩形ABCD上，修建三条同样宽的通道，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种花草．要使每一块花草的面积都为78m2，那么通道的宽应设计成______m．
【答案】2
【详解】设道路的宽为xm，由题意得：
（30-2x）（20-x）=6×78，
解得x=2或x=-33（舍去）．
答：通道应设计成2米．
故答案为：2．
17．如图，已知矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，P是以CD为直径的半圆上的一个动点，连接BP，则BP的最大值是__________．
【答案】+2
【详解】解：将以CD为直径的⊙O补充完整，如图所示．
∵点B在⊙O外，
∴当点B、O、P三点共线时，BP的值最大．
∵CD为⊙O的直径，CD＝AB＝4，
∴OC＝OP＝2．
在Rt△BOC中，BC＝3，OC＝2，
∴OB＝＝，
∴此时BP＝BO+OP＝+2．
故答案为+2．
18．某玩具店进了一排黑白塑料球，共5箱，每箱的规格、数量都相同，其中每箱中装有黑白两种颜色的塑料球共3000个，为了估计每箱中两种颜色球的个数，随机抽查了一箱，将箱子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回箱子中，多次重复上述过程后，发现摸到黑球的概率在0.8附近波动，则此可以估计这批塑料球中黑球的总个数，请将黑球总个数用科学记数法表示约为________个．
【答案】1.2×104
【详解】设黑球的个数为x．
∵黑球的频率在0.8附近波动，∴摸出黑球的概率为0.8，即0.8，解得：x＝2400．
所以可以估计黑球的个数为2400×5＝12000＝1.2×104个．
故答案为1.2×104．
19．抛物线的顶点为，与轴的一个交点在点和之间，则以下结论：①；②；③；④方程有两个不相等的实数根，其中正确结论为__________．
【答案】②③
【详解】解：∵抛物线与轴有两个交点，
∴，所以①错误，不符合题意；
∵顶点为，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵抛物线与轴的一个交点在点和之间，
∴抛物线与轴的另一个交点在点和之间，
∴当时，，
∴，所以②正确，符合题意；
∵抛物线的顶点为，
∴，
∵抛物线的对称轴为直线，
∴，
∴，即，所以③正确，符合题意；
∵当时，二次函数有最大值为，
即只有时，，
∴方程有两个相等的实数根，所以④错误，不符合题意．
故答案为：②③．
20．矩形ABCD中，AB＝4，AD=，点E、F分别是线段AD、BC上动点，且满足CF＝AE，BP⊥EF于点P，连接DP，当点E从A运动到AD的中点时，线段DP扫过图形的面积为______________．
【答案】
【详解】如图1，连接BD与EF交于点G，过G点作KH⊥AD交AD于点K，交BC于点H，
∵AE=CF，∴DE=BF
∵AD∥BC，∴∠DEF=∠EFB，
∵∠EGD=∠FGB，
∴△EDG≌△FBG(AAS)，
∴EG=GF，DG=BG，∴G为BD中点，
∵KH⊥AD，ABCD是矩形，∴KH∥AB，KH∥CD，
∴K是AB中点，H是BC中点，
∴线段EF绕矩形对角线的交点G旋转，
∵∠BPG=90°，∴P点在以BG为直径的圆上，
如图2，点E从A运动到AD的中点K，则P点运动的起点为P，终点为H，
连接OP，OH，DH，过点P作PQ⊥BD交于点Q，
∵AB=4，AD=，∴BD=8，
∴OB=OP=OH=2，AG=BG=4=AB，
∴△ABG是等边三角形，BP⊥AG，则∠ABP=∠PBG=30°，
∴∠CBD=30°，∴∠PBG=∠HBG=30°，
∴∠POG=∠HOG=60°，
∵OP=OH，OD=OD，∴△POD≌△HOD，
Rt△POQ中，OP=2，∠POQ=60°，则OQ=1，PQ=，
OD=6，∠POH=120°，
∴线段DP扫过的面积=2××OD×PQ-=，
故答案为：；
三、解答题（每小题10分，共60分）
21．2020年突如其来的新型冠状病毒疫情，给生鲜电商带来了意想不到的流量和机遇，据统计某生鲜电商平台1月份的销售额是225万元，3月份的销售额是324万元．
(1)若该平台1月份到3月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？
(2)经市场调查发现，某水果在“盒马鲜生”平台上的售价为24元/千克时，每天能销售300千克，售价每降低2元，每天可多售出100千克，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，已知该水果的成本价为12元/千克，若使销售该水果每天获利4000元，则售价应降低多少元？
【答案】(1)20%；(2)降低4元
【详解】（1）
设月平均增长率为x，
依题意，得：，
解得：（不合题意，舍去）．
答：月平均增长率是20%；
（2）设售价应降低y元，则每天可售出千克，
依题意，得：，
整理，得：，
解得：，
∵要尽量减少库存，
∴y＝4．
答：售价应降低4元．
22．为了解中考体育科目训练情况，某县从全县九年级学生中随机抽取了部分学生进行了一次中考体育科目测试把测试结果分为四个等级：级：优秀；级：良好；级：及格；级：不及格，并将测试结果绘成了如下两幅不完整的统计图．请根据统计图中的信息解答下列问题：
(1)本次抽样测试的学生人数是______；该县九年级有学生名，如果全部参加这次中考体育科目测试，请估计不及格的人数为______．
(2)扇形统计图中的度数是______，并把条形统计图补充完整；
(3)测试老师想从位学生分别记为，，，，其中为小明中随机选择两位学生了解平时训练情况，请用列表或画树状图的方法求出选中小明的概率．
【答案】(1)人，人；(2)，见解析；(3)见解析，
【详解】（1）解：本次抽样测试的学生人数是：人，
该县九年级有学生名，如果全部参加这次中考体育科目测试，估计不及格的人数为：人，
（2）图中的度数是，
级的人数是：人，
条形统计图补充完整如下：
（3）画树形图如下：
共有种等可能的情况，其中选中小明的结果有种，
则选中小明．
23．如图，AB是⊙O的弦，点O关于AB的对称点C在⊙O上，过点B作BD⊥AC交AC的延长线于点D．
(1)求证：BD是⊙O的切线；
(2)若⊙O的半径为2，请求出BD的长．
【答案】(1)证明见解析；(2)
【详解】（1）∵点O关于AB的对称点C在⊙O上，
∴OB=BC，OA=AC．
又∵OA=OB，
∴OA=OB=BC=AC，
∴四边形OACB为菱形，
∴，即OB∥AD．
∵BD⊥AC，
∴BD⊥OB，
∴BD是⊙O的切线；
（2）如图，连接OC，
由（1）可知OB=BC，
又∵OB=OC=2，
∴△OBC为等边三角形，
∴．
∵，
∴．
即在Rt△CBD中，，
∴，
∴．
24．如图，在Rt△ABC中，，，，点从点A开始沿边向点移动，速度为；点从点开始沿边向点移动，速度为，点、分别从点A、同时出发，当其中一点到达终点后，另一点也随之停止运动．
(1)几秒时，的长度为？
(2)几秒时，的面积为？
(3)当为何值时，四边形的面积最小？并求这个最小值．
【答案】(1)秒时，的长度为
(2)或秒时，的面积为
(3)当时，四边形的面积最小，最小值为
【详解】（1）解：设运动时间为秒时，的长度为，
依题意得：，，
．
∵，
，即，
解得：或负数不合题意，舍去．
．
秒时，的长度为；
（2）设运动时间为秒时，的面积为，
依题意得：，，，
．
的面积为，
．
解得：或．
或秒时，的面积为；
（3）四边形的面积
，
当时，四边形的面积最小，最小值为．
25．在等边三角形ABC中，点D在射线BC上（不与点B，C重合），把线段AD绕点D顺时针旋转60°，得到线段DE，连接CE．
(1)当点D在BC边上时，如图1，ACE的度数是 ；BD与CE之间的数量关系 ．
(2)当点D在BC边的延长线上时，如图2；（1）中的两个结论是否仍然成立?如果成立，请就图2情形进行证明：若不成立，请说明理由；
(3)若AB=4，当DEC=30°，请直接写出线段BD的长．
【答案】(1)60°；BD=CE；(2)成立，理由见解析；(3)BD=2或BD=2
【详解】（1）如图1，连接AE，
∵线段AD绕点D顺时针旋转60°得到线段DE，
∴AD=DE，ADE=60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴AE=AD，DAE=60°，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，ABC=BAC=60°，
∴BAC=DAE=60°，
∴BAD=CAE，
在△BAD和△CAE中，
，
∴，
∴ACE=ABD=60°，BD=CE．
故答案为：60°；BD=CE．
（2）成立，理由如下：
如图2，连接AE，
∵线段AD绕点D顺时针旋转60°得到线段DE，
∴AD=DE，ADE=60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴AE=AD，DAE=60°，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，ABC=BAC=60°，
∴BAC=DAE=60°，
∴BAD=CAE，
在△BAD和△CAE中，
，
∴，
∴ACE=ABD=60°，BD=CE．
（3）若点D在线段BC上，如图3，
由（2）可知AEC=60°，，
∴AEC=ADB，
∵DEC=30°，
∴ADB=AEC=90°，
∵△ABC为等边三角形，AB=4，
∴BD=BC=AB=2；
若点D在BC的延长线上，如图4，
由（2）可得ADE为等边三角形，
∴AED=60°，
∵DEC=30°，
∴CE垂直平分AD（三线合一），
∴AC=CD，
∵△ABC为等边三角形，AB=4，
∴BD=BC+CD=BC+AC=2AB=8，
综上所述，BD=2或BD=8．
26．已知抛物线过点．顶点为M，与x轴交于A、B两点．如图所示以AB为直径作圆，记作⊙D．
(1)求抛物线解析式及D点坐标．
(2)猜测直线CM与⊙D的位置关系，并证明你的猜想．
(3)抛物线对称轴上是否存在点P，若将线段CP绕点P顺时针旋转，使C点的对应点恰好落在抛物线上？若能，求点P的坐标；若不能，说明理由．
【答案】(1)；(3,0)；(2)相切；证明见解析；(3)存在，P(0,1)或(0,3)，理由见解析．
【详解】（1）解：∵抛物线过点C(0，4)，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为，
令y=0，则，
解得：，，
∴A(-2,0)，B(8,0)，
∴AB=10，
∴AD=5，OD=3，
∴D(3,0)；
（2）连接CM，CD，MD，如图所示：
由抛物线的解析式得：M(3, )，C(0，4)，
∵D(3,0)，
∴，，，
∴，
∴CM⊥CD，
∵CD=5，
∴直线CM与⊙D相切；
（3）存在点P，理由如下：
假设存在点P，设点P（3，k），过点C作CG⊥对称轴MD，过点作H⊥对称轴MD，则PD=k，
根据题意得∠CP=∠CGD=∠GDO=∠COD=PH=90°，
∴∠CPH+∠HP=90°，∠GCP+∠GPC=90，四边形CODG为矩形，
∴∠GCD=∠HP，OC=GD=4，CG=OD=3，
∵CP=P
∴∆CGP≅∆PH，
∴PG=H=GD-DP=4-k，CG=PH=OD=3，
∴(CG+H，HP+PD)即(3+4-k，3+k)
∵点在抛物线上，
∴，
解得：k=1或k=3，
∴P(0,1)或(0,3)．
期末考试卷（一）课后培优练
（时间120分钟，满分120分）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题（每小题3分，共30分）
1．下列图案中，既不是中心对称图形也不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】A选项，此图案是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B选项，此图案既不是中心对称图形也不是轴对称图形，故此选项符合题意；
C选项，此图案是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D选项，此图案是中心对称图形，故此选项不符合题意；
故选B．
2．用配方法解方程，方程应变形为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：∵，
∴，
∴，即，
故选D．
3．下列事件为不可能事件的是（ ）
A．某射击运动员射击一次，射中靶心 B．掷一次骰子，向上一面的点数是3
C．找到一个三角形，其内角和是360° D．经过城市中某一有交通信号灯的路口遇到红灯
【答案】C
【详解】A．某射击运动员射击一次，命中靶心可能发生，也可能不发生，属于随机事件，不符合题意，
B．掷一次骰子，向上一面的点数是3可能发生，也可能不发生，属于随机事件，不符合题意；
C．找到一个三角形，其内角和为360°，是不可能发生的事件，符合题意，
D．经过城市中某一有交通信号灯的路口，遇到红灯是随机事件，不符合题意．
故选：C．
4．如图所示，A，D是⊙O上的两个点，BC是直径，若∠D＝35°，则∠ACB的度数是（ ）
A．35° B．55° C．65° D．70°
【答案】B
【详解】解：连接AB，
由同弧所对的圆周角相等得∠ABC＝∠D＝35°，
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAC＝90°，
∴∠ACB＝90°－35°＝55°．
故选B．
5．二次函数y＝a x 2＋bx＋c的图象如图所示，且方程a x 2＋bx＋c＝k有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＜2 B．k≤2 C．k＜3 D．1＜k ＜3
【答案】A
【详解】由图象可知二次函数y＝a x 2＋bx＋c的顶点坐标为（2，2），
∴＝2，即b2－4ac＝－8a，
∵a x 2＋bx＋c＝k有两个不相等的实数根，
∴方程a x 2＋bx＋c－k＝0的判别式⊿＞0，
即b2－4a（c－k ）＝b2－8a＋4ak＝－4a（2－k ）＞0，
∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∴2－k＞0，
∴k＜2．
故选A．
6．在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax+a和y＝-ax2+2x+2（a是常数，且a≠0）的图象可能是（ ）
A． B．C． D．
【答案】B
【详解】解：当时，函数的图象经过一、二、三象限；函数的开口向下，对称轴在y轴的右侧；
当时，函数的图象经过二、三、四象限；函数的开口向上，对称轴在y轴的左侧，故B正确．
故选B．
7．关于的方程有实数根，则满足（ ）
A． B．且 C．且 D．
【答案】A
【详解】解：分类讨论：
当即时，方程变为，此时方程一定有实数根；
当即时，
关于的方程有实数根
，
．
的取值范围为．
故选：A．
8．如图，在△ABC中，，，点D，E分别在AC和BC上，，若以DE为直径的⊙O交AB的中点F，则⊙O的直径是（ ）
A． B．2 C． D．5
【答案】C
【详解】解：作FG⊥AC，FH⊥CB，垂足分别为G、H，如图
则四边形BCGF是矩形，，，
∵，点F是AB的中点，
∴，
∴四边形BCGF是正方形，
∴∠GFH=90°，
∵DE是直径，则∠DFE=90°，
∴，
∴，
∵，，
∴△DFG≌△EFH，
∴DF=EF，
∵在直角△DFG中，，，
∴，
在直角△DEF中，
；
故选：C
9．已知抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论正确的是（ ）
①b＜1；②2a+b＞0；③a+c+1＞0；④a﹣b+c＜0；⑤最大值为3．
A．②③④⑤ B．②③④ C．②③ D．①②④
【答案】B
【详解】①由图可知，x=-1时，y=-2，
所以，a-b+c=-2，
∴c=-2-a+b，
∵x=1时，y＞0，
∴a+b+c＞0，
∴a+b+（-2-a+b）＞0，
∴b＞1，
故①不正确；
②∵二次函数开口向下，
∴a＜0，
∵对称轴x=1的右边，
∴-＞1，
∴b＞-2a，
2a+b＞0，
故②正确；
③∵a+b+c＞0，
∴a+c＞-b，
∴2a+2c＞a-b+c，
∵a-b+c=-2，
∴2a+2c＞-2，
∴a+c＞-1，
∴a+c+1＞0；
故③正确；
④由①知：a-b+c=-2，
∴a-b+c＜0，
故④正确；
⑤∵当x=-2时，y＜0，
∴4a-2b+c＜0，
∴a+b+c＜3b-3a，
∵b＞1，a＜0，
∴b-a＞0，
∴＜3，
故⑤错误；
综上所述，结论正确的是②③④共3个．
故选B．
10．在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，D、E分别是AC、BC上的一点，且DE=3， 若以DE为直径的圆与斜边AB相交于M、N，则MN的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：取DE的中点O，过点O作OG⊥MN于点G，作CH⊥AB于点H.
∴，
当弦心距OG最短时，MN取最大值，
∴当点C，O，G三点共线时，即当点O在CH上时，MN取最大值，
连接OM.
∵∠C=90°，BC=3，AC=4，
∴CH==2.4
∴OH=2.4-1.5=0.9，
∴OM=1.5，
则在Rt△MOH中，由勾股定理得MH=1.2，
根据垂径定理，MN=2MH=2.4.
故选D.
二、填空题（每小题3分，共30分）
11．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点P，若∠P=40°，则∠ADC=_________．
【答案】115°
【详解】解：连接OC，如图所示，
由题意可得，，，
∴，
∵，
∴，
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴，
∴，
故答案为：115°．
12．若二次函数的图象与轴有一个公共点，则________
【答案】1
【详解】解：由题可知，只有一个实根，
，，，
，
即4-4k=0，得k=1
故答案为：1
13．在实数范围内定义一种运算“*”，其规则为a*b＝a2﹣b2，根据这个规则，方程（x+2）*5＝0的解为_____________．
【答案】x＝3或x＝﹣7
【详解】解：据题意得，
∵（x+2）*5＝（x+2）2﹣52
∴x2+4x﹣21＝0，
∴（x﹣3）（x+7）＝0，
∴x＝3或x＝﹣7．
故答案为：x＝3或x＝﹣7
14．已知线段，将线段以点A为旋转中心，逆时针旋转得到线段则点B、点的距离为________．
【答案】
【详解】解：由旋转变换的性质可知，，，
由勾股定理得，，
故答案为：．
15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过平移得到抛物线，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积是_______
【答案】4
【详解】∵，
∴平移后抛物线的顶点坐标为（2，−2），对称轴为直线x＝2，
当x＝2时，，
∴平移后阴影部分的面积等于如图三角形的面积，
×（2＋2）×2＝4，
故填：4．
16．如图，某小区规划在一个长30m、宽20m的矩形ABCD上，修建三条同样宽的通道，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种花草．要使每一块花草的面积都为78m2，那么通道的宽应设计成______m．
【答案】2
【详解】设道路的宽为xm，由题意得：
（30-2x）（20-x）=6×78，
解得x=2或x=-33（舍去）．
答：通道应设计成2米．
故答案为：2．
17．如图，已知矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，P是以CD为直径的半圆上的一个动点，连接BP，则BP的最大值是__________．
【答案】+2
【详解】解：将以CD为直径的⊙O补充完整，如图所示．
∵点B在⊙O外，
∴当点B、O、P三点共线时，BP的值最大．
∵CD为⊙O的直径，CD＝AB＝4，
∴OC＝OP＝2．
在Rt△BOC中，BC＝3，OC＝2，
∴OB＝＝，
∴此时BP＝BO+OP＝+2．
故答案为+2．
18．某玩具店进了一排黑白塑料球，共5箱，每箱的规格、数量都相同，其中每箱中装有黑白两种颜色的塑料球共3000个，为了估计每箱中两种颜色球的个数，随机抽查了一箱，将箱子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回箱子中，多次重复上述过程后，发现摸到黑球的概率在0.8附近波动，则此可以估计这批塑料球中黑球的总个数，请将黑球总个数用科学记数法表示约为________个．
【答案】1.2×104
【详解】设黑球的个数为x．
∵黑球的频率在0.8附近波动，∴摸出黑球的概率为0.8，即0.8，解得：x＝2400．
所以可以估计黑球的个数为2400×5＝12000＝1.2×104个．
故答案为1.2×104．
19．抛物线的顶点为，与轴的一个交点在点和之间，则以下结论：①；②；③；④方程有两个不相等的实数根，其中正确结论为__________．
【答案】②③
【详解】解：∵抛物线与轴有两个交点，
∴，所以①错误，不符合题意；
∵顶点为，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵抛物线与轴的一个交点在点和之间，
∴抛物线与轴的另一个交点在点和之间，
∴当时，，
∴，所以②正确，符合题意；
∵抛物线的顶点为，
∴，
∵抛物线的对称轴为直线，
∴，
∴，即，所以③正确，符合题意；
∵当时，二次函数有最大值为，
即只有时，，
∴方程有两个相等的实数根，所以④错误，不符合题意．
故答案为：②③．
20．矩形ABCD中，AB＝4，AD=，点E、F分别是线段AD、BC上动点，且满足CF＝AE，BP⊥EF于点P，连接DP，当点E从A运动到AD的中点时，线段DP扫过图形的面积为______________．
【答案】
【详解】如图1，连接BD与EF交于点G，过G点作KH⊥AD交AD于点K，交BC于点H，
∵AE=CF，∴DE=BF
∵AD∥BC，∴∠DEF=∠EFB，
∵∠EGD=∠FGB，
∴△EDG≌△FBG(AAS)，
∴EG=GF，DG=BG，∴G为BD中点，
∵KH⊥AD，ABCD是矩形，∴KH∥AB，KH∥CD，
∴K是AB中点，H是BC中点，
∴线段EF绕矩形对角线的交点G旋转，
∵∠BPG=90°，∴P点在以BG为直径的圆上，
如图2，点E从A运动到AD的中点K，则P点运动的起点为P，终点为H，
连接OP，OH，DH，过点P作PQ⊥BD交于点Q，
∵AB=4，AD=，∴BD=8，
∴OB=OP=OH=2，AG=BG=4=AB，
∴△ABG是等边三角形，BP⊥AG，则∠ABP=∠PBG=30°，
∴∠CBD=30°，∴∠PBG=∠HBG=30°，
∴∠POG=∠HOG=60°，
∵OP=OH，OD=OD，∴△POD≌△HOD，
Rt△POQ中，OP=2，∠POQ=60°，则OQ=1，PQ=，
OD=6，∠POH=120°，
∴线段DP扫过的面积=2××OD×PQ-=，
故答案为：；
三、解答题（每小题10分，共60分）
21．2020年突如其来的新型冠状病毒疫情，给生鲜电商带来了意想不到的流量和机遇，据统计某生鲜电商平台1月份的销售额是225万元，3月份的销售额是324万元．
(1)若该平台1月份到3月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？
(2)经市场调查发现，某水果在“盒马鲜生”平台上的售价为24元/千克时，每天能销售300千克，售价每降低2元，每天可多售出100千克，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，已知该水果的成本价为12元/千克，若使销售该水果每天获利4000元，则售价应降低多少元？
【答案】(1)20%；(2)降低4元
【详解】（1）
设月平均增长率为x，
依题意，得：，
解得：（不合题意，舍去）．
答：月平均增长率是20%；
（2）设售价应降低y元，则每天可售出千克，
依题意，得：，
整理，得：，
解得：，
∵要尽量减少库存，
∴y＝4．
答：售价应降低4元．
22．为了解中考体育科目训练情况，某县从全县九年级学生中随机抽取了部分学生进行了一次中考体育科目测试把测试结果分为四个等级：级：优秀；级：良好；级：及格；级：不及格，并将测试结果绘成了如下两幅不完整的统计图．请根据统计图中的信息解答下列问题：
(1)本次抽样测试的学生人数是______；该县九年级有学生名，如果全部参加这次中考体育科目测试，请估计不及格的人数为______．
(2)扇形统计图中的度数是______，并把条形统计图补充完整；
(3)测试老师想从位学生分别记为，，，，其中为小明中随机选择两位学生了解平时训练情况，请用列表或画树状图的方法求出选中小明的概率．
【答案】(1)人，人；(2)，见解析；(3)见解析，
【详解】（1）解：本次抽样测试的学生人数是：人，
该县九年级有学生名，如果全部参加这次中考体育科目测试，估计不及格的人数为：人，
（2）图中的度数是，
级的人数是：人，
条形统计图补充完整如下：
（3）画树形图如下：
共有种等可能的情况，其中选中小明的结果有种，
则选中小明．
23．如图，AB是⊙O的弦，点O关于AB的对称点C在⊙O上，过点B作BD⊥AC交AC的延长线于点D．
(1)求证：BD是⊙O的切线；
(2)若⊙O的半径为2，请求出BD的长．
【答案】(1)证明见解析；(2)
【详解】（1）∵点O关于AB的对称点C在⊙O上，
∴OB=BC，OA=AC．
又∵OA=OB，
∴OA=OB=BC=AC，
∴四边形OACB为菱形，
∴，即OB∥AD．
∵BD⊥AC，
∴BD⊥OB，
∴BD是⊙O的切线；
（2）如图，连接OC，
由（1）可知OB=BC，
又∵OB=OC=2，
∴△OBC为等边三角形，
∴．
∵，
∴．
即在Rt△CBD中，，
∴，
∴．
24．如图，在Rt△ABC中，，，，点从点A开始沿边向点移动，速度为；点从点开始沿边向点移动，速度为，点、分别从点A、同时出发，当其中一点到达终点后，另一点也随之停止运动．
(1)几秒时，的长度为？
(2)几秒时，的面积为？
(3)当为何值时，四边形的面积最小？并求这个最小值．
【答案】(1)秒时，的长度为
(2)或秒时，的面积为
(3)当时，四边形的面积最小，最小值为
【详解】（1）解：设运动时间为秒时，的长度为，
依题意得：，，
．
∵，
，即，
解得：或负数不合题意，舍去．
．
秒时，的长度为；
（2）设运动时间为秒时，的面积为，
依题意得：，，，
．
的面积为，
．
解得：或．
或秒时，的面积为；
（3）四边形的面积
，
当时，四边形的面积最小，最小值为．
25．在等边三角形ABC中，点D在射线BC上（不与点B，C重合），把线段AD绕点D顺时针旋转60°，得到线段DE，连接CE．
(1)当点D在BC边上时，如图1，ACE的度数是 ；BD与CE之间的数量关系 ．
(2)当点D在BC边的延长线上时，如图2；（1）中的两个结论是否仍然成立?如果成立，请就图2情形进行证明：若不成立，请说明理由；
(3)若AB=4，当DEC=30°，请直接写出线段BD的长．
【答案】(1)60°；BD=CE；(2)成立，理由见解析；(3)BD=2或BD=2
【详解】（1）如图1，连接AE，
∵线段AD绕点D顺时针旋转60°得到线段DE，
∴AD=DE，ADE=60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴AE=AD，DAE=60°，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，ABC=BAC=60°，
∴BAC=DAE=60°，
∴BAD=CAE，
在△BAD和△CAE中，
，
∴，
∴ACE=ABD=60°，BD=CE．
故答案为：60°；BD=CE．
（2）成立，理由如下：
如图2，连接AE，
∵线段AD绕点D顺时针旋转60°得到线段DE，
∴AD=DE，ADE=60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴AE=AD，DAE=60°，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，ABC=BAC=60°，
∴BAC=DAE=60°，
∴BAD=CAE，
在△BAD和△CAE中，
，
∴，
∴ACE=ABD=60°，BD=CE．
（3）若点D在线段BC上，如图3，
由（2）可知AEC=60°，，
∴AEC=ADB，
∵DEC=30°，
∴ADB=AEC=90°，
∵△ABC为等边三角形，AB=4，
∴BD=BC=AB=2；
若点D在BC的延长线上，如图4，
由（2）可得ADE为等边三角形，
∴AED=60°，
∵DEC=30°，
∴CE垂直平分AD（三线合一），
∴AC=CD，
∵△ABC为等边三角形，AB=4，
∴BD=BC+CD=BC+AC=2AB=8，
综上所述，BD=2或BD=8．
26．已知抛物线过点．顶点为M，与x轴交于A、B两点．如图所示以AB为直径作圆，记作⊙D．
(1)求抛物线解析式及D点坐标．
(2)猜测直线CM与⊙D的位置关系，并证明你的猜想．
(3)抛物线对称轴上是否存在点P，若将线段CP绕点P顺时针旋转，使C点的对应点恰好落在抛物线上？若能，求点P的坐标；若不能，说明理由．
【答案】(1)；(3,0)；(2)相切；证明见解析；(3)存在，P(0,1)或(0,3)，理由见解析．
【详解】（1）解：∵抛物线过点C(0，4)，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为，
令y=0，则，
解得：，，
∴A(-2,0)，B(8,0)，
∴AB=10，
∴AD=5，OD=3，
∴D(3,0)；
（2）连接CM，CD，MD，如图所示：
由抛物线的解析式得：M(3, )，C(0，4)，
∵D(3,0)，
∴，，，
∴，
∴CM⊥CD，
∵CD=5，
∴直线CM与⊙D相切；
（3）存在点P，理由如下：
假设存在点P，设点P（3，k），过点C作CG⊥对称轴MD，过点作H⊥对称轴MD，则PD=k，
根据题意得∠CP=∠CGD=∠GDO=∠COD=PH=90°，
∴∠CPH+∠HP=90°，∠GCP+∠GPC=90，四边形CODG为矩形，
∴∠GCD=∠HP，OC=GD=4，CG=OD=3，
∵CP=P
∴∆CGP≅∆PH，
∴PG=H=GD-DP=4-k，CG=PH=OD=3，
∴(CG+H，HP+PD)即(3+4-k，3+k)
∵点在抛物线上，
∴，
解得：k=1或k=3，
∴P(0,1)或(0,3)．
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