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23.2 中心对称-2022-2023学年九年级数学上册课后培优分级练（人教版）
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23.2中心对称
课后培优练级练
培优第一阶——基础过关练
一、单选题
1．如图，与关于O成中心对称，下列结论中不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
解：∵对应点的连线被对称中心平分，
∴，，
即B、D正确，
∵成中心对称图形的两个图形是全等形，
∴对应线段相等，
即，
∴C正确，
故选A．
2．等腰三角形、等边三角形、矩形、正方形和圆这五种图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的图形种数是（ ）．
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【详解】
解：等腰三角形、等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
矩形、正方形和圆是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意．
故既是轴对称图形又是中心对称图形的是矩形、正方形和圆共3个．
故选：B．
3．2023年中国将承办第18届亚洲杯足球赛，下列四届亚洲杯会徽的图案中，是中心对称图形的为（ ）
A． B．C． D．
【答案】A
【详解】
解：A、是中心对称图形，故符合题意；
B、不是中心对称图形，故不符合题意；
C、不是中心对称图形，故不符合题意；
D、不是中心对称图形，故不符合题意；
故选A．
4．若点，关于原点对称，则m、n的值为（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】C
【详解】
解：∵点A（m，2）与点B（3，n）关于对称，
∴m=-3，n=-2．
故选：C．
5．如图，两个半圆分别以P、Q为圆心，它们成中心对称，点A1，P，B1，B2，Q，A2在同一条直线上，则对称中心为（ ）
A．A2P的中点 B．A1B2的中点 C．A1Q的中点 D．PQ的中点
【答案】D
【详解】
解：如图对称中心是PQ的中点，
故选：D．
6．下列说法中错误的是（ ）
A．成中心对称的两个图形全等
B．中心对称图形绕对称中心旋转后，都能与自身重合
C．中心对称图形的对称中心是连结对称点的线段的中点
D．成中心对称的两个图形中，连结对称点的线段被对称轴平分
【答案】D
【详解】
A．成中心对称的两个图形全等，正确，故本选项不合题意；
B．中心对称图形绕对称中心旋转180°后，都能与自身重合，正确，故本选项不合题意；
C．中心对称图形的对称中心是连结对称点的线段的中点，正确，故本选项不合题意；
D．成中心对称的两个图形中，连结对称点的线段被对称中心平分，原说法错误，故本选项符合题意；
故选：D．
二、填空题
7．如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若AB＝2，BC＝3， ，则图中阴影部分的面积是__________________．
【答案】
【详解】
如图，过点作于点，
依题意，
，
，
，
，
根据平行四边形是中心对称图形，
图中阴影部分的面积为平行四边形面积的一半，即．
故答案为：．
8．如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，O是矩形的对称中心，点E、F分别在边AD、BC上，连接OE、OF，若AE=BF=2，则OE+OF的值为__________．
【答案】
【详解】
解：如图，连接，AC，BD．
∵O是矩形的对称中心，
∴O也是对角线的交点，
过点O作OM⊥AD于点M交BC于点N．
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OD=OB，
∵OM⊥AD，
∴AM=DM=AD=BC=4，
∴OM=AB=3，
∵AE=2，
∴EM=AM-AE=2，
∴OE==，
同法可得OF=，
∴OE+OF=2，
故答案为：2．
9．如图，△ABC和△DEC关于点C成中心对称，若，，，则AE的长是____________．
【答案】
【详解】
解：∵△DEC与△ABC关于点C成中心对称，
∴△ABC≌△DEC，
∴AB＝DE＝1，AC＝DC＝，∠D＝∠BAC＝90°，
∴AD＝1，
∵∠D＝90°，
∴AE＝，
故答案为：．
10．如图，直线、垂直相交于点，曲线关于点成中心对称，点的对称点是点，于点，于点．若，，则阴影部分的面积之和为__________．
【答案】12.
【详解】
解：如图，
∵直线a、b垂直相交于点O，曲线C关于点O成中心对称，点A的对称点是点A'，AB⊥a于点B，A'D⊥b于点D，OB=4，OD=3，
∴AB=3，
∴图形①与图形②面积相等，
∴阴影部分的面积之和=长方形ABOE的面积=4×3=12．
故答案为12．
三、解答题
11．在如图的正方形网格中，每个小正方形的边长都是单位1，△ABC的顶点均在格点上．
(1)画出△ABC绕A点按逆时针方向旋转90°后得到的△AB1C1；若连接CC1，则△ACC1是怎样的三角形？
(2)画出△A2B2C2，使△A2B2C2和△AB1C1关于点O成中心对称；
(3)指出如何平移△AB1C1，使得△A2B2C2和△AB1C1能拼成一个长方形．
【答案】(1)图见解析，等腰直角三角形；(2)见解析；(3)见解析
【解析】
(1)解：根据题意得：AC=AC1，∠CAC1=90°，
∴△ACC1是等腰直角三角形．
(2)解：如图，△A2B2C2即为所求；
(3)解：根据题意得：点C2与点A重合时，△A2B2C2和△AB1C1能拼成一个长方形，
∵点A先向右平移5个单位，再向下平移6个单位与点C2重合，
∴先将△AB1C1向右平移5个单位，然后再向下平移6个单位，△A2B2C2和△AB1C1能拼成一个长方形．
12．如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度．的三个顶点，，．
(1)画出关于点C成中心对称的，并写出点的坐标；
(2)平移，使点A的对应点坐标为，请画出平移后对应的，并写出点的坐标；
(3)若将绕某一点旋转可得到，则旋转中心P点的坐标是__________．
【答案】(1)作图见解析, B1（0，−1）；(2)作图见解析, B2（0，−3）；(3)（0，−2）
【解析】
(1)解：作图如图所示，△A1B1C即为所求,B1（0，−1）
(2)解：作图如图所示，△A2B2C2即为所求,B2（0，−3）
(3)解：∵，，
∴点与点的中点坐标为，
经检验点与点，点与点均关于点对称，
故旋转中心坐标P（0，−2）．
故答案为：（0，−2）．
13．在平面直角坐标系中，已知点P（3，－1）关于原点对称的点Q的坐标是，求的值．
【答案】25
【解析】
解：点与点关于原点对称，
，，
解得：，
．
培优第二阶——拓展培优练
一、单选题
1．如图，与关于点D成中心对称，连接AB，以下结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
解：∵与关于点D成中心对称，
∴，，
∴
∴选项A、C、D正确，选项B错误；
故选B．
2．如图，已知点A与点C关于点O对称，点B与点D也关于点O对称，若，．则AB的长可能是（ ）
A．3 B．4 C．7 D．11
【答案】C
【详解】
解：∵点与点关于点对称，点与点也关于点对称，
∴，
又∵∠AOD=∠BOC
∴△AOD≌△BOC（SAS）
∴AD=BC=3
∵
∴．
故选：C．
3．如图，在中，顶点A在x轴的负半轴上，，，，将绕点A逆时针旋转，每秒旋转90°，则第2022秒旋转结束时，点B的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
解：2022除以4等于505，余数为2，
∴第2022秒旋转结束时与第2秒旋转结束时的位置相同，
∵，，
∴OB=2，BC=，
∵∠AOB=90°，AB=BC
∴，
∴A(-1，0)，
∵，，
∴绕点A逆时针旋转2022秒旋转结束时，点B的坐标为（-2，-2）．
故选：A．
4．下列图形中，是中心对称但不是轴对称的图形是（ ）
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．等边三角形
【答案】A
【详解】
A、平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项正确；
B、矩形是中心对称图形，也是轴对称图形，故本选项错误；
C、菱形是中心对称图形，也是轴对称图形，故本选项错误；
D、等边三角形不是中心对称图形，但是轴对称图形，故本选项错误；
故选：A．
5．已知抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得新抛物线的顶点与原抛物线的顶点关于原点对称，则k的值为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】D
【详解】
解：∵，
∴抛物线的顶点坐标为：，
将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度后，新的抛物线的顶点坐标为：，
∵所得新抛物线的顶点与原抛物线的顶点关于原点对称，
∴，
解得：，
故选：D．
6．约定：若函数图象上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称为“黄金函数”，其图象上关于原点对称的两点叫做一对“黄金点”．若点，是关于的“黄金函数”上的一对“黄金点”，且该函数的对称轴始终位于直线的右侧，有结论①；②；③；④．则下列结论正确的是（ ）
A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④
【答案】C
【详解】
解：∵点A（1，m），B（n，﹣4）是关于x的“黄金函数”y＝ax2+bx+c（a≠0）上的一对“黄金点”，
∴A，B关于原点对称，
∴m＝4，n＝﹣1，
∴A（1，4），B（﹣1，﹣4），
代入y＝ax2+bx+c（a≠0）
得 ，
∴，
∴①②正确，符合题意，
∵该函数的对称轴始终位于直线x＝2的右侧，
∴，
∴，
∴﹣1＜a＜0，
∴④正确，符合题意，
∵a+c＝0，
∴c＝﹣a，0＜c＜1，
当x＝时，y＝ax2+bx+c＝a+b+c＝a+2﹣a＝2﹣a，
∵﹣1＜a＜0，
∴﹣a＞0，
∴a+b+c＝2﹣a＞2＞0，③错误，不符合题意．
综上所述，结论正确的是①②④．
故选：C．
二、填空题
7．在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的对称中心是坐标原点，顶点A，B的坐标分别是（－2，－1），（1，－1），将平行四边形ABCD沿x轴向右平移2个单位长度，则顶点C的对应点的坐标是___．
【答案】
【详解】
解：∵平行四边形ABCD的对称中心是坐标原点，
∴点A，点C关于原点对称，
∵， ∴，
∴将平行四边形ABCD沿x轴向右平移2个单位长度，
则顶点C的对应点C1的坐标是，
故答案为：．
8．如图，为的对角线，点P为内一点，连接、、、，若和的面积分别为3和13，则的面积为_________．
【答案】10
【详解】
解:由平行四边形和三角形的面积公式易得，
由平行四边形的性质可得，
∴，
∴，
∴,
故答案为10．
9．如图，在平面直角坐标系中，是边长为1的等边三角形，作与关于点成中心对称，再作与关于点成中心对称，继续作与关于点成中心对称，…．按此规律作下去，则的顶点的坐标是__________．
【答案】
【解析】
【详解】
解：∵是边长为1的等边三角形，
∴A1的坐标为：，B1的坐标为：（1，0），
∵与关于点成中心对称，
∴点A2与点A1关于点B1成中心对称，
∵，
∴点A2的坐标是：，
∵△B2A3B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称，
∴点A3与点A2关于点B2成中心对称，
∵
∴点A3的坐标是：，
∴An的横坐标是：n−，当n为奇数时，An的纵坐标是：，当n为偶数时，An的纵坐标是：，
∵2022是偶数，
∴的坐标是，
故答案为：．
10．点以原点O为中心，旋转180°得到B，则B的坐标为__________；点关于x轴对称得到C，则C的坐标为__________；点以原点O为中心，顺时针旋转90°得到，则的坐标为__________．
【答案】 （-5，2） （5，2） （-2，-5）
【详解】
解：点以原点O为中心，旋转180°得到B，则B的坐标为（-5，2）；
关于x轴对称得到C，则C的坐标为（5，2）；
点以原点O为中心，顺时针旋转90°得到，如图所示，分别过点A、A′作x轴、y轴垂线，垂足为B、C，即∠OCA′=∠OBA=90°
由旋转可知，OA=OA′，∠AOA′=∠BOC=90°，
∴∠AOB=∠A′OC,
∴△ABO≌△A′CO，
∴A′C=AB=2,OC=OB=5,
则的坐标为（-2，-5）．
故答案为：（-5，2），（5，2），（-2，-5）
三、解答题
11．如图，已知正方形，请仅用无刻度直尺，完成以下作图（保留作图痕迹）
(1)在图1中，点、、、、、、、是正方形各边的三等分点，请利用上述三等分点的其中两个点，画一条直线，使其与直线将正方形面积四等分；
(2)在图2中，与相交于点，点、点分别在边、上，且，画出四边形（点在线段上）．使得四边形的面积等于正方形面积的．
【答案】(1)见解析；(2)见解析
【解析】
(1)画直线FJ，直线FJ与直线HL把正方形ABCD的面积四等分，理由：
设直线FJ与HL交点为O，过点O作OM⊥BC于点M，作ON⊥AB于点N，连接BD，
则∠ONB=∠OMB=90°，
由中心对称知，点O是正方形的对称中心，由旋转对称知，FJ⊥HL，∠LOJ=90°，
∵∠ABC=90°，
∴∠NOM=360°-（∠ONB+∠NBM+∠OMB）=90°，
∴四边形NBMO是矩形，
∵∠ABD=∠CBD=45°，
∴ON=OM，
∴矩形NBMO是正方形，
∵ON∥AD，，
∴，
∴，
∵∠LOJ=∠NOM=90°，
∴∠LOJ-∠NOJ=∠NOM-∠NOJ，
即∠LON=∠JOM，
∵∠ONL=∠OMJ=90°，ON=OM，
∴△OLN≌△OJM(ASA)，
∴，
∴，
同理，，
故，
(2)1．作直线QO交BC于点F；
2．作直线PO交AD于点E；
3．作直线PQ交BD于点H；
4．作直线EF交AC于点G；
5．作直线GH交CD于点M；
6．连接OM，四边形MOPC就是所求作．
证明：∵点Q、F关于点O对称，
∴OQ=OF，
∵OD=OB，∠DOQ=∠BOF，
∴△ODQ≌△OBF(SAS)，
∴BF=DQ，
同理，AE=CP，
∵DQ=CP，
∴AE=BF，
∴四边形ABFE是矩形，
∴EF⊥AD，
同理，PQ⊥AD，
∵AE=DQ，∠EAG=∠QDH=45°，∠AEG=∠DQH=90°，
∴△AEG≌△DQH(ASA)，
∴AG=DH，
∴GH∥AD，
∴HM⊥CD，
∴HQ=HM，
∴四边形QHMD是正方形，
∴DQ=DM，
∴DM=CP，
∴由（1）知，．
12．物体受重力作用的作用点叫做这个物体的重心．例如一根均匀的棒，重心是棒的中点，一块均匀的三角形木板，重心就是这个三角形三条中线的交点，等等．
（1）你认为平行四边形的重心位置在哪里？请说明理由；
（2）现有如图的一块均匀模板，请只用直尺和铅笔，画出它的重心（直尺上没有刻度，而且不允许用铅笔在直尺上做记号）．
【答案】见解析
【解析】
解：（1）平行四边形的重心是两条对角线的交点．
如图，平行四边形ABCD是中心对称图形，对角线的交点O是对称中心，
经过点O与对边相交的任何一条线段都以点O为中点（如图中线段PQ），
因此点O是各条线段的公共重心，也是▱ABCD的重心．
（2）把模板分成两个矩形，连接各自的中心；
把模板重新分成两个矩形，得到连接各自中心的第二条线段，指出重心．
13．如图，抛物线经过A（），B（）两点，直线AB与轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点M在抛物线上，点N在直线AB上，当M，N关于原点O成中心对称时，求点N的坐标；
(3)设P是抛物线对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以A，B，P，Q为顶点的四边形能否成为平行四边形？若能，请直接写出点P的坐标；若不能，请说明理由．
【答案】(1)；(2)N的坐标为（，）或（，）；
(3)能，
【解析】
(1)解：∵抛物线经过A（-1，0），B（）两点,
∴解得
∴抛物线的解析式.
(2)设直线AB的解析式为，
∵A（-1，0）,B（）两点在直线AB上，
∴， 解得
∴.
设N（），则M（）
将M（）代入，得
，
解得，∴，
∴N的坐标为（，）或（，）
(3)解：设点Q（m，n），n=-m2+m+2，点P(1，s)，点A、B的坐标分别为(-1，0)、(4，-)，
①当AB是平行四边形的边时，
i)点B向右平移3个单位，点B在直线x=1上，
同样点A向右平移3个单位，此时横坐标为-4，
当x=-4时，y=-×(-4)2-4+=-10，
所以点A向上平移10个单位得到点Q，同样点B向上平移10个单位得到P，
∴s=-(10+)=-13，
∴点p坐标为(1，-13)；
ii) 点A向右平移2个单位，点A在直线x=1上，同样点B向右平移2个单位，此时横坐标为6，当x=6时，y=-×62+6+=-10，
所以点B向上平移-10-=8个单位得到点Q，同样点A向上平移8个单位得到P，则s=8，此时点P坐标为(1，-8)；
②当AB是平行四边形的对角线时，AB中点坐标为(，-)，
∴，∴m=2，
∴n=-×22+2+=，
∴，
解得：s=-4，
故点P（1，-4）
综上，故点P的坐标为：(1，-4)或(1，-8)或(1，-13)．
培优第三阶——中考沙场点兵
一、单选题
1．（2022·黑龙江·中考真题）下列图形是汽车的标识，其中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】
解：∵是轴对称图形，也是中心对称图形，
∴不符合题意；
∵是轴对称图形，不是中心对称图形
∴不符合题意；
∵不是轴对称图形，是中心对称图形
∴符合题意；
∵是轴对称图形，不是中心对称图形
∴不符合题意；
故选C．
2．（2020·浙江绍兴·中考真题）如图，点O为矩形ABCD的对称中心，点E从点A出发沿AB向点B运动，移动到点B停止，延长EO交CD于点F，则四边形AECF形状的变化依次为（ ）
A．平行四边形→正方形→平行四边形→矩形
B．平行四边形→菱形→平行四边形→矩形
C．平行四边形→正方形→菱形→矩形
D．平行四边形→菱形→正方形→矩形
【答案】B
【详解】
解：观察图形可知，四边形AECF形状的变化依次为平行四边形→菱形→平行四边形→矩形．
故选：B．
3．（2021·四川眉山·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，则该抛物线关于点成中心对称的抛物线的表达式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】
解:当x=0时，y=5，
∴C（0,5）；
设新抛物线上的点的坐标为（x,y），
∵原抛物线与新抛物线关于点C成中心对称，
由，；
∴对应的原抛物线上点的坐标为；
代入原抛物线解析式可得：，
∴新抛物线的解析式为：；
故选：A．
4．（2018·四川内江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，的顶点在第一象限，点、的坐标分别为、，，，直线交轴于点，若与关于点成中心对称，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
分析：先求得直线AB解析式为y=x﹣1，即可得P（0，﹣1），再根据点A与点A'关于点P成中心对称，利用中点坐标公式，即可得到点A'的坐标.
详解：∵点B，C的坐标分别为（2，1），（6，1），∠BAC=90°，AB=AC，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴A（4，3），
设直线AB解析式为y=kx+b，
则，解得，
∴直线AB解析式为y=x﹣1，
令x=0，则y=﹣1，
∴P（0，﹣1），
又∵点A与点A'关于点P成中心对称，
∴点P为AA'的中点，
设A'（m，n），则=0，=﹣1，
∴m=﹣4，n=﹣5，
∴A'（﹣4，﹣5），
故选A．
5．（2022·江苏无锡·中考真题）雪花、风车…．展示着中心对称的美，利用中心对称，可以探索并证明图形的性质，请思考在下列图形中，是中心对称图形但不一定是轴对称图形的为（ ）
A．扇形 B．平行四边形 C．等边三角形 D．矩形
【答案】B
【详解】
解：A、扇形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B、平行四边形不一定是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意；
C、等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D、矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项不合题意；
故选：B．
6．（2022·四川自贡·中考真题）如图，菱形对角线交点与坐标原点重合，点，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
∵菱形是中心对称图形，且对称中心为原点，
∴A、C坐标关于原点对称，
∴C的坐标为，
故选C．
二、填空题
7．（2018·四川甘孜·中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，有一个由六个边长为1的正方形组成的图案，其中点A，B的坐标分别为(3,5)，(6,1)．若过原点的直线l将这个图案分成面积相等的两部分，则直线l的函数解析式为_____．
【答案】
【详解】
解：∵点A，B的坐标分别为（3，5），（6，1），
∴C的坐标为（4，2.5），
则直线l经过点C．
设直线l的函数解析式为y=kx，依题意有
2.5=4k，
解得k=．
故直线l的函数解析式为y=x．
故答案为y=x．
8．（2018·陕西·中考真题）点O是平行四边形ABCD的对称中心，AD＞AB，E、F分别是AB边上的点，且EF＝AB；G、H分别是BC边上的点，且GH＝BC；若S1,S2分别表示∆EOF和∆GOH的面积，则S1,S2之间的等量关系是______________
【答案】2S1＝3S2
【详解】
过点O分别作OM⊥BC，垂足为M，作ON⊥AB，垂足为N，
∵点O是平行四边形ABCD的对称中心，
∴S平行四边形ABCD=AB•2ON， S平行四边形ABCD=BC•2OM，
∴AB•ON=BC•OM，
∵S1=EF•ON，S2=GH•OM，EF＝AB，GH＝BC，
∴S1=AB•ON，S2=BC•OM，
∴2S1＝3S2，
故答案为2S1＝3S2．
9．（2020·贵州黔东南·中考真题）以▱ABCD对角线的交点O为原点，平行于BC边的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系．若A点坐标为（﹣2，1），则C点坐标为_____．
【答案】（2，﹣1）
【详解】
解：∵▱ABCD对角线的交点O为原点，A点坐标为（﹣2，1），
∴点C的坐标为（2，﹣1），
故答案为：（2，﹣1）．
10．（2011·贵州六盘水·中考真题）在平面直角坐标系中，点P（2，3）与点P′(2a+b，a+2b)关于原点对称，则a－b的值为_________
【答案】1
【详解】
解：根据两个点关于原点对称，则横、纵坐标都是原数的相反数，
得：2a+b=-2，a+2b=-3，
解得：a=-，b=-，
a-b=1．
故答案为1．
三、解答题
11．（2020·广西·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是A（1，3），B（4，4），C（2，1）．
（1）把向左平移4个单位后得到对应的A1B1C1，请画出平移后的A1B1C1；
（2）把绕原点O旋转180°后得到对应的A2B2C2，请画出旋转后的A2B2C2；
（3）观察图形可知，A1B1C1与A2B2C2关于点（ ， ）中心对称．
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）﹣2，0．
【详解】
解：（1）如图所示，分别确定平移后的对应点，
得到A1B1C1即为所求；
（2）如图所示，分别确定旋转后的对应点，
得到A2B2C2即为所求；
（3）由图可得，A1B1C1与A2B2C2关于点成中心对称．
故答案为：﹣2，0．
12．（2013·广西贵港·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣4，3）、B（﹣3，1）、C（﹣1，3）．
（1）请按下列要求画图：
①将△ABC先向右平移4个单位长度、再向上平移2个单位长度，得到△A1B1C1，画出△A1B1C1；
②△A2B2C2与△ABC关于原点O成中心对称，画出△A2B2C2．
（2）在（1）中所得的△A1B1C1和△A2B2C2关于点M成中心对称，请直接写出对称中心M点的坐标．
【答案】（1）①②作图见解析部分；（2）作图见解析部分，．
【详解】
解：（1）①如图，△即为所求；
②如图，△即为所求；
（2）如图，点即为所求，，
故答案为：．
13．（2022·吉林·中考真题）图①，图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．其中点，，均在格点上．请在给定的网格中按要求画四边形．
(1)在图①中，找一格点，使以点，，，为顶点的四边形是轴对称图形；
(2)在图②中，找一格点，使以点，，，为顶点的四边形是中心对称图形．
【答案】(1)图见解析；(2)图见解析
【解析】
(1)解：如图①，四边形是轴对称图形．
(2)解：先将点向左平移2格，再向上平移1个可得到点，
则将点按照同样的平移方式可得到点，
如图②，平行四边形是中心对称图形．
23.2中心对称
课后培优练级练
培优第一阶——基础过关练
一、单选题
1．如图，与关于O成中心对称，下列结论中不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
解：∵对应点的连线被对称中心平分，
∴，，
即B、D正确，
∵成中心对称图形的两个图形是全等形，
∴对应线段相等，
即，
∴C正确，
故选A．
2．等腰三角形、等边三角形、矩形、正方形和圆这五种图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的图形种数是（ ）．
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【详解】
解：等腰三角形、等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
矩形、正方形和圆是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意．
故既是轴对称图形又是中心对称图形的是矩形、正方形和圆共3个．
故选：B．
3．2023年中国将承办第18届亚洲杯足球赛，下列四届亚洲杯会徽的图案中，是中心对称图形的为（ ）
A． B．C． D．
【答案】A
【详解】
解：A、是中心对称图形，故符合题意；
B、不是中心对称图形，故不符合题意；
C、不是中心对称图形，故不符合题意；
D、不是中心对称图形，故不符合题意；
故选A．
4．若点，关于原点对称，则m、n的值为（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】C
【详解】
解：∵点A（m，2）与点B（3，n）关于对称，
∴m=-3，n=-2．
故选：C．
5．如图，两个半圆分别以P、Q为圆心，它们成中心对称，点A1，P，B1，B2，Q，A2在同一条直线上，则对称中心为（ ）
A．A2P的中点 B．A1B2的中点 C．A1Q的中点 D．PQ的中点
【答案】D
【详解】
解：如图对称中心是PQ的中点，
故选：D．
6．下列说法中错误的是（ ）
A．成中心对称的两个图形全等
B．中心对称图形绕对称中心旋转后，都能与自身重合
C．中心对称图形的对称中心是连结对称点的线段的中点
D．成中心对称的两个图形中，连结对称点的线段被对称轴平分
【答案】D
【详解】
A．成中心对称的两个图形全等，正确，故本选项不合题意；
B．中心对称图形绕对称中心旋转180°后，都能与自身重合，正确，故本选项不合题意；
C．中心对称图形的对称中心是连结对称点的线段的中点，正确，故本选项不合题意；
D．成中心对称的两个图形中，连结对称点的线段被对称中心平分，原说法错误，故本选项符合题意；
故选：D．
二、填空题
7．如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若AB＝2，BC＝3， ，则图中阴影部分的面积是__________________．
【答案】
【详解】
如图，过点作于点，
依题意，
，
，
，
，
根据平行四边形是中心对称图形，
图中阴影部分的面积为平行四边形面积的一半，即．
故答案为：．
8．如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，O是矩形的对称中心，点E、F分别在边AD、BC上，连接OE、OF，若AE=BF=2，则OE+OF的值为__________．
【答案】
【详解】
解：如图，连接，AC，BD．
∵O是矩形的对称中心，
∴O也是对角线的交点，
过点O作OM⊥AD于点M交BC于点N．
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OD=OB，
∵OM⊥AD，
∴AM=DM=AD=BC=4，
∴OM=AB=3，
∵AE=2，
∴EM=AM-AE=2，
∴OE==，
同法可得OF=，
∴OE+OF=2，
故答案为：2．
9．如图，△ABC和△DEC关于点C成中心对称，若，，，则AE的长是____________．
【答案】
【详解】
解：∵△DEC与△ABC关于点C成中心对称，
∴△ABC≌△DEC，
∴AB＝DE＝1，AC＝DC＝，∠D＝∠BAC＝90°，
∴AD＝1，
∵∠D＝90°，
∴AE＝，
故答案为：．
10．如图，直线、垂直相交于点，曲线关于点成中心对称，点的对称点是点，于点，于点．若，，则阴影部分的面积之和为__________．
【答案】12.
【详解】
解：如图，
∵直线a、b垂直相交于点O，曲线C关于点O成中心对称，点A的对称点是点A'，AB⊥a于点B，A'D⊥b于点D，OB=4，OD=3，
∴AB=3，
∴图形①与图形②面积相等，
∴阴影部分的面积之和=长方形ABOE的面积=4×3=12．
故答案为12．
三、解答题
11．在如图的正方形网格中，每个小正方形的边长都是单位1，△ABC的顶点均在格点上．
(1)画出△ABC绕A点按逆时针方向旋转90°后得到的△AB1C1；若连接CC1，则△ACC1是怎样的三角形？
(2)画出△A2B2C2，使△A2B2C2和△AB1C1关于点O成中心对称；
(3)指出如何平移△AB1C1，使得△A2B2C2和△AB1C1能拼成一个长方形．
【答案】(1)图见解析，等腰直角三角形；(2)见解析；(3)见解析
【解析】
(1)解：根据题意得：AC=AC1，∠CAC1=90°，
∴△ACC1是等腰直角三角形．
(2)解：如图，△A2B2C2即为所求；
(3)解：根据题意得：点C2与点A重合时，△A2B2C2和△AB1C1能拼成一个长方形，
∵点A先向右平移5个单位，再向下平移6个单位与点C2重合，
∴先将△AB1C1向右平移5个单位，然后再向下平移6个单位，△A2B2C2和△AB1C1能拼成一个长方形．
12．如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度．的三个顶点，，．
(1)画出关于点C成中心对称的，并写出点的坐标；
(2)平移，使点A的对应点坐标为，请画出平移后对应的，并写出点的坐标；
(3)若将绕某一点旋转可得到，则旋转中心P点的坐标是__________．
【答案】(1)作图见解析, B1（0，−1）；(2)作图见解析, B2（0，−3）；(3)（0，−2）
【解析】
(1)解：作图如图所示，△A1B1C即为所求,B1（0，−1）
(2)解：作图如图所示，△A2B2C2即为所求,B2（0，−3）
(3)解：∵，，
∴点与点的中点坐标为，
经检验点与点，点与点均关于点对称，
故旋转中心坐标P（0，−2）．
故答案为：（0，−2）．
13．在平面直角坐标系中，已知点P（3，－1）关于原点对称的点Q的坐标是，求的值．
【答案】25
【解析】
解：点与点关于原点对称，
，，
解得：，
．
培优第二阶——拓展培优练
一、单选题
1．如图，与关于点D成中心对称，连接AB，以下结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
解：∵与关于点D成中心对称，
∴，，
∴
∴选项A、C、D正确，选项B错误；
故选B．
2．如图，已知点A与点C关于点O对称，点B与点D也关于点O对称，若，．则AB的长可能是（ ）
A．3 B．4 C．7 D．11
【答案】C
【详解】
解：∵点与点关于点对称，点与点也关于点对称，
∴，
又∵∠AOD=∠BOC
∴△AOD≌△BOC（SAS）
∴AD=BC=3
∵
∴．
故选：C．
3．如图，在中，顶点A在x轴的负半轴上，，，，将绕点A逆时针旋转，每秒旋转90°，则第2022秒旋转结束时，点B的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
解：2022除以4等于505，余数为2，
∴第2022秒旋转结束时与第2秒旋转结束时的位置相同，
∵，，
∴OB=2，BC=，
∵∠AOB=90°，AB=BC
∴，
∴A(-1，0)，
∵，，
∴绕点A逆时针旋转2022秒旋转结束时，点B的坐标为（-2，-2）．
故选：A．
4．下列图形中，是中心对称但不是轴对称的图形是（ ）
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．等边三角形
【答案】A
【详解】
A、平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项正确；
B、矩形是中心对称图形，也是轴对称图形，故本选项错误；
C、菱形是中心对称图形，也是轴对称图形，故本选项错误；
D、等边三角形不是中心对称图形，但是轴对称图形，故本选项错误；
故选：A．
5．已知抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得新抛物线的顶点与原抛物线的顶点关于原点对称，则k的值为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】D
【详解】
解：∵，
∴抛物线的顶点坐标为：，
将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度后，新的抛物线的顶点坐标为：，
∵所得新抛物线的顶点与原抛物线的顶点关于原点对称，
∴，
解得：，
故选：D．
6．约定：若函数图象上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称为“黄金函数”，其图象上关于原点对称的两点叫做一对“黄金点”．若点，是关于的“黄金函数”上的一对“黄金点”，且该函数的对称轴始终位于直线的右侧，有结论①；②；③；④．则下列结论正确的是（ ）
A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④
【答案】C
【详解】
解：∵点A（1，m），B（n，﹣4）是关于x的“黄金函数”y＝ax2+bx+c（a≠0）上的一对“黄金点”，
∴A，B关于原点对称，
∴m＝4，n＝﹣1，
∴A（1，4），B（﹣1，﹣4），
代入y＝ax2+bx+c（a≠0）
得 ，
∴，
∴①②正确，符合题意，
∵该函数的对称轴始终位于直线x＝2的右侧，
∴，
∴，
∴﹣1＜a＜0，
∴④正确，符合题意，
∵a+c＝0，
∴c＝﹣a，0＜c＜1，
当x＝时，y＝ax2+bx+c＝a+b+c＝a+2﹣a＝2﹣a，
∵﹣1＜a＜0，
∴﹣a＞0，
∴a+b+c＝2﹣a＞2＞0，③错误，不符合题意．
综上所述，结论正确的是①②④．
故选：C．
二、填空题
7．在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的对称中心是坐标原点，顶点A，B的坐标分别是（－2，－1），（1，－1），将平行四边形ABCD沿x轴向右平移2个单位长度，则顶点C的对应点的坐标是___．
【答案】
【详解】
解：∵平行四边形ABCD的对称中心是坐标原点，
∴点A，点C关于原点对称，
∵， ∴，
∴将平行四边形ABCD沿x轴向右平移2个单位长度，
则顶点C的对应点C1的坐标是，
故答案为：．
8．如图，为的对角线，点P为内一点，连接、、、，若和的面积分别为3和13，则的面积为_________．
【答案】10
【详解】
解:由平行四边形和三角形的面积公式易得，
由平行四边形的性质可得，
∴，
∴，
∴,
故答案为10．
9．如图，在平面直角坐标系中，是边长为1的等边三角形，作与关于点成中心对称，再作与关于点成中心对称，继续作与关于点成中心对称，…．按此规律作下去，则的顶点的坐标是__________．
【答案】
【解析】
【详解】
解：∵是边长为1的等边三角形，
∴A1的坐标为：，B1的坐标为：（1，0），
∵与关于点成中心对称，
∴点A2与点A1关于点B1成中心对称，
∵，
∴点A2的坐标是：，
∵△B2A3B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称，
∴点A3与点A2关于点B2成中心对称，
∵
∴点A3的坐标是：，
∴An的横坐标是：n−，当n为奇数时，An的纵坐标是：，当n为偶数时，An的纵坐标是：，
∵2022是偶数，
∴的坐标是，
故答案为：．
10．点以原点O为中心，旋转180°得到B，则B的坐标为__________；点关于x轴对称得到C，则C的坐标为__________；点以原点O为中心，顺时针旋转90°得到，则的坐标为__________．
【答案】 （-5，2） （5，2） （-2，-5）
【详解】
解：点以原点O为中心，旋转180°得到B，则B的坐标为（-5，2）；
关于x轴对称得到C，则C的坐标为（5，2）；
点以原点O为中心，顺时针旋转90°得到，如图所示，分别过点A、A′作x轴、y轴垂线，垂足为B、C，即∠OCA′=∠OBA=90°
由旋转可知，OA=OA′，∠AOA′=∠BOC=90°，
∴∠AOB=∠A′OC,
∴△ABO≌△A′CO，
∴A′C=AB=2,OC=OB=5,
则的坐标为（-2，-5）．
故答案为：（-5，2），（5，2），（-2，-5）
三、解答题
11．如图，已知正方形，请仅用无刻度直尺，完成以下作图（保留作图痕迹）
(1)在图1中，点、、、、、、、是正方形各边的三等分点，请利用上述三等分点的其中两个点，画一条直线，使其与直线将正方形面积四等分；
(2)在图2中，与相交于点，点、点分别在边、上，且，画出四边形（点在线段上）．使得四边形的面积等于正方形面积的．
【答案】(1)见解析；(2)见解析
【解析】
(1)画直线FJ，直线FJ与直线HL把正方形ABCD的面积四等分，理由：
设直线FJ与HL交点为O，过点O作OM⊥BC于点M，作ON⊥AB于点N，连接BD，
则∠ONB=∠OMB=90°，
由中心对称知，点O是正方形的对称中心，由旋转对称知，FJ⊥HL，∠LOJ=90°，
∵∠ABC=90°，
∴∠NOM=360°-（∠ONB+∠NBM+∠OMB）=90°，
∴四边形NBMO是矩形，
∵∠ABD=∠CBD=45°，
∴ON=OM，
∴矩形NBMO是正方形，
∵ON∥AD，，
∴，
∴，
∵∠LOJ=∠NOM=90°，
∴∠LOJ-∠NOJ=∠NOM-∠NOJ，
即∠LON=∠JOM，
∵∠ONL=∠OMJ=90°，ON=OM，
∴△OLN≌△OJM(ASA)，
∴，
∴，
同理，，
故，
(2)1．作直线QO交BC于点F；
2．作直线PO交AD于点E；
3．作直线PQ交BD于点H；
4．作直线EF交AC于点G；
5．作直线GH交CD于点M；
6．连接OM，四边形MOPC就是所求作．
证明：∵点Q、F关于点O对称，
∴OQ=OF，
∵OD=OB，∠DOQ=∠BOF，
∴△ODQ≌△OBF(SAS)，
∴BF=DQ，
同理，AE=CP，
∵DQ=CP，
∴AE=BF，
∴四边形ABFE是矩形，
∴EF⊥AD，
同理，PQ⊥AD，
∵AE=DQ，∠EAG=∠QDH=45°，∠AEG=∠DQH=90°，
∴△AEG≌△DQH(ASA)，
∴AG=DH，
∴GH∥AD，
∴HM⊥CD，
∴HQ=HM，
∴四边形QHMD是正方形，
∴DQ=DM，
∴DM=CP，
∴由（1）知，．
12．物体受重力作用的作用点叫做这个物体的重心．例如一根均匀的棒，重心是棒的中点，一块均匀的三角形木板，重心就是这个三角形三条中线的交点，等等．
（1）你认为平行四边形的重心位置在哪里？请说明理由；
（2）现有如图的一块均匀模板，请只用直尺和铅笔，画出它的重心（直尺上没有刻度，而且不允许用铅笔在直尺上做记号）．
【答案】见解析
【解析】
解：（1）平行四边形的重心是两条对角线的交点．
如图，平行四边形ABCD是中心对称图形，对角线的交点O是对称中心，
经过点O与对边相交的任何一条线段都以点O为中点（如图中线段PQ），
因此点O是各条线段的公共重心，也是▱ABCD的重心．
（2）把模板分成两个矩形，连接各自的中心；
把模板重新分成两个矩形，得到连接各自中心的第二条线段，指出重心．
13．如图，抛物线经过A（），B（）两点，直线AB与轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点M在抛物线上，点N在直线AB上，当M，N关于原点O成中心对称时，求点N的坐标；
(3)设P是抛物线对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以A，B，P，Q为顶点的四边形能否成为平行四边形？若能，请直接写出点P的坐标；若不能，请说明理由．
【答案】(1)；(2)N的坐标为（，）或（，）；
(3)能，
【解析】
(1)解：∵抛物线经过A（-1，0），B（）两点,
∴解得
∴抛物线的解析式.
(2)设直线AB的解析式为，
∵A（-1，0）,B（）两点在直线AB上，
∴， 解得
∴.
设N（），则M（）
将M（）代入，得
，
解得，∴，
∴N的坐标为（，）或（，）
(3)解：设点Q（m，n），n=-m2+m+2，点P(1，s)，点A、B的坐标分别为(-1，0)、(4，-)，
①当AB是平行四边形的边时，
i)点B向右平移3个单位，点B在直线x=1上，
同样点A向右平移3个单位，此时横坐标为-4，
当x=-4时，y=-×(-4)2-4+=-10，
所以点A向上平移10个单位得到点Q，同样点B向上平移10个单位得到P，
∴s=-(10+)=-13，
∴点p坐标为(1，-13)；
ii) 点A向右平移2个单位，点A在直线x=1上，同样点B向右平移2个单位，此时横坐标为6，当x=6时，y=-×62+6+=-10，
所以点B向上平移-10-=8个单位得到点Q，同样点A向上平移8个单位得到P，则s=8，此时点P坐标为(1，-8)；
②当AB是平行四边形的对角线时，AB中点坐标为(，-)，
∴，∴m=2，
∴n=-×22+2+=，
∴，
解得：s=-4，
故点P（1，-4）
综上，故点P的坐标为：(1，-4)或(1，-8)或(1，-13)．
培优第三阶——中考沙场点兵
一、单选题
1．（2022·黑龙江·中考真题）下列图形是汽车的标识，其中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】
解：∵是轴对称图形，也是中心对称图形，
∴不符合题意；
∵是轴对称图形，不是中心对称图形
∴不符合题意；
∵不是轴对称图形，是中心对称图形
∴符合题意；
∵是轴对称图形，不是中心对称图形
∴不符合题意；
故选C．
2．（2020·浙江绍兴·中考真题）如图，点O为矩形ABCD的对称中心，点E从点A出发沿AB向点B运动，移动到点B停止，延长EO交CD于点F，则四边形AECF形状的变化依次为（ ）
A．平行四边形→正方形→平行四边形→矩形
B．平行四边形→菱形→平行四边形→矩形
C．平行四边形→正方形→菱形→矩形
D．平行四边形→菱形→正方形→矩形
【答案】B
【详解】
解：观察图形可知，四边形AECF形状的变化依次为平行四边形→菱形→平行四边形→矩形．
故选：B．
3．（2021·四川眉山·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，则该抛物线关于点成中心对称的抛物线的表达式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】
解:当x=0时，y=5，
∴C（0,5）；
设新抛物线上的点的坐标为（x,y），
∵原抛物线与新抛物线关于点C成中心对称，
由，；
∴对应的原抛物线上点的坐标为；
代入原抛物线解析式可得：，
∴新抛物线的解析式为：；
故选：A．
4．（2018·四川内江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，的顶点在第一象限，点、的坐标分别为、，，，直线交轴于点，若与关于点成中心对称，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
分析：先求得直线AB解析式为y=x﹣1，即可得P（0，﹣1），再根据点A与点A'关于点P成中心对称，利用中点坐标公式，即可得到点A'的坐标.
详解：∵点B，C的坐标分别为（2，1），（6，1），∠BAC=90°，AB=AC，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴A（4，3），
设直线AB解析式为y=kx+b，
则，解得，
∴直线AB解析式为y=x﹣1，
令x=0，则y=﹣1，
∴P（0，﹣1），
又∵点A与点A'关于点P成中心对称，
∴点P为AA'的中点，
设A'（m，n），则=0，=﹣1，
∴m=﹣4，n=﹣5，
∴A'（﹣4，﹣5），
故选A．
5．（2022·江苏无锡·中考真题）雪花、风车…．展示着中心对称的美，利用中心对称，可以探索并证明图形的性质，请思考在下列图形中，是中心对称图形但不一定是轴对称图形的为（ ）
A．扇形 B．平行四边形 C．等边三角形 D．矩形
【答案】B
【详解】
解：A、扇形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B、平行四边形不一定是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意；
C、等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D、矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项不合题意；
故选：B．
6．（2022·四川自贡·中考真题）如图，菱形对角线交点与坐标原点重合，点，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
∵菱形是中心对称图形，且对称中心为原点，
∴A、C坐标关于原点对称，
∴C的坐标为，
故选C．
二、填空题
7．（2018·四川甘孜·中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，有一个由六个边长为1的正方形组成的图案，其中点A，B的坐标分别为(3,5)，(6,1)．若过原点的直线l将这个图案分成面积相等的两部分，则直线l的函数解析式为_____．
【答案】
【详解】
解：∵点A，B的坐标分别为（3，5），（6，1），
∴C的坐标为（4，2.5），
则直线l经过点C．
设直线l的函数解析式为y=kx，依题意有
2.5=4k，
解得k=．
故直线l的函数解析式为y=x．
故答案为y=x．
8．（2018·陕西·中考真题）点O是平行四边形ABCD的对称中心，AD＞AB，E、F分别是AB边上的点，且EF＝AB；G、H分别是BC边上的点，且GH＝BC；若S1,S2分别表示∆EOF和∆GOH的面积，则S1,S2之间的等量关系是______________
【答案】2S1＝3S2
【详解】
过点O分别作OM⊥BC，垂足为M，作ON⊥AB，垂足为N，
∵点O是平行四边形ABCD的对称中心，
∴S平行四边形ABCD=AB•2ON， S平行四边形ABCD=BC•2OM，
∴AB•ON=BC•OM，
∵S1=EF•ON，S2=GH•OM，EF＝AB，GH＝BC，
∴S1=AB•ON，S2=BC•OM，
∴2S1＝3S2，
故答案为2S1＝3S2．
9．（2020·贵州黔东南·中考真题）以▱ABCD对角线的交点O为原点，平行于BC边的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系．若A点坐标为（﹣2，1），则C点坐标为_____．
【答案】（2，﹣1）
【详解】
解：∵▱ABCD对角线的交点O为原点，A点坐标为（﹣2，1），
∴点C的坐标为（2，﹣1），
故答案为：（2，﹣1）．
10．（2011·贵州六盘水·中考真题）在平面直角坐标系中，点P（2，3）与点P′(2a+b，a+2b)关于原点对称，则a－b的值为_________
【答案】1
【详解】
解：根据两个点关于原点对称，则横、纵坐标都是原数的相反数，
得：2a+b=-2，a+2b=-3，
解得：a=-，b=-，
a-b=1．
故答案为1．
三、解答题
11．（2020·广西·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是A（1，3），B（4，4），C（2，1）．
（1）把向左平移4个单位后得到对应的A1B1C1，请画出平移后的A1B1C1；
（2）把绕原点O旋转180°后得到对应的A2B2C2，请画出旋转后的A2B2C2；
（3）观察图形可知，A1B1C1与A2B2C2关于点（ ， ）中心对称．
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）﹣2，0．
【详解】
解：（1）如图所示，分别确定平移后的对应点，
得到A1B1C1即为所求；
（2）如图所示，分别确定旋转后的对应点，
得到A2B2C2即为所求；
（3）由图可得，A1B1C1与A2B2C2关于点成中心对称．
故答案为：﹣2，0．
12．（2013·广西贵港·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣4，3）、B（﹣3，1）、C（﹣1，3）．
（1）请按下列要求画图：
①将△ABC先向右平移4个单位长度、再向上平移2个单位长度，得到△A1B1C1，画出△A1B1C1；
②△A2B2C2与△ABC关于原点O成中心对称，画出△A2B2C2．
（2）在（1）中所得的△A1B1C1和△A2B2C2关于点M成中心对称，请直接写出对称中心M点的坐标．
【答案】（1）①②作图见解析部分；（2）作图见解析部分，．
【详解】
解：（1）①如图，△即为所求；
②如图，△即为所求；
（2）如图，点即为所求，，
故答案为：．
13．（2022·吉林·中考真题）图①，图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．其中点，，均在格点上．请在给定的网格中按要求画四边形．
(1)在图①中，找一格点，使以点，，，为顶点的四边形是轴对称图形；
(2)在图②中，找一格点，使以点，，，为顶点的四边形是中心对称图形．
【答案】(1)图见解析；(2)图见解析
【解析】
(1)解：如图①，四边形是轴对称图形．
(2)解：先将点向左平移2格，再向上平移1个可得到点，
则将点按照同样的平移方式可得到点，
如图②，平行四边形是中心对称图形．
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