2023届高考数学二轮复习导数在研究函数中的应用作业含答案

这是一份2023届高考数学二轮复习导数在研究函数中的应用作业含答案，共18页。试卷主要包含了设函数在处的切线经过点.，已知函数，已知函数，.，已知函数且，已知函数.，已知函数在与处都取得极值.，已知函数，等内容，欢迎下载使用。
导数在研究函数中的应用1．设函数在处的切线经过点.(1)求的值，并且讨论函数的单调区间；(2)当时，时，不等式恒成立，求的取值范围.2．已知函数．(1)求函数的单调区间；(2)当函数与函数图象的公切线经过坐标原点时，求实数的取值集合；(3)证明：当时，函数有两个零点，，且满足．3．已知函数，.(1)证明函数为偶函数，并求出其最大值；(2)求函数在上单调递增区间.4．已知函数且．(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)若恒成立，求的取值范围．5．已知函数.(1)求的极值；(2)若，且，函数有且仅有两个零点，求a的取值范围.6．在梯形中，，，P，Q分别为线段BC和CD上的动点．(1)求与的数量积；(2)若，求；(3)若，求的最大值．7．已知函数．(1)求在点处的切线方程；(2)证明：在区间存在唯一极大值点；(3)证明：当，．8．已知函数.(1)若在处的切线方程为，求a的值；(2)对于任意，，且，都有，求实数a的取值范围.9．已知函数在与处都取得极值.(1)求的值及函数的单调区间；(2)若对，不等式恒成立，求的取值范围.10．已知函数，．(1)当时，求函数的单调区间；(2)记函数，若有两个不同的零点，，证明：． 参考答案：1．(1)；的单调递减区间为，单调递增区间为.(2)的取值范围为.【解析】【分析】（1）、先求出切线方程，根据切线经过点即可求出的值；求出，分，两种情况讨论函数的单调区间即可;（2）、将原不等式转化为函数值在时恒大于零问题，分类讨论即可得到的取值范围.(1)，，，又，切线方程为，又切线经过点，，，故，.①、若，则当时，，；当时，，.所以在上单调递减，在上单调递增.②、若，则当时，，；当时，，.所以在上单调区间递减，在上单调区间递增.综上所述：的单调递减为，单调递增.(2)当时，,,,,,在上恒成立.设，，且.①、当时，,，当且仅当时等号成立，所以在上单调递增，而，所以对时，.符合题意②、当时，若x满足，即时，，而，因此时，,不符合题意.综上:的取值范围为.2．(1)答案见解析(2)(3)证明见解析【解析】【分析】（1）利用导数求解单调性；（2）利用是的切线求出其切线方程，再利用切线方程与只有一个公共点，即可求出实数的取值集合；（3）证明有两个零点，即证明函数，其中一个零点通过观察即可求得，另一个零点通过切线放缩即可证明，将代入中，即证明成立，通过构造函数，判断其单调性即可证明.(1)函数的定义域为，对求导，得，令，解得，当时，，单调递增．当时，，单调递减；故的单调递增区间为，单调递减区间为.(2)设公切线与函数的切点为，，则公切线的斜率，公切线的方程为：，将原点坐标代入，得，解得．公切线的方程为：，将它与联立，整理得．令，对之求导得：，令，解得．当时，，单调递减,当时，，单调递增，则有最小值，由于直线与函数相切，即只有一个公共点，故实数的取值集合为；(3)证明：由得，要证有两个零点，只要证有两个零点即可．观察得，即时函数的一个零点．对求导得：，令，解得．当时，，单调递增；当时，，单调递减；即时，取最小值，且，由得：必定存在使得二次函数，即．因此在区间上必定存在的一个零点．综上所述，有两个零点，一个是，另一个在区间上．下面证明．由上面步骤知有两个零点，一个是，另一个在区间上．不妨设，则，下面证明即可．令，对之求导得，故（a）在定义域内单调递减，，即．证明完毕．3．(1)证明见解析，最大值为；(2)、.【解析】【分析】（1）利用函数奇偶性的定义可证得结论成立，再利用二倍角公式结合二次函数的基本性质可求得函数的最大值；（2）求导得出，然后求出不等式在上的解集，即可得出结论.(1)解：函数的定义域，又，所以函数为偶函数，当时，，，所以当时，函数的最大值为.(2)解：当时，，对其求导得，当时，，只需，解得，当时，，只需，解得，综上函数在上的单调递增区间有、.4．(1)(2)【解析】【分析】（1）求出函数的导数，再根据导数的几何意义可得切线的斜率，再利用直线的点斜式方程即可得出答案；（2）恒成立，只要即可，利用导数，两种情况讨论，求出函数的最小值，即可得出答案.(1)解：当时，因为，所以，，又因为，所以曲线在点处的切线方程为，即；(2)解：因为且，所以，当时，，所以在上单调递增，取，则，不符合题意，当时，令，解得或（舍），当时，，所以在区间上单调递减，当时，，所以在区间上单调递增，所以在上的最小值为，若恒成立，只需，解得，综上可知，的取值范围是．5．(1)极大值为，无极小值；(2).【解析】【分析】（1）利用导数求的极值即可.（2）由（1）问题可化为成立求a的取值范围.(1)由题设，，当时，递增；当时，递减，∴的极大值为，无极小值.(2)要使有且仅有两个零点，即与有两个交点，由（1），时；时，∴，则有且仅有两个零点，又且，∴、时，，∴a的取值范围.6．(1)(2)(3)【解析】【分析】（1）根据数量积的运算求得与的数量积.（2）利用平方的方法求得.（3）求得的表达式，利用导数求得最大值.(1).(2)，，所以.(3),.，设，，所以递减；递增，，所以在上的最大值为.即的最大值为.7．(1)；(2)证明见解析；(3)证明见解析.【解析】【分析】（1）对函数进行求导，求出在处的导函数值和函数值，即可求出答案.（2）对函数进行求导，由零点存在性定理即可得以证明.（3）由（2）知函数单调性，求出，即可得以证明(1)，，得切线方程为(2)由（1）得，时，时，单调递减，，，由零点存在定理可得，在存在唯一一个零点，且当，，所以，在区间存在唯一极大值点．(3)由（2）可知，在区间上单调递增，在单调递减，，，所以，当时，当时，．当，．8．(1)2(2)【解析】【分析】（1）求出，再根据计算可得答案；（2）将条件变形可得在上是增函数，记，求出，有恒成立，转化为最值求解即可.(1)由已知，且，由，可得，∴(2)由已知可得，当时，有恒成立，即在上是增函数.记，则，∴在上恒成立，即在上恒成立.∵时，有，当时，，由在上恒成立，得，即，即实数a的取值范围为.9．(1)，减区间为，增区间为(2)【解析】【分析】（1）根据两个已知的极值点列出两个方程，直接解出的值，然后根据导数求得函数的单调区间；（2）将不等式恒成立问题转化为求函数的最大值，然后解出关于不等式即可(1)对函数求导可得：由题意得：即解得：故有：，令，解得：令，解得：或故有：的减区间为，增区间为(2)由(1)知， 在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增所以时，的最大值即为与中的较大者，故有：当时， 取得最大值要使，只需解得：或则有：的取值范围为.【点睛】在解决类似的问题时，首先要注意区分函数最值与极值的区别．求解函数的最值时，要先求函数在内所有使的点，再计算函数在区间内所有使的点和区间端点处的函数值，最后比较即得．10．(1)单调增区间是，单调减区间是(2)证明见解析【解析】【分析】（1）先求导，再令，再通过不等式可得其单调区间；（2）将问题转化为证明和成立，通过换元后再证明.(1)的定义域为，，，令，或（舍），当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以的单调增区间是，单调减区间是．(2)，定义域为要证明，即，下面分别证明和，两式相加即得结论，（ⅰ）下面证明，令，即证，令函数，则，∴在单调递增，在单调递减，∴．∴.（ⅱ）再证明，即，∵，为的两个不同零点，不妨设，∴①，②，∴①－②可得，两边同时乘以，可得，即，令，则，即证，即，即证，令函数，，则，∴在单调递增，∴，所以.由（ⅰ）（ⅱ）可得，∴．