2023届高考数学二轮复习专题五数列_第26练数列的通项与求和作业含答案

这是一份2023届高考数学二轮复习专题五数列_第26练数列的通项与求和作业含答案，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共12小题）
1. 已知数列 11×2，12×3，13×4，⋯，1n×n+1，⋯，下列各数中是此数列中的项的是
A. 135B. 148C. 154D. 156
2. 已知数列 an 的前 n 项和 Sn 满足 Sn+Sm=Sn+m，其中 m，n 为正整数，且 a1=1，那么 a10 等于
A. 1B. 9C. 10D. 55
3. 已知数列 an 的前 n 项和 Sn=an2+bna,b∈R，且 S25=100，则 a12+a14 等于
A. 16B. 8C. 4D. 不确定
4. 在数列 an 中，a1=1，a2=2，an+2-an=1+-1n，那么 S100 的值为
A. 2500B. 2600C. 2700D. 2800
5. 已知数列 an 的通项公式为 an=pn+qn（p，q 为常数），且 a2=32，a4=32，则 a8=
A. 54B. 94C. 34D. 2
6. 已知数列 2015，2016，1，-2015，-2016，⋯，这个数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前 2016 项和 S2016 等于
A. 2008B. 2010C. 1D. 0
7. 在数列 an 中，a1=2，an+1=an+lg1+1n，则 an=
A. 2+lgnB. 2+n-1lgn
C. 2+nlgnD. 1+n+lgn
8. 已知数列 an 的通项公式为 an=32n-11，前 n 项和为 Sn，下列关于 an 及 Sn 的叙述中正确的是
A. an 与 Sn 都有最大值B. an 与 Sn 都没有最大值
C. an 与 Sn 都有最小值D. an 与 Sn 都没有最小值
9. 已知在数列 an 中，a1=1，nan=a1+2a2+3a3+⋯+n-1an-1n≥2，则 a2016=
A. 2200863B. 2200963C. 2201063D. 2201163
10. 无穷等差数列 an 中，a1=1，公差 d>0．若方程 aix2+2ai+1x+ai+2=0i=1,2,⋯ 中不为 -1 的根记为 αi，且
fn=α1+1α2+1+α2+1α3+1+⋯+αn+1αn+1+1，则下列不等式中正确的是
A. fn>2dB. fn<2dC. fn<4dD. fn>4d
11. 已知数列 an 的通项公式 an=ncsnπ2，其前 n 项和为 Sn，则 S2016 等于
A. 1008B. 2012C. 503D. 0
12. 曲线 y=x 上的点 Pii=1,2,⋯ 与 x 轴正半轴上的点 Qi 及原点 O 构成一系列正三角形 PiQi-1Qi（记 Q0 为坐标原点 O），记 an=QnQn-1，则数列 an 的前 10 项和为
A. 1103B. 1107C. 1109D. 11013
二、填空题（共4小题）
13. 若数列 an 满足 a1=1，an+1=an+2n，则 an= ．
14. 设 Sn 是等差数列 an 的前 n 项和，已知 13S3 与 14S4 的等比中项为 15S5，13S3 与 14S4 的等差中项为 1，若数列 an 中的项 a1，a3，ak，⋯ 恰好构成等比数列 bn，则数列 bn 的通项公式为 ．
15. 设 Sn 为数列 an 的前 n 项和，Sn=-1nan-12n，n∈N*，则 S1+S2+⋯+S100= ．
16. 已知数列 2，5，22，11，⋯，则 25 是该数列的第 项．
答案
1. D【解析】由已知得通项公式 an=1n×n+1，只有 156=17×8 符合通项公式．
2. A【解析】因为 Sn+Sm=Sn+m，a1=1，所以 S1=1．可令 m=1，得 Sn+1=Sn+1，所以 Sn+1-Sn=1，即当 n≥1 时，an+1=1，所以 a10=1．
3. B【解析】由数列 an 的前 n 项和 Sn=an2+bna,b∈R，可得数列 an 是等差数列，S25=a1+a25×252=100，解得 a1+a25=8，所以 a12+a14=a1+a25=8．
4. B【解析】当 n 为奇数时，an+2-an=0⇒an=1，当 n 为偶数时，an+2-an=2⇒an=n，故 an=1,n为奇数n,n为偶数 ，
于是 S100=50+2+100×502=2600．
5. B
【解析】由题意知 2p+q2=32,4p+p4=32, 解得 p=14,q=2,
所以数列 an 的通项公式 an=n4+2n，
所以 a8=8×14+28=94．
6. D【解析】由已知得 an=an-1+an+1n≥2，所以 an+1=an-an-1，故数列的前 8 项依次为 2015，2016，1，-2015，-2016，-1，2015，2016．由此可知数列为周期数列，且周期为 6，S6=0．因为 2016=6×336，所以 S2016=0．
7. A【解析】由 an+1=an+lg1+1n 得 an+1-an=lg1+1n=lgn+1n，
那么
an=a1+a2-a1+⋯+an-an-1=2+lg2+lg32+⋯+lgnn-1=2+lg2×32×⋯×nn-1=2+lgn.
8. C【解析】解法一：因为 an=32n-11，所以当 n=1,2,3,4,5 时，an<0；当 n≥6 时，an>0．故 Sn 有最小值，且为 S5，没有最大值．由 an=32n-11 知，当 n=1,2,3,4,5 时，an<0，且此时数列单调递减，当 n≥6 时，an>0，且此时数列单调递减，所以 an 的最小值为 a5，最大值为 a6．
解法二：画出函数 y=32x-11 的图象，点 n,an 为函数 y=32x-11 图象上的一群孤立点，112,0 为函数图象的对称中心，故 S5 最小，a5 最小，a6 最大．
9. B【解析】因为 nan=a1+2a2+⋯+n-1an-1n≥2，
所以 n-1an-1=a1+2a2+3a3+⋯+n-2an-2n≥3．
两式相减，得 nan-n-1an-1=n-1an-1n≥3，
即 nan=2n-1an-1．
所以 anan-1=2×n-1nn≥3．
易知 a2=12，
故
a2016=a1×a2a1×a3a2×⋯×a2016a2015=22014×12×23×⋯×20152016=220142016=2200963.
10. C
【解析】因为 an 为等差数列，
所以 ai+ai+2=2ai+1，
所以 ai-2ai+1+ai+2=0，又 aix2+2ai+1x+ai+2=0i=1,2,⋯，
所以 x=-1 是所有这些方程的公共根，
因为 αi 和 -1 是方程 aix2+2ai+1x+ai+2=0 的两个不同的根，
所以 αi⋅-1=ai+2ai，
所以 αi=-ai+2ai，αi+1=1-ai+2ai=-2dai，
所以 αi+1αi+1+1=4d2aiai+1=4d1ai-1ai+1，
所以
α1+1⋅α2+1+α2+1α3+1+⋯+αn+1αn+1+1=4d1a1-1a2+1a2-1a3+⋯+1an-1an+1=4d1a1-1an+1<4d⋅1a1=4d.
11. A【解析】因为 an=ncsnπ2，
所以 a1=0，a2=-2，a3=0，a4=4，a5=0，a6=-6，a7=0，a8=8，⋯．
由此易知 a4n-2=-4n-2，a4n=4n，
且 a1+a2+a3+a4=-2+4=2，a5+a6+a7+a8=-6+8=2，⋯，
a4n-3+a4n-2+a4n-1+a4n=-4n-2+4n=2．
又 2016=4×504，所以 a1+a2+⋯+a2016=2×504=1008．
12. A【解析】设 P1t12,t1t1>0，得 kOP1=1t1=tanπ3，
即 t1=33，则 P113,33，从而 a1=Q1Q0=OP1=23．设 Pntn2,tn，得直线 PnQn-1 的方程为 y-tn=3x-tn2，
得 Qn-1tn2-tn3,0，直线 PnQn 的方程为 y-tn=-3x-tn2，
得 Qntn2+tn3,0，所以 Qn-1tn-12+tn-13,0，
得 tn2-tn3=tn-12+tn-13，由 tn>0，
得 tn-tn-1=13，
得 tn=t1+13n-1=33n，Qn13nn+1,0，Qn-113nn-1,0，于是 an=QnQn-1=23n，故 S10=1023+2032=1103．
13. 2n-1
【解析】由已知 an+1-an=2n，得 a2-a1=2，a3-a2=22，a4-a3=23，⋯，an-an-1=2n-1．
以上 n-1 个式子两边分别相加，得 an-a1=2+22+23+⋯+2n-1=21-2n-11-2=2n-2，
所以 an=2n-2+a1=2n-1．
14. bn=1
【解析】设 Sn=an2+bna,b∈R，
由于 13S3 与 14S4 的等比中项为 15S5，13S3 与 14S4 的等差中项为 1，
因此 3a+b4a+b=5a+b2,3a+b+4a+b=2⇒a=0,b=1, 或 a=-65,b=265.
①当 a=0，b=1 时，an=1，此时 bn=1；
②当 a=-65，b=265 时，an=-125n+325，
此时不存在数列 an 中的项 a1，a3，ak，⋯ 构成等比数列．
综上，bn=1．
15. 1312100-1
【解析】因为 an=Sn-Sn-1=-1nan-12n--1n-1an-1+12n-1，
所以 an=-1nan--1n-1an-1+12n．
当 n 为偶数时，an-1=-12n，
当 n 为奇数时，2an+an-1=12n，从而可得 a1=-122，a3=-124，a5=-126，a7=-128，a2=122，a4=124，a6=126，a8=128．
所以 a2-a1=12，a4-a3=123，a6-a5=125，⋯，
所以
S1+S2+⋯+S100=a2-a1+a4-a3+⋯+a100-a99-12+122+123+⋯+12100=12+123+⋯+1299-12+122+⋯+12100=1312100-1.
16. 7
【解析】因为 a1=2，a2=5，a3=8，a4=11，⋯，
所以 an=3n-1．由 3n-1=25 得 3n-1=20，解得 n=7，
所以 25 是该数列的第 7 项．