2022-2023学年黑龙江省双鸭山市第一中学高一下学期第一次月考数学试题含解析

2022-2023学年黑龙江省双鸭山市第一中学高一下学期第一次月考数学试题

一、单选题

1．化简的结果等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据向量的三角形法则，即可求解.

【详解】根据向量的三角形法则，可得.

故选：B.

2．已知向量，，是线段AB的中点，则点的坐标是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由向量坐标的基本运算即可求解.

【详解】因为点是线段AB的中点，

所以，设，

所以，解得，

所以点的坐标是.

故选：B

3．复数的共轭复数在复平面内的对应点在（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】D

【分析】根据复数乘法运算和共轭复数定义可求得，根据其对应点的坐标可确定结果.

【详解】，对应的点为，位于第四象限.

故选：D.

4．若向量，，且，则（    ）

A． B． C．3 D．6

【答案】D

【分析】利用向量数量积的坐标表示计算即可.

【详解】解：∵∴即，解得，D项正确.

故选：D

5．在中，若，则A=（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用余弦定理求角即可.

【详解】可整理为，所以，又，所以.

故选：B.

6．已知空间向量，，且，，，则一定共线的三点是（　　）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据向量共线判断三点共线即可．

【详解】解：

，

又与过同一点B，

∴ A、B、D三点共线．

故选：C．

7．已知，，若，的夹角为钝角，则的取值范围为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据向量夹角为钝角可知，，由此可构造不等式求得结果.

【详解】夹角为钝角，，且，

由得：，解得：；

当共线时，，解得：或，

当时，，此时，；

综上所述：实数的取值范围为.

故选：B.

8．安邦河，在黑龙江省内有两条.一条属于松花江二级支流，位于黑龙江省中部，发源于小兴安岭支脉平顶山西坡；另一条属于松花江右岸支流，位于黑龙江省东部，发源于完达山支脉分水岗，自南向北流经双鸭山、集贤、桦川个市县，在桦川县新城乡境内注入松花江. 安邦河从双鸭山一中旁流过，其中一河段的两岸基本上是平行的，根据城建工程计划，需要测量出该河段的宽度，现在一侧岸边选取两点并测得，选取对岸一目标点并测得，，，则该段河流的宽度为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】利用正弦定理可得，由可求得结果.

【详解】在中，由正弦定理得：，

河流的宽度.

故选：A.

二、多选题

9．关于向量下列命题中不正确的是（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，，则

【答案】ACD

【分析】根据向量相等的定义、共线向量的定义和性质依次判断各个选项即可.

【详解】对于A，当时，方向可能不同，未必成立，A错误；

对于B，若，则反向，，B正确；

对于C，只能说明长度的大小关系，但还有方向，无法比较大小，C错误；

对于D，当时，，，此时未必共线，D错误.

故选：ACD.

10．在中，已知，且，则角的值可能是（    ）

A． B． C． D．

【答案】CD

【分析】利用正弦定理边化角，结合已知可得角B，然后由内角和可得C.

【详解】由正弦定理可得，即

又，所以

因为，所以或.

所以或

故选：CD

11．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列结论正确的是（    ）

A．若，则A > B

B．若△ABC为锐角三角形，则

C．若，则△ABC一定为直角三角形

D．若，则△ABC可以是钝角三角形

【答案】ABC

【分析】由正弦定理及三角形中大角对大边即可判断A；通过内角和为化简，再借助角为锐角得到角A，B满足的关系，在再取角的正弦值化简即可判断B；边化角，运用两角差的正弦公式化简，得到角A，B，C的关系，再借助内角和为计算即可判断C；通过内角和为化简角，再利用两角和的正切公式化简即可得到，然后即可判断D．

【详解】对于A，因为，所以由正弦定理知，又因为在三角形中大角对大边，所以A > B．故A正确；

对于B，因为△ABC为锐角三角形，所以，即，所以．故B正确；

对于C，由正弦定理边化角得，则或（舍），

则，即，则△ABC一定为直角三角形．故C正确；

对于D，由，则，

所以，

又因为最多只有一个角为钝角，所以，，，即三个角都为锐角，

所以△ABC为锐角三角形．故D错误．

故选：ABC．

12．已知△ABC三个内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且，c =2．则下列结论正确的是（    ）

A．△ABC的周长最大值为6

B．的最大值为

C．

D．的取值范围为

【答案】AB

【分析】A选项，利用余弦定理和基本不等式即可求解周长的最大值；B选项，先利用向量的数量积计算公式和余弦定理得，再利用正弦定理和三角恒等变换得到，结合B的取值范围即可求出的最大值；C选项，结合B选项中的正弦定理进行求解即可；D选项，用进行变换得到，结合A的取值范围即可得到的取值范围．

【详解】对于A，由余弦定理得，解得，

所以，当且仅当时，等号成立，

解得，当且仅当时，等号成立，

则△ABC周长，所以△ABC周长的最大值为6，故A正确；

对于B，由，

又由正弦定理得，则，，

所以

，

因为，所以，

则的最大值为，即的最大值为，

所以的最大值为，故B正确；

对于C，结合B选项得，故C错误；

对于D，由，

又，所以，

所以，故D错误．

故选：AB．

【点睛】三角函数相关的取值范围问题，常常利用正弦定理，将边转化为角，结合三角函数性质及三角恒等变换进行求解，或者将角转化为边，利用基本不等式进行求解．

三、填空题

13．若复数，则|z|＝___．

【答案】

【分析】根据复数的模长的计算公式，可得答案.

【详解】由题意，复数的实部为，虚部为，则.

故答案为：.

14．在边长为的正中，在方向上的投影向量是__________．

【答案】

【分析】由投影向量定义直接计算即可.

【详解】，，

在方向上的投影向量为.

故答案为：.

15．如图，在中，P为线段AB上一点，则，若，，，且与的夹角为，则的值为_______.

【答案】-3

【分析】利用向量线性运算及平面向量基本定理，用表示与，然后利用数量积的运算律求解即可

【详解】因为，所以，

所以

，

即，

故答案为：-3

16．年，戴姆勒公司申请登记了“三叉星”做为奔驰轿车的标志，象征着陆上，水上和空中的机械化，而此圆环中的星形标志演变成今天的图案，沿用至今，并成为世界十大著名的商标之一（图一）.已知为内一点，，，的面积分别为，，，则有，我们称之为“奔驰定理”（图二）.已知的内角的对边分别为，且，为内的一点且为内心.若，则的最大值为___________.

【答案】##.

【分析】根据内心特点可知，利用向量线性运算进行转化可求得，，则；利用余弦定理和基本不等式可求得，由此可得的最大值.

【详解】为的内心，，，

，

，，

即，，；

（当且仅当时取等号），

，，（当且仅当时取等号），

的最大值为.

故答案为：.

四、解答题

17．计算

(1)

(2)

【答案】(1)

(2)

【分析】根据复数乘除法运算法则直接求解即可.

【详解】（1）.

（2）.

18．已知向量，，向量，的夹角为﹒

(1)求的值；

(2)求﹒

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据题意得到，，再根据数量积的定义即可求解；

（2）结合（1）可得，进而即可求得﹒

【详解】（1）由，，向量，的夹角为，

则，，

所以﹒

（2）结合（1）可得，

所以﹒

19．设的内角的对边分别为．已知．

(1)求角的大小；

(2)若，，求．

【答案】(1)

(2)或

【分析】（1）利用正弦定理边化角可求得，由此可得；

（2）利用余弦定理直接构造方程求解即可.

【详解】（1）由正弦定理得：，

，，，即，

又，.

（2），，

，解得：或.

20．已知a，b，c分别为的三个内角A，B，C的对边，在①，②，③这三个条件中任选一个，并解答下列问题（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）：

(1)求角A；

(2)若，，求BC边上的中线长．

【答案】(1)；

(2).

【分析】(1)选①，利用正弦定理边化角计算作答；选②，利用正弦定理边化角并逆用和角的正弦计

算作答；选③，利用正弦定理角化边并利用余弦定理计算作答.

(2)在中，用余弦定理求出边a及角B，在中，用余弦定理计算作答.

【详解】（1）选①，在中，由正弦定理及得：，

而，即，于是得，又，

所以.

选②，在中，由正弦定理及得：

，而，，则，

所以.

选③，在中，由正弦定理及得：，

即，由余弦定理得，而，

所以.

（2）由(1)知，，在中，由余弦定理得：

，即，

，设BC的中点为D，则，

在中，由余弦定理得：，

解得，

所以BC边上的中线长.

21．已知向量，，函数.

(1)求函数的最大值.

(2)在锐角中，角，，的对边分别为，，，若，，求面积的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）结合向量数量积的坐标表示及和差角与辅助角公式进行化简，然后结合正弦函数的性质计算可得；

（2）由已知先求，然后结合正弦定理化表示，然后结合和差角，二倍角公式及辅助角公式进行化简，结合锐角三角形确定出的范围，再由正弦函数性质及三角形面积公式可求．

【详解】（1）因为，，且，

所以

，

所以当，，

即，时，最大，且最大值为；

（2）由（1）知，，

则，

则或，

解得或，

所以中，，所以，又，

由正弦定理得，

所以，，

所以

，

在锐角中，，解得，

所以，，

所以的取值范围为，

所以．

22．已知的三个内角的对边分别为，且，．

(1)求的最大值；

(2)若的内切圆半径为，求的最大值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）化简已知等式，结合余弦定理可求得，由正弦定理边化角，结合三角恒等变换知识可整理得到，由正弦型函数最值可求得结果；

（2）利用面积桥和余弦定理可将表示为，代入所求式子，结合正弦定理边化角和三角恒等变换知识可得到，由正弦型函数值域的求法可求得最大值.

【详解】（1）由得：，

整理可得：，，

又，，

由正弦定理得：，，，

（其中，），

，，

当时，取得最大值.

（2），即，；

由余弦定理得：，，

，

，

由（1）知：；

，，，

，则的最大值为.