2021-2022学年黑龙江省双鸭山市第一中学高一下学期第一次月考数学试题含解析

2021-2022学年黑龙江省双鸭山市第一中学高一下学期第一次月考数学试题

一、单选题

1．向量（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由向量的加减法法则计算．

【详解】．

故选：D．

2．已知，若，则B点的坐标为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据向量的坐标表示计算

【详解】由题意设，则，解得．

故选：C

3．中，角所对的边分别为.若，，则（     ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据正弦定理直接求出即可.

【详解】因为，，

所以由正弦定理得，

即，解得.

故选：B

4．已知在中，、、分别为角、、的对边，则根据条件解三角形时恰有一解的一组条件是（       ）

A．，， B．，，

C．，， D．，，

【答案】B

【分析】利用正弦定理求出的值，结合大边对大角定理可判断各选项.

【详解】对于A选项，由正弦定理可得，且，故有两解；

对于B选项，由正弦定理可得，且，故只有一解；

对于C选项，由正弦定理可得，故无解；

对于D选项，因为，则角为的最大内角，且，故无解.

故选：B.

5．在中，点满足，则（     ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据平面向量的线性运算及平面向量基本定理即可得出答案.

【详解】解：.

故选：A.

6．在中，，，，则的面积为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据余弦定理求得，继而求得，由三角形的面积公式可求得答案.

【详解】解：因为在中，，，，

所以，又，所以，

所以的面积为，

故选：B.

7．已知中,,,,则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】利用向量数量积的定义直接进行求解即可.

【详解】.

故选：B.

【点睛】本题考查了向量的数量积，解题的关键是求出向量的夹角，属于基础题.

8．鹳雀楼是我国著名古迹，位于今山西省永济市，传说常有鹳雀在此停留，故有此名．更有唐朝诗人王之涣在作品《登鹳雀楼》中写下千古名句“欲穷千里目，更上一层楼”．如图是复建的鹳雀楼的示意图，某位游客（身高忽略不计）从地面D点看楼的项点C的仰角为，沿直线前进51.9米到达E点，此时看点A的仰角为，若点B，E，D在一条直线上，，则楼高约为（）（       ）

A．30米 B．60米 C．90米 D．103米

【答案】C

【分析】设，以的长列方程，化简求得，由此求得.

【详解】，则，

，

，即，

所以米.

故选：C

二、多选题

9．已知向量，，则下列正确的是（       ）

A．

B．

C．与向量平行的单位向量为

D．与是共线向量

【答案】ABD

【分析】利用平面向量线性运算的坐标表示可判断A选项；利用平面向量的模长公式可判断B选项；利用与向量平行的单位向量为可判断C选项；利用零向量与任何非零向量共线可判断D选项.

【详解】对于A选项，，A对；

对于B选项，，因此，，B对；

对于C选项，，则与向量平行的单位向量为，C错；

对于D选项，与是共线向量，D对.

故选：ABD.

10．已知向量＝（1，－3），＝（2，－1），＝（m＋1，m－2），若点A，B，C能构成三角形，则实数m可以是（　　）

A．－2 B． C．1 D．－1

【答案】ABD

【分析】先求与，使之共线并求出的值，则A，B，C三点不共线即可构成三角形，因此取共线之外的值即可．

【详解】因为，

．

假设A，B，C三点共线，则1×（m＋1）－2m＝0，即m＝1．所以只要m≠1，则A，B，C三点即可构成三角形.

故选：ABD．

11．在中，内角，，的对边分别为，，，且，，则可能的值不是（　　）

A． B． C． D．

【答案】BC

【分析】先求出，再得到，求出值域判断即可.

【详解】由正弦定理得，，

所以，

即，因为在中，

所以，因为，所以，

所以，因为，所以.

所以

因为，所以，所以，所以，

所以，即，

因为，，，，

所以可能的值不是和.

故选：BC.

12．Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB，BC=1，，以下正确的是（       ）

A．∠APB=120° B．∠BPC=150°

C．2BP=PC D．AP=PC

【答案】AC

【分析】根据条件作几何图形，由向量的关系可得P，G，Q三点共线且PQ=1，故△PMQ和△PNQ均为等边三角形，∠APB=∠BPC=∠APC=120°，进而可确定P的位置，利用相似可确定BP、 AP、 PC之间的数量关系.

【详解】在直线PA，PB，PC上分别取点M，N，G，使得||=||=||=1，

以PM，PN为邻边作平行四边形PMQN，则，如图，

∵，即，即，

∴P，G，Q三点共线且PQ=1，故△PMQ和△PNQ均为等边三角形，

∴∠APB=∠BPC=∠APC=120°，故A正确，B错误；

∵AB，BC=1，∠ABC=90°，

∴AC=2，∠ACB=60°，

在△ABC外部分别以BC､AC为边作等边△BCE和等边△ACD，直线CP绕C旋转60°交PD于P’，

∴，即，故，

，即，故，

∴为等边三角形，，则B，P，D三点共线，同理有A，P，E三点共线，

∴△BPC∽△BCD，即，即PC=2BP，故C正确，

同理：△APC∽△ACB，即2，即AP=2PC，故D错误.

故选：AC

三、填空题

13．已知向量，且，则_______．

【答案】

【分析】根据向量垂直关系的坐标表示可求出.

【详解】由题意，，所以，故.

故答案为：15.

14．已知的内角，，的对边分别为，，，若，，满足，且，则________.

【答案】0.75

【分析】由题目条件可得，再利用余弦定理代入求解即可.

【详解】因为，且，得，由余弦定理，.

故答案为：.

15．已知向量与的夹角为，则在方向上的投影向量为___________.

【答案】

【分析】直接按照投影向量的定义计算即可.

【详解】在方向上的投影向量为.

故答案为：.

16．在边长为8正方形中，点为的中点，是上一点，且，若对于常数，在正方形的边上恰有个不同的点，使得，则实数的取值范围为______.

【答案】

【分析】建立平面直角坐标系，按照点P在线段，，，上进行逐段分析的取值范围及对应的解，然后取各个范围的交集即可得答案．

【详解】以AB所在直线为x轴，以AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示，

则，，

（1）当点P在AB上时，设，，

∴，，

∴，

∵，

∴．

∴当时有一解，当时有两解；

（2）当点P在AD上时，设，，

∴，，

∴，

∵，

∴，

∴当或时有一解，当时有两解；

（3）若P在DC上，设，，

∴，，

∴，

∵，

∴．

∴当时有一解，当时有两解；

（4）当点P在BC上时，设，，

∴，，

∴，

∵，

∴，

∴当或时有一解，当时有两解，

综上，在正方形的四条边上有且只有6个不同的点P，使得成立，那么m的取值范围是，

故答案为：．

【点睛】解答本题的关键有两个：一是正确理解题意，将问题转化为判断方程根的个数的问题求解；二是利用数形结合的思想进行求解，通过建立坐标系，将问题转化为函数的知识求解，难度较大．

四、解答题

17．已知向量，，向量、的夹角为.

(1)求的值；

(2)求﹒

【答案】(1)2；

(2)6﹒

【分析】(1)根据向量数量积的运算律和定义即可计算；

(2)根据即可计算.

【详解】(1)，

；

(2)

.

18．设锐角△的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知．

(1)求角B的大小；

(2)若，求．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）对利用正弦定理统一成角的形式，然后化简可求出角B，

（2）利用余弦定理求解即可

【详解】(1)因为，

所以由正弦定理得，

因为，所以，

因为，所以，

(2)由余弦定理得

，

，

所以

19．已知向量，，，且，．

（1）求与；

（2）若，，求向量与的夹角的大小．

【答案】（1），；（2）.

【分析】（1）利用平行、垂直的坐标表示列方程，由此求得，进而求得与.

（2）利用向量夹角公式计算出，进而求得向量与的夹角的大小.

【详解】（1）由得，，

所以，即，

由得，，

所以，即.

（2）由（1）得，

，

所以，，，

所以，

所以向量，的夹角为.

20．已知函数.

（1）求的最小正周期和最大值；

（2）讨论在上的单调性.

【答案】（1）最小正周期为，最大值为；（2）在单调递增，在单调递减.

【分析】（1）由条件利用三角恒等变换化简函数，再利用正弦函数的周期性和最值求得的最小正周期和最大值；

（2）根据，利用正弦函数的单调性，分类讨论求得的单调性.

【详解】（1）

，

则的最小正周期为，

当，即时，取得最大值为；

（2）当时，，

则当，即时，为增函数；

当时，即时，为减函数，

在单调递增，在单调递减.

【点睛】本题考查正弦函数的性质，解题的关键是利用三角恒等变换化简函数.

21．已知函数的部分图象如图所示.

(1)求函数f（x）的解析式，并求出该函数的单调递增区间；

(2)若，且，求的值.

【答案】(1)答案见解析；

(2).

【分析】（1）根据函数图象可得A，周期T，即可求出，再由图象过点即可求出，得到函数解析式，求出单调区间；

（2）由求出，再由两角差的正弦公式直接计算即可.

【详解】(1)由图象可知，A=2， 且，解得

所以，

因为，

所以

则,

则仅当时，符合题意，

所以，

令，解得

综上，的解析式为，

单调增区间为；

(2)因为，

所以，

所以，又，

所以

所以.

22．为响应国家“乡村振兴”号召，农民老王拟将自家一块直角三角形地按如图规划成3个功能区：区域为荔枝林和放养走地鸡，区域规划为“民宿”供游客住宿及餐饮，区域规划为小型鱼塘养鱼供休闲垂钓．为安全起见，在鱼塘周围筑起护栏．已知，，，．

(1)若，求护栏的长度（的周长）；

(2)若鱼塘的面积是“民宿”的面积的倍，求；

(3)当为何值时，鱼塘的面积最小，最小面积是多少？

【答案】(1)

(2)

(3)时，的面积取最小值为

【分析】（1）先根据题干条件得到，，利用余弦定理求出，用勾股定理逆定理得到，进而求出CN，MN，求出护栏的长度；（2）设，利用和的面积关系和正弦定理得到CN的两种表达，列出方程，求出；（3）结合第二问的求解，利用正弦定理和面积公式得到面积关于的关系式，求出最小值.

【详解】(1)∵，，，∴，∴，∴，∴，

在中，由余弦定理可得：

，则，∴，∴，∵，∴，∴，∴护栏的长度（的周长）为；

(2)设（），因为鱼塘的面积是“民宿”的面积的倍，所以，即，，中，由三角形外角定理可得，在中，由，得，从而，即，

由，得，所以，即；

(3)设（），由（2）知，，

中，由外角定理可得，

又在中，由，得，

所以

，所以当且仅当，

即时，的面积取最小值为.