2022-2023学年黑龙江省大庆市大庆铁人中学高一上学期第一次月考数学试题（解析版）

2022-2023学年黑龙江省大庆市大庆铁人中学高一上学期第一次月考数学试题

一、单选题

1．若命题，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据全称命题的否定可得答案.

【详解】因为，所以 ，

故选：A

2．已知集合，，，则（    ）

A． B． C． D．或

【答案】C

【分析】根据，可得，分情况讨论即可得解.

【详解】由，可得，

当时，，此时，不成立；

当时，，此时，成立；

当时，（舍）或，此时，不成立，

综上所述，，

故选：C.

3．若，则下列不等式中成立的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用不等式的性质判断A、B，利用特殊值判断C，利用作差法判断D；

【详解】解：因为，所以，所以，故A错误，B正确；

令、，则，故C错误；

因为，所以，所以，

所以，故D错误；

故选：B

4．已知，则f(3)=（    ）

A．3 B．5 C．7 D．9

【答案】B

【分析】根据分段函数的定义计算函数值．

【详解】.

故选：B

5．下列四组函数中，表示同一函数的一组是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】依次判断各选项的两个函数的定义域和对应关系是否一致，即可得结果.

【详解】A选项，的定义域为，的定义域为R，两个函数的定义域不同，故不是同一函数.

B选项，的定义域为，的定义域为或 ，两个函数的定义域不同，故不是同一函数.

C选项，，，两个函数的定义域都为R，但对应关系不同，故不是同一函数.

D选项，两个函数的定义域都为R，对应关系相同，故是同一函数.

故选：D

6．“关于x的不等式对恒成立”的一个必要不充分条件是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据恒成立求出的范围,根据选项选出它的必要不充分条件即可.

【详解】解:由题知,不等式,恒成立,

只需,故,

则选项是的必要不充分条件,

即真包含于选项中,所以选D,

故选:D.

7．已知集合，，，则集合，，的关系为（    ）

A． B． C． D．，

【答案】B

【分析】对三个集合中元素进行变形，确定元素间的关系，判断出集合的包含关系.

【详解】因为，，，

其中均表示全体整数，表示全体奇数，

所以．

故选：B．

8．已知x，，且满足，那么的最小值为　　

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】由题意可得（2y-1）(x-1)=1,变形为,所以，所以,当且仅当时，等号成立，即，选B.

【点睛】求用均值不等式求和的最小值，需要构造一个积为定值的式子，所以本题把原式变形为，正好可以用均值不等式，注意等号成立条件．

9．已知偶函数在上单调递增，且，则的解集是（    ）

A． B．或

C． D．或

【答案】B

【分析】根据函数的性质推得其函数值的正负情况，由可得到相应的不等式组，即可求得答案.

【详解】因为是偶函数且在上单调递增，，故，

所以当或时，，当时，．

所以等价于或 ，

解得或，所以不等式的解集为，

故选：B．

10．下列四个命题中真命题的序号是（    ）

①函数的最小值为2；②函数的最小值为3；

③函数的最大值为；④函数的最小值为2．

A．②③ B．①②④ C．①④ D．②③④

【答案】A

【分析】利用基本不等式判断各命题即可，注意验证“一正二定三相等”的条件．

【详解】①需满足和大于零，当时，，则最小值不为2，故①错误；

②因为，所以，，当且仅当即时等号成立，故②正确；

③因为，所以，，当且仅当，即时等号成立，所以，故③正确；

④因为，所以，当且仅当时等号成立，但是无实数解，故④错误．

故选：A．

11．一电子广告，背景是由固定的一系列下顶点相接的正三角形组成，这列正三解形的底边在同一直线上，正三角形的内切圆由第一个正三角形的点沿三角形列的底边匀速向前滚动（如图），设滚动中的圆与系列正三角形的重叠部分（如图中的阴影）的面积关于时间的函数为，则下列图中与函数图象最近似的是（　 　）

A．

B．

C．

D．

【答案】B

【分析】利用排除法：函数值不为0（排除），函数先减少的（排除），为非线性变化（排除）.

【详解】三角形呈周期性排列，圆在滚动时由对称性知重叠面积呈周期性变化．函数图象应具有以下特征：周期变化，函数值不为0（排除），从初始位开始函数是先减少的（排除），且为非线性变化（排除）．故选B

【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：

(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．

(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；

(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；

(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.

12．已知x∈R，符号[x]表示不超过x的最大整数，若函数有且仅有3个零点，则实数a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】零点问题可转化为两函数交点问题，画出的图象，数形结合求出实数a的取值范围.

【详解】当时，；时，；

时，；….

函数有且仅有3个零点，

可转化为与的交点有3个，画出的图象，

如图所示，通过数形结合可如.

故选：D

二、填空题

13．设集合，则集合的子集个数为________.

【答案】88个

【分析】根据集合中的，确定中的元素，根据元素的个数求子集的个数.

【详解】由，可得，因为，则或或；

当时，，符合题意；

当时，，符合题意；

当时，，符合题意；

所以，集合含有3个元素，则集合的子集个数为个.

14．如果关于的不等式的解集是，那么等于_________.

【答案】81

【分析】根据不等式的解集可知对应一元二次方程的根，由根与系数的关系求解即可.

【详解】不等式可化为

，其解集是，

那么，由根与系数的关系得，解得，；

所以．

故答案为：81

15．已知函数f（x）的值域是[0，+∞），则实数m的取值范围是__．

【答案】

【分析】将分为 三种情况讨论：当时， 满足条件；当时，由二次函数知开口向下，不满足条件；当时，只需二次函数的即可，解出的取值范围，综上得的取值范围.

【详解】解：当时，，值域是[0，+∞），满足条件；

令 ，

当m＜0时，的图象开口向下，故f（x）的值域不会是[0，+∞），不满足条件；

当m＞0时，的图象开口向上，只需的，

即（m﹣2）2﹣4m（m﹣1）≥0，

∴，又 ，所以

综上，，

∴实数m的取值范围是：，

故答案为：.

16．已知是定义域为的奇函数，满足.若，则______.

【答案】

【分析】根据函数为奇函数，且，可证得是周期为周期函数，再由题意求得，即可求得答案.

【详解】是定义域为的奇函数，所以，

又因为，，所以，，

并且，所以，

所以是周期函数，周期为，

又，

所以

.

故答案为：.

三、解答题

17．已知集合U为全体实数集，或，.

(1)若，求；

(2)若，求实数a的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）将代入，求出，再利用并集的定义求解；

（2）分、两种情况讨论，列出关于的不等式，求解即可.

【详解】(1)当时，，而，

所以.

(2)因，则

当，即时，，此时满足，符合题意，

当，即时，，则有或，即或，因此.

所以实数a的取值范围为.

18．函数是定义在上的奇函数，且．

(1)确定的解析式；

(2)判断在上的单调性，并用定义证明．

【答案】(1)

(2)增函数，证明见解析

【分析】（1）由题知，，进而求得答案（注意检验奇函数成立）；

（2）根据函数单调性的定义证明即可；

【详解】(1)解：因为函数是定义在上的奇函数

所以，解得．

经检验，当时，是上的奇函数，满足题意．

又，解得，

所以．

(2)解：在上为增函数．证明如下：

在内任取且，

则，

因为，，，，

所以，即，

所以在上为增函数．

19．已知，命题p：，不等式恒成立；命题q：，使得成立.

(1)若p为真命题，求实数m的取值范围；

(2)若q和p一真一假，求实数m的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）对，不等式恒成立，转化为令，则，求出，解不等式即可得出答案.

（2）若q为真命题，则存在，使得成立，所以，即可求出q为真命题时m的取值范围，再讨论q和p一真一假的情况，即可得出答案.

【详解】(1)对，不等式恒成立，

令，则，

当时，即，解得.

因此，当p为真命题时，m的取值范围是.

(2)若q为真命题，则存在，使得成立，所以；

故当命题q为真时，.

又∵p，q中一个是真命题，一个是假命题.

当p真q假时，由，得；

当p假q真时，由或，且，得.

综上所述，m的取值范围为.

20．（1）若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围；

（2）解关于的不等式.

【答案】（1）；（2）答案见解析.

【分析】（1）根据题意分和两种情况求解；

（2）不等式等价于，然后分，和三种情况求解.

【详解】解：（1）由题意，恒成立，

当时，不等式可化为，不满足题意；

当时，满足，即，解得.

（2）不等式等价于.

当时，不等式可化为，所以不等式的解集为；

当时，不等式可化为，此时，

所以不等式的解集为；

当时，不等式可化为，

①当时，，不等式的解集为；

②当时，，不等式的解集为或；

③当时，，不等式的解集为或.

21．随着“新冠”疫情得到有效控制，企业进入了复工复产阶段为了支持一家小微企业发展，某科创公司研发了一种玩具供其生产销售．根据测算，该企业每月生产每套玩具的成本由两部分费用（单位：元）构成：①固定成本（与生产玩具套数无关），总计2万元；②生产所需成本

（1）问：该企业每月生产多少套玩具时，可使得平均每套所需的成本费用最少？此时每套玩具的成本费用是多少？

（2）因“疫情”防控的需要，要求企业的复工复产逐步进行，假设复工后，企业每月生产套，售价定为（单位：元），且每月生产出的玩具能全部售出如果企业的月产量与复工率成正比，且该企业复工率达100%时的月产量为4000套，问：该企业的复工率至少达到多少时，才能确保月利润不少于10万元？

【答案】（1）每月生产2000套玩具时，平均每套所需的成本费用最少，为25元；（2）该企业的复工率至少达到75%时，才能确保月利润不少于10万元．

【解析】（1）由题分析得平均每套所需的成本费用，再利用基本不等式求解；（2）解不等式即得解.

【详解】（1），

当且仅当，即时取等号，

所以每月生产2000套玩具时，平均每套所需的成本费用最少，为25元；

（2）设利润为，

所以，即，

所以，

所以该企业的复工率至少达到75%时，才能确保月利润不少于10万元．

【点睛】方法点睛：利用基本不等式求最值，要注意：（1）一正：每一个数必须是正数；（2）二定：这些正数的积或者和是定值；（3）三相等：取等的条件要成立.

22．已知函数.

(1)当，且时，求的值；

(2)是否存在实数a、，使得函数的定义域、值域都是.若存在，则求出a、b的值；若不存在，请说明理由；

(3)若存在实数a、使得函数的定义域为时，值域为，求实数m的范围.

【答案】(1)；

(2)答案见解析；

(3).

【分析】（1）先通过分类讨论，去掉函数的绝对值符号，结合解析式与单调性可得答案.

（2）（3）将判断a、b是否存在转化为关于a、b相关方程有无解的问题，分a，；a，；，三种情况进行讨论.

【详解】(1)∵由已知可得，

∴在上为减函数，在上为增函数，

由且，可得且，得.

(2)若存在满足条件的实数a、b，则.

①当a，时，在上为减函数

故，即，解得，故此时不存在符合条件的实数a、b.

②当a，时，在上是增函数.

故，即，又.

此时，a、b是方程的根.此方程无实根，故此时不存在符合条件的实数a、b.

③当，时，

由于，而，故此时不存在符合条件的实数a、b.

综上可知，不存在符合条件的实数a、b.

(3)若存在实数a、，使得函数的定义域为时，值域为，且，.

①当a，时，由于在上是减函数，故.

此时得，得与条件矛盾，所以a、b不存在

②当，时，，.所以a、b不存在.

③故只有a，.

∵在上是增函数，∴，即

又，故a、b是方程的两个不等根.

即关于x的方程有两个大于1的不等实根.

设这两个根为、，则，.

∴，即，解得.

综上，m的范围是

【点睛】关键点点睛：涉及分段函数，函数单调性，一元二次方程根的分布等知识，主要方法为分类讨论.对于含有绝对值的函数常通过分类讨论处理，部分题目也可结合图像或考虑其几何意义.判断数字是否存在问题，常转化为判断相关数字所涉方程或不等式有无解的问题.