2022-2023学年宁夏固原市第五中学高二下学期第二次月考数学（理）试题含解析

2022-2023学年宁夏固原市第五中学高二下学期第二次月考数学（理）试题

一、单选题

1．设集合A={x|x2-5x+6>0}，B={ x|x-1<0}，则A∩B=

A．(-∞，1) B．(-2，1)

C．(-3，-1) D．(3，+∞)

【答案】A

【分析】先求出集合A，再求出交集．

【详解】由题意得，，则．故选A．

【点睛】本题考点为集合的运算，为基础题目．

2．设z=-3+2i，则在复平面内对应的点位于

A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

【答案】C

【分析】先求出共轭复数再判断结果.

【详解】由得则对应点（-3，-2）位于第三象限．故选C．

【点睛】本题考点为共轭复数，为基础题目．

3．已知，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据空间向量数量积的坐标表示计算可得.

【详解】因为，，

所以.

故选：B

4．已知是函数的导函数，且，则（    ）

A．2 B．1 C． D．

【答案】C

【分析】由已知条件，根据导数的定义计算可得.

【详解】因为，即，

所以.

故选：C

5．对于，（大前提），（小前提），所以（结论）.以上推理过程中的错误为

A．大前提 B．小前提 C．结论 D．无错误

【答案】B

【详解】分析：演绎推理是由一般到特殊的推理，是一种必然性的推理，演绎推理得到的结论不一定是正确的，这要取决与前提是否真实和推理的形式是否正确，演绎推理一般模式是“三段论”形式，即大前提小前提和结论．

详解：∵，

这是基本不等式的形式，注意到基本不等式的使用条件，a，b都是正数，

是小前提，没有写出x的取值范围，

∴本题中的小前提有错误，

故选B．

点睛：本题考查演绎推理的意义，演绎推理是由一般性的结论推出特殊性命题的一种推理模式，演绎推理的前提与结论之间有一种蕴含关系．

6．曲线在点处的切线的倾斜角为（    ）

A． B．45° C． D．135°

【答案】D

【分析】对函数进行求导得，再利用导数的几何意义求得切线的斜率，即可得到倾斜角.

【详解】，

，

，

即曲线在点处切线的斜率为，

故曲线在点处切线的倾斜角为，

故选：D．

【点睛】本题考查导数几何意义求切线的倾斜角，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查运算求解能力，属于基础题.

7．下列求导运算正确的是

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】分析：利用基本初等函数的导数公式、导数的运算法则对给出的四种运算逐一验证，即可得到正确答案.

详解：，不正确； ，正确；,不正确；，不正确，故选B.

点睛：本题主要考查基本初等函数的导数公式、导数的运算法以及简单的复合函数求导法则，属于基础题.

8．黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案：则第n个图案中有块白色地面砖块.

A．4n-2 B．3n+3 C．4n+2 D．2n+4

【答案】C

【详解】依次为6，10，14，所以第n个图案中有4n+2块白色地面砖块.选C.

9．已知的导函数图象如图所示，那么的图象最有可能是图中的（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】由题意，根据导数与函数单调性的关系，可得答案.

【详解】由题意，可得在和上单调递减，在上单调递增，

只有选项A符合，

故选：A.

10．是定义在上的非负可导函数，且满足，对任意正数，，若，则必有（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由各选项的特征构造函数，再讨论函数性质即可作答.

【详解】因是定义在上的非负可导函数，则，

令函数，则，即在是减函数或常数函数，

当时，或，

即，C正确.

故选：C

11．在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】分析：先建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用向量数量积求向量夹角，再根据向量夹角与线线角相等或互补关系求结果.

详解：以D为坐标原点，DA,DC,DD1为x,y,z轴建立空间直角坐标系，则,所以,

因为，所以异面直线与所成角的余弦值为，选C.

点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.

12．若f(x)=上是减函数，则b的取值范围是（ ）

A．[-1，+∞） B．（-1，+∞） C．（-∞，-1] D．（-∞，-1）

【答案】C

【详解】由题意可知，在上恒成立，即在上恒成立，由于，所以，故Ｃ为正确答案．

二、填空题

13．若函数，则函数在上的最小值为________．

【答案】

【分析】利用导数求的区间单调性，进而确定最小值即可.

【详解】因为，令得：，

所以时， 时，

故在上递减，在上递增，

所以，当时有最小值.

故答案为：．

14．已知||=1，||=，且-与垂直，则与的夹角为_________

【答案】45°

【分析】根据-与垂直，结合||=1，||=，求得cos<，>，再根据平面向量夹角范围求解.

【详解】∵-与垂直，

∴(-)·=0，

∴·-·=||2-||·||·cos<，>，

=1-1··cos<，>=0，

∴cos<，>=.

∵0°≤<，>≤180°，

∴<，>=45°.

故答案为：45°

【点睛】本题主要考查平面向量的数量积运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.

15．曲线在点处的切线方程为__________．

【答案】

【分析】先求导数，再根据导数几何意义得切线斜率，最后根据点斜式求切线方程.

【详解】

【点睛】求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异，过点P的切线中，点P不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上，而在点P处的切线，必以点P为切点.

三、双空题

16．已知立方体中，侧面的中心是点，若，则________，________.

【答案】         

【分析】用表示出，从而得出，的值．

【详解】解：由于，

所以，，

故答案为：；．

【点睛】本题考查了空间向量的基本定理，属于基础题．

四、解答题

17．实数取何值时，复平面内表示复数的点．

(1)是实数；

(2)是纯虚数．

【答案】(1)或.

(2)

【分析】（1）根据是实数，得到，解得答案.

（2）根据是纯虚数，得到，解得答案.

【详解】（1）是实数，则，解得或.

（2）是纯虚数，则，解得

18．在数列中，且.

（1）求出，，；

（2）归纳出数列的通项公式，并用数学归纳法证明归纳出的结论.

【答案】（1），，；（2），证明见解析.

【分析】（1）利用，，代入计算即可；

（2）利用（1）中，，可归纳出，利用数学归纳法按照步骤证明即可.

【详解】（1）由，

可得，，

（2）猜想数列的通项公式为

用数学归纳法证明如下：

（ⅰ）当时，左边=，右边=，

∴左边=右边即猜想成立；

（ⅱ）假设当时，猜想成立，即有

那么当时，

从而猜想对也成立；

由（ⅰ）（ⅱ）可知，猜想对任意的都成立，

所以数列的通项公式为.

19．已知函数在处有极值.

（1）求实数、的值；

（2）判断函数的单调区间，并求极值.

【答案】（1），；（2）单调递减区间是，单调递增区间是，极小值，无极大值.

【分析】（1）由题设有，结合在处有极值，列方程组求、的值；

（2）由（1）得且的定义域为，即可确定的区间单调性，进而确定单调区间和极值.

【详解】（1）由，知.

又∵在处有极值，则，即，

∴，.

（2）由（1）可知，定义域为，

∴.

令，则（舍去）或；当变化时，，的变化情况如表：

∴函数的单调递减区间是，单调递增区间是，且函数在定义域上有极小值，而无极大值.

【点睛】关键点点睛：

（1）利用极值点处导数值为0，求参数值即可.

（2）写出函数的导函数，并讨论定义域上各区间的单调性，进而确定极值.

20．如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，∠ABC＝，D是棱AC的中点，且AB＝BC＝BB1＝2.

(1)求证：AB1∥平面BC1D；

(2)求异面直线AB1与BC1的夹角．

【答案】（1）见解析（2）

【分析】连接交于点，连接在三角形中由中位线得，继而证明线面平行

(2) 建立空间直角坐标系,运用空间向量求出向量夹角的余弦值，从而得到夹角

【详解】(1)证明：如图，连接B1C交BC1于点O，连接OD．

∵O为B1C的中点，D为AC的中点，∴OD∥AB1.

∵AB1平面BC1D，OD平面BC1D，

∴AB1∥平面BC1D．

(2)解：建立如图所示的空间直角坐标系B­xyz.

则B(0,0,0)，A(0,2,0)，C1(2,0,2)，B1(0,0,2)．

∴＝(0，－2,2)，＝(2,0,2)．

设异面直线AB1与BC1的夹角为θ，则.

，

【点睛】本题考查了线面平行及异面直线所成角的问题，在证明线面平行时运用其判定定理，有中点找中点，构造三角形中位线或者平行四边形来证明线线平行，异面直线所成角的问题可以采用建立空间直角坐标系，运用坐标来求解。

21．已知函数，．若．

(1)求的单调区间；

(2)是否存在实数，使得的图象与的图像有且只有三个不同的交点？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由．

【答案】(1)单调递减区间为，，单调递增区间为.

(2)存在，

【分析】（1）首先求出的解析式与定义域，求出函数的导函数，再解关于导函数的不等式，即可求出函数的单调区间；

（2）依题意可得函数的图象与轴的正半轴有且只有三个不同的交点，结合（1）中结论得到函数的极值，从而得到不等式组，即可求出参数的取值范围.

【详解】（1）因为，，且，

所以，，

则，

当或时，，当时，，

所以的单调递减区间为，，单调递增区间为.

（2）依题意可得函数的图象与轴的正半轴有且只有三个不同的交点，

由（1）可得当时，取得极小值，时，取得极大值，

即，，

且当时，，时，，

所以，解得，即，

所以存在实数，使得函数与的图象有且只有三个不同的交点，

所以的取值范围为．

22．如图，在正方体中，分别是的中点．

（1）求异面直线与所成角的余弦值；

（2）棱上是否存在点，使得平面？请证明你的结论．

【答案】（1）；（2）存在点，满足，使得平面；证明见解析

【分析】以为坐标原点可建立空间直角坐标系，设棱长为，可得各点坐标，设所成角为，则利用可求得结果；（2）设存在点，满足题意；求得平面的法向量后，根据，得到，从而求得，进而得到结果.

【详解】以为坐标原点，可建立如下图所示的空间直角坐标系：

设正方体棱长为

则，，，，，，，

（1）设异面直线与所成角为

，

，即异面直线与所成角的余弦值为：

（2）假设在棱上存在点，，使得平面

则，，

设平面的法向量

，令，则，    

，解得：  

棱上存在点，满足，使得平面

【点睛】本题考查立体几何中异面直线所成角、存在性问题的求解，重点考查了空间向量法求解立体几何中的角度和位置关系问题；处理存在性问题的关键是假设成立，利用直线与平面平行等价于直线与平面的法向量垂直来构造方程，求得未知量.