2022-2023学年江西省鹰潭市贵溪市第一中学高二下学期期中考试数学试题含解析

2022-2023学年江西省鹰潭市贵溪市第一中学高二下学期期中考试数学试题

一、单选题

1．小李年初向银行贷款万元用于购房，购房贷款的年利率为，按复利计算，并从借款后次年年初开始归还，分次等额还清，每年次，问每年应还（ ）万元.

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】设出每年应还款的数额，分别求出10年还款的现金与利息和以及银行贷款10年后的本利和，列等式后求得每年应还款数．

【详解】设每年应还万元，则有，

得 ，

解得．

故选：B．

2．函数在上单调递增，则k的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】对函数 求导，由于函数在给定区间上单调递增，故恒成立.

【详解】由题意可得， ， ，，.

故选：A

3．设是等差数列的前项和，若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】根据等差数列片断和的性质得出、、、成等差数列，并将和都用表示，可得出的值．

【详解】若数列为等差数列，则也成等差数列，

因为，所以，

则数列是以为首项，以为公差的等差数列，

则，

所以，所以.

故选：A．

4．某地病毒爆发，全省支援，需要从我市某医院某科室的名男医生(含一名主任医师)､名女医生(含一名主任医师)中分别选派名男医生和名女医生，则在有一名主任医师被选派的条件下，两名主任医师都被选派的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】设事件A表示“有一名主任医师被选派”，事件B表示“两名主任医师都被选派”，则由题意可知所求为，代入条件概率的公式计算即可.

【详解】设事件A表示“有一名主任医师被选派”，事件B表示“两名主任医师都被选派”，则“在有一名主任医师被选派的条件下，两名主任医师都被选派”的概率为.

故选：A.

5．如图所示为一正态曲线，为方程的正根，若用区间内的概率作为某次高二年级800人参加数学考试的优秀率，则优秀人数为（    ）（取整数，只舍不入）（附：，，

）

A．36 B．72 C．126 D．254

【答案】C

【分析】解方程求出，由图可知，，根据正态曲线的对称性可得优秀率，从而可得结果.

【详解】因为的正根为，

所以，由图可知，，

由可得，

所以,

所以优秀人数为，

故选：C

6．若是函数的极值点，则方程在的不同实根个数为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】首先根据极值点为1，求得，再结合函数的单调性，判断实根个数.

【详解】由，得

则

函数在，单调递增，

,函数与的交点个数为个.

故选：A

7．已知是圆的直径，点P是圆的圆心，则的最小值为（    ）

A． B． C．1 D．0

【答案】D

【分析】运用向量加减运算和数量积的性质，可得，再结合点到直线的距离公式即可求解．

【详解】由点P是圆的圆心，

则点P为直线上的任意一点，

又，

所以当最小时，的取值最小，

所以的最小值是圆心到直线的距离，即，

所以．

故选：D．

8．已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】设正四棱锥的高为，由球的截面性质列方程求出正四棱锥的底面边长与高的关系，由此确定正四棱锥体积的取值范围.

【详解】∵球的体积为，所以球的半径,

[方法一]：导数法

设正四棱锥的底面边长为，高为，

则，,

所以，

所以正四棱锥的体积，

所以，

当时，，当时，，

所以当时，正四棱锥的体积取最大值，最大值为，

又时，，时，,

所以正四棱锥的体积的最小值为，

所以该正四棱锥体积的取值范围是.

故选：C.

[方法二]：基本不等式法

由方法一故所以当且仅当取到，

当时，得，则

当时，球心在正四棱锥高线上，此时，

，正四棱锥体积，故该正四棱锥体积的取值范围是

二、多选题

9．（多选题）已知等比数列的公比，等差数列的首项，若且，则以下结论正确的有（   ）

A． B． C． D．

【答案】AD

【分析】根据等比数列的公比，可知，A正确；由于不确定和的正负，所以不能确定和的大小关系；根据题意可知等差数列的公差为负，所以可判断出C不正确，D正确．

【详解】对A，等比数列的公比，和异号， ，故A正确；

对B，因为不确定和的正负，所以不能确定和的大小关系，故B不正确；

对C D ，和异号，且且，和中至少有一个数是负数，又， ，故D正确，一定是负数，即 ，故C不正确.

故选：AD.

10．二项式的展开式中第项是常数项，则（    ）

A． B．

C．二项式系数最大的项为第项 D．系数最小的项为第项

【答案】ACD

【分析】由二项式定理可得，由指数部分为0可得的值，根据二项式系数的性质可判断CD.

【详解】二项式的展开式中第项，

令，得，即A正确，B错误；

因为展开式的项共有项，故第项的二项式系数最大，故C正确；

则展开式的通项为，

因为展开式的系数为，第项的系数为负数，且其绝对值最大，

所以系数最小的项为第项．

故选：ACD．

11．下列求导正确的是（    ）

A．若，则

B．若，则

C．若，则

D．若，则

【答案】BC

【分析】根据基本初等函数、复合函数的求导公式及导数的加法法则求出即可.

【详解】，A错误；

，B正确；

，C正确；

，D错误.

故选：BC.

12．已知函数的图象关于直线对称，函数对于任意的满足(其中是函数的导函数)，则下列不等式成立的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AD

【分析】根据已知条件，易得函数偶函数，再结合，

构造函数，只需判断函数的单调性，即可做出正确选择.

【详解】由，得，

令，，则，

因，则，

故在区间上单调递增，

因函数的图象关于直线对称，知函数偶函数，

故函数也为偶函数.

对于选项A，因，则 ，

故，因此A正确；

对于选项B，因，则，

故，因此B错；

对于选项C，因，则 ，

故，因此C错；

对于选项D，因，则 ，

故，因此D正确.

故选：AD.

【点睛】函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.

三、填空题

13．已知，求_____________.

【答案】

【分析】根据导数的定义即可求解.

【详解】

，

所以，

故答案为：.

14．电报发射台发出“·”和“–”的比例为5∶3，由于干扰，传送“·”时失真的概率为，传送“–”时失真的概率为，则接受台收到“·”时发出信号恰是“·”的概率为________.

【答案】

【分析】求出接收到“·”，再求出发出“·”且收到“·”的概率，由条件概率公式计算可得结论．

【详解】记事件为接收到“·”，事件为发出“·”且接收到“·”．则事件则接受台收到“·”时发出信号恰是“·”为，

则，，

，

故答案为：．

15．已知数列满足，则数列的前n项和______.

【答案】

【分析】由得，得出数列是以3为公比的等比数列，其中首项，根据等比数列的通项公式求得，从而可得，再运用分组求和可得.

【详解】由得，所以数列是以3为公比的等比数列，其中首项，

所以，所以，

所以，

故答案为：.

【点睛】本题考查根据数列的递推式构造新数列，使所构造的新数列是等差数列或等比数列，从而得原数列的通项公式的问题，属于中档题.

16．已知是定义在上的奇函数，，且当时，则不等式的解集是______.

【答案】

【解析】设，则为偶函数，由， 则在是上单调递增，在是上单调递减，设，即求解，分和两种情况解不等式和.

【详解】设，由

当时，即，所以在是上单调递增.

为奇函数，则为偶函数，在是上单调递减

,即（）

设，当时，，即

由，为奇函数，则，所以

由在是上单调递增，，所以，即，所以

当时，，即

由，则，根据在是上单调递减

所以当时，则，即，所以

综上所述：不等式的解集是：

故答案为：

【点睛】关键点睛：本题考查构造函数讨论单调性解不等式，解答本题的关键是构造函数，由结合条件和奇偶性得出其单调性， 属于中档题.

四、解答题

17．已知正项数列的前项和为，且是4与的等比中项.

（1）求的通项公式；

（2）求数列的前项和.

【答案】（1）（2）

【分析】（1）由题意得：，①,当时，.②，①－②得. 可得数列是以1为首项，2为公差的等差数列，根据等差数列的通项公式的解法可求得；

（2），则可得，可求得答案.

【详解】（1）由题意得：，①,当时，.②，①－②得.

∵，∴，当时，，，

∴是以1为首项，2为公差的等差数列，∴.

（2），

设，

∴.

【点睛】本题考查由数列的前项的和求数列的通项，裂项求和法求数列的和，关键在于先将式子进行处理，然后再将整个式子按裂项相减法的步骤化简即可得到结果，需要注意的是裂项之后还剩哪些项，搞清楚，属于中档题.

18．设函数．

(1)求函数在处的切线方程；

(2)求函数的极值．

【答案】(1) x +y=0；(2) 的极大值为，极小值为.

【分析】(1)对求导得，求出，由直线点斜式方程写出切线方程即得；

(2)求出方程＝0的根，并讨论大于或小于0的x取值区间，由此判断极值情况，再求解而得.

【详解】(1)由得，，

过点(0,0)，斜率为-1的直线为y=-x，

所以函数在处的切线方程为x +y=0；

(2)由(1)知，＝0时，，

或时，时，，

所以x=-1时，取得极大值，x=ln2时，取得极小值，

故的极大值为，极小值为.

【点睛】可导函数y=f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f′(x0)=0，且在x0左侧与右侧f′(x)的符号不同.

19．设抛物线的焦点为，过点的动直线与抛物线交于，两点，当在上时，直线的斜率为.

（1）求抛物线的方程；

（2）在线段上取点，满足，，证明：点总在定直线上.

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【分析】（1）利用直线的斜率列方程，化简求得，由此求得抛物线方程.

（2）设直线的方程为，联立直线的方程和抛物线方程，化简写出根与系数关系.利用向量的坐标运算建立中的关系式，由此求得点所在定直线方程.

【详解】（1）由题意，得，则，解得，

故抛物线的方程为.

（2）证明：设，，，

直线的方程为.

由得，

，.

由，，得，，

故，化简得.

又，故，

化简得，

即，则或.

当点在定直线上时，直线与抛物线只有一个交点，与题意不符.

故点在定直线上.

【点睛】在解析几何中的向量运算，可用来建立方程，通过化简方程来进行解题.

20．如图，四棱锥中，底面ABCD为菱形，平面ABCD，E为PD中点.

(1)平面平面.

(2)设，，三棱锥的体积为，求二面角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）利用线面垂直的性质定理及判定定理证明平面PAC，从而证明面面垂直；

（2）结合菱形性质及线面垂直性质，建立空间直角坐标系，分别求出平面AEC与平面DAE的法向量，根据空间向量夹角余弦公式，可得结果.

【详解】（1）因为平面ABCD，平面ABCD，所以，

因为底面ABCD为菱形，所以，

又，AC，平面PAC，所以平面PAC，

因为平面BPD，所以平面平面；

（2）设菱形ABCD的边长为a，

因为平面ABCD，四边形ABCD为菱形，且，

所以，

又，所以，解得，

取BC中点M，连接AM，由条件得，

因为平面ABCD，AM、AD在平面ABCD内，所以，，

所以，AD，AP两两互相垂直，

以A为坐标原点，分别以AM，AD，AP所在直线为x轴，y轴，z轴，

建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，，

所以，，

设平面AEC的法向量为，则，即，

取，得，易知平面ADE的一个法向量，

设二面角的平面角为，由图可知，

则，

所以二面角的余弦值为

21．已知函数f（x）＝（x﹣1）ex+ax2（a∈R）．

（1）若a＝e，求函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；

（2）讨论函数f（x）的单调性．

【答案】（1）3ex﹣y﹣2e＝0（2）①当a≥0时， y＝f（x）在（﹣∞，0）上为减函数，在（0，+∞）上为增函数；

②当时y＝f（x） 在 （﹣∞，ln（﹣2a）），（0，+∞）上为增函数，在（ln（﹣2a），0）上为减函数；

③若时，y＝f（x）在上为单调递增的；

④若时，y＝f（x）在（﹣∞，0），（ln（﹣2a），+∞）上为增函数，在（0，ln（﹣2a）） 上为减函数．

【分析】（1）由a＝e得f（x）＝（x﹣1）ex+ex2．再＝xex+2ex，分别求得，f（1），用点斜式写出切线方程.．

（2）根据＝x（ex+2a），分a≥0， ， ，四种情况分类讨论.

【详解】（1）∵a＝e，

∴f（x）＝（x﹣1）ex+ex2．

∴＝xex+2ex，

∴＝3e，f（1）＝e．

∴y﹣e＝3e（x﹣1），

所以切线方程是3ex﹣y﹣2e＝0；

（2）∵＝x（ex+2a）

①若a≥0时，ex+2a＞0．

当时，，

当时，

所以y＝f（x）在（﹣∞，0）上为减函数，在（0，+∞）上为增函数；

②若时，ln（﹣2a）＜0，

当x＜ln（﹣2a）或x＞0，＞0，

当ln（﹣2a）＜x＜0时，＜0，

∴y＝f（x） 在 （﹣∞，ln（﹣2a）），（0，+∞）上为增函数，在（ln（﹣2a），0）上为减函数；

③若时，ln（﹣2a）=0，＞0成立，所以y＝f（x）在上为单调递增的；

④若时，ln（﹣2a）＞0，

当x＞ln（﹣2a）或x＜0时，＞0，

当0＜x＜ln（﹣2a）时，＜0，

∴y＝f（x）在（﹣∞，0），（ln（﹣2a），+∞）上为增函数，在（0，ln（﹣2a）） 上为减函数．

综上：①若a≥0时， y＝f（x）在（﹣∞，0）上为减函数，在（0，+∞）上为增函数；

②若时， y＝f（x） 在 （﹣∞，ln（﹣2a）），（0，+∞）上为增函数，在（ln（﹣2a），0）上为减函数；

③若时， y＝f（x）在上为单调递增的；

④若时，y＝f（x）在（﹣∞，0），（ln（﹣2a），+∞）上为增函数，在（0，ln（﹣2a）） 上为减函数．

【点睛】本题主要考查了导数的几何意义以及导数与函数的单调性，还考查了分类讨论的思想和运算求解的能力，属于难题.

22．已知数列的前项和为.

（1）求的通项公式；

（2）若数列满足，求数列的前项和；

（3）若数列满足，求证：.

【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析.

【分析】(1)利用消去，得到关于的递推关系而得解；

(2)求出数列通项，再用错位相减法即可得解；

(3)原等式化为，再通过放缩裂项，利用裂项相消法即可得解.

【详解】(1)时，，则，两式相减得，

而，则，又，所以，故

所以是首项和公差都为1的等差数列，故；

(2)由(1)知，

，

，

，

；

(3)因为，

所以当时，，

时，，

所以时，，，即有，而

从而.

【点睛】思路点睛：给出Sn与an的递推关系，求an，常用思路是：一是利用转化为an的递推关系，再求其通项公式；二是转化为Sn的递推关系，先求出Sn与n之间的关系，再求an.