江西省吉安市永新县禾川中学2022-2023学年高二下学期期中考试数学试卷

禾川中学2022-2023学年度高中数学期中考试卷

第I卷（选择题）

一、单选题

1．设数列，，，，…，则是这个数列的（    ）

A．第8项 B．第9项 C．第10项 D．第11项

2．某种细菌在生长过程中，每分钟分裂一次（由一个分裂为两个），经过2小时后，此细菌可由一个分裂成（    ）

A．个 B．个 C．个 D．个

3．《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，前九个节气日影长之和为85.5尺，则立夏日影长为（    ）

A．1.5尺 B．4.5尺 C．3.5尺 D．2.5尺

4．设袋子中有个同样大小的球，其中有个红球，个白球，今从中任取个球，令“任取的个球中红球的个数”，则（    ）

A． B． C． D．

5．已知数列是等差数列，且，则其前七项和（    ）

A．42 B．35 C．28 D．21

6．学校安排元旦晩会的4个舞蹈节目和2个音乐节目的演出顺序，要求2个音乐节目要连排，且都不能在第一个演出，则不同的排法种数是（　　）

A．96 B．144 C．192 D．240

7．已知数列的各项均为正数，若对于任意的正整数p，q总有，且，则（    ）

A．81 B．162 C．243 D．486

8．设等差数列的前n项和为，已知是方程的两根，则能使成立的n的最大值为（    ）

A．15 B．16 C．17 D．18

二、多选题

9．以下列说法中正确的是（    ）

A．回归直线至少经过点（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）中的一个点

B．相关系数r的绝对值越接近1，两个随机变量的线性相关越强

C．已知随机变量x服从二项分布B（n，p），若E（X）＝30，D（X）＝20，则

D．设服从正态分布N（0，1），若，则

10．在研究某品牌汽车的使用年限x（单位：年）与残值y（单位：万元）之间的关系时，根据调研数据得到如下的对应值表：

利用最小二乘法，得到回归直线方程为，下列说法正确的是（    ）

A．x与y的样本相关系数 B．回归直线必过点 C． D．预测该品牌汽车使用20年后，残值约为2万元

11．公差为d的等差数列，其前n项和为，，下列说法正确的有（    ）

A． B．

C．中最大 D．

12．带有编号1、2、3、4、5的五个球，则（    ）

A．全部投入4个不同的盒子里，共有种放法

B．放进不同的4个盒子里，每盒至少一个，共有种放法

C．将其中的4个球投入4个盒子里的一个(另一个球不投入)，共有种放法

D．全部投入4个不同的盒子里，没有空盒，共有种不同的放法

第II卷（非选择题）

三、填空题

13．设随机变量X的概率分布，则__________

14．已知三数a，2a＋2，3a＋3成等比数列，则a＝__________.

15．已知的展开式中含项的系数为，则______.

四、双空题

16．数列与均为等差数列，其前项和分别为与，若，则__________，使得为整数的值个数__________.

五、解答题

17．已知各项均为正数的数列满足，数列满足，，.

（1）求证：数列是等比数列；

（2）求数列的通项公式.

18．已知数列的前项和为．

(1)求的通项公式.

(2)若数列，求数列前项和.

19．已知数列的前n项和为，且．

(1)求的通项公式；

(2)设，求数列的前n项和．

20．2022年2月4日至2月20日，北京冬奥会即第24届冬季奥林匹克运动会在北京和张家口举行.某研究机构为了解大学生对冰壶运动是否有兴趣，从某大学随机抽取了600人进行调查，经统计男生与女生的人数之比是，对冰壶运动有兴趣的人数占总数的，女生中有50人对冰壶运动没有兴趣.

(1)完成下面列联表，并判断是否有99.9%的把握认为对冰壶运动是否有兴趣与性别有关？

(2)按性别用分层抽样的方法从对冰壶运动有兴趣的学生中抽取8人，若从这8人中随机选出2人作为冰壶运动的宣传员，求选出的2人中至少有一位是女生的概率.

附：

21．甲、乙两人参加两个项目的对抗赛，每一个项目的对抗赛均采取五局三胜制（即有一方先胜3局即获胜，比赛结束），且每个项目每一局都没有平局．按以往两人比赛结果的统计估计，甲在项目A中每一局获胜的概率为，在项目B中每一局获胜的概率为，且每一局之间没有影响．

(1)分别求甲在项目A、项目B中获胜的概率；

(2)设甲获胜的项目个数为X，求X的分布列及数学期望．

22．设数列的前项和为，．

（1）求的值及数列的通项公式；

（2）是否存在正整数，使得.若存在，求所有满足条件的；若不存在，请说明理由.