2022-2023学年河南省南阳市六校高二下学期期中考试数学试题含解析

2022-2023学年河南省南阳市六校高二下学期期中考试数学试题

一、单选题

1．已知函数，则（    ）

A．0 B． C． D．

【答案】C

【分析】先求出导数，再把代入可得答案.

【详解】因为，所以，

所以.

故选：C.

2．已知等差数列的前n项和为，若，则（    ）

A．65 B．70 C．75 D．80

【答案】B

【分析】利用等差数列的下标和性质可求的值，再结合等差数列的前项和公式求解出的值.

【详解】由等差数列的下标和性质可知：，

所以.

故选：B.

3．已知函数，则（    ）

A． B． C．3 D．15

【答案】A

【分析】利用基本初等函数的导数和导数的四则运算求解即可.

【详解】，，

，解得

，.

故选：A.

4．已知函数的图象在点处的切线经过点，则实数（    ）

A． B． C．1 D．2

【答案】B

【分析】根据导数的几何意义，结合直线的点斜式方程进行求解即可.

【详解】，所以有，

所以切线方程为，把代入，得

，

故选：B

5．观察变量x与y的散点图发现可以用指数型模型拟合其关系，为了求出回归方程，设，求得z关于x的线性回归方程为，则a与k的值分别为（    ）

A．3，2 B．2，3 C．，2 D．，3

【答案】D

【分析】根据题意得到求解.

【详解】解：因为，且z关于x的线性回归方程为，

所以，则，

故选：D

6．已知两个分类变量X，Y的可能取值分别为和，通过随机调查得到样本数据，再整理成如下的2×2列联表：

若样本容量为75，且，则当判断X与Y有关系的把握最小时，a的值为（    ）

A．5 B．10 C．15 D．17

【答案】C

【分析】利用分类变量的相关性进行计算求解即可.

【详解】在两个分类变量的列联表中，当的值越小时，认为两个分类变量有关的可能性越小.

令，得，

又样本容量为75，

，则，

，化简得，解得：，，

又，

.

故选：C.

7．现有个圆的圆心排列在同一条直线上，它们的半径由左至右依次构成首项为，公比为的等比数列，从第个圆开始，每个圆都与前一个圆外切，若分别为第个圆与第个圆上任意一点，则的最大值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由题意，计算出第个圆的圆心与第个圆的圆心距，结合分别为第个圆与第个圆上任意一点，可得的最大值为两圆圆心距分别加上两个半径，根据等比数列的求和公式计算即可．

【详解】设第个圆的半径为，则第个圆的半径为，第个圆的半径为，．．．，第个圆的半径为，公比为，

则第个圆的圆心与第个圆的圆心距为：，

故的最大值为,,

故选：C

8．已知数列的前n项和，设，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据等比数列的定义和通项公式，结合裂项相消法、对数的运算性质进行求解即可.

【详解】因为，

所以当时，有，两个式子相减，得

，由，

所以数列是1为首项，为公比的等比数列，

所以，即，

，

故选：A

二、多选题

9．对于样本相关系数r，下列说法正确的是（    ）

A．若两个随机变量线性不相关，则

B．若，则两个随机变量没有任何相关性

C．r的值越小，成对样本数据的线性相关程度越弱

D．成对样本数据线性相关的正负性与r的符号（正负）相同

【答案】AD

【分析】由相关系数的概念可知选项的正确性.

【详解】对于A和C，相关系数用来衡量两个变量之间的线性相关程度，相关系数是一个绝对值小于等于1的量，并且它的绝对值越大说明相关程度越高，故A正确，C错误；

对于B，相关系数说明两个随机变量线性不相关，但这不代表两个变量之间不存在其他类型的关系，故B错误；

对于D，由相关系数的概念可知，成对样本数据线性相关的正负性与r的符号（正负）相同，故D正确.

故选：AD.

10．已知等差数列的前n项和为，若，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABC

【分析】根据等差数列前项和公式和通项的性质，推出，结合选项可得答案.

【详解】因为是等差数列，所以.

根据题意，又，所以，

从而，，故选项A，B正确；

又，即，故选项C正确；

对于选项D，，根据题意无法判断是否为零，故选项D错误.

故选：ABC

11．设函数在区间上的导函数为，在区间上的导函数为，若在区间上恒成立，则称在区间上为凸函数．则下列函数中，为区间上的凸函数的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BD

【分析】根据定义，分别对函数求二阶导数，并判断在区间的正负.

【详解】对于A选项，，，，显然在区间恒有，所以不为凸函数.

对于B选项， ，，，显然在区间恒有，所以为凸函数.

对于C选项，，，，显然在区间恒有，所以不为凸函数.

对于D选项， ，，，显然在区间恒有，所以为凸函数.

故选: BD..

12．对于正整数n，用表示不大于n的正整数中与n互质的数的个数，函数以其首名研究者欧拉命名，称为欧拉函数，例如 （1，5与6互质），则（    ）

A．

B．数列是等差数列

C．

D．数列的前n项和等于

【答案】ACD

【分析】求得的值判断选项A；举特例否定数列是等差数列判断选项B；求得的值判断选项C；求得数列的前n项和判断选项D.

【详解】选项A：不大于11的正整数中与11互质的数有，

共10个.判断正确；

选项B：由，，，可得，

则数列不是等差数列.判断错误；

选项C：不大于的正整数中不与互质的数字为

，共个，

则不大于的正整数中与互质的数字共有（个）. 判断正确；

选项D：不大于的正整数中不与互质的数字为

，共个，

则不大于的正整数中与互质的数字共有（个）.

则，设数列的前n项和为，

则，

，

两式相减得

则

. .判断正确.

故选：ACD

三、填空题

13．设函数满足，则______．

【答案】

【分析】利用极限运算规则和导数的定义即可求得的值.

【详解】因为，

所以.

故答案为：.

14．已知两个随机变量x和y的一组成对样本数据为，若用最小二乘法求出回归方程为，则______．

【答案】11

【分析】利用回归方程经过样本点中心，列方程即可求得n的值.

【详解】该组数据中，，

则样本点中心为，

则，解之得，

故答案为：11

15．牛顿迭代法又称牛顿—拉夫逊方法，它是牛顿在17世纪提出的一种在实数集上近似求解方程根的一种方法．具体步骤如下：设r是函数的一个零点，任意选取作为r的初始近似值，作曲线在点处的切线，设与x轴交点的横坐标为，并称为r的1次近似值；作曲线在点处的切线，设与x轴交点的横坐标为，并称为r的2次近似值．一般地，作曲线在点处的切线，记与x轴交点的横坐标为：，并称为r的次近似值．设函数的零点为r，取，则r的2次近似值为______．

【答案】

【分析】先求处的切线，再求，再求切线可得答案.

【详解】因为，所以，

，，

所以曲线在点处的切线为，即；

令得；

，

所以曲线在点处的切线为，即；

令得.

故答案为：.

16．若正项递增等比数列满足，则的最小值为______．

【答案】8

【分析】设等比数列的公比为，表示出，由基本不等式的性质分析可得答案.

【详解】根据题意，设等比数列的公比为，

又由是正项递增等比数列，则，

因为满足，

则有，，

所以，

所以，

则有，即，

则

所以，

设，则，

，

所以，因为，

所以，当且仅当时等号成立，

即，当且仅当时等号成立，

所以的最小值为8.

故答案为:8.

四、解答题

17．清明节是我国的传统节日，某企业计划在清明节组织员工活动，准备从“参观烈士陵园”和“植树”两个活动方案中确定一个，为此随机调查了200名员工，让他们选择自己倾向的活动方案，调查结果按照员工的年龄分类，得到下面的列联表：

(1)求倾向植树的员工中年龄在35岁以下的概率；

(2)是否有99%的把握认为该公司员工对清明节活动的倾向与年龄有关？

附：．

【答案】(1)0.6

(2)有99%的把握认为该公司员工对清明节活动的倾向与年龄有关．

【分析】（1）将频率作为概率，计算倾向植树的员工中年龄在35岁以下的的频率；

（2）根据列联表作卡方计算.

【详解】（1）倾向植树的员工中年龄在35岁以下的概率为；

（2）由2×2列联表可得，

因为．

所以有99%的把握认为该公司员工对清明节活动的倾向与年龄有关；

综上，倾向植树的员工中年龄在35岁以下的概率为0.6，有99%的把握认为该公司员工对清明节活动的倾向与年龄有关.

18．已知正项等比数列满足条件，．

(1)求的通项公式；

(2)设，求的最大值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用等比数列通项公式进行求解即可.

（2）利用二次函数的思想求的最大值．

【详解】（1）设的公比为q，

由题意得，所以，

，

所以，．

所以．

（2）．

二次函数的图象的对称轴为，

故当或11时，取得最大值，且最大值为．

19．某冷饮店为了解每天的用电量y（千瓦时）与销售额x（千元）之间的关系，随机统计了某5天的用电量与当天的销售额，并制作了对照表：

(1)已知y与x线性相关，求y关于x的线性回归方程；

(2)若某天的销售额为1万元，利用（1）中所得的线性回归方程，预测这一天的用电量．

附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：，．

【答案】(1)

(2)8.25千瓦时．

【分析】（1）先求，然后利用公式求出，可得答案；

（2）把代入方程可求答案.

【详解】（1）由表中数据计算得：，，

，

，

所以，．

所以回归方程为．

（2）将代入（1）的回归方程中得：．

故预测这一天的用电量为8.25千瓦时．

20．已知函数．

(1)若曲线在其上一点Q处的切线与直线平行，求Q的坐标；

(2)求曲线的过坐标原点O的切线的方程．

【答案】(1)或（2，0）

(2)或．

【分析】（1）根据平行关系确定切线斜率，设出切点坐标，利用导数的几何意义确定切点Q横坐标，代入函数得纵坐标，从而得到切点坐标；

（2）设出切点，利用导数的几何意义表示出切线的斜率，从而设出切线方程，再根据过原点，代入原点坐标得出切点横坐标，再回代得到切线方程．

【详解】（1），

设，因为直线的斜率为4，

所以，

解得或2．

，．

所以点Q的坐标为或（2，0）．

（2）设切点为，则，，

所以在该点处的切线方程为．

因为切线过原点，所以，

解得或1．

又因为，，

所以切线方程为或．

21．已知等差数列的前n项和为，，且，数列的前n项和为，，且．

(1)求数列，的通项公式；

(2)若，求数列的前n项和．

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）根据等差数列通项公式列式求解，即可得；根据前n项和与通项之间的关系结合等比数列求；

（2）根据（1）可得，利用错位相减法求解.

【详解】（1）设的公差为d，

则解得，

所以．

因为，

当时，；

当时，，

所以，即；

且，，也满足．

故数列是以2为首项，2为公比的等比数列，故．

（2）由（1）可知．

由，①

可得，②

得，

，

故．

22．设正项数列的前n项和为，已知，且．

(1)求的通项公式；

(2)若，求数列的前n项和．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据得到，根据和得到，即可得到数列是公差为2的等差数列，然后求通项即可；

（2）利用裂项相消的方法求和即可.

【详解】（1）因为，所以①，

所以时，②．

由，得，即．

因为各项均为正数，所以，即，

因为，所以，，解得，，，

所以数列是公差为2的等差数列，

所以．

（2）由（1）得．

当n为偶数时，

；

当n为奇数时，

．

所以