2022-2023学年河南省南阳市六校高二（下）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2022-2023学年河南省南阳市六校高二（下）期末数学试卷（含详细答案解析），共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知变量y关于x的线性回归方程为y=−0.7x+a，且x−=1，y−=0.3，则x=2时，预测y的值为( )
A. 0.5B. 0.4C. −0.4D. −0.5
2.已知等比数列{an}的前n项和为Sn，a2=4,S8−S5S5−S2=8，则a1=( )
A. 16B. 8C. 6D. 2
3.已知O为坐标原点，A(x0,y0)为一个动点.条件p：O，A，B(−2,2y0)三点共线；条件q：动点A在抛物线y2=−x上，则p是q的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
4.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为C的右支上一点.若|F1F2||PF1|−|PF2|= 52，则双曲线C的渐近线方程为( )
A. 3x±2y=0B. 2x±3y=0C. x±2y=0D. 2x±y=0
5.给出新定义：设f′(x)是函数f(x)的导函数，f′′(x)是f′(x)的导函数，若方程f′′(x)=0有实数解x0，则称点(x0,f(x0))为f(x)的“拐点”，已知函数f(x)=sin2x+cs2x+13x的一个拐点是P(x0,y0)，且−π4A. 1−π24B. −π24C. 1−π12D. −π12
6.已知F为抛物线x2=y的焦点，点Pn(xn,yn)(n=1,2,3,…)在抛物线上.若|Pn+1F|−|PnF|=2，x3=2，则y10=( )
A. 12B. 16C. 18D. 20
7.已知a12e=ln44，b12e=ln33，c=12，则( )
A. a8.已知直线l：x+y+2=0与x轴、y轴分别交于M，N两点，动直线l1：y=−mx(m∈R)和l2：my−x−4m+2=0交于点P，则△MNP的面积的最小值为( )
A. 10B. 5− 10C. 2 2D. 2 10−3
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知向量n=(−2,3,1)是平面α的一个法向量，点P(1,1,2)在平面α内，则下列点也在平面α内的是( )
A. (2,1,1)B. (0,0,3)C. (3,2,3)D. (2,1,4)
10.已知随机变量X服从正态分布N(0,σ2)(σ>0)，a为大于0的常数，则下列结论中正确的是( )
A. P(X≤a)>0.5B. P(X≤−a)>P(X≥a+2)
C. σ越大，P(−a≤X≤0)越小D. E(aX)>EX
11.已知数列{an}的每一项均为0或1，其前n项和为Sn，数列{an⋅Sn}的前n项和为Tn，则下列结论中正确的是( )
A. 数列a1，a2，a3，…，an的所有可能情况共有n2种
B. 若Sn−Sn−1(n≥2)为定值，则Tn恒为0
C. 若Tn−Tn−1(n≥2)为定值，则{an}为常数列
D. 数列{Sn}可能为等比数列
12.已知函数f(x)=x3−ax2−x(a∈R)，f′(x)为f(x)的导函数，则下列结论中正确的是( )
A. f(x)恒有一个极大值点和一个极小值点
B. 若f(x)在区间[0,1]上单调递减，则a的取值范围是[2,+∞)
C. 若f′(1)=0，则直线y=−1与f(x)的图象有2个不同的公共点
D. 若a=3，则f(f′(x))有6个不同的零点
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.若(a−12x)5的展开式中x2的系数为20，则实数a=______.
14.如图是《中国生物物种名录》中记载的2013−2022年中国生物物种及种下单元的数量变化图，从中依次不重复地抽取两个年份的数据进行研究，则在第一次抽到的年份对应的物种及种下单元的总数超过90000的条件下，第二次抽到的年份对应的物种及种下单元的总数也超过90000的概率为______.
15.已知正项数列{an}是公比为12的等比数列，数列{bn}的通项公式为bn=n2.若满足an>bn的正整数n恰有3个，则a1的取值范围为______.
16.已知函数f(x)=13x3−x2−x+ex−1ex，f′(x)是f(x)的导函数，若∀x∈R，不等式f(3a2−2a−1)≤f′(x)+2x−1恒成立，则实数a的取值范围是______.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S12=78，a8=4a2.
(1)求{an}的通项公式；
(2)若bn=an3n，求数列{bn}的前n项和Tn.
18.(本小题12分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，AD//BC，且AD⊥DC，平面PAD⊥底面ABCD，△PAD是边长为2的等边三角形，BC=1，CD=3，Q为AD的中点，M是棱PC上靠近点C的三等分点.
(1)求证：PQ⊥CD；
(2)求二面角A−QB−M的平面角的余弦值.
19.(本小题12分)
已知函数f(x)=x33−x22+a22−13，g(x)=aln(x+1)−x22−ax，a∈(−∞,−1).
(1)求g(x)的单调区间；
(2)若g(x)极大值=f(x)极小值+b，求实数b的取值范围.
20.(本小题12分)
淄博烧烤走红契合了公众“说走就走”的情绪.美食也是生活，更是社会情绪的折射.随着城市间人口流动的日益频繁，给自己一个说走就走的旅行，是当下很多年轻人的选择.为了解年轻人对淄博烧烤的态度，随机调查了200位年轻人，得到的统计数据如下面的不完整的2×2列联表所示(单位：人)：
(1)求a的值，并判断是否有95%的把握认为年轻人对淄博烧烤的态度与性别有关.
(2)从样本中筛选出4名男性和3名女性共7人作为代表，这7名代表中有2名男性和2名女性非常喜欢淄博烧烤.现从这7名代表中任选3名男性和2名女性进一步交流，记ξ为这5人中非常喜欢淄博烧烤的人数，求ξ的分布列及数学期望E(ξ).
参考公式：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d.
参考数据：
21.(本小题12分)
已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左顶点为A，上顶点为B，坐标原点O到直线AB的距离为3 1010，△AOB的面积为32.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若过点(1,0)且不与x轴重合的直线l与椭圆C交于M，N两点，直线AM，AN分别与y轴交于P，Q两点，证明：|OP|⋅|OQ|为定值.
22.(本小题12分)
已知函数f(x)=lnxm+2ex−1−2x+m(m∈R).
(1)当m=2时，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；
(2)若关于x的不等式f(x)≥mx在[1,+∞)上恒成立，求m的取值范围.
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：∵回归直线过点(x−,y−)，
∴0.3=−0.7+a，解得a=1，
∴y=−0.7x+1，
∴当x=2时，预测y的值为−0.7×2+1=−0.4.
故选：C.
根据回归直线过点(x−,y−)，代入回归方程计算得a的值，再将x=2代入回归方程计算，即可得出答案．
本题考查线性回归方程，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
2.【答案】D
【解析】解：设等比数列{an}的公比为q，
由S8−S5S5−S2=8，
即a8+a7+a6a5+a4+a3=q3(a5+a4+a3)a5+a4+a3=8，
可得q3=8，即q=2，
又a2=4，所以a1=a2q=2.
故选：D.
先利用等比数列前n项和公式及性质求出公比q，然后利用等比数列通项公式求出首项即可．
本题主要考查了等比数列的性质的应用，属于基础题．
3.【答案】A
【解析】解：当动点A满足p时，直线OB的斜率存在，且不为0，有kAO=kOB，
即y0x0=2y0−2，化简得y02=−x0，p是q的充分条件；
反之，抛物线y2=−x的顶点(0,0)并不满足p，p是q的不必要条件．
故p是q的充分不必要条件．
故选：A.
由kAO=kOB列式整理可知p是q的充分条件，取原点验证可知p是q的不必要条件，然后可得答案．
本题考查四个条件、抛物线性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
4.【答案】C
【解析】解：设双曲线C的半焦距为c(c>0).
由题可知|F1F2|=2c，|PF1|−|PF2|=2a，
则|F1F2||PF1|−|PF2|=ca= 52，所以ca= 1+(ba)2= 52，
所以ba=12，所以C的渐近线方程为x±2y=0.
故选：C.
根据题意可得ca= 52，然后由公式ca= 1+(ba)2可得ba，即可得渐近线方程．
本题考查双曲线的几何性质，化归转化思想，属中档题．
5.【答案】B
【解析】解：由题可知f′(x)=2cs2x−2sin2x+13，f′′(x)=−4sin2x−4cs2x，
结合题意知−4sin2x0−4cs2x0=0，即sin2x0+cs2x0= 2sin(2x0+π4)=0，
又−π4所以y0=sin2x0+cs2x0+13x0=13x0=−π24.
故选：B.
二次求导，根据拐点定义求得x0，然后代入函数f(x)可得．
本题主要考查了导数的计算，考查了两角和的正弦公式，属于基础题．
6.【答案】C
【解析】解：由抛物线x2=y，可得F(0,14)，准线为y=−14，
根据抛物线的定义可得，|Pn+1F|=yn+1+14，|PnF|=yn+14，
所以|Pn+1F|−|PnF|=(yn+1+14)−(yn+14)=yn+1−yn=2，
故数列{yn}是公差为2的等差数列，
因为x3=2，
所以y3=4，
所以yn=4+2(n−3)=2n−2，
所以y10=18.
故选：C.
根据抛物线方程可得F(0,14)，准线为y=−14，结合抛物线的定义可得|Pn+1F|=yn+1+14，|PnF|=yn+14，进而结合题意可得yn+1−yn=2，进而得到数列{yn}是公差为2的等差数列，再结合等差数列的通项公式求解即可．
本题考查抛物线的性质，考查运算求解能力，属于中档题．
7.【答案】A
【解析】解：由题可知c12e=lnee.
设f(x)=lnxx,x>0，则f′(x)=1−lnxx2，
当00，f(x)单调递增；
当x>e时，f′(x)<0，f(x)单调递减，
由f(x)的单调性可知f(e)>f(3)>f(4)，
即lnee>ln33>ln44，
即c12e>b12e>a12e，
故a故选：A.
由题可知c12e=lnee，构造函数f(x)=lnxx，利用f(x)的单调性求解．
本题考查利用函数的单调性比较大小，构造函数并利用导数研究函数的单调性，化归转化思想，属中档题．
8.【答案】B
【解析】解：直线l1：mx+y=0过定点O(0,0)，
由直线l2：my−x−4m+2=0，得m(y−4)+2−x=0，则直线过定点B(2,4)，
∵m×(−1)+1×m=0，∴无论m取何值，都有l1⊥l2，
∴点P在以OB为直径的圆上，且圆心坐标为(1,2)，半径为12|OB|= 5，
设P(x,y)，则点P的轨迹方程为(x−1)2+(y−2)2=5，
圆心到直线l的距离为|1+2+2| 2=5 22，则P到直线l的距离的最小值为5 22− 5.
由已知可得M(−2,0)，N(0,−2)，则|MN|=2 2，
∴△MNP的面积的最小值为12×2 2×(5 22− 5)=5− 10.
故选：B.
根据l1，l2所过定点和位置关系可得点P轨迹方程，然后利用点到直线的距离公式和两点间的距离公式可得面积最小值．
本题考查直线与直线、直线与圆位置关系的应用，考查运算求解能力，是中档题．
9.【答案】BCD
【解析】解：记选项中的四个点依次为A，B，C，D，
则PA=(1,0,−1)，PB=(−1,−1,1)，
PC=(2,1,1)，PD=(1,0,2)，
又n=(−2,3,1)，
∴PA⋅n=1×(−2)+0×3+(−1)×1=−3≠0，故PA与n不垂直，故A错误；
PB⋅n=(−1)×(−2)+(−1)×3+1×1=0，故PB与n垂直，故B正确；
PC⋅n=2×(−2)+1×3+1×1=0，故PC与n垂直，故C正确；
PD⋅n=1×(−2)+0×3+2×1=0，故PB与n垂直，故D正确．
故选：BCD.
记选项中的四个点依次为A，B，C，D，结合数量积的坐标运算验证PA，PB，PC，PD是否与n垂直即可．
本题考查向量坐标运算法则、平面的法向量等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
10.【答案】AC
【解析】解：由题意，X服从正态分布N(0,σ2)(σ>0)，正态分布曲线的对称轴为X=0，
对于A，因为a大于0，所以P(X≤a)>P(X≤0)=0.5，故A正确；
对于B，因为P(X≤−a)=P(X≥a)，而P(X≥a)>P(X≥a+2)，
所以P(X≤−a)>P(X≥a+2)，故B错误；
对于C，σ越大，正态分布曲线越矮胖，表示总体的分布越分散，故P(−a≤X≤a)越小，故C正确；
对于D，由题可知E(X)=0，故E(aX)=aE(X)=0，故D错误．
故选：AC.
根据正态分布的定义及对称性求解即可．
本题主要考查了正态分布曲线的对称性，属于基础题．
11.【答案】CD
【解析】解：对于选项A，由分步乘法计数原理可知ai(i=1,2,⋅⋅⋅,n)的值为0或1，共2种情况，
所以数列a1，a2，a3，⋅⋅⋅，an的所有可能情况共有2n种，
故选项A错误；
对于选项B，已知Sn−Sn−1为定值，
即an为定值，
由题可知an=0或an=1，
当an=0时，Tn=0，当an=1时，Tn=S1+S2+⋅⋅⋅+Sn=1+2+⋅⋅⋅+n=n(n+1)2，
故选项B错误；
对于选项C，已知Tn−Tn−1为定值，
即an⋅Sn为定值，
由题可知an⋅Sn=a12为0或1，
当a1=1时，
则a1⋅S1=a2⋅S2=1，此时a2无满足题意的解，
故只有an=0能满足要求，
所以{an}为常数列，
故选项C正确；
对于选项D，当{an}为1，0，0，…时，Sn=1，
则{Sn}是公比为1的等比数列，
故选项D正确．
故选：CD.
由分步乘法计数原理可判断A；Sn−Sn−1为定值，即an为定值，则an=0或an=1，分别讨论an=0或an=1，求出Tn可判断B；Tn−Tn−1为定值，即an⋅Sn为定值，结合题意分析知只有an=0能满足要求可判断C；取特值可判断D.
本题考查了利用数列递推式求数列的通项公式，重点考查了等比数列的定义，属中档题．
12.【答案】ACD
【解析】解：由题可知f′(x)=3x2−2ax−1，
因为Δ=(−2a)2−4×3×(−1)=4a2+12>0，
所以f′(x)=3x2−2ax−1恒有两个异号的实根x1，x2，
不妨设x1则当x∈(−∞,x1)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，
当x∈(x1,x2)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，
当x∈(x2,+∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，
所以f(x)恒有一个极大值点x1和一个极小值点x2，故A正确；
因为f(x)在区间[0,1]上单调递减，
所以对任意的x∈[0,1]，f′(x)≤0恒成立，
所以f′(0)=−1≤0f′(1)=3−2a−1≤0，解得a≥1，故B错误；
若f′(1)=0，则3−2a−1=0，解得a=1，
此时f′(x)=3x2−2x−1=(x−1)(3x+1)，
则当x∈(−∞,−13)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，
当x∈(−13,1)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，
当x∈(1,+∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，
所以f(x)极小值=f(1)=−1，
又当x→−∞时，f(x)→−∞，
所以直线y=−1与f(x)的图象有2个不同的公共点，故C正确；
若a=3，则f(x)=x3−3x2−x，f′(x)=3x2−6x−1，
因为f(x)=x3−3x2−x=x(x2−3x−1)=x(x−3+ 132)(x−3− 132)，
所以f(x)的3个零点为3− 132，0，3+ 132，
又f′(x)=3(x−1)2−4≥−4，且−4<3− 132，
所以当f′(x)分别为3− 132，0，3+ 132时，均有2个不同的x的值与其对应，
所以f(f′(x))有6个不同的零点，故D正确．
故选：ACD.
利用导数讨论单调性，然后可得极值点，可判断A；根据二次函数性质讨论导函数符号即可判断B；利用导数讨论单调性，作图分析可判断C；先解方程f(x)=0，然后根据二次函数性质可判断D.
本题考查函数与导数的综合运用，考查数形结合思想以及运算求解能力，属于中档题．
13.【答案】2
【解析】解：由题可知含x2的项为C52⋅(−12x)2⋅a3=52a3x2，则x2的系数为52a3，
即52a3=20，解得a=2.
故答案为：2.
利用二项展开式的通项公式求解．
本题主要考查二项式定理的应用，属于基础题．
14.【答案】59
【解析】解：由图可知，这10年中物种及种下单元的总数超过90000的年份为2017−2022年，共6年，
设事件A为“第一次抽到的年份对应的物种及种下单元的总数超过90000”，
事件B为“第二次抽到的年份对应的物种及种下单元的总数超过90000”，
则P(B|A)=P(AB)P(A)=A62A102610=59.
故答案为：59.
利用条件概率公式计算即可．
本题考查条件概率公式，属于基础题．
15.【答案】(6,16]
【解析】解：由题可知数列{an}单调递减，{bn}单调递增，
故a1>b1，a2>b2，a3>b3，an≤bn(n≥4,n∈N*)，
故只需a3>b3a4≤b4即可，即a1×(12)2>32,a1×(12)3≤2,解得6故答案为：(6,16].
根据数列{an}，{bn}的单调性列出不等式组求解即可．
本题主要考查了等比数列的通项公式及数列单调性的应用，属于基础题．
16.【答案】[−13,1]
【解析】解：由题可知f′(x)=x2−2x−1+ex+1ex≥(x−1)2−2+2 ex⋅1ex=(x−1)2≥0，
两处等号不能同时取到，
所以f′(x)>0，
则f(x)在R上单调递增．
f′(x)+2x−1=x2+ex+1ex−2≥x2+2 ex⋅1ex−2=x2≥0，
当且仅当x=0时等号同时成立，
所以f(3a2−2a−1)≤0.
又f(0)=0，
所以3a2−2a−1≤0，
解得−13≤a≤1.
故答案为：[−13,1].
利用基本不等式判断出f′(x)>0，则f(x)在R上递增，求得f′(x)+2x−1的最小值，由此化简不等式f(3a2−2a−1)≤f′(x)+2x−1，进而求得a的取值范围．
本题考查不等式的恒成立问题，考查运算求解能力，属于中档题．
17.【答案】解：(1)设{an}的公差为d.
因为S12=78，a8=4a2，
所以12a1+12×(12−1)2d=78a1+7d=4(a1+d)，
解得a1=1d=1，
所以an=1+(n−1)×1=n，
即{an}的通项公式为an=n；
(2)由(1)知bn=n3n.
所以Tn=131+232+⋅⋅⋅+n3n，①
则13Tn=132+233⋅⋅⋅+n3n+1，②
①-②得23Tn=13+132+⋅⋅⋅+13n−n3n+1=13(1−13n)1−13−n3n+1=3n+1−2n−32⋅3n+1，
则Tn=3n+1−2n−34⋅3n.
【解析】(1)根据等差数列求和公式和通项公式列方程组求首项和公差，然后可得通项公式；
(2)由错位相减法求和即可．
本题考查了等差数列求和公式和通项公式的求法，重点考查了错位相减法求和，属中档题．
18.【答案】解：(1)证明：在△PAD中，PA=PD，Q为AD的中点，
所以PQ⊥AD.
因为平面PAD⊥底面ABCD，且平面PAD∩底面ABCD=AD，
所以PQ⊥底面ABCD.
又CD⊂平面ABCD，
所以PQ⊥CD.
(2)在直角梯形ABCD中，AD//BC，BC=12AD，Q为AD的中点，
所以BC//DQ且BC=DQ，
所以四边形BCDQ为平行四边形，
所以BQ//DC.
因为AD⊥DC，
所以AD⊥QB，
由(1)可知PQ⊥平面ABCD，
所以，以Q为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则Q(0,0,0)，P(0,0, 3)，C(−1,3,0)，B(0,3,0).
易知平面AQB的一个法向量n=(0,0,1).
因为M是棱PC上靠近点C的三等分点，
所以点M的坐标为(−23,2, 33)，
所以QB=(0,3,0)，QM=(−23,2, 33).
设平面MQB的法向量为m=(x,y,z)，
则m⋅QB=3y=0m⋅QM=−23x+2y+ 33z=0，
令x=3，可得m=(3,0,2 3).
设二面角A−QB−M的平面角为θ，则|csθ|=|n⋅m||n||m|=2 7=2 77.
由图可知，二面角A−QB−M的平面角为钝角，
所以二面角A−QB−M的平面角的余弦值为−2 77.
【解析】(1)利用面面垂直的性质定理即可证明；
(2)建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用向量法求出二面角的余弦值．
本题考查空间中垂直关系的判定，考查利用空间向量求解二面角的余弦值，考查空间想象能力，推理论证能力和运算求解能力，考查直观想象和数学运算等核心素养，属于中档题．
19.【答案】解：(1)由题可知g(x)的定义域为(−1,+∞)，
g′(x)=ax+1−x−a=−x(x+a+1)x+1，
当a<−1时，−a−1>0，
∵x∈(−1,0)时，g′(x)<0，
x∈(0,−a−1)时，g′(x)>0，
x∈(−a−1,+∞)，g′(x)<0，
∴g(x)的单调递减区间为(−1,0)，(−a−1,+∞)，单调递增区间为(0,−a−1).
(2)由(1)知g(x)极大值=g(−a−1)=aln⁡(−a)−(a+1)22+a(a+1)=aln⁡(−a)+a22−12，
由已知可得f′(x)=x2−x=x(x−1)，
∵x∈(−∞,0)时，f′(x)>0
x∈(0,1)时，f′(x)<0，
x∈(1,+∞)时，f′(x)>0，
∴f(x)在(−∞,0)上单调递增，在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，
∴f(x)极小值=f(1)=−12+a22.
由g(x)极大值=f(x)极小值+b，可得b=g(x)极大值−f(x)极小值=aln⁡(−a)，
设h(x)=xln(−x)，则h′(x)=ln(−x)+1，
∵x∈(−∞,−1)，h′(x)>h′(−1)=1>0，
∴h(x)在(−∞,−1)上单调递增，
∴h(x)∴b的取值范围为(−∞,0).
【解析】(1)利用导数分析单调性即可求解；
(2)由(1)可知g(x)的单调性，从而求得g(x)极大值，进而利用导数分析f(x)的单调性，从而求得f(x)极小值，可得b=aln(−a)，构造函数h(x)=xln(−x)，利用导数分析其单调性，进而求解．
本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是中档题．
20.【答案】解：(1)由题可知2a+70−a=100，解得a=30.
2×2列联表如下：
χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=200×(70×40−30×60)2130×70×100×100≈2.198<3.841，
所以没有95%的把握认为年轻人对淄博烧烤的态度与性别有关．
(2)设进一步交流的男性中非常喜欢淄博烧烤的人数为m，女性中非常喜欢淄博烧烤的人数为n，
则ξ=m+n，且ξ的所有可能取值为2，3，4.
P(ξ=2)=P(m=1,n=1)=C21C22C21C11C43C32=13，
P(ξ=3)=P(m=2,n=1)+P(m=1,n=2)=C22C21C21C11C43C32+C21C22C22C43C32=12，
P(ξ=4)=P(m=2,n=2)=C22C21C22C43C32=16，
所以ξ的分布列为：
则E(ξ)=2×13+3×12+4×16=176.
【解析】(1)根据表中数据求得a，然后可完成列联表，由卡方公式计算可得；
(2)由排列组合与古典概型公式求概率，可得分布列，再由期望公式可解．
本题主要考查离散型随机变量分布列及数学期望，独立性检验，考查运算求解能力，属于中档题．
21.【答案】解：(1)由题意知A(−a,0)，B(0,b).
因为△AOB的面积为32，
所以S△AOB=12ab=32①．
|AB|= a2+b2，
因为点O到直线AB的距离为3 1010，
所以12|AB|⋅3 1010= a2+b22⋅3 1010=32②．
由①②结合a>b>0可得a=3b=1.
所以椭圆C的方程x29+y2=1.
(2)证明：由(1)可知A(−3,0).
当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=1，代入椭圆方程得y=±2 23，
不妨设此时M(1,2 23)，N(1,−2 23)，
则kAM=2 231−(−3)= 23，直线AM的方程为y= 26(x+3)，
当x=0时，y= 22，
易得|OP|=|OQ|= 22，
所以|OP|⋅|OQ|=12.
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k(x−1)(k≠0)，
由y=k(x−1)x2+9y2=9，得(1+9k2)x2−18k2x+9k2−9=0.
设M(x1,y1)，N(x2,y2)，
则x1+x2=18k21+9k2，x1x2=9k2−91+9k2.
直线AM的方程为y=y1x1+3(x+3)，
令x=0，得yP=3y1x1+3，即P(0,3y1x1+3)，
同理，得Q(0,3y2x2+3).
所以|OP|⋅|OQ|=|9y1y2(x1+3)(x2+3)|=|9k2(x1−1)(x2−1)(x1+3)(x2+3)|
=|9k2[x1x2−(x1+x2)+1]x1x2+3(x1+x2)+9|=|9k2(9k2−91+9k2−18k21+9k2+1)9k2−91+9k2+3×18k21+9k2+9|
=|9k2(9k2−9−18k2+1+9k2)9k2−9+54k2+9+81k2|=12.
综上可得|OP|⋅|OQ|=12.
【解析】(1)根据三角形面积公式和两点间距离公式，列关于a，b的方程组求解可得；
(2)分斜率存在和不存在讨论，当斜率存在时，设M(x1,y1)，N(x2,y2)，利用点M，N坐标表示出P，Q坐标，结合韦达定理可得．
本题考查椭圆的标准方程及其性质，考查直线与椭圆的综合运用，考查分类讨论思想和运算求解能力，属于中档题．
22.【答案】解：(1)当m=2时，f(x)=lnx2+2ex−1−2x+2，
则f′(x)=2x+2ex−1−2.
所以f′(1)=2，
又f(1)=2，
所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y−2=2(x−1)，即y=2x.
(2)令g(x)=f(x)−mx=mlnx+2ex−1−2x+m−mx，x∈[1,+∞),
则g′(x)=mx+2ex−1−2−m，且g(1)=0，g′(1)=0.
令s(x)=mx+2ex−1−2−m，
则s′(x)=−mx2+2ex−1.
若s′(1)≥0，则m≤2，若s′(1)<0，则m>2，
当m>2时，∃x0∈(1,+∞)，使得当x∈[1,x0)时，s(x)≤0，
即g(x)在[1,x0)上单调递减，则g(x)≤g(1)=0，不合题意．
当m≤2时，令t(x)=x−lnx−1，x∈[1,+∞),
则t′(x)=1−1x≥0，
故函数t(x)在[1,+∞)上单调递增，
则t(x)≥0，即x−1≥lnx.
所以m(lnx+1−x)+2ex−1−2x≥2(lnx+1−x)+2(ex−1−x)=2(lnx−2x+ex−1+1)，
令h(x)=lnx−2x+ex−1+1，x∈[1,+∞),
则h′(x)=1x−2+ex−1，
令m(x)=1x−2+ex−1，x∈[1,+∞),
则m′(x)=ex−1−1x2.
因为m′(x)单调递增，
所以m′(x)≥m′(1)=0，
所以m(x)单调递减，
所以m(x)≥m(1)=0，
所以h(x)单调递增，
所以h(x)≥h(1)=0，
所以m(lnx+1−x)+2ex−1−2x≥0，
故m≤2符合题意，即实数m的取值范围是(−∞,2].
【解析】(1)利用导数的几何意义，结合导数的四则运算即可得解．
(2)构造函数g(x)=f(x)−mx，利用导数分析得m>2时不合题意，从而讨论m≤2时的情况，利用不等式x−1≥lnx将问题转化为证lnx−2x+ex−1+1≥0，构造函数h(x)=lnx−2x+ex−1+1，利用导数即可得证．
本题考查导数的几何意义，考查不等式的恒成立问题，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于中档题．非常喜欢
感觉一般
合计
男性
a
女性
2a
100
合计
70
P(χ2≥k0)
0.1
0.05
0.01
k0
2.706
3.841
6.635
非常喜欢
感觉一般
合计
男性
70
30
100
女性
60
40
100
合计
130
70
200
ξ
2
3
4
P
13
12
16