2022-2023学年河南省南阳市六校高二下学期期末考试数学试题含答案

2022-2023学年河南省南阳市六校高二下学期期末考试数学试题

一、单选题

1．已知变量关于的线性回归方程为，且，，则时，预测的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据回归直线过点，代入回归方程计算得的值，再将代入回归方程计算即可得答案.

【详解】因为回归直线过点，所以，得，所以

所以时，预测的值为．

故选：C

2．已知等比数列的前项和为，，则（    ）

A．16 B．8 C．6 D．2

【答案】D

【分析】先利用等比数列前项和公式及性质求出公比，然后利用等比数列通项公式求出首项即可.

【详解】设等比数列的公比为q，

由，

即，

可得，即，

又，所以．

故选：D.

3．已知O为坐标原点，为一个动点．条件p：O，A，三点共线；条件q：动点A在抛物线上，则p是q的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】由列式整理可知p是q的充分条件，取原点验证可知p是q的不必要条件，然后可得答案.

【详解】当动点A满足p时，直线OB的斜率存在，且不为0，有，即，化简得，p是q的充分条件；

反之，抛物线的顶点并不满足p，p是q的不必要条件．

故选：A．

4．已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，P为C的右支上一点．若，则双曲线C的渐近线方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据题意可得，然后由公式可得，即可得渐近线方程.

【详解】设双曲线C的半焦距为．由题可知，，

则，所以，

所以，所以C的渐近线方程为．

故选：C

5．给出新定义：设是函数的导函数，是的导函数，若方程有实数解，则称点为的“拐点”，已知函数的一个拐点是，且，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】二次求导，根据拐点定义求得，然后代入函数可得.

【详解】由题可知，，

结合题意知，即，

又，所以，所以．

故选：B

6．已知F为抛物线的焦点，点在抛物线上．若，，则（    ）

A．12 B．16 C．18 D．20

【答案】C

【分析】根据抛物线方程可得，准线为，结合抛物线的定义可得，，进而结合题意可得，进而得到数列是公差为2的等差数列，再结合等差数列的通项公式求解即可.

【详解】由抛物线，可得，准线为，

根据抛物线的定义可得，，，

所以，

故数列是公差为2的等差数列，

因为，所以，

所以，

所以．

故选：C.

7．已知，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由题可知，构造函数，利用的单调性求解.

【详解】由题可知．设，则，

当时，，单调递增；当时，，单调递减，

由的单调性可知，即，

即，故．

故选：A．

8．已知直线l：与x轴、y轴分别交于M，N两点，动直线：和：交于点P，则的面积的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据所过定点和位置关系可得点P轨迹方程，然后利用点到直线的距离公式和两点间的距离公式可得面积最小值.

【详解】根据题意可知，动直线过定点，动直线：，即过定点，

因为，所以无论m取何值，都有，

所以点P在以OB为直径的圆上，且圆心坐标为，半径为，

设，则点P的轨迹方程为，

圆心到直线l的距离为，则P到直线l的距离的最小值为．

由题可知，，则，

所以的面积的最小值为．

故选：B

二、多选题

9．已知向量是平面的一个法向量，点在平面内，则下列点也在平面内的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】BCD

【分析】记选项中的四个点依次为A，B，C，D，结合数量积的坐标运算验证，，，是否与垂直即可．

【详解】记选项中的四个点依次为A，B，C，D，

则，，，，又，

，故与不垂直，故A错误；

，故与垂直，故B正确；

，故与垂直，故C正确；

，故与垂直，故D正确；

故选：BCD.

10．已知随机变量X服从正态分布，a为大于0的常数，则下列结论中正确的是（    ）

A． B．

C．越大，越小 D．

【答案】AC

【分析】根据正态分布的定义及对称性求解即可.

【详解】由题意，X服从正态分布，正态分布曲线的对称轴为.

对于A，因为a大于0，所以，故A正确；

对于B，因为，而，

所以，故B错误；

对于C，越大，正态分布曲线越矮胖，表示总体的分布越分散，故越小，故C正确；

对于D，由题可知，故，故D错误．

故选：AC.

11．已知数列的每一项均为0或1，其前n项和为，数列的前n项和为，则下列结论中正确的是（    ）

A．数列的所有可能情况共有种

B．若为定值，则恒为0

C．若为定值，则为常数列

D．数列可能为等比数列

【答案】CD

【分析】由分步乘法计数原理可判断A；为定值，即为定值，则或，分别讨论或，求出可判断B；为定值，即为定值，结合题意分析知只有能满足要求可判断C；取特值可判断D.

【详解】由分步乘法计数原理可知的值为0或1，共2种情况，

所以数列的所有可能情况共有种，故A错误；

为定值，即为定值，由题可知或，

当时，，当时，，B错误；

为定值，即为定值，由题可知为0或1，当时，

则，此时无满足题意解，故只有能满足要求，所以为常数列，故C正确；

当为1，0，0，…时，，是公比为1的等比数列，故D正确．

故选：CD.

12．已知函数，为的导函数，则下列结论中正确的是（    ）

A．恒有一个极大值点和一个极小值点

B．若在区间上单调递减，则a的取值范围是

C．若，则直线与的图象有2个不同的公共点

D．若，则有6个不同的零点

【答案】ACD

【分析】利用导数讨论单调性，然后可得极值点，可判断A；根据二次函数性质讨论导函数符号即可判断B；利用导数讨论单调性，作图分析可判断C；先解方程，然后根据二次函数性质可判断D.

【详解】由题可知，因为，

所以恒有两个异号的实根，，不妨设，

则当时，，单调递增，当时，，单调递减，

当时，，单调递增，所以恒有一个极大值点和一个极小值点，故A正确；

因为在区间上单调递减，所以对任意的，恒成立，

所以，解得a≥1，故B错误；

若，则，解得，此时，

则当时，，单调递增，时，，单调递减，

当时，，单调递增，所以，

又当时，，所以直线与的图象有2个不同的公共点，故C正确；

若，则，，

因为，

所以的3个零点为，0，，又，且，

所以当分别为，0，时，均有2个不同的x的值与其对应，

所以有6个不同的零点，故D正确．

故选：ACD

三、填空题

13．若的展开式中的系数为20，则实数      ．

【答案】2

【分析】利用二项展开式的通项公式求解.

【详解】由题可知含的项为，则的系数为，

即，解得，

故答案为：.

14．如图是《中国生物物种名录》中记载的2013—2022年中国生物物种及种下单元的数量变化图，从中依次不重复地抽取两个年份的数据进行研究，则在第一次抽到的年份对应的物种及种下单元的总数超过90000的条件下，第二次抽到的年份对应的物种及种下单元的总数也超过90000的概率为      ．

【答案】

【分析】利用条件概率公式计算即可.

【详解】由图可知，这10年中物种及种下单元的总数超过90000的年份为2017—2022年，共6年，

设事件A为“第一次抽到的年份对应的物种及种下单元的总数超过90000”，

事件B为“第二次抽到的年份对应的物种及种下单元的总数超过90000”，

则．

故答案为：

15．已知正项数列是公比为的等比数列，数列的通项公式为．若满足的正整数n恰有3个，则的取值范围为      ．

【答案】

【分析】根据数列，的单调性列出不等式组求解即可.

【详解】由题可知数列单调递减，单调递增，

故，，，，

故只需即可，即解得．

故答案为：.

16．已知函数，是的导函数，若，不等式恒成立，则实数a的取值范围是      ．

【答案】

【分析】利用基本不等式判断出，则在上递增，求得的最小值，由此化简不等式，进而求得的取值范围.

【详解】由题可知，

两处等号不能同时取到，所以，

在R上单调递增．

，

当且仅当时等号同时成立，所以．

又，所以，解得．

故答案为：

【点睛】关键点点睛：求解不等式恒成立问题，可先求得不等式含的一侧的最值（用导数或基本不等式），然后利用函数的单调性来对问题进行求解.利用基本不等式求最值时，要注意等号成立的条件.

四、解答题

17．已知等差数列的前n项和为，且，．

(1)求的通项公式；

(2)若，求数列的前n项和．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据等差数列求和公式和通项公式列方程组求首项和公差，然后可得通项公式；

（2）由错位相减法求和即可.

【详解】（1）设的公差为d．

因为，，所以，解得.

所以，即的通项公式为．

（2）由（1）知．

所以，，

两式作差得，

则．

18．如图，在四棱锥中，，且，平面底面ABCD，是边长为2的等边三角形，，，Q为AD的中点，M是棱PC上靠近点C的三等分点．

(1)求证：；

(2)求二面角的平面角的余弦值．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）利用面面垂直的性质定理即可证明；

（2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用向量法求出二面角的余弦值.

【详解】（1）在中，，Q为AD的中点，所以．

因为平面底面ABCD，且平面底面，所以底面ABCD．

又平面ABCD，所以．

（2）在直角梯形ABCD中，，，Q为AD的中点，

所以且，所以四边形BCDQ为平行四边形，所以．

因为，所以，由（1）可知平面ABCD，

所以，以Q为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，．

易知平面AQB的一个法向量．

因为M是棱PC上靠近点C的三等分点，所以点M的坐标为，

所以，．

设平面MQB的法向量为，则即;

令x＝3，可得.

设二面角A－QB－M的平面角为θ，则．

由图可知，二面角的平面角为钝角，所以二面角的平面角的余弦值为．

19．已知函数，，．

(1)求的单调区间；

(2)若，求实数b的取值范围．

【答案】(1)单调递减区间为，，单调递增区间为

(2)

【分析】（1）利用导数分析单调性即可求解；

（2）由（1）可知的单调性，从而求得，进而利用导数分析的单调性，从而求得，可得，构造函数，利用导数分析其单调性，进而求解.

【详解】（1）由题可知的定义域为，．

当时，，

∵时，；时，；，，

∴的单调递减区间为，，单调递增区间为．

（2）由（1）知．

由已知可得，

∵时，；时，；时，，

∴在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，

∴．

由，可得．

设，则．

∵，，

∴在上单调递增．

∴，又当趋向负无穷时，趋向负无穷，

∴b的取值范围为．

20．淄博烧烤走红契合了公众“说走就走”的情绪．美食也是生活，更是社会情绪的折射．随着城市间人口流动的日益频繁，给自己一个说走就走的旅行，是当下很多年轻人的选择．为了解年轻人对淄博烧烤的态度，随机调查了200位年轻人，得到的统计数据如下面的不完整的2×2列联表所示（单位：人）：

(1)求a的值，并判断是否有95%的把握认为年轻人对淄博烧烤的态度与性别有关．

(2)从样本中筛选出4名男性和3名女性共7人作为代表，这7名代表中有2名男性和2名女性非常喜欢淄博烧烤．现从这7名代表中任选3名男性和2名女性进一步交流，记为这5人中非常喜欢淄博烧烤的人数，求的分布列及数学期望．

参考公式：，其中．

参考数据：

【答案】(1)30，没有

(2)分布列见解析，

【分析】（1）根据表中数据求得a，然后可完成列联表，由卡方公式计算可得；

（2）由排列组合与古典概型公式求概率，可得分布列，再由期望公式可解.

【详解】（1）由题可知，解得．

2×2列联表如下：

，

所以没有95%的把握认为年轻人对淄博烧烤的态度与性别有关．

（2）设进一步交流的男性中非常喜欢淄博烧烤的人数为m，女性中非常喜欢淄博烧烤的人数为n，则，且的所有可能取值为2，3，4．

，

，

，

所以的分布列为

则．

21．已知椭圆C：的左顶点为A，上顶点为B，坐标原点O到直线AB的距离为，的面积为．

(1)求椭圆C的方程；

(2)若过点且不与x轴重合的直线l与椭圆C交于M，N两点，直线AM，AN分别与y轴交于P，Q两点，证明：为定值．

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）根据三角形面积公式和两点间距离公式，列关于a，b的方程组求解可得；

（2）分斜率存在和不存在讨论，当斜率存在时，设，，利用点M，N坐标表示出P，Q坐标，结合韦达定理可得.

【详解】（1）由题意知，．

因为的面积为，所以①．

，

因为点O到直线AB的距离为，所以②．

由①②结合可得.

所以椭圆C的方程．

（2）由（1）可知．

当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为，代入椭圆方程得，

不妨设此时，，

则，直线AM的方程为，

当时，，

易得，所以．

当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，

由，得．

设，，则，．

直线AM的方程为，

令，得，即，

同理，得．

所以

．

综上可得．

22．已知函数．

(1)当时，求曲线在点处的切线方程；

(2)若关于x的不等式在上恒成立，求m的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用导数的几何意义，结合导数的四则运算即可得解.

（2）构造函数，利用导数分析得时不合题意，从而讨论时的情况，利用不等式将问题转化为证，构造函数，利用导数即可得证.

【详解】（1）当时，，

则．所以，又，

所以曲线在点处的切线方程为，即．

（2）令，，

则，且，．

令，则．

若，则，若，则，

当时，，使得当时，，

即在上单调递减，则，不合题意．

当时，令，，则，

故函数在上单调递增，则，即．

所以，

令，，则，

令，，则．

因为单调递增，所以，

所以单调递减，所以，

所以单调递增，所以，

所以，

故符合题意，即实数m的取值范围是．

【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：

一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；

二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极（最）值问题处理．