2022-2023学年安徽省马鞍山市第二中学高一上学期期中数学试题含解析

2022-2023学年安徽省马鞍山市第二中学高一上学期期中数学试题

一、单选题

1．，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用补集和交集的定义计算可得结果.

【详解】由已知可得，因此，.

故选：A.

2．的定义域是

A． B．

C． D．

【答案】D

【详解】试题分析：，故选D.

【解析】函数的定义域.

3．不等式的解集为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】解分式不等式求得正确答案.

【详解】，，

所以不等式的解集为.

故选：B

4．购买同一种物品，可以用两种不同的策略，第一种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量一定；第二种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱一定.假设连续购买两天该物品，第一天物品的价格为，第二天物品的价格为，且，则以下选项正确的为（    ）

A．第一种方式购买物品的单价为 B．

C．第一种购买方式所用单价更低 D．第二种购买方式所用单价更低

【答案】D

【分析】分别计算出两种不同策略的平均价格，比较两种平均价格的大小.

【详解】第一种策略：设每次购买这种物品的数量均为,则平均价格为，故A不正确；

第二种策略：设每次购买这种物品所花的钱为，第一次能购得该物品的数量为， 第二次能购得该物品的数量为，则平均价格为；

，

所以，故B错误，同时说明第二种购买方式所用单价更低；

故选：D

5．已知，且，则下列不等式恒成立的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】取，，，利用排除法即可得正确选项.

【详解】令，，，则，，，

故排除A、B、D、

故选：C.

6．设函数是奇函数，在内是增函数，又，则的解集是（    ）

A．或 B．或

C．或 D．或

【答案】D

【分析】由奇函数的性质结合已知条件可得在内也是增函数，，然后分，和三种情况求解即可

【详解】∵函数是奇函数，在内是增函数，

∴在内也是增函数．

又，∴．

∵，

∴①当时，，∴；

②当时，，∴；

③当时，不等式的解集为．

综上，的解集为或．

故选：D．

7．设，，且，则（    ）

A．有最小值为 B．有最小值为6

C．有最小值为 D．有最小值为7

【答案】D

【分析】利用已知条件变形凑配出积为定值，然后由基本不等式求得最小值，注意使用“1”的代换．

【详解】因为，，且，，

所以，

当且仅当，即时等号成立．

所以有最小值为7.

故选：D．

8．函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．已知任意一个一元三次函数的图象均为中心对称图形，若，则的值为（    ）

A．－4 B．－2 C．0 D．2

【答案】A

【分析】设的对称中心为，令，根据为奇函数建立关系即可求出的对称中心为，则，由此即可求得答案．

【详解】设的对称中心为，

设，

则为奇函数，由题可知，且，

所以，即，

则，

整理得，

所以，解得，

所以函数的对称中心为；

所以，

．

故选：A．

二、多选题

9．（多选）若函数在上的最大值与最小值的差为2，则实数的值可以是（    ）

A．2 B． C．1 D．0

【答案】AB

【分析】根据一次函数的单调性分和两种情况分别求解最大值和最小值，列出方程得解.

【详解】依题意，当时，在取得最大值，在取得最小值，所以，即；

当时，在取得最大值，在取得最小值，所以，即．

故选AB．

【点睛】本题考查一次函数的单调性和最值求解，属于基础题.

10．已知实数a，b满足等式，则下列关系式中可能成立的是（    ）

A．0<b<a<1 B．－1<a<b<0

C．1<a<b D．－1<b<a<0

【答案】AC

【解析】画出与的图象，设，根据图象即可判断.

【详解】画出y＝与y＝的图象(如图)，设，作直线y＝m，

从图象知，若m＝0或1，则a＝b；若0<m<1，则0<b<a<1；若m>1，则1<a<b，故其中可能成立的是A，C.

故选：AC.

【点睛】本题考查幂函数图象的画法，利用图象解决参数范围问题，属于基础题.

11．定义在R上的函数满足，当时，，则满足（    ）

A． B．是偶函数

C．在上有最大值 D．的解集为

【答案】AD

【分析】赋值法可以求出，，判断出AB选项；C利用赋值法和题干中的条件可以得出的单调性，从而得到在上有最大值；D选项利用C选项中判断的函数的单调性进行解不等式，得到答案.

【详解】定义在R上的函数满足，令得：，解得：，A正确；

令得：，因为，所以，

故是奇函数，B错误；

任取，，且，则令，，代入得：，

因为当时，，而，所以，

故，即，从而在R上单调递减，

在上有最大值为，C错误；

由A选项得到，而在R上单调递减，故，解得，解集为，D正确.

故选：AD

12．已知是定义在上的奇函数，若，，且，则以下选项正确的是（    ）

A．在上单调递增

B．为奇函数

C．为奇函数

D．在上单调递减，在上单调递增

【答案】AC

【分析】由知得在上为增函数，对于选项A将变形可知其单调性；对于选项BC，利用函数的奇偶性可判断正误；对于选项D，可举例说明在上不是单调递减.

【详解】由，，且，得在上为增函数，

对于A：在上单调递增，故A正确；

对于B：令，，

，故B不正确；

对于C：令，，故为奇函数，C正确；

对于D：令，则，，

由在上为增函数知，故在上不是单调递减，故D错误.

故选：AC.

三、填空题

13．计算：______.

【答案】

【分析】利用根式的性质、指数幂的运算律可计算出所求代数式的结果.

【详解】原式.

故答案为.

【点睛】本题考查指数幂的计算，考查计算能力，属于基础题.

14．若函数在区间上不是单调函数，那么实数的取值范围是__________.

【答案】（2，5）

【分析】根据二次函数的对称轴以及开口方向与单调性的关系，判断出二次函数的对称轴在区间内，由此计算出的取值范围.

【详解】因为函数f(x)=x2-2(a-1)x+2在区间(1,4)上不是单调函数，

所以对称轴x=a-1位于区间(1,4)上，即1＜a-1＜4，所以2＜a＜5.

故答案为.

【点睛】判断二次函数的单调性，可以通过二次函数的开口方向以及对称轴来进行分析：开口向上，在对称轴左侧单调递减，在对称轴右侧单调递增；开口向下，在对称轴左侧单调递增，在对称轴右侧单调递减.

15．已知a为正实数，且 是奇函数，则的值域为________.

【答案】

【详解】由为奇函数可知，解得a= 2，即，

由此得的值域为.

16．已知函数是定义域为的单调函数，若对任意的，都有，则____________.

【答案】

【分析】由是定义域为的单调函数及知为常数，

设，可得，从而可求得值确定的解析式即可.

【详解】∵对任意，均有，且在上单调，

所以为常数，

∴设，，为常数，

函数是定义域为，故

又∵或（舍），

∴，

故答案为：2023.

四、解答题

17．已知函数.

（1）求函数的定义域和值域；

（2）判断函数在区间上单调性，并用定义来证明所得结论.

【答案】(1)定义域，值域；(2)单调递减，证明见解析.

【详解】(1) ,

的定义域为，值域.

(2)由函数解析式得该函数在为减函数，下面证明：

任取 ，且，，

， ， ，

.

函数在为减函数.

18．已知集合，，且.

(1)若，求实数m的取值范围；

(2)若的充分条件是，求实数m的取值范围.

【答案】(1)不存在实数使

(2)

【分析】（1）根据，列出不等式组求解即可.

（2）由的充分条件是可知，列出不等式组求解即可.

【详解】（1），此时，

即，

即不存在实数使

（2）由于的充分条件是，所以，又因为，

所以，解得，故实数的取值范围为．

19．已知是二次函数，满足且.

(1)求的解析式；

(2)当时，不等式恒成立，求实数的范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）设，根据，求得，再由，列出方程组，求得的值，即可求解；

（2）将已知转化为在上恒成立，结合二次函数的性质，即可求解.

【详解】（1）设函数，

因为，可得，所以，

又，得，即，

对于任意的成立，则有解得

∴.

（2）当时，恒成立，即恒成立；

令，

∵开口方向向上，对称轴为，

∴在内单调递减，∴，∴，

即实数的取值范围是.

20．已知函数

（1）若，求函数的单调区间

（2）若有最大值3，求a的值

（3）若的值域是，求实数a的取值范围.

【答案】（1）单调增区间是，单调减区间是；；（2）1；（3）0.

【分析】（1）根据复合函数的单调性求解；

（2）设，由指数函数的性质得的最小值是，结合二次函数性质可得；

（3）同样根据指数函数性质，的值域一定是，二次函数一定不合题意．从而可得结论．

【详解】解：当时，，

令，

则在上单调递增，在上单调递减，

而在R上单调递减，

所以在上单调递减，在上单调递增，   

即函数的单调增区间是，单调减区间是；

令，，

由于有最大值3，所以有最小值，

因此必有，解得，

即当有最大值3时，实数a的值为1；

在（2）基础上，由指数函数的性质知，

要使的值域为，应使的值域为R，

因为二次函数的值域不可能为R，所以．

【点睛】本题考查指数函数的性质，考查复合函数的单调性．掌握指数函数性质是解题关键．

复合函数单调性：

21．如图，计划依靠一面墙建一个植物角.墙长为18m.用栅栏围成四个相同的长方形区域种植若干种植物.

(1)若每个长方形区域的面积为，要使围成四个 区域的栅栏总长度最小，每个长方形区域长和宽分别是多少米？并求栅栏总长度的最小值；

(2)若每个长方形区域的长为m（），宽为长的一半.每米栅栏价格为5元，区域的重建费用为每平方米10元.要使总费用不超过180元，求长方形区域的长的取值范围.

【答案】(1)每个长方形区域的长和宽分别为6m和4m时，栅栏总长度最小，且最小值为48m

(2)

【分析】（1）利用基本不等式即可求得栅栏总长度的最小值；

（2）根据题意可知总费用，解不等式即可求得的取值范围.

【详解】（1）设每个长方形区域的长为m（），则宽为，

则栅栏总长为.

当且仅当，即时等号成立，

所以每个长方形区域的长和宽分别为6m和4m时，栅栏总长度最小，且最小值为48m；

（2）由题可知每个长方形区域的长为m，宽为m，，

则长方形区域的面积为，栅栏总长为，

总费用，又总费用不超过180元，

，解得：,

又，,

故当时，总费用不超过180元.

22．已知为偶函数，为奇函数，且.（为自然对数的底数）

(1)求，的解析式；

(2)若对任意的，都存在，使得，求a的取值范围.

【答案】(1)，

(2).

【分析】(1)令得，根据奇偶性构造出新的方程，与已知条件组成方程组求解.

(2)求出与的值域，由已知条件知的值域包含于的值域中，由此列不等关系即可.

【详解】（1）由题可知①，

令得，

因为为偶函数，为奇函数，

所以②.

联立①②解得，.

（2）令，，

令，设 ，

.

因为，所以.

所以在上为增函数，同理可证在上为减函数，

所以，，

，即.

易知在单调递增，， ，

当时，，，显然不成立，

当时，，

对任意的，都存在，使得

，所以.