2022-2023学年安徽省宿州市高二下学期期中考试数学试题含解析

2022-2023学年安徽省宿州市高二下学期期中考试数学试题

一、单选题

1．数列，，，，，的一个通项公式为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据数列的前几项归纳出数列的一个通项公式.

【详解】解：因为，，，，，……，

所以数列，，，，，的一个通项公式可以为.

故选：D

2．在数列中，，，则（    ）

A．2 B． C． D．

【答案】D

【分析】根据数列递推式，依次计算，可得答案.

【详解】数列中，，,

则，

故，

故选：D

3．在数列中，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先把变形得到，再由等差数列的定义即可求出通项公式.

【详解】由得，

令，则，

所以数列是以为首项，为公差的等差数列，

所以，即，

所以.

故选：B

4．已知函数，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】直接对函数求导，再代入求值即可求出结果.

【详解】因为，得到，所以，

故选：C.

5．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，上面记载了一道有名的“孙子问题”，后来南宋数学家秦九韶在《算书九章·大衍求一术》中将此问题系统解决．“大衍求一术”属于现代数论中的一次同余式组问题，后传入西方，被称为“中国剩余定理”．现有一道同余式组问题：将正整数中，被4除余3且被6除余1的数，按由小到大的顺序排成一列数，则（    ）

A．115 B．117 C．119 D．121

【答案】A

【分析】由题意被4除余3的正整数为，被6除余1的正整数为，令，得，再根据，可求得，即可求得的通项，即可得解.

【详解】被4除余3的正整数为，

被6除余1的正整数为，

令，得，

因为，所以，

所以，

所以.

故选：A.

6．若点P是曲线上任一点，则点P到直线的最小距离是（    ）

A． B．3 C． D．

【答案】A

【分析】设和直线平行的曲线的切线的切点坐标，利用导数的几何意义求出该点坐标，则该切点到直线的距离即为点P到直线的最小距离，由此可求得答案.

【详解】由可得，

设和直线平行的曲线的切线的切点坐标为，

则，则，

则点到直线的距离即为点P到直线的最小距离，

即为，

故选：A

7．正项等比数列中，，若，则的最小值等于（    ）

A．1 B． C． D．

【答案】B

【分析】根据等比数列的性质可得，进而由基本不等式即可求解最值.

【详解】由等比数列中，设公比为，且， 由得，故 ，

由得，

，当且仅当，即时等号成立，故最小值为，

故选：B

8．已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】求得，由题意转化为在上恒成立，设，求得，令，利用导数求得单调递增，结合，得到在上单调递减，利用，即可求解.

【详解】由函数，可得，

因为函数在区间上单调递增，可得在上恒成立，

即在上恒成立，

设，可得，

令，可得

当时，，所以单调递增，

又因为，

所以，所以在上单调递减，

所以，即实数的取值范围是.

故选：C.

【点睛】方法技巧：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：

1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；

2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．

3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．

二、多选题

9．已知等比数列中，满足，，则（    ）

A．数列是等比数列 B．数列是递增数列

C．数列是等差数列 D．数列中，，，仍成等比数列

【答案】AC

【分析】根据等比数列的定义以及性质即可根据选项判断ABC,由，成等比数列即可判断D.

【详解】由题意可知，

对于A,,所以，故，所以为等比数列，故A正确，

对于B,，，所以为等比数列，且公比为，首项为1，故是递减数列，

对于C,，所以为公差为1的等差数列，故C正确，

对于D,所以，成等比数列，，，不成等比数列，故D错误，

故选：AC

10．公差为d的等差数列，其前n项和为，，，下列说法正确的有（    ）

A． B．

C．中最大 D．

【答案】ABD

【分析】由等差数列通项的性质和前n项和公式，对选项中的结论进行判断.

【详解】等差数列中，，，

即，，

∴，，，，

所以AB正确，C错误；

，由且，有，所以，D选项正确.

故选：ABD

11．已知函数，则下列说法正确的是（    ）

A．函数在区间上单调递增

B．函数有极大值点

C．

D．若方程恰有两个不等的实根，则实数m的取值范围是

【答案】BC

【分析】利用导数研究函数的单调性、极值等性质，即可解决问题.

【详解】由函数，

所以

令，得，

可得当时，，当时，，

所以在上单调递增，在上单调递减，

在时，取极大值，且极大值为，

所以A错误，B正确；

又，所以，C正确；

又因为当时，，

所以若方程恰有两个不等的实根，则实数m的取值范围是，D错误.

故选：BC

三、单选题

12．已知函数，，，若，图象有公共点P，且在该点处的切线重合，则实数b的可能取值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】AB

【分析】设函数与图象的公共点为，根据题意化简得到且，求得，设，利用导数求得函数的单调性和最小值，列出不等式，即可求解.

【详解】设函数与图象的公共点为，

可得 ，即，

又由与，可得与，

又因为点处切线重合，可得，即，

解得或，

因为，所以，

将代入，可得，其中，

设，可得，

令，解得，

当时，，单调递减；

当时，，单调递增，

所以当时，函数极小值，也是最小值，即为，

即，所以，解得，

结合选项，可得A、B符合题意.

故选：AB.

【点睛】方法技巧：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：

1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；

2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．

3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．

四、填空题

13．设是公差为正数的等差数列，若，，则_____________．

【答案】39

【分析】利用等差数列的性质求得，继而求得，可求出公差，继而利用等差数列性质结合通项公式，即可求得答案.

【详解】由题意是公差为正数的等差数列，设公差为，

，，

则，则，

故，故，

故，

故答案为：39

14．已知等比数列的前项和为，且满足，则实数的值是_____________．

【答案】－2

【分析】利用求出，再利用等比中项建立方程即可求出结果.

【详解】因为， 所以当时，，当时，，当时，，

由，得到，由，得到，

又因为数列是等比数列，所以，得到，解得.

故答案为：.

15．定义为n个正数，，…，的“均倒数”，若已知数列的前n项的“均倒数”为，记，则数列的前n项和为_____________．

【答案】

【分析】根据数列新定义可求得，继而求得，可得的表达式，从而可得数列的通项公式，利用裂项求和法即可求得答案.

【详解】设数列的前n项和为，则，即，

当时，，

当时，，也适合该式，

故，

所以，则，

故数列的前n项和为，

故答案为：

16．已知函数，其中，若对于任意的，且，都有成立，则实数a的取值范围是_____________．

【答案】

【分析】根据题意转化为对任意的恒成立，令，进而转化为恒成立，得到在恒成立，令，利用导数求得函数为单调区间和最小值，得到，即可求解.

【详解】由对于任意的 ，且，都有，

则对于任意的恒成立，

令，则不等式等价于对于任意的恒成立，

即在区间单调递增，

又由，可得，

则，即在恒成立，

即在恒成立，即在恒成立，

令，可得恒成立，

所以函数为单调递增函数，所以，

则，解得，所以实数的取值范围是.

故答案为：.

【点睛】知识方法：对于已知函数的单调性求参数问题：

（1）已知可导函数在区间上单调递增，转化为区间上恒成立；

（2）已知可导函数在区间上单调递减，转化为区间上恒成立；

（3）已知可导函数在区间上存在增区间，转化为在区间上有解；

（4）已知可导函数在区间上存在减区间，转化为在区间上有解.

五、解答题

17．在等差数列中，已知首项，前n项和为，公差，，．

(1)试求和k：

(2)求数列的前n项和．

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）根据等差数列基本量的计算即可求解，

（2）由等差数列的求和公式即可求解.

【详解】（1）由，解得，或，，

因为，所以，．

（2）因为，，所以，则，且为等差数列，

所以．

18．已知数列的前n项和为，，且，．

(1)求数列的通项公式；

(2)求数列的前n项和．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据数列与的关系，，有，化简求数列的通项公式；

（2）由（1）得，再利用错位相减法求和.

【详解】（1）因为，

所以，

两式相减得，

当时，，也满足，

又因为，

所以数列是以2为首项，3为公比的等比数列，

所以数列的通项公式为．

（2）由（1）可得，

所以，

，

两式相减得：，

，

.

19．某企业在2023年全年内计划生产某种产品的数量为x百件，生产过程中总成本w（x）（万元）是关于x（百件）的一次函数，且，．预计生产的产品能全部售完，且当年产量为x百件时，每百件产品的销售收入（万元）满足．

(1)写出该企业今年生产这种产品的利润（万元）关于年产量x（百件）的函数关系式；

(2)今年产量为多少百件时，该企业在这种产品的生产中获利最大？最大利润是多少？

（参考数据：，，，）

【答案】(1)

(2)当产量为7百件时，该企业在这种生产中获利最大且最大利润为51万元

【分析】（1）根据利用等于销售收入减去生产成本即可求解；

（2）利用导函数与单调性的关系讨论利润函数的单调性以及最值.

【详解】（1）设

由，可得，解得，

所以，

依题意得，

．

（2）由（1）得，，

则，

令，得，，得，

所以在上单调递增，在上单调递减，

所以当时，有，

答：当产量为7百件时，该企业在这种生产中获利最大且最大利润为51万元．

20．已知函数．

(1)若在处取得极大值，求实数a的值；

(2)若对恒成立，求实数a的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）求导函数，根据求解a，然后验证是否在处取得极大值即可；

（2）将函数不等式恒成立问题转化为函数的值域范围，根据与分类讨论求解.

【详解】（1）因为，，

所以，

因为在处取得极大值，

所以，所以，即，

此时，

当时，当时，

此时是的极大值点，符合题意，故.

（2）因为，，

所以，，

①当时，，所以在上单调递增，

所以当时，，不合题意；

②当时，，

令，得，令，得，

（ⅰ）当，即时，

所以时，，即单调递减，

所以满足题意；

（ⅱ）当，即时，

当时，，即单调递增，

当时，，即单调递减，

当时，，不合题意.

综上，实数a的取值范围是.

21．已知数列的首项，，.

(1)设，求数列的通项公式；

(2)是否存在互不相等的正整数，，，使，，成等差数列，且，，成等比数列，如果存在，请给出证明；如果不存在，请说明理由.

【答案】(1)

(2)不存在，理由见解析

【分析】（1）根据中给出递推公式，先取倒数再配凑的方法，就可以得到数列是等比数列，进而求解.

（2）先假设存在，利用等差中项性质得到，等比中项性质得到，再根据基本不等式发现时等式成立，但题中条件是，，互不相等，从而得到结论.

【详解】（1）解：（1）因为，，

所以，

取倒得，

所以，

因为，

所以，

所以是，的等比数列，

所以．

（2）（2）假设存在，则，，

由（1）得，

所以，

化简得，

因为，当且仅当时等号成立，

又，，互不相等，

所以，即不存在符合条件的，，.

22．已知函数有两个不同的零点，且．

(1)求实数a的取值范围；

(2)求证：．

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）求出函数导数，分类判断函数单调性，继而转化为求函数最大值，结合解不等式可得答案;

（2）利用为函数两个不同的零点，可推出，继而将不等式转化为证明，换元令，即证对任意的恒成立，从而构造函数，利用导数即可证明.

【详解】（1）由题意得，，

当时，，所以在上单调递减，不可能有两个零点，

所以不符合题意，

当时，令，解得，

当时，，当时，，

所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，

又当时，越来越接近于0，故趋于负无穷小，

当时，趋于无穷大，也趋于负无穷小，

所以要使函数恰有两个不同的零点，

则，

解得，所以a的取值范围为．

（2）证明：由已知可得，两式作差可得，

要证，即证，其中，

即证，

令，

即证对任意的恒成立，

构造函数，其中，

则，（因为，故取不到等号），

对任意的恒成立，

故函数在上单调递增，当时，，

即对任意的恒成立，

所以当时，，

故原不等式得证．

【点睛】难点点睛：第二问利用导数证明不等式，此类问题的解答难度较大，解答时要利用零点性质得，作差可得，继而将原不等式转化为证明成立，采用换元后构造函数，利用导数解决问题.