2023年江苏省无锡市锡山区天一实验学校中考数学模拟试卷(含答案解析)

这是一份2023年江苏省无锡市锡山区天一实验学校中考数学模拟试卷(含答案解析)，共24页。试卷主要包含了 −5的相反数是， 下列运算正确的是， 已知一组数据等内容，欢迎下载使用。

A. −5B. 5C. 15D. −15
2. 函数y= 2−a中自变量a的取值范围是( )
A. A>2B. a≥2C. a<2D. a≤2
3. 下列运算正确的是( )
A. a3⋅a3=a9B. (−2a)2=−4a2C. (a2)4=a12D. a6÷a2=a4
4. 已知一组数据：23，22，24，23，23，这组数据的方差是( )
A. 3B. 2C. 35D. 25
5. 若关于x的一元一次方程2k−x−4=0的解是x=−3，那么k的值是( )
A. 12B. 72C. 6D. 10
6. 如图，将直尺与30∘角的三角尺叠放在一起，若∠1=50∘，则∠2的大小是( )
A. 40∘
B. 50∘
C. 70∘
D. 80∘
7. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点M.连接OC，DB.如果OC//DB，图中阴影部分的面积是2π，那么图中阴影部分的弧长是( )
A. 33π
B. 2 33π
C. 3π
D. 2 3π
8. 已知点P(a,m)，Q(b,n)都在反比例函数y=−2x的图象上，且a<0A. m+n<0B. m+n>0C. mn
9. 如图，直线y=x−2与y轴交于点C，与x轴交于点B，与反比例函数y=kx的图象在第一象限交于点A，连接OA.若S△AOB:S△BOC=1:2，则k的值为( )
A. 2B. 3C. 4D. 6
10. 如图，直角三角形BEF顶点F在矩形ABCD的对角线AC上运动，连接AE.∠EBF=∠ACD，AB=6，BC=8，则AE的最小值为( )
A. 5425B. 125C. 145D. 7225
11. 分解因式：x3−x=__________
12. 使1 x−2有意义的x的取值范围为______ .
13. 用一个半径为4的半圆形纸片制作一个圆锥的侧面，那么这个圆锥底面圆的半径是______.
14. 写出一个顶点坐标是(1,2)且开口向下的抛物线的解析式______.
15. 某种药品经过两次降价，由每盒50元调至36元，若第二次降价的百分率是第一次的2倍．设第一次降价的百分率为x，由题意可列得方程：______.
16. 如图，AB为⊙O的直径，点C、D在⊙O上，若∠CBA=70∘，则∠D的度数是______.
17. 在平面直角坐标系中，点A的坐标为(2,0)，P是第一象限内任意一点，连接PO，PA，若∠POA=m∘，∠PAO=n∘，若点P到x轴的距离为1，则m+n的最小值为______.
18. 已知四边形ABCD是矩形，AB=2，BC=4，E为BC边上一动点且不与B、C重合，连接AE，如图，过点E作EN⊥AE交CD于点N.
①若BE=1，那么CN的长______；
②将△ECN沿EN翻折，点C恰好落在边AD上，那么BE的长______.
19. (1)计算： 12+| 3−3|−(13)−1.
(2)化简：(a+1−4aa+2)÷a−1a+2.
20. (1)解方程：x(x−3)+x=3；
(2)解不等式组：6−2x≥0x−12−1<2x−43.
21. 如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD=AE.
(1)求证：△ABE≌△ACD；
(2)BE与CD交于点F，求证：BF=CF.
22. 一方有难，八方支援，医院需派2名医务人员驰援疫区，现需从王医生、张医生、李医生中任意选派2名前往.
(1)“赵医生被选派”是______ 事件，“王医生被选派”是______ 事件.(填“不可能”或“必然”或“随机”)
(2)试用画树状图或列表的方法表示这次选派所有可能的结果，并求出“王医生被选派”的概率.
23. 为了掌握防疫期间学生们的线上学习情况，返校后，特选取了一个水平相当的七年级班级进行跟踪调研，将同学们的考试成绩进行处理分析，制成频数分布表如表(成绩得分均为整数)：
根据表中提供的信息解答下列问题：
(1)表格中a=______ ，b=______ ，c=______ ；
(2)补充完整频数分布直方图；
(3)若全市七年级共有120个班(平均每班40人)，用这份试卷检测，规定108分及以上为优秀，预计全市优秀人数为______ ；72分及以上为及格，及格的百分比为______ .
24. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，O为BC上一点，以O为圆心，OB为半径的⊙O交AB于另一点D，E为AC上一点，且AE=DE.
(1)求证：DE是⊙O的切线；
(2)若OB=2，OC=1，tanA=12，求AE的长.
25. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC的顶点A，C均落在格点上，点B在网格线上.
(Ⅰ)线段AC的长等于______ ；
(Ⅱ)以AB为直径的半圆的圆心为O，在线段AB上有一点P，满足AP=AC.请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点P.
26. 2022年开封市中招体育考试项目为：长跑、1分钟跳绳为必考项目；足球运球、篮球运球(可任选一项)；双手正面掷实心球、立定跳远(可任选一项).我校为了备考练习，准备重新购买新的足球和跳绳若干根，若购买12个足球和10根跳绳，共需1400元；若购买10个足球和12根跳绳，共需1240元.
(1)求足球和跳绳的单价分别是多少元？
(2)学校决定购买足球和跳绳共60个，且跳绳的数量不多于足球数量的13，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由.
27. 如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴分别交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，若A(−1,0)且OC=3OA.
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)如图，点D是该抛物线的顶点，点P(m,n)是第二象限内抛物线上的一个点，分别连接BD、BC、BP.
①若△PBC是直角三角形，且∠PBC=90∘时，求P点坐标；
②当∠PBA=2∠CBD时，求P点坐标.
28. 问题提出：已知矩形ABCD，点E为AB上的一点，EF⊥AB，交BD于点F.将△EBF绕点B顺时针旋转α(0∘<α<90∘)得到△E′BF′，则AE′与DF′有怎样的数量关系.
【问题探究】
探究一：如图，已知正方形ABCD，点E为AB上的一点，EF⊥AB，交BD于点F.
(1)如图1，直接写出DFAE的值______ ；
(2)将△EBF绕点B顺时针旋转到如图2所示的位置，连接AE、DF，猜想DF与AE的数量关系，并证明你的结论；
探究二：如图，已知矩形ABCD，点E为AB上的一点，EF⊥AB，交BD于点F.
如图3，若四边形ABCD为矩形，ABBC= 22，将△EBF绕点B顺时针旋转α(0<α≤90)得到△E′BF′(E、F的对应点分别为E′、F′点)，连接AE′、DF′，则AE′DF′的值是否随着α的变化而变化.若变化，请说明变化情况；若不变，请求出AE′DF′的值.
【一般规律】
如图3，若四边形ABCD为矩形，BC=mAB，其它条件都不变，将△EBF绕点B顺时针旋转α(0∘<α<90∘)得到△E′BF′，连接AE′，DF′，请直接写出AE′与DF′的数量关系.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】
【分析】
本题主要考查了相反数的性质，只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0.
根据相反数的定义直接求得结果．
【解答】
解：−5的相反数是5.
故选：B.
2.【答案】D
【解析】解：∵2−a≥0，
∴a≤2.
故选：D.
根据二次根式有意义的条件：被开方数是非负数即可得出答案．
本题考查了函数自变量的取值范围，掌握二次根式有意义的条件：被开方数是非负数是解题的关键．
3.【答案】D
【解析】解：A、a3⋅a3=a6，故A不符合题意；
B、(−2a)2=4a2，故B不符合题意；
C、(a2)4=a8，故C不符合题意；
D、a6÷a2=a4，故D符合题意；
故选：D.
利用同底数幂的除法的法则，同底数幂的乘法的法则，幂的乘方与积的乘方的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查同底数幂的除法，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
4.【答案】D
【解析】解：∵这组数据的平均数为15×(23+22+24+23+23+23)=23，
∴这组数据的方差为15×[(22−23)2+3×(23−23)2+(22−23)2]=25，
故选：D.
先计算出这组数据的平均数，再根据方差的计算公式列式计算即可．
本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的定义，并熟记方差的计算公式．
5.【答案】A
【解析】解：∵关于x的一元一次方程2k−x−4=0的解是x=−3，
∴2k+3−4=0，
解得：k=12，
故选：A.
把x=−3代入方程得出2k+3−4=0，再求出k即可．
本题考查了解一元一次方程和一元一次方程的解，能熟记一元一次方程的解的定义是解此题的关键．
6.【答案】C
【解析】解：如图：
由题意得，∠3=60∘，
∵∠1=50∘，
∴∠4=180∘−60∘−50∘=70∘，
∵AB//CD，
∴∠2=∠4=70∘，
故选：C.
根据平角的定义和平行线的性质即可得到结论．
本题考查了平行线的性质，平角的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：连接OD，BC.
∵CD⊥AB，OC=OD，
∴DM=CM，∠COB=∠BOD，
∵OC//BD，
∴∠COB=∠OBD，
∴∠BOD=∠OBD，
∴OD=DB，
∴△BOD是等边三角形，
∴∠BOD=60∘，
∵OC//DB，
∴S△OBD=S△CBD，
∴图中阴影部分的面积=60⋅π⋅OC2360=2π，
∴OC=2 3或−2 3(舍去)，
∴BC的长=60π⋅2 3180=2 33π，
故选：B.
连接OD，BC，根据垂径定理和等腰三角形的性质得到DM=CM，∠COB=∠BOD，推出△BOD是等边三角形，得到∠BOC=60∘，根据扇形的面积公式即可求得圆的半径，然后根据弧长公式求得即可．
本题考查了垂径定理、扇形面积的计算，弧长的计算，圆周角定理，通过解直角三角形得到相关线段的长度是解答本题的关键．
8.【答案】D
【解析】解：y=−2x的k=−2<0，图象位于二四象限，
∵a<0，
∴P(a,m)在第二象限，
∴m>0；
∵b>0，
∴Q(b,n)在第四象限，
∴n<0.
∴n<0即m>n，
故D正确；
故选：D.
根据反比例函数的性质，可得答案．
本题考查了反比例函数的性质，利用反比例函数的性质：k<0时，图象位于二四象限是解题关键．
9.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数与一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，待定系数法求反比例函数解析式，求出A点坐标是解题的关键．先由直线y=x−2与y轴交于点C，与x轴交于点B，求出C(0,−2)，B(2,0)，那么S△BOC=12OB⋅OC=12×2×2=2，根据S△AOB：S△BOC=1：2，得出S△AOB=12S△BOC=1，求出yA=1，再把y=1代入y=x−2，解得x的值，得到A点坐标，然后将A点坐标代入y=kx，即可求出k的值．
【解答】
解：∵直线y=x−2与y轴交于点C，与x轴交于点B，
∴C(0,−2)，B(2,0)，
∴S△BOC=12OB⋅OC=12×2×2=2，
∵S△AOB：S△BOC=1：2，
∴S△AOB=12S△BOC=1，
∴12×2×yA=1，
∴yA=1，
把y=1代入y=x−2，
得1=x−2，解得x=3，
∴A(3,1).
∵反比例函数y=kx的图象过点A，
∴k=3×1=3.
故选B.
10.【答案】D
【解析】解：过点B作BH⊥AC于点H，连接EH，如图所示：
∴∠BEF=∠BHF=90∘，
∴E、B、F、H四点共圆，
∴∠EHB=∠EFB，
∵∠AHE+∠EHB=90∘，∠EBF+∠EFB=90∘，
∴∠AHE=∠EBF，
∵∠EBF=∠ACD，
∴∠AHE=∠ACD=定值，
∴点E在射线HE上运动，
当AE⊥EH时，AE的值最小，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD=6，BC=AD=8，∠D=90∘，
∴AC= CD2+AD2= 62+82=10，
∴sin∠AHE=sin∠ACD=ADAC=45，
∵S△ACB=12AB⋅CB=12AC⋅BH，
即12×6×8=12×10×BH，
∴BH=245，
在Rt△AHB中，由勾股定理得：AH= AB2−BH2= 62−(245)2=185，
∴AE的最小值=AH⋅sin∠AHE=185×45=7225.
故选：D.
过点B作BH⊥AC于点H，连接EH，由∠BEF=∠BHF=90∘，推出E、B、F、H四点共圆，再证∠AHE=∠ACD=定值，推出点E在射线HE上运动，当AE⊥EH时，AE的值最小，然后求出AH与sin∠AHE，即可解决问题．
本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质、锐角三角函数的定义、勾股定理、四点共圆、圆周角定理、轨迹、三角形面积以及最小值问题等知识，本题综合性强，熟练掌握矩形的性质，利用垂线段最短解决最值问题是解题的关键．
11.【答案】x(x+1)(x−1)
【解析】
【分析】
本题考查了提公因式法，公式法分解因式，掌握因式分解的方法是解题的关键.
先提公因式x，分解成x(x2−1)，而x2−1可利用平方差公式再分解．
【解答】
解：x3−x，
=x(x2−1)，
=x(x+1)(x−1).
故答案为：x(x+1)(x−1).
12.【答案】x>2
【解析】解：∵1 x−2有意义，
∴x−2≥0x−2≠0，解得x>2.
故答案为：x>2.
先根据二次根式及分式有意义的条件列出x的不等式组，求出x的取值范围即可．
本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式中的被开方数是非负数是解答此题的关键．
13.【答案】2
【解析】解：设圆锥的底面圆半径为r，依题意，得
2πr=4π，
解得r=2.
故答案为：2.
设圆锥的底面圆半径为r，根据圆锥的底面圆周长=扇形的弧长，列方程求解．
本题考查了圆锥的计算．圆锥的侧面展开图为扇形，计算要体现两个转化：1.圆锥的母线长为扇形的半径，2.圆锥的底面圆周长为扇形的弧长．
14.【答案】y=−(x−1)2+2(答案不唯一)
【解析】解：∵抛物线开口向下，顶点坐标为(1,2)，
∴a<0，
设函数解析式为y=a(x−1)2+2，
只要a<0取值即可；
故答案为：y=−(x−1)2+2(答案不唯一).
由题意可以设函数解析式为y=a(x−1)2+2，只要a<0即可．
本题考查二次函数解析式的求法；熟练掌握二次函数解析式的顶点式，同时利用待定系数法求函数解析式是解题的关键．
15.【答案】50(1−x)(1−2x)=36
【解析】解：设第一次降价的百分率为x，则第二次降价的百分率为2x，
依题意，得：50(1−x)(1−2x)=36.
故答案为：50(1−x)(1−2x)=36.
设第一次降价的百分率为x，则第二次降价的百分率为2x，根据该药品的原价及经过两次降价后的价格，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
16.【答案】20∘
【解析】解：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90∘，
∵∠CBA=70∘，
∴∠A=20∘，
∴∠D=∠A=20∘.
故答案为20∘.
根据圆周角定理得到∠ACB=90∘，∠D=∠A，然后利用互余计算出∠A，从而得到∠D的度数．
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90∘的圆周角所对的弦是直径．
17.【答案】90
【解析】解：如图，在平面直角坐标系中作出以OA为直径的⊙M，
设直线y=1与⊙M相切于点P，则MP垂直于直线y=1，
根据三角形内角和定理可知，要使得m+n取得最小值，则需∠OPA取得最大值．
∵点P到x轴的距离为1，而PM为半径，
∴PM=1，
∵点A的坐标为(2,0)，
∴OM=1，
∴∠OPA为以OA为直径的圆的一个圆周角，
∴∠OPA=90∘.
在直线y=1上任取一点不同于点P的一点P′，连接OP′，交⊙M于点Q，连接AQ，
则∠AQO=90∘>∠AP′O，
∴∠OPA>∠AP′O，
∴∠OPA的最大值为90∘，
∴m+n的最小值为90.
故答案为：90.
由题意可作出以OA为直径的⊙M，根据已知条件及圆的相关知识可得答案．
本题考查了坐标与图形的相关性质，明确圆的相关性质、三角形的内角和及外角性质等知识点是解题的关键．
18.【答案】①32;
②2或23.
【解析】解：①∵BE=1，
∴CE=BC−BE=4−1=3，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠C=90∘，
∴∠BAE+∠BEA=90∘，
∵EF⊥AE，
∴∠AEF=90∘，
∴∠BEA+∠FEC=90∘，
∴∠BAE=∠FEC，
∴△ABE∽△ECN，
∴ABCE=BECN，
∴23=1CN，
解得：CN=32；
故答案为：32；
②过点E作EF⊥AD于F，如图所示：
则四边形ABEF是矩形，
∴AB=EF=2，AF=BE，
由折叠的性质得：CE=C′E，CN=C′N，∠EC′N=∠C=90∘，
∴∠NC′D+∠EC′F=90∘，
∵∠C′ND+∠NC′D=90∘，
∴∠EC′F=∠C′ND，
∵∠D=∠EFC′，
∴△EC′F∽△C′ND，
∴C′DEF=DNFC′=C′NC′E，
∴C′DEF=DNFC′=CNCE，
∵ABCE=BECN，
∴CNCE=BEAB，
∴C′DEF=DNFC′=BEAB，
∴C′D=BE，
设BE=x，则C′D=AF=x，C′F=4−2x，CE=4−x，
∴DN4−2x=x2，CN4−x=x2，
∴DN=x(2−x)，CN=x(4−x)2，
∴CN+DN=x(2−x)+x(4−x)2=CD=2，
解得：x=2或x=23，
∴BE=2或BE=23.
故答案为：2或23.
①求出CE=BC−BE=3，证明△ABE∽△ECN，得出ABCE=BECN，即可得出结果；
②过点E作EF⊥AD于F，则四边形ABEF是矩形，得出AB=EF=2，AF=BE，由折叠的性质得出CE=C′E，CN=C′N，∠EC′N=∠C=90∘，证明△EC′F∽△NC′D，得出C′DEF=DNFC′=C′NC′E，则C′DEF=DNFC′=CNCE，由ABCE=BECN，得出CNCE=BEAB，则C′DEF=DNFC′=BEAB，得出C′D=BE，设BE=x，则C′D=AF=x，C′F=4−2x，CE=4−x，则DN4−2x=x2，CN4−x=x2，求出DN=x(2−x)，CN=x(4−x)2，由CN+DN=CD=2，即可得出结果；
本题考查了矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、折叠的性质、三角形面积的计算等知识，综合性强、涉及面广，难度大，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
19.【答案】解：(1)原式=2 3+3− 3−3
= 3.
(2)原式=a(a+2)+1−4aa+2⋅a+2a−1
=a2+2a+1−4aa−1
=a2−2a+1a−1
=(a−1)2a−1
=a−1.
【解析】(1)根据二次根式的性质、绝对值的性质以及负整数指数幂的意义即可求出答案．
(2)根据分式的加减运算以及乘除运算法则即可求出答案．
本题考查二次根式的性质、负整数指数幂的意义、绝对值的性质、分式的加减运算法则以及乘除运算法则，本题属于基础题型．
20.【答案】解：(1)x(x−3)+x=3，
x(x−3)+(x−3)=0，
(x−3)(x+1)=0，
∴x−3=0或x+1=0，
∴x1=3，x2=−1；
(2){6−2x⩾0①x−12−1<2x−43②，
解不等式①，x≤3，
解不等式②，x>−1，
∴不等式组的解集是−1【解析】(1)利用因式分解法求解即可；
(2)分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分确定出不等式组的解集．
本题主要考查了解一元二次方程和解一元一次不等式组，熟练掌握各自的方法和步骤是解题的关键．
21.【答案】证明：(1)在△ABE和△ACD中，
AB=AC,∠BAE=∠CAD,AE=AD,
∴△ABE≌△ACD(SAS)；
(2)由(1)得：△ABE≌△ACD，
∴∠ABE=∠ACD.
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∴∠ABC−∠ABE=∠ACB−∠ACD，
即∠CBF=∠BCF，
∴BF=CF.
【解析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识，熟练掌握等腰三角形的判定与性质，证明△ABE≌△ACD是解题的关键．
(1)由"SAS"证明△ABE≌△ACD即可；
(2)由全等三角形的性质得∠ABE=∠ACD，再由等腰三角形的性质得∠ABC=∠ACB，然后证出∠CBF=∠BCF，即可得出结论．
22.【答案】不可能 随机
【解析】解：(1)“赵医生被选派”是不可能事件，“王医生被选派”是随机事件，
故答案为：不可能，随机；
(2)把王医生、张医生、李医生分别记为：A、B、C，
画树状图如图：
共有6个等可能的结果，“王医生被选派”的结果有4个，
∴“王医生被选派”的概率为46=23.
(1)由随机事件和不可能事件的定义即可得出答案；
(2)画树状图，共有6个等可能的结果，“王医生被选派”的结果有4个，再由概率公式求解即可．
此题考查了用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．掌握概率公式：概率=所求情况数与总情况数之比是解题的关键．
23.【答案】8100.25720人 85%
【解析】解：(1)a=40×0.2=8，b=40−(2+4+8+10+6)=10，c=10÷40=0.25，
故答案为：8、10、0.25；
(2)补全直方图如下：
(3)预计全市优秀人数为120×40×0.15=720(人)，
及格的百分比为0.2+0.25+0.25+0.15=0.85=85%，
故答案为：720人，85%.
(1)根据频率=频数÷总数及频数之和等于总人数求解即可；
(2)根据(1)中所求结果即可补全图形；
(3)总人数乘以样本中优秀对应的频率即可得出其人数，将72分及以上分组的频率相加即可得出其所占百分比．
本题主要考查频数分布直方图及频率分布表的知识，难度不大，解答本题的关键是掌握频率=频数÷总数．
24.【答案】(1)证明：连接OD，
∵∠ACB=90∘，
∴∠A+∠B=90∘，
∵AE=DE，
∴∠A=∠EDA，
∴∠B+∠EDA=90∘，
又∵OB=OD，
∴∠B=∠ODB，
∴∠ODB+∠EDA=90∘，
∴∠ODE=90∘，
∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切线；
(2)解：连接OE，
∵OB=2，OC=1，
∴BC=3，
∵tanA=BCAC=12，
∴AC=6，
设AE=DE=x，则CE=6−x，
∵∠OCE=∠OED=90∘，
∴OC2+CE2=OE2，OD2+DE2=OE2，
∴12+(6−x)2=22+x2，
∴x=114，
∴AE=114.
【解析】(1)连接OD，由直角三角形的性质及等腰三角形的性质证得∠ODE=90∘，则可得出结论；
(2)连接OE，求出AC=6，设AE=DE=x，则CE=6−x，由勾股定理求出x的值，则可得出答案．
本题考查了切线的判定，圆周角定理，勾股定理，等腰三角形的性质，解直角三角形，熟练掌握切线的判定是解此题的关键．
25.【答案】 5
【解析】解：(Ⅰ)AC=12+22=5.
故答案为： 5；
(Ⅱ)如图，①取BC与网格线的交点D，
②连接OD延长OD交⊙O于点E，
③连接AE交BC于点G，
④连接BE，延长AC交BE的延长线于F，
⑤连接FG延长FG交AB于点P，点P即为所求．
(Ⅰ)利用勾股定理求解即可；
(Ⅱ)①取BC与网格线的交点D，②连接OD延长OD交⊙O于点E，③连接AE交BC于点G，④连接BE，延长AC交BE的延长线于F，⑤连接FG延长FG交AB于点P，点P即为所求．
本题考查圆周角定理，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
26.【答案】解：(1)设足球和跳绳的单价分别为x元、y元，
由题意得：12x+10y=140010x+12y=1240，
解得：x=100y=20，
答：足球和跳绳的单价分别为100元、20元；
(2)设购买足球m个，则跳绳有(60−m)个，设总利润为W，
则W=100m+20(60−m)
=80m+1200，
∵60−m≤13m，
解得m≥45，
∵W随m的增大而增大，
∴当m=45时，W取得最小值，
即购买足球45个，跳绳15个时，最省钱．
【解析】(1)设足球和跳绳的单价分别为x元、y元，由题意列出方程组，解方程组解可；
(2)设购买足球m个，则跳绳有(60−m)个，设总利润为W，知W=100m+20(60−m)=80m+1200，结合60−m≤13m得m≥15，依据W随m的增大而增大求解即可．
此题主要考查了二元一次方程组的应用以及一次函数、一元一次不等式的应用等知识，根据题意得出正确的等量关系是解题关键．
27.【答案】解：(1)由点A的坐标知，OA=1，
而OC=3AO=3，
则CO=3，即点C(0,−3)，
则抛物线的表达式为：y=x2+bx−3，
将点A的坐标代入上式得：0=1−b−3，
解得：b=−2，
故抛物线的表达式为：y=x2−2x−3；
(2)①令y=x2−2x−3=0，解得：x=−1或3，即点B(3,0)，
故OB=OC=3，则∠ABC=45∘=∠OCB，
∵∠PBC=90∘，则BP和x轴负半轴的夹角为45∘，
故直线PB的表达式为：y=−(x−3)，
联立y=x2−2x−3和y=−(x−3)并解得：x=−2，
则点P(−2,5)；
②由抛物线的表达式知，点D(1,−4)，
则CD= 2，且CD和y轴负半轴的夹角为45∘，
而∠OCB=45∘，故CD⊥BC，延长DC到M使CM=CD，连接BM，则△BMD为等腰三角形，
则∠CBD=∠CBM，
则∠MBD=2∠CBD=∠PBA，
过点D作DH⊥BM于点H，
则S△BDM=12×MD×BC=12×MB×DH，
由点C、D、B的坐标得：MD=2CD=2 2，BC=3 2，BD= 20=BM，
即2 2×3 2= 20×HD，
则HD=12 20，
则sin∠HBD=HDBD=12 20 20=35，
则tan∠HBD=34=tan∠PBA，
故直线BP的表达式为：y=−34(x−3)，
联立y=x2−2x−3和上式并解得：x=−74y=5716
即点P的坐标为：(−74,5716).
【解析】(1)用待定系数法即可求解；
(2)①证明BP和x轴负半轴的夹角为45∘，得到直线PB的表达式为：y=−(x−3)，进而求解；
②证明△BMD为等腰三角形，求出tan∠HBD=tan∠PBA，得到直线BP的表达式，进而求解．
本题考查二次函数的综合运用，涉及到函数的图象及性质，解直角三角形等，其中(2)，构建等腰三角形BDM是本题解题的关键．
28.【答案】 2
【解析】解：问题探究：
探究一：(1)∵BD是正方形ABCD的对角线，
∴∠ABD=45∘，BD= 2AB，
∵EF⊥AB，
∴∠BEF=90∘，
∴∠BFE=∠ABD=45∘，
∴BE=EF，
∴BF= 2BE，
∴DF=BD−BF= 2AB− 2BE= 2(AB−BE)= 2AE，
∴DFAE= 2，
故答案为： 2；
(2)DF= 2AE，
理由：由(1)知，BF= 2BE，BD= 2AB，
∴BFBE=BDAB= 2，
由旋转知，∠ABE=∠DBF，
∴△ABE∽△DBF，
∴DFAE=BDAB= 2，
∴DF= 2AE；
探究二：
∵四边形ABCD为矩形，
∴AD=BC= 2AB，
∴BD= 3AB，
∵EF⊥AB，
∴EF//AD，
∴△BEF∽△BAD，
∴BEAB=BFBD，
∴BFBE=BDBA= 3，
∵△EBF绕点B顺时针旋转α(0∘<α<90∘)得到△E′BF′，
∴∠ABE′=∠DBF′，BE′=BE，BF′=BF，
∴BF′BE′=BDBA= 3，
∴△ABE′∽△DBF′，
∴DF′AE′=BDAB= 3.
即DF′= 3AE′；
一般规律：
AE与DF的数量关系是：DF= 1+m2AE；
理由：如图，作FM⊥AD，垂足为M.
∵∠A=∠AEF=∠AMF=90∘，
∴四边形AEFM是矩形，
∴FM=AE，
∵AD=BC=mAB，
∴Rt△ABD中，BD= 1+m2AB，
∵MF//AB，
∴△DMF∽△ABD，
∴DFMF=DBAB= 1+m2，
∴DF= 1+m2MF= 1+m2AE.
问题探究
探究一：(1)直接利用等腰直角三角形的性质计算即可得出结论；
(2)先判断出BFBE=BDAB= 2，进而得出△ABE∽△DBF，即可得出结论；
探究二：
先画出图形得到图3，利用勾股定理得到BD= 3AB，再证明△BEF∽△BAD得到BEAB=BFBD，则BFBE=BDBA= 3，接着利用旋转的性质得∠ABE′=∠DBF′，BE′=BE，BF′=BF，所以BF′BE′=BDBA= 3，然后根据相似三角形的判定方法得到△ABE′∽△DBF′，再利用相似的性质可得DF′AE′=BDAB= 3；
一般规律
作FM⊥AD，垂足为M.依据勾股定理可得Rt△ABD中，BD= AB2+AD2= 1+m2AB，再根据△DMF∽△ABD，可得DFMF=DBAB= 1+m2，即可得出DF= 1+m2AE；
本题是相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定和性质，旋转的性质，等腰直角三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，判断出△BCE是等边三角形是解本题的关键．
组别
成绩分组
频数
频率
1
47.5∼59.5
2
0.05
2
59.5∼71.5
4
0.10
3
71.5∼83.5
a
0.20
4
83.5∼95.5
10
0.25
5
95.5∼107.5
b
c
6
107.5∼120
6
0.15
合计
40
1.00