2023年天津市河北区中考一模数学试卷(含答案)

2023年天津市河北区中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  计算的结果等于(    )

A.  B.  C.  D.

2.  计算的值为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  将用科学记数法表示应为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形，下面四个汉字中，可以看作是轴对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  如图是一个由个相同的正方体组成的立体图形，它的左视图是(    )

A.
B.
C.
D.

6.  估计的值在(    )

A. 和之间 B. 和之间 C. 和之间 D. 和之间

7.  计算的结果为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是(    )

A.  B.  C.  D.

9.  方程的两个根为(    )

A. ， B. ，
C. ， D. ，

10.  如图，的顶点，顶点在第一象限，点在轴上，若，则点的坐标是(    )

A.
B.
C.
D.

11.  如图，等腰直角三角形中，，，将绕点顺时针旋转，得到，连接，过点作交的延长线于点，连接，则下列结论不一定成立的是(    )

A.  B.
C.  D.

12.  已知，抛物线是常数，，经过点，其对称轴为直线，当时，与其对应的函数值，有下列结论：
；
；
方程有两个相等的实数根．
其中，正确结论的个数是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

13.  计算的结果等于______ ．

14.  计算的结果等于______ ．

15.  张背面相同的卡片，正面分别写有不同的从到的一个自然数，现将卡片背面朝上，从中任意抽出一张，正面的数是偶数的概率为______ ．

16.  若一次函数中，随的增大而增大，则的值可以是______ 写出一个即可．

17.  如图，在菱形中，，，将菱形绕点顺时针方向旋转，对应得到菱形，点在上，与交于点，则的长______ ．

18.  如图，在每个小正方形的边长为的网格中，是圆的内接三角形，点在格点上，点，在网格线上，且点是小正方形边的中点．
Ⅰ线段的长度等于______ ；
Ⅱ请用无刻度的直尺，在圆上找一点，使得，并简要说明点是如何找到的不要求证明 ______ ．

三、解答题（本大题共7小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.  本小题分
解不等式组．
请结合解题过程，完成本题的解答．
Ⅰ解不等式，得______ ；
Ⅱ解不等式，得______ ；
Ⅲ把不等式和的解集在数轴上表示出来：

Ⅳ原不等式组的解集为______ ．

20.  本小题分
某中学开展知识竞赛，从名参赛学生的竞赛成绩中随机抽取了若干名学生的比赛成绩，用得到的数据绘制出如下的统计图和图，请根据相关信息，解答下列问题．

Ⅰ抽取的学生人数为______ ；图中的值为______ ；
Ⅱ所抽取学生竞赛成绩数据的平均数、众数和中位数．

21.  本小题分
如图，是的直径，点在上，平分交于点，．
Ⅰ如图，若点是弧的中点，求的大小；
Ⅱ如图，过点作的切线，交的延长线于点，若交于点，，求的长．

22.  本小题分
如图，某高楼顶部有一信号发射塔，在矩形建筑物的，两点处测得该塔顶端的仰角分别为和，矩形建筑物宽度，高度，计算该信号发射塔顶端到地面的高度结果精确到．
参考数据：，，，，，．

23.  本小题分
快递站、药店和客户家依次在同一直线上，快递站距药店、客户家的距离分别为和，快递员小李从快递站出发去往客户家送快递，他先匀速骑行了后，接到该客户电话，又用相同的速度骑行了返回刚才路过的药店帮该客户买药，小李在药店停留了后，继续去往客户家，为了赶时间他加快速度，匀速骑行了到达客户家准时投递，下面的图象反映了这个过程中小李离快递站的距离与离开快递站的时间之间的对应关系．
请解答下列问题：
Ⅰ填表：

Ⅱ填空：
药店到客户家的距离是______ ；
小李从快递站出发时的速度为______ ；
小李从药店取完药到客户家的骑行速度为______ ；
小李离快递站的距离为时，他离开快递站的时间为______ ；
Ⅲ当时，请直接写出关于的函数解析式．

24.  本小题分
将一个直角三角形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点，，以点为中心顺时针旋转，得到，点，的对应点分别是，，记旋转角为．
Ⅰ如图，当点落在边上时，求点的坐标；
Ⅱ如图，连接，，点，分别是线段，的中点，连接，，，若线段的长为，试用含的式子表示线段的长度，并写出的取值范围；
Ⅲ在Ⅱ的条件下，若的面积是，当时，求的取值范围直接写出结果即可．
 

25.  本小题分
已知抛物线是常数的顶点为，经过点．
Ⅰ当时，求抛物线的顶点坐标；
Ⅱ若将该抛物线向右平移个单位后的顶点坐标为，求的最大值；
Ⅲ若抛物线的对称轴为直线，，为抛物线对称轴上的两个动点在上方，，，连接，，当取得最小值时，将抛物线沿对称轴向上平移后所得的新抛物线经过点，求新抛物线的函数解析式．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了有理数的除法，解决本题的关键是熟记有理数的除法．
根据有理数的除法，即可解答．
【解答】
解：，
故选：．  

2.【答案】 

【解析】解：原式
．
故选：．
直接把代入进行计算即可．
本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

4.【答案】 

【解析】解：汉字“绿”、“水”、“青”、“山”四个字中，只有“山”沿中间的竖线折叠，直线两旁的部分能完全重合，则“山”是轴对称图形，
故选：．
根据轴对称图形的概念求解．
本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
 

5.【答案】 

【解析】解：从左边看有两列，从左到右第一列是两个正方形，第二列底层是一个正方形．
故选：．
找到从几何体的左边看所得到的图形即可．
此题主要考查了简单组合体的三视图，注意所有的看到的棱都应表现在三视图中．
 

6.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查估算无理数的大小，熟练掌握算术平方根定义是解本题的关键．
估算得出的范围即可．
【解答】
解：，
，
则的值在和之间，
故选：．  

7.【答案】 

【解析】解：原式
．
故选：．
利用分式的符号法则，把减式的分母变为，先加减分式再把分式化简即可．
本题考查了同分母分式的加减法，利用分式的符号法则把被减数和减数的分母统一，是解决本题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：反比例函数中，，
函数图象的两个分支分别位于一、三象限，且在每一象限内，随的增大而减小，
，
、两点在第一象限，点在第三象限，
，
故选：．
先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再根据反比例函数的性质即可得出结论．
本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：，
，
或，
所以，．
故选：．
利用因式分解法把方程转化为或，然后解两个一次方程即可．
本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
 

10.【答案】 

【解析】解：过作轴于点，
，，，即，
，
由勾股定理得：，
点的坐标为．
故选：．
根据等腰三角形的性质求出，根据勾股定理求出，根据坐标与图形性质写出点的坐标．
本题考查的是等腰三角形的性质、坐标与图形性质，掌握等腰三角形的三线合一是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：将绕点顺时针旋转，得到，
，
，故A正确，不符合题意；
，
，
，
，故C正确，不符合题意；
将绕点顺时针旋转，得到，
，
，．
，且．
，即，
，
是等腰直角三角形，
，故D正确，不符合题意，
由已知不能推出，故B错误，符合题意．
故选：．
由将绕点顺时针旋转得到，得，即知，可判断选项A；根据，得，
可得，可判断选项C；根据绕点顺时针旋转得到，得，可得，，从而可得，即有，是等腰直角三角形，知，可判断选项D，由已知不能推出，可判断选项B．
本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质和三角形内角和定理，能灵活运用这些知识是解题关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：抛物线经过点，其对称轴为直线，当时，与其对应的函数值，
抛物线开口向下，
，
，
，
，
，
，
，
故正确；
抛物线对称轴为直线，当时，与其对应的函数值，
当时，与其对应的函数值，
，
，
，，
，
故错误；
抛物线开口向下，对称轴为直线，
函数有最大值为，
顶点为，
直线与抛物线有一个交点，
关于的方程有两个相等的实数根，
故正确．
故选：．
由已知条件可得，，，即可判断；由抛物线的对称性得出，即可得出，从而得出，即可判断；根据函数与方程的关系，即可判断．
本题考查二次函数图象与系数的关系，抛物线轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
利用同底数幂的乘法运算法则计算得出答案．
此题主要考查了同底数幂的乘法运算，正确掌握运算法则是解题关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：


．
故答案为：．
利用平方差公式进行运算即可．
本题主要考查二次根式的混合运算，平方差公式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

15.【答案】 

【解析】解：到的自然数中偶数有，，，一共个，
从中任意抽出一张，正面的数是偶数的概率为，
故答案为：．
根据概率计算公式进行求解即可．
本题主要考查了简单的概率计算，熟知概率计算公式是解题的关键．
 

16.【答案】答案不唯一 

【解析】解：一次函数中，随的增大而增大，
，
．
可以取．
故答案为：答案不唯一．
根据一次函数的性质得，然后在此范围内取一个的值即可．
本题考查了一次函数与系数的关系：由于与轴交于，当时，在轴的正半轴上，直线与轴交于正半轴；当时，在轴的负半轴，直线与轴交于负半轴．，的图象在一、二、三象限；，的图象在一、三、四象限；，的图象在一、二、四象限；，的图象在二、三、四象限．
 

17.【答案】 

【解析】解：在菱形中，，
，
，
将菱形绕点顺时针方向旋转，
，，，
，
，
，
，
，
故答案为：．
根据菱形的性质可得的长，再说明，利用，即可解决问题．
本题主要考查了菱形的性质，旋转的性质，特殊角的三角函数值等知识，说明是解题的关键．
 

18.【答案】  先把绕点顺时针旋转得到，点为小正方形的中心，延长交的外接圆于点 

【解析】解：Ⅰ取格点，如图，
在中，
，，
；
故答案为：；
如图，先把绕点顺时针旋转得到，利用网格特点可确定点为小正方形的中心，延长交的外接圆于点，
则点为所作．

故答案为：先把绕点顺时针旋转得到，点为小正方形的中心，延长交的外接圆于点，
则点为所作．
Ⅰ取格点，如图，然后利用勾股定理可计算的长；
Ⅱ如图，先把绕点顺时针旋转得到，点为小正方形的中心，延长交的外接圆于点，则，根据圆周角定理得到，所以．
本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了圆周角定理和勾股定理．
 

19.【答案】，     

【解析】解：，
解不等式，
得，
解不等式，
得，
把不等式和的解集在数轴上表示出来：

故原不等式组的解集为．
故答案为：，，．
根据解一元一次不等式组的方法，可以解答本题．
本题考查了解一元一次不等式组、在数轴上表示不等式组的解集，掌握解一元一次不等式组的方法是关键．
 

20.【答案】   

【解析】解：Ⅰ由题意得，样本容量为人，
，
，
故答案为：，；
Ⅱ，
在这组数据中，出现了次，次数最多，
众数是，
将这组数据从小到大依次排列，处于最中间的两个数都是，
中位数是．
Ⅰ根据扇形统计图和条形统计图中分的数据，可以求得本次接受调查的学生人数，即可得的值；
Ⅱ根据条形统计图中的数据，可以得到这个样本数据平均数、众数、中位数．
本题考查了条形统计图、扇形统计图、中位数以及众数，能对图表信息进行具体分析并求出参加调查的学生人数是解题关键．
 

21.【答案】解：Ⅰ是的直径，
，
平分交于点，
，
点是弧的中点，
，
，
故的大小为；
Ⅱ连接，

是的直径，
，
平分交于点，
，
，
，
是的切线，
，
，

四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故AF的长为． 

【解析】Ⅰ根据圆周角定理得到，根据角平分线的定义得到，根据圆周角定理即可得到结论；
Ⅱ连接，根据圆周角定理得到，根据角平分线的定义得到，推出四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质得到，根据直角三角形的性质即可得到结论．
本题考查了切线的性质，平行四边形的判定和性质，圆周角定理，角平分线的定义，正确地作出辅助线是解题的关键．
 

22.【答案】解：延长交于点，

由题意得：，，，
设，
在中，，
，
，
，
，
在中，，
，
解得：，
经检验：是原方程的根，
，
信号发射塔顶端到地面的高度约为． 

【解析】延长交于点，根据题意可得：，，，然后设，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义列出关于的方程，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

23.【答案】      或或 

【解析】解：Ⅰ由图象知，当小李离开快递站匀速骑行了，骑行了，
速度为：，
当时，小李离快递站的距离为；
当时，小李在药店买药，
小李离快递站的距离为；
当时，小李到达客户家，
小李离快递站的距离为；
故答案为：；；；
Ⅱ由图象知，药店到客户家的距离是；
由Ⅰ知，小李从快递站出发时的速度为；
小李从药店取完药到客户家的骑行速度为；
小李第一次离快递站时，所需时间为；
小李第二次离快递站时，所需时间为；
小李第二次离快递站时，所需时间，
故答案为：；；；或或；
Ⅲ当时，设关于的函数解析式为，
则，
解得，
；
当时，；
当时，设关于的函数解析式为，
则，
解得，
；
综上所述，关于的函数解析式为．
Ⅰ由图象可求出小李在分钟之前的速度，从而可以求出时小李离快递站的距离，然后从图象中直接得出，时的值；
Ⅱ根据速度路程时间即可得出结论；
由Ⅰ可得结论；
根据速度路程时间即可得出结论；
根据图象分别求出小李离快递站的距离为时的时间；
Ⅲ分段由待定系数法求函数解析式．
本题考查一次函数的应用，关键是读取图形中的信息，逐一讨论．
 

24.【答案】解：Ⅰ如图中，过点作于点．

，，
，，，
，
，
，
是等边三角形，
，
，，
；
Ⅱ由旋转的性质可知，
是的中点，
，
；
Ⅲ如图中，

，，，，
，，，，
，
，
，
∽，
，
，
，
，
，
，
当时，的值最大，最大值为，
当时，的值最小，最小值为，
． 

【解析】Ⅰ如图中，过点作于点证明是等边三角形，可得结论；
Ⅱ利用等腰三角形的性质，勾股定理求解，可得结论；
Ⅲ首先证明是特殊直角三角形，推出，判断出的最大值，最小值，可得结论．
本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的判定和性质，解直角三角形，旋转变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
 

25.【答案】解：把代入得：，
，
抛物线解析式为，
，
抛物线的顶点坐标为；
将抛物线向右平移个单位得新抛物线，
平移后抛物线顶点坐标为，
，，
，
，
当时，取大值，最大值为，
的最大值是；
抛物线的对称轴为直线，
，
解得，
抛物线解析式为，
抛物线顶点是，
，
取得最小值即是取最小值，
将向下平移一个单位得，连接，如图：

，，
四边形是平行四边形，
，
，
当，，共线时，取最小值，即最小，如图：

此时，，
直线解析式为，
在中，令得，
，
将抛物线沿对称轴向上平移后所得的新抛物线经过点，原抛物线顶点为，
新抛物线顶点为，
，
新抛物线的函数解析式为． 

【解析】由抛物线经过点，得抛物线解析式为，即可得抛物线的顶点坐标为；
将抛物线向右平移个单位得新抛物线，根据平移后抛物线顶点坐标为，即可得，，故，根据二次函数性质可得答案；
由抛物线的对称轴为直线，可得抛物线顶点是，又，知取得最小值即是取最小值，将向下平移一个单位得，连接，可知四边形是平行四边形，得，从而，故当，，共线时，取最小值，即最小，由，，得直线解析式为，令得，即得新抛物线顶点为，从而得到答案．
本题考查二次函数的综合应用，涉及顶点系数法，最短路径，平移变换等知识，解题的关键是求出取得最小值时的坐标．