2021年天津市河北区中考一模数学试卷

这是一份2021年天津市河北区中考一模数学试卷，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共12小题；共60分）
1. 计算 −23 的结果是
A. 8B. 6C. −8D. −6

2. 计算 2sin60∘ 的值为
A. 3B. 32C. 1D. 12

3. 截止北京时间 2021 年 3 月 5 日，中国电影《你好，李焕英》票房收入已经突破 48 亿元．将 4800000000 用科学记数法表示应为
A. 0.48×1010B. 4.8×109C. 4.8×108D. 48×108

4. 下列数学符号中，不是中心对称图形的是
A. ∽B. =C. ∥D. >

5. 如图，几何体的左视图是
A. B.
C. D.

6. 估计 23 的值在
A. 1 和 2 之间B. 2 和 3 之间C. 3 和 4 之间D. 4 和 5 之间

7. 方程组 x−y=1,2x+y=5 的解是
A. x=2,y=1B. x=−1,y=2C. x=−2,y=−1D. x=2,y=−1

8. 如图，在平面直角坐标系中，菱形 ABCD 的顶点 A 在 y 轴上，已知 B−3,0，C2,0，则点 D 的坐标为
A. 4,5B. 5,4C. 5,3D. 4,3

9. 化简 a2a−b−b2a−b 的结果是
A. a2−b2B. 1C. a−bD. a+b

10. 若两个点 x1,−2，x2,4 均在反比例函数 y=k−4x 的图象上，且 x1>x2，则 k 的值可以是
A. 2B. 4C. 5D. 6

11. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90∘，AC=5，BC=8，点 D 是边 BC 的中点，点 E 是边 AB 上的任意一点（点 E 不与点 B 重合），沿 DE 翻折 △DBE 使点 B 落在点 F 处，连接 AF，则线段 AF 长的最小值是
A. 2B. 41−4C. 3D. 313−4

12. 已知抛物线 y=ax2+bx+c（a，b，c 为常数，且 a≠0）的图象如图所示，有下列结论：
① b>a；
②若 −1③ 3∣a∣+∣c∣<2∣b∣．
其中，正确结论的个数是
A. 0B. 1C. 2D. 3

二、填空题（共6小题；共30分）
13. 计算 x6⋅x2 的结果是 ．

14. 计算：23+323−3= ．

15. 从一副没有“大小王”的扑克牌中随机抽取一张，点数为“5”的概率是 ．

16. 将直线 y=−2x 先向右平移 1 个单位，再向上平移 2 个单位得到的直线解析式是 ．

17. 已知：如图，在正方形 ABCD 外取一点 E，连接 AE，BE，DE．过点 A 作 AE 的垂线 AP 交 DE 于点 P．若 AE=AP=1，PB=6，则 PD 的长为____________．

18. 如图 1，将 △ABC 放在每个小正方形的边长为 1 的网格中，点 A，B，C 均落在格点上．
（Ⅰ）线段 AB 的长为 ；
（Ⅱ）点 P 是线段 AC 上的动点．当 AP+5PB 最短时，请你在图 2 所示的网格中，用无刻度的直尺画出点 P 的位置（保留画图痕迹），并简要说明画图的方法（不要求证明） ．

三、解答题（共7小题；共91分）
19. 解不等式组 x+3>2, ⋯⋯①2x+1≤5. ⋯⋯②
请结合解题过程，完成本题的解答．
（Ⅰ）解不等式①，得 ；
（Ⅱ）解不等式②，得 ；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
（Ⅳ）原不等式组的解集为 ．

20. 某校组织学生参加“希望工程”捐书活动．为了解学生所捐书本数情况，随机调查了该校的部分学生，根据调查结果，绘制了如下的统计图①和图②．请根据相关信息，解答下列问题：
（1）本次接受调查的学生人数为 ，图①中 m 的值为 ；
（2）求统计的这组学生所捐书本数据的平均数、众数和中位数；
（3）根据统计的这组学生所捐书本数的样本数据，若该校共有 1200 名学生，估计该校所捐书本数不低于 3 本的学生人数.

21. 已知点 A，B，C 是 ⊙O 上的三个点，∠AOB=120∘．
（1）如图①，若 AC=BC，求 ∠C 和 ∠CAO 的大小；
（2）如图②，过点 C 作 ⊙O 的切线，交 BA 的延长线于点 D，若 AC=AD，求 ∠CAO 的大小．

22. 小明测量一古塔的高度．首先，小明在古塔前方 C 处测得塔顶端 A 点的仰角为 22∘，然后，小明往古塔方向前进 30 米至 E 处，测得塔顶端 A 点的仰角为 31∘，已知，小明的眼睛距离地面的高度 CD=EF=1.7 m．已知点 B，E，C 在一条直线上，AB⊥BC，EF⊥BC，CD⊥BC，测量示意图如图所示，请帮小明求出该古塔的高度 AB（结果取整数）．
（参考数据：sin22∘≈0.37，cs22∘≈0.93，tan22∘≈0.40，sin31∘≈0.52，cs31∘≈0.86，tan31∘≈0.60）

23. 已知小明的家、体育场、文化宫在同一直线上．下面的图象反映的过程是：小明早上从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又走到文化宫去看书画展览，然后散步回家．图中 x 表示时间（单位是分钟），y 表示到小明家的距离（单位是千米）．请根据相关信息，解答下列问题：
（1）填表：
小明离开家的时间/min510153045小明离家的距离/km131
（2）填空：
（ⅰ）小明在文化宫停留了 min；
（ⅱ）小明从家到体育场的速度为 km/min；
（ⅲ）小明从文化宫回家的平均速度为 km/min；
（ⅳ）当小明距家的距离为 0.6 km 时，他离开家的时间为 min．
（3）当 0≤x≤45 时，请直接写出 y 关于 x 的函数解析式．

24. 将两个等腰直角三角形纸片 ABO 和 CDO 放置在平面直角坐标系中，点 O0,0 点 A6,0，点 B0,6，点 C2,0，点 D0,2．将 △COD 绕点 O 顺时针旋转，得 △CʹODʹ，点 C 旋转后的对应点为 Cʹ，点 D 旋转后的对应点为 Dʹ，记旋转角为 α．
（1）如图①，若 α=45∘ 时，求点 Dʹ 的坐标；
（2）如图②，若 α=60∘ 时，连接 BDʹ，求 BDʹ 的长；
（3）连接 BDʹ，ACʹ，设 BDʹ，ACʹ 所在的直线相交于点 P，求 △ABP 面积的最小值（直接写出答案）．

25. 已知，抛物线 C:y=ax2+bx+c（a，b，c 为常数，a≠0）的顶点为 M，与 y 轴交于点 C．
（1）当 a=−1 时．
①抛物线 C 经过点 C0,3 和 4,−5，求抛物线 C 的顶点坐标；
②抛物线 C1 与抛物线 C 关于直线 x=3 对称，若点 1,0，点 2,5 在抛物线 C1 上，求抛物线 C 的解析式；
（2）开口向下的抛物线 C 经过点 A−2,0，C0,23，对称轴在 y 轴右侧，交 x 轴于点 Q，点 P 为 y 轴上一动点，当 PQ+12CP 的最小值为 332 时，求 a，b 的值．
答案
第一部分
1. C
2. A
3. B
4. D
5. C
6. C
7. A
8. B
9. D
10. A
11. B
12. D
第二部分
13. x8
14. 3
15. 113
16. y=−2x+4
17. 2
18. 17，画法：取格点 D 并连接 AD 交网格于点 E，连接 BE 交 AC 于点 P，点 P 即为所求．
第三部分
19. x>−1；
x≤2；
−120. （1） 50；16
（2） 观察条形统计图，
∵x=1×5+2×8+3×12+4×15+5×105+8+12+15+10=3.34 .
∴ 这组数据的平均数为 3.34．
∵ 在这组数据中，4 出现 15 次，出现的次数最多，
∴ 这组数据的众数为 4．
∵ 将这组数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间位置的两个数是 3 和 4，
有 3+42=3.5，因此这组数据的中位数是 3.5．
（3） ∵ 该校所捐书本数不低于 3 本的学生人数约占 24%+30%+20%=74%，
∴1200×74%=888，
答：该校所捐书本数不低于 3 本的学生人数约有 888 人．
21. （1） ∵∠AOB=120∘，
∴∠ACB=12∠AOB=60∘．
如图①，连接 OC，
∵AC=BC，
∴∠AOC=∠BOC．
∵∠AOC+∠BOC+∠AOB=360∘，
∴∠AOC=12×360∘−120∘=120∘．
∵OA=OC，
∴∠CAO=∠ACO=12×180∘−120∘=30∘．
（2） 如图②，连接 OC，
设 ∠ACD=x，
∵AC=AD，
∴∠ADC=∠ACD=x，
∴∠CAB=2x．
∵∠AOB=120∘，OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA=12×180∘−∠AOB=30∘．
∵CD 是 ⊙O 的切线，
∴∠OCD=90∘．
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠OAC．
∴90∘−x=2x−30∘，
解得 x=40∘．
∴∠CAB=80∘，
∴∠CAO=∠CAB−∠OAB=50∘．
22. 如图，过 D 作 DM⊥AB 于 M，
根据题意，∠ADF=22∘，∠AFM=31∘，CD=EF=1.7，CE=30．
∵CD=EF=1.7，
∴ 点 F 在 DM 上，MB=1.7，MF=BE，FD=CE=30，
在 Rt△AMD 中，tan∠ADM=AMDM，
∴tan22∘=AMMF+30≈0.40，
∴MF=AM0.40−30，
在 Rt△AMF 中，tan∠AFM=AMMF，
∴tan31∘=AMMF≈0.60，
∴MF=AM0.60，
∴AM0.40−30=AM0.60，
∴AM=36，
∴AB=AM+MB=37.7≈38．
答：古塔的高度 AB 约为 38 m．
23. （1） 23；1；0.5
（2） 25；115；160；9 或 42
（3） y=115x,0≤x≤151,1524. （1） 如图，设 DʹCʹ 交 x 轴于点 H，
∠COD=90∘，OC=OD=2，
由旋转的性质可得，
∠DODʹ=∠CODʹ=∠ODʹH=45∘，OD=ODʹ=2，
∵ DʹCʹ 交 x 轴于 H，
∴ ∠OHDʹ=90∘，
∴ DʹH=OH=ODʹ⋅sin∠DʹOH=2×22=2，
∴ Dʹ2,2．
（2） 如图，过点 Dʹ 做 DʹE⊥OB 于点 E，
由旋转的性质可得 ∠BODʹ=60∘，OD=ODʹ=2，
∴ EDʹ=ODʹ⋅sin∠DʹOE=2×32=3，
∴ OE=ODʹ⋅cs∠DʹOE=2×12=1，
∴ BE=OB−OE=6−1=5，
由勾股定理得：
∴ BDʹ=BE2+DʹE2=27．
（3） S△ABP 的最小值为 14．
25. （1） ①当 a=−1 时，抛物线的解析式为 y=−x2+bx+c，
将点 0,3，4,−5 代入 y=−x2+bx+c，
∴y=−x2+2x+3=−x−12+4,
∴ 抛物线的顶点坐标为 1,4．
②
y=−x2+bx+c=−x2−bx+b24−b24+c=−x−b22+b24+c,
∴ 顶点 M 的坐标为 b2,b24+c，
∵ 抛物线 C1 与抛物线 C 关于直线 x=3 对称，
∴ 抛物线 C1 的顶点与抛物线 C 的顶点也关于直线 x=3 对称，记 C1 顶点为 Mʹ，
∴xM+xMʹ2=3，
将 xM=b2 代入上式，得 xMʹ=6−b2，即 Mʹ6−b2,b24+c，
抛物线 C1 的解析式为 y=−x+b2−62+b24+c，
∵ 点 A1,0，点 B2,5 在抛物线 C1 上，
∴−1+b2−62+b24+c=0,−2+b2−62+b24+c=5,
解得 b=4,c=5.
∴ 抛物线的解析式为 y=−x2+4x+5；
（2） 如图，连接 AC，过点 Q 做 QE⊥CA，分别交 CA，OC 于点 E，P，
∵ 抛物线开口向下，
∴a<0，
∵ 对称轴位于 y 轴右侧，
∴b>0，
∵ 抛物线经过点 A−2,0，C0,23，
∴OA=2，OC=23，
由 tan∠ACO=OAOC=223=33，
得 ∠ACO=30∘，∠CAO=60∘．
∴EP=12CP，
∵EQ=PQ+EP，
∴EQ=PQ+12CP．
根据垂线段最短的性质，可知 EQ 的长为 PQ+12CP 的最小值，
即 EQ=332．
∵ 点 Q 为对称轴与 x 轴的交点，
∴Q−b2a,0，OQ=−b2a．
∴AQ=OA+OQ=2−b2a．
∵sin∠EAO=EQAQ，
∴EQ=32⋅2−b2a，
∴322−b2a=332，
∴b=−2a．
将 A−2,0，C0,23，b=−2a 代入抛物线解析式得
4a−2b+c=0,c=23,
∴a=−34,b=32.