2020年天津市河北区中考一模数学试卷

这是一份2020年天津市河北区中考一模数学试卷，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共12小题；共60分）
1. 计算 −42 的结果等于
A. 16B. 8C. −16D. −4

2. 计算 2cs45∘ 的值等于
A. 24B. 22C. 2D. 22

3. 3 月 7 日中国政府向世界卫生组织捐款 20000000 美元，支持世卫组织开展抗击新冠肺炎疫情国际合作，帮助发展中国家提升应对疫情的能力，公共卫生体系建设．20000000 用科学记数法表示为
A. 2×107B. 2×103C. 2×106D. 2000×104

4. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是
A. B.
C. D.

5. 如图，是由 5 个相同的正方体组成的立体图形，从上面观察这个立体图形，得到的平面图形是
A. B.
C. D.

6. 估计 2+13 的值在
A. 2 和 3 之间B. 4 和 5 之间C. 5 和 6 之间D. 6 和 7 之间

7. 化简 1a−1−2a2−1 的结果是
A. aa−1B. aa+1C. 1a+1D. a+1a

8. 二元一次方程组 x−2y=3,x+y=6 的解是
A. x=1,y=5B. x=3,y=0C. x=4,y=2D. x=5,y=1

9. 如图，四边形 ABCD 是菱形，对角线 AC=8，DB=6，DH⊥AB 于点 H，则 DH 的长为
A. 4.8B. 5C. 9.6D. 10

10. 若点 Ax1,1，Bx2,−2，Cx3,−3 在反比例函数 y=−k2+1x 的图象上，则 x1，x2，x3 的大小关系是
A. x1
11. 如图，正方形纸片 ABCD 的边长为 15，E，F 分别是 CD，AD 边上的点，连接 AE，把正方形纸片沿 BF 折叠，使点 A 落在 AE 上的一点 G，若 CE=7，则 GE 的长为
A. 3B. 4917C. 4D. 3715

12. 已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴交于点 −2,0，x1,0，且 1① a② 4a+2b+c>0；
③ 2a+c>0；
④ 2a−b+1>0．
其中正确结论的个数是
A. 4 个B. 3 个C. 2 个D. 1 个

二、填空题（共5小题；共25分）
13. 计算 8a6÷2a3= ．

14. 化简 3+223−22= ．

15. 小敏微信支付密码是六位数（每一位可能是 0∼9），由于她忘记了密码的末位数字，则小敏能一次支付成功的概率是 ．

16. 将直线 y=3x 先向下平移 2 个单位，再向右平移 3 个单位得到直线 ．

17. 如图，△ABC 是等边三角形，AD=13AB，点 E，F 分别为边 AC，BC 上的动点，当 △DEF 的周长最小时，∠FDE 的度数是 ．

三、解答题（共8小题；共104分）
18. 如图，在每个小正方形的边长为 1 的网格中，点 A，B，C 均在格点上．
（1）△ABC 的面积为 ；
（2）点 P 是 △ABC 内切圆与 AB 的切点，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺画出点 P，并简要说明点 P 的位置是如何找到的 （不要求证明）．

19. 解不等式组 x+3>0, ⋯⋯①3x−1≤2x. ⋯⋯②
请结合题意填空，完成本题的解答．
（Ⅰ）解不等式 ①，得 ；
（Ⅱ）解不等式 ②，得 ；
（Ⅲ）把不等式 ① 和 ② 的解集在数轴上表示出来：
（Ⅳ）原不等式组的解集为 ．

20. 某校共有学生 1200 名，为了解学生的视力情况，随机调查了部分学生，根据他们的视力，绘制出如下的统计图①和图②．请根据相关信息，解答下列问题：
（1）图①中的 m 的值为 ；
（2）求统计的这组数据的平均数、众数和中位数；
（3）若视力在 5.0（含 5.0）以上均为正常，根据样本数据，估计该校视力达到正常的学生人数．

21. 四边形 ABCD 内接于 ⊙O，AC 为其中一条对角线．
（1）如图①，若 ∠BAD=70∘，BC=CD，求 ∠CAD 的大小；
（2）如图②，若 AD 经过圆心 O，连接 OC，AB=BC，OC∥AB，求 ∠ACO 的大小．

22. 如图，小李欲测量一棵古树 MN 的高度．小李在古树前方 B 点处测得树顶 M 处的仰角为 35∘，他径直走了 8 m 后到达点 A 处，测得树顶 M 的仰角为 23∘，已知小李的眼睛距离地面的高度 BD=AC=1.8 m，求古树的高度 MN 和 BN 的长（结果取整数）．
参考数据：tan35∘≈0.70，tan23∘≈0.42．

23. 某商场为庆祝开业，特在开业当天推出了两种购物方案：
方案一：非会员购物所有商品价格可享九折优惠；
方案二：若额外缴纳 50 元会费成为该商场的会员，则所有商品价格可享八折优惠．
设王女士在该商场开业当天的累计购物金额为 x 元．
（1）根据题意，填写下表：
累计购物金额元350450550650⋯方案一的付款金额元315405⋯方案二的付款金额元330410⋯
（2）分别写出王女士按方案一、方案二的付款金额 y1 元、 y2 元与累计购物金额 x 元（x>0）之间的函数关系式；
（3）当 x>200 时，王女士选择哪种购物方案更合算?并说明理由．

24. 在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点 A0,4，B3,0．
（1）把图中的 △OAB 绕点 O 逆时针旋转得到 △OAʹBʹ，旋转角为 α，且 0∘<α<180∘．
（ⅰ）如图（1），在旋转过程中，当 α=60∘ 时，求点 Bʹ 的坐标．
（ⅱ）如图（2），当点 O 到 AAʹ 的距离等于 AO 的一半时，求 α 的度数．
（2）点 D 是 OA 的中点，将 OD 绕着点 O 逆时针旋转，在旋转过程中，点 D 的对应点为 M，连接 AM，BM．S 为 △ABM 的面积，求 S 的取值范围（直接写出结果即可）．

25. 在平面直角坐标系中，抛物线 y=ax2−3ax−1 与 x 轴交于 A，B 两点（点 A 在点 B 的右侧），与 y 轴交于点 C．
（1）当点 1,−32 在二次函数 y=ax2−3ax−1 上时．
（ⅰ）求二次函数解析式；
（ⅱ）P 为第四象限内的抛物线上的一动点，连接 PA，PC，若 △PAC 的面积最大时，求点 P 的坐标．
（2）点 M，N 的坐标分别为 1,2，4,2，连接 MN．直接写出线段 MN 与二次函数 y=ax2−3ax−1 的图象只有一个交点时，a 的取值范围．
答案
第一部分
1. A
2. C
3. A
4. D
5. D
6. C
7. C
8. D
9. A
10. B
11. B
12. B
第二部分
13. 4a3
14. 1
15. 110
16. y=3x−11
17. 60∘
第三部分
18. （1） 12
（2） 方法一：如图，取格点 E，F，G，H，分别连接 EF，GH 交于点 D，取格点 O，连接 OD 交 AB 于 P，点 P 即为所求．
【解析】方法二：如图，取格点 M，N，连接 MN 交 AB 于 P，点 P 即为所求．
19. x>−3；x≤1；
−320. （1） 28
（2） ∵x=4.6×5+4.8×14+5.0×16+5.1×10+5.2×55+14+16+10+5=4.944，
∴ 这组数据的平均数为 4.944．
∵ 在这组数据中，5.0 出现了 16 次，出现的次数最多，
∴ 这组数据的众数为 5.0．
∵ 将这组数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数都是 5.0，
∴ 这组数据的中位数为 5.0．
（3） ∵ 在统计的这组学生的视力情况的样本数据中，视力达到 5.0（含 5.0）的学生人数约占 62%，
∴ 估计该校 1200 名学生中，视力达到 5.0（含 5.0）的学生人数约占 62%．
1200×62%=744．
答：估计该校视力达到正常的学生为 744 人．
21. （1） ∵ 四边形 ABCD 内接于 ⊙O，BC=CD，
∴BC=CD，∠BAC=∠CAD，
∵∠BAD=70∘，
∴∠CAD=∠BAC=35∘．
（2） 连接 BD，如图，
∵AB=BC，
∴∠BAC=∠BCA，
∵OC∥AB，
∴∠BAC=∠OCA，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∵∠ADB=∠ACB，
∴∠BAC=∠CAO=∠ADB=∠ACO，
∵AD 是 ⊙O 的直径，
∴∠ABD=90∘，
∴∠ADB+∠BAD=90∘，即 3∠ACO=90∘，
∴∠ACO=30∘．
22. 如图，延长 CD 交 MN 于点 E，
则 EN=BD=AC=1.8，CE=AN，CD=AB=8，DE=BN．
设 BN=x，
在 Rt△MDE 中，
∵∠MDE=35∘，
∴ME=x⋅tan35∘．
在 Rt△MCE 中，
∵∠MCE=23∘，
∴ME=x+8⋅tan23∘，
∴x+8⋅tan23∘=x⋅tan35∘，解得 x≈12.0．
∴BN≈12．
∴MN=ME+EN≈12.0×0.7+1.8=10.2≈10．
答：古树的高度 MN 约为 10 m，BN 的长约为 12 m．
23. （1） 495；585；490；570
（2） 根据题意得，y1=0.9xx>0，y2=0.8x+50x>0．
（3） 设 y=y1−y2=0.9x−0.8x+50=0.1x−50，
令 y=0，解得 x=500，
∴ 当 x=500 时，王女士选择方案一和方案二的付款金额一样，
∵0.1>0，
∴y 随 x 增大而增大，
∴ 当 200 ∴ 当 x>500 时，y>0，王女士选择方案二更合算．
24. （1） （ⅰ）将 △AOB 绕点 O 逆时针旋转得到 △AʹOBʹ，过 Bʹ 作 BʹE⊥x 轴于点 E．
∴OB=OBʹ=3，
∵∠BʹOE=60∘，
∴∠OBʹE=30∘，
∴OE=12OBʹ=32，
∵cs∠OBʹE=BʹEOBʹ，
∴BʹE=3×32=332，
∴Bʹ32,332．
（ⅱ）过点 O 作 OF⊥AAʹ 于 F，
∵△AOB 绕点 O 逆时针旋转得到 △AʹOBʹ，
∵OF=12AO，
在 Rt△AOF 中，sin∠OAF=OFAO=12，
∴∠OAF=30∘，
∵OA=OAʹ，
∴∠OAF=∠OAʹF=30∘，
∴∠AOAʹ=120∘，即 α=120∘．
（2） 1≤S≤11．
25. （1） ∵1,−32 在 y=ax2−3ax−1 的图象上，
a−3a−1=−32，解得 a=14，
∴ 抛物线的解析式为 y=14x2−34x−1．
（ⅱ）∵y=14x2−34x−1，当 x=0 时，y=−1，
∴C0,−1．
当 y=0 时，14x2−34x−1=0，
x2−3x−4=0，解得 x1=4，x2=−1，
∴B−1,0，A4,0．
设直线 AC 的解析式为 y=kx+bk≠0，
将 A4,0，C0,−1 代入 y=kx+b，
可得 4k+b=0,b=−1, 解得 k=14,b=−1,
∴ 直线 AC 的解析式为 y=14x−1．
过 P 作 PE⊥x 轴，垂足为 E，交 AC 于点 F．
设 Pm,14m2−34m−1，Fm,14m−1．
∴S△PAC=12PF⋅OE+EA=12PF⋅OA=−12m2+2m=−12m−22+2.
∴ 当 △PAC 的面积最大时，点 P 的坐标为 2,−32．
（2） a 的取值范围是 a<−32 或 a=−43 或 a≥34．