2023年天津市河北区中考数学二模试卷（含解析）

2023年天津市河北区中考数学二模试卷

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  计算的结果等于(    )

A.  B.  C.  D.

2.  的值为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  将用科学记数法表示应为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  志愿服务，传递爱心，传递文明，下列志愿服务标志为中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  如图是一个由个相同的正方体组成的立体图形，它的俯视图是(    )

 

A.  B.  C.  D.

6.  估计的值在(    )

A. 和之间 B. 和之间 C. 和之间 D. 和之间

7.  计算的结果是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是(    )

A.  B.  C.  D.

9.  已知一元二次方程有两个实数根，，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

10.  如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴上，且，，则点的坐标为(    )

A.  B.  C.  D.

11.  如图，已知为等腰直角三角形，，将绕点顺时针旋转得到，点，的对应点分别为点，，下列结论中错误的是(    )

A.
B.
C.
D. 是等边三角形

12.  已知抛物线是常数，经过点，，其对称轴在轴右侧，当时，有下列结论：
；
方程有两个不相等的实数根；
；
其中，正确结论的个数是(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

13.  计算的结果等于______ ．

14.  计算的结果等于______ ．

15.  在一个不透明的袋子里装着个黑球、个绿球、个红球，它们除颜色不同外其余都相同，现从袋中任意摸出一个球是红球的概率为______ ．

16.  将函数的图象向右平移个单位后，所得图象的函数表达式为______ ．

17.  如图，在矩形中，，，连接，点在上，，平分， ______ ．

18.  如图，在每个小正方形的边长为的网格中，点，在格点上，点为小正方形边的中点，连接．
Ⅰ的长为______ ．
Ⅱ点为线段上一点，当时，请用无刻度的直尺在网格中画出点，并简要说明点的位置是如何找到的不要求证明 ______ ．

三、解答题（本大题共7小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.  本小题分
解不等式组请结合解题过程，完成本题的解答．
Ⅰ解不等式，得______ ；
Ⅱ解不等式，得______ ；
Ⅲ把不等式和的解集在数轴上表示出来：
Ⅳ原不等式组的解集为______ ．

20.  本小题分
某螺母加工厂为了解工人的日均生产能力，随机调查了一部分工人日均加工螺母的数量根据调查结果，绘制出如下统计图和图．

请根据相关信息，解答下列问题：
Ⅰ本次接受调查的工人人数为______ ；图中的值为______ ．
Ⅱ求所抽取工人日均加工螺母个数数据的平均数、众数和中位数；
Ⅲ若该工厂共有加工螺母的工人人，则日均加工螺母数为个的约有多少人？

21.  本小题分
已知为的直径，为上一点，过点作的切线交的延长线于点，为上一点，连接，，．
Ⅰ如图，若，求的大小；
Ⅱ如图，连接，若，，求的半径．

 

22.  本小题分
小明和小华想测一古塔高度，测量方法如下：如图，从古塔底部点处分别向东、西走到达点，处，他们分别在，两处用高度为的测角仪和测得古塔顶部的仰角分别为和，已知点，，，，，在同一竖直平
面内，古塔底部与点，在同一条直线上，，根据测量提供的数据，求该古塔的高度结果精确到．
参考数据：，，，，，．

23.  本小题分
甲、乙两辆汽车沿同一路线由地出发到相距的地，甲出发不久后因故障停车检修，修好后，甲车按原速度继续向前行驶乙车比甲车晚出发从甲车出发时开始计时，如图是甲、乙两车离开地的距离单位：与甲车行驶时间单位：的函数图象．
请根据相关信息，解答下列问题：
Ⅰ填表：

Ⅱ填空：
乙车比甲车晚出发______ ；
乙车从地到地所用的时长为______ ；
乙车出发______ 时，甲、乙两车相距；
Ⅲ当时，请直接写出甲车离地的距离关于甲车行驶时间的函数解析式．

24.  本小题分
在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点，点，点，是对角线的中点，且交于点．
Ⅰ如图，求点，点的坐标；
Ⅱ将沿轴向右平移得，点，，的对应点分别为，，，设．
如图，与重叠部分的面积为当与重叠部分为三角形时，与相交于点，试用含有的式子表示，并直接写出的取值范围；
若与四边形重叠部分的面积为，当时，求的取值范围直接写出结果即可．

25.  本小题分
已知抛物线为常数，抛物线与轴交于点，点与轴交于点，顶点为．
Ⅰ当时，求该抛物线的顶点坐标；
Ⅱ若点是抛物线在第一象限内的点，有一点，当时，求的值；
Ⅲ在的条件下，连接，点是第一象限内的抛物线上的一动点，过点作于点，连接，当最大时，求的长．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：原式
，
故选：．
根据有理数的加法法则“同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加”知．
本题考查了有理数的加法法则，关键是根据法则“同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加”求解．
 

2.【答案】 

【解析】解：，
故选：．
根据角的正切值，可得答案．
本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：用科学记数法表示应为．
故选：．
把一个大于的数记成的形式，其中是整数数位只有一位的数，是正整数，这种记数法叫做科学记数法，由此即可得到答案．
本题考查科学记数法表示较大的数，关键是掌握用科学记数法表示数的方法．
 

4.【答案】 

【解析】解：不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B.是中心对称图形，故此选项符合题意；
C.不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D.不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
故选：．
根据中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可．
本题主要考查了中心对称图形的定义，解题的关键在于能够熟练掌握中心对称图形的定义．
 

5.【答案】 

【解析】解：如图所示，俯视图为：
．
故选：．
直接利用俯视图即从物体的上面观察得到视图即可．
此题主要考查了简单几何体的三视图，正确掌握观察角度是解题关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：，，而，
，
即，
故选：．
根据算术平方根的定义，估算无理数的大小即可．
本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的定义是正确解答的前提．
 

7.【答案】 

【解析】解：原式．
故选：．
原式利用同分母分式的减法法则计算，约分即可得到结果．
此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：反比例函数，，
函数图象的两个分式分别位于二，四象限，且在每一象限内随的增大而增大，
，
点，位于第二象限，
，
位于第四象限，
，
．
故选：．
先根据反比例函数中判断出函数图象所在的象限及增减性，再根据各点横坐标的特点即可得出结论．
本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：根据根与系数的关系得，，
所以．
故选：．
先根据根与系数的关系得，，然后利用整体代入的方法计算．
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，则，．
 

10.【答案】 

【解析】解：作轴于点，则，
四边形是菱形，，，
，，
，
，
，
，
点的坐标为，
故选：．
作轴于点，由菱形的性质得，，则，可求得，所以，则，于是得到问题的答案．
此题重点考查图形与坐标、菱形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、锐角三角函数与解直角三角形等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：为等腰直角三角形，，
，，
将绕点顺时针旋转得到，
，，，
是等边三角形，是等边三角形，
，，
，
故选：．
由旋转的性质可得，，，可证是等边三角形，是等边三角形，可得，，即可求解．
本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，等边三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：抛抛物线是常数，经过点，，其对称轴在轴右侧，当时，．
，，，
，
，结论正确；
由抛抛物线是常数，经过点，，其对称轴在轴右侧，当时，．
抛物线开口向上，函数的最小值小于，
抛物线与直线有两个交点，
方程有两个不相等的实数根，结论正确；
抛抛物线是常数，经过点，，当时，．
，
，
，
由得，，
，
，
，
，
，
，结论错误．
故选：．
由抛物线经过点，，其对称轴在轴右侧，当时，，即可得出，，，即可判断结论；根据图象上点的坐标特征即可判断结论；由题意可得，即可得到，即，由得，，得出，，解得，即可判断结论．
本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，抛物线与轴的交点、函数与方程的关系，逐一分析三条结论的正误是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：

．
故答案为：．
利用合并同类项法则解答即可．
本题主要考查了合并同类项，合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变．
 

14.【答案】 

【解析】解：

，
故答案为：．
利用完全平方公式进行计算，即可解答．
本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：袋子里装着个黑球、个绿球、个红球
从袋中任意摸出一个球是红球的概率为．
故答案为：．
用红球的个数除以球的总数即可．
此题考查了概率公式，熟知概率所求情况数与总情况数之比是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：由“左加右减”的原则可知，将函数的图象向左平移个单位，所得函数的解析式为，即，
故答案为：．
根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．
本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的原则是解答此题的关键．
 

17.【答案】 

【解析】解：过点作于点，如图，
四边形为矩形，
，，．
，，
，
，
．
，
，
，
．
，平分，
，
为等腰直角三角形，
，
．
故答案为：．
过点作于点，利用矩形的性质和勾股定理求得，利用含角的直角三角形的性质求得，在中，利用含角的直角三角形的性质求得，利用勾股定理求得，利用角平分线的定义和等腰直角三角形的判定与性质求得，则．
本题主要考查了矩形的性质，直角三角形的性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理，角平分线的定义，等腰直角三角形的判定与性质，过点作于点是解题的关键．
 

18.【答案】  先取小正方形边的中点，连接，则，再取小正方形边的中点，连接，然后连接交于点，
则点为所作 

【解析】解：Ⅰ；
故答案为：；
Ⅱ如图，先取小正方形边的中点，连接，则，再取小正方形边的中心点，连接，然后连接交于点，
则点为所作．

故答案为：先取小正方形边的中点，连接，则，再取小正方形边的中心点，连接，然后连接交于点，则点为所作．
Ⅰ利用勾股定理计算的长；
先取小正方形边的中点，连接，则利用网格特点得到，，再取小正方形边的中心，连接，则，，然后连接交于点，所以为等腰直角三角形，则，所以．
本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了勾股定理．
 

19.【答案】     

【解析】解：Ⅰ解不等式，得；
Ⅱ解不等式，得；
Ⅲ把不等式和的解集在数轴上表示出来：

Ⅳ原不等式组的解集为，
故答案为：Ⅰ；
Ⅱ；
Ⅳ．
按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答．
本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．
 

20.【答案】   

【解析】解：Ⅰ人，
，即，
故答案为：，；
Ⅱ所抽取工人日均加工螺母个数数据的平均数为：
这组数据出现次数最多的是，因此众数是；
将这个数据从小到大排列后，处在中间位置的两个数都是，因此中位数是；
答：这组数据的平均数是，中位数是，众数是；
Ⅲ人，
答：日均加工螺母数为个的约有人．
Ⅰ样本中“”的人数是，占调查人数的，可求出调查人数，进而求出“”所占的百分比，确定的值；
Ⅱ根据加权平均数、中位数、众数的意义和计算方法，分别求出结果即可；
Ⅲ求出样本中平均每天加工螺母数为个工人所占的百分比，即可求出答案．
本题考查条形统计图、扇形统计图的意义和制作方法，理解统计图中的数量关系是正确解答的关键．
 

21.【答案】解：与相切于点，
，
，
，
，
，
，
，
等于．
如图，设交于点，
，，
，
垂直平，
，，
，
，，
，
解得，
的半径长是． 

【解析】由切线的性质得，而，则，而，则；
设交于点，由，得，则垂直平，所以，，则，由勾股定理得，得，则的半径长是．
此题重点考查切线的性质、直角三角形的两个锐角互余、等腰三角形的性质、圆周角定理、垂径定理、勾股定理等知识，证明及垂直平是解题的关键．
 

22.【答案】解：设与相交于点，

由题意得：，，
设，则，
在中，，
，
在中，，
，
，
解得：，
，
，
该古塔的高度约为． 

【解析】设与相交于点，根据题意可得：，，然后设，则，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而列出关于的方程，进行计算可求出的长，最后利用线段的和差关系进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
 

23.【答案】          或 

【解析】解：Ⅰ由图象可知，甲车的速度是，
，
当甲车离开地，时，甲车离开地的距离为，
由图象可知，当甲车离开地时，甲车离开地的距离为，
当甲车离开地时，甲车离开地的距离为，
故答案为：，，；
Ⅱ由图象可知，乙车比甲车晚出发，
故答案为：；
乙车从地到地所用时长为，
故答案为：；
设乙车出发，甲、乙两车相距，
乙车的速度为，
当甲车在乙车前面时，
，
解得，
当乙车在甲车前面时，
，
解得，
综上所述，乙车出发或时，两车相距，
故答案为：或；
Ⅲ当时，设甲车离地的距离与的函数关系式为，
代入点，
得，
；
当时，；
当时，设甲车离地的距离与的函数关系式为，
代入点，，
得，
解得，
，
综上所述，当时，；当时，；当时，．
Ⅰ根据路程时间速度，求出甲车的速度，进一步求解即可；
Ⅱ由图象即可确定答案；
由图象即可确定答案；
先求出乙车的速度，再分情况讨论：当甲车在乙车前面时，当乙车在甲车前面时，分别列方程求解即可；
Ⅲ在，，在时，分别用待定系数法求出解析式即可．
本题考查了一次函数的应用，理解图象上各点的含义是解题的关键．
 

24.【答案】解：Ⅰ四边形是矩形，，， ，
，，，
轴，轴，
，
是的中点，
；
作轴于点，则，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
Ⅱ如图，由平移得，点的纵坐标为，
，
，
，
，
，
当点落在上时，点与点重合，则，此时，
，解得；
当点与点重合时，，
．
由平移得，，，
，
，
当点与点重合时，则，解得；
当点与点重合时，则，
当时，如图，设交于点，则，，
，
，，
，
当时，；当时，，
；
当时，如图，设交于点，
，，，
，
，
当时，；当时，，
；
当时，如图，，，
，
当时，；当时，；
；
当时，由得，
当时，；当时，，
，
，，
的最小值和最大值分别是和，
的取值范围． 

【解析】Ⅰ由矩形的性质得，，则，所以，作轴于点，则，，由，得，而，则，所以，，则；
Ⅱ由平移得，则点的纵坐标为，由，得，则，当点落在上时，则，所以；当点与点重合时，，所以；
分四种情况讨论，一是当时，设交于点，则，，，求得，此时；二是当时，设交于点，则，，求得，此时，三是当时，，，求得，此时；四是当时，由得，此时，可知的最小值和最大值分别是和，则的取值范围．
此题重点考查矩形的性质、平移的性质、二次函数的性质、动点问题的求解、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题．
 

25.【答案】解：Ⅰ将点的坐标代入抛物线表达式得：，
则，
则抛物线的表达式为：，
即顶点坐标为：；

Ⅱ由Ⅰ知，，
当时，，即点，
，
则，
解得：不合题意的值已舍去；

Ⅲ过点作轴交于点，

由抛物线的表达式知，点、的坐标分别为：、，
则直线的表达式为：，，
则，
设点，则点，
则，
，故有最大值，即有最大值，此时，，
则点，
由点的坐标知，． 

【解析】Ⅰ由待定系数法即可求解；
Ⅱ当时，，即点，由，则，即可求解；
Ⅲ证明，得到点，即可求解．
本题为二次函数综合题，涉及到一次函数的基本性质、待定系数法求函数表达式、解直角三角形等，有一定的综合性，难度适中．