江苏省南京航空航天大学附属高级中学2021-2022学年高一下学期期中数学试卷

南京市南航附中2021－2022学年度第二学期期中考试试卷

高一数学

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请把答案填涂在答题卡相应的位置上．

1．复数i(2－i)的虚部为

A．－2              B．2           C．－2i           D．2i

2．已知向量＝(2，3)，＝(x，5)，若⊥，则x＝(    )

A．               B．1           C．             D．－1

3．在△ABC中，“A＞B”是“sinA＞sinB”的(    )

A．充分不必要条件                  B．必要不充分条件

C．充要条件                        D．既不充分也不必要条件

4．已知α∈(0，π)，tanα＝，则cos2α＝(    )

A．             B．              C．              D．

5．设D为ABC所在平面内一点，＝4，则(    )

A．               B．

C．               D．

6．(    )

A．1             B．             C．            D．2

7．在锐角△ABC中，∠C为最大角，且sinA：sinB：sinC＝2：(1＋k)：2k，则实数k的取值范围(    )

A．          B．(1，3)        C．          D．(0，3)

8．在△ABC中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若9b2＋6bccosA＝11c2，则角B的最大值为(    )

A．              B．            C．              D．

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．请把答案填涂在答题卡相应的位置上．

9．对于任意的非零平面向，，，下列结论正确的是(    )

A．·＝·                  B．若·＝·，则＝

C．(＋)·＝·＋·      D．·(·)＝(·)·

10．为了提升小学生的运算能力，某市举办了“小学生计算大赛”，并从中选出“计算小达人”．现从全市参加比赛的学生中随机抽取1000人的成绩进行统计，得到如图所示的频率分布直方图，其中成绩的分组区间为[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]，规定得分在90分及以上的被评为“计算小达人”。下列说法正确的是(    )

A．m的值为0.015      

B．该市每个小学生被评为“计算小达人”的概率为0.01

C．被抽取的1000名小学生的均分大约是85分

D．学生成绩的中位数大约为75分

11．三角形△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，下列条件能判断△ABC是钝角三角形的有(    )

A．a＝2，b＝3，c＝4                B．＝－2a

C．                 D．

12．相交弦定理是平面几何中关于圆的一个重要定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等，如图，已知点P是直径为的圆O内的定点，且OP＝m(m＞0，m∈R)，弦AC、BD均过点P．则下列说法正确的是(    )

A．－m≤≤0     

B．＝－m2

C．当AC⊥BD时，＝－2m2

D．当AC过点O且AB＝BC时，＝m2

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填写在答题卡相应的位置上．
13． 已知＝(3，4)，＝(4，－2)，若2－与k＋2为共线向量，则实数k＝         ．

14．已知样本数据x1，x2，…，x10的方差为2，则数据3x1－2，3x2－2，…，3x10－2的方差为         ．

15．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A＝θ，a＝，b＝2，若△ABC有两解，则θ的取值范围为         ．

16．若cos2α＝－，sin(α－β)＝，且α∈(，)，β∈(－π，－)，则α＋β＝         ．

四、解答题：本题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分10分)

已知||＝1，||＝2，且与的夹角是60°．

(1)求·，|＋|；

(2)求＋和的夹角的余弦值．

18．(本小题满分12分)

一个盒中装有编号分别为1，2，3，4的四个形状大小完全相同的小球．
(1)从盒中任取两球，列出所有的基本事件，并求取出的球的编号之和大于6的概率；

(2)从盒中任取一球，记下该球的编号a，将球放回，再从盒中任取一球，记下该球的编号b，列出所有的基本事件，并求|a－b|≤1的概率，

19．(本小题满分12分)

己知向量＝(2cosx，1)，＝(－cos(x＋)，)，x∈[0，]．

(1)若//，求x的值；

(2)记f(x)＝·，若对于任意x1，x2∈[0，]，而| f(x1)－f(x2)|≤λ恒成立，求实数λ的最小值．

20．(本小题满分12分)

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝b(sinC＋cosC)，D为边AB上的一点，BD＝1，BC＝2，．

(1)求B：

(2)求AC的长．

21．(本小题满分12分)

在△ABC中，AB＝，AC＝2，∠BAC＝，O是△ABC外接圆圆心，若＝λ＋μ，

(1)求·及||；

(2)求λ，μ．

22．(本小题满分12分)

如图，某闸口附近有一块半圆形区域，其中豁口(阴影部分)是一块最点水域．为了进一步发展旅游业，现要划出两块陆地进行打造，一块为矩形PEMN建成停车场，另一块为直角三角形OQF建成体闲区它们的面积分别记为S1，S2；同时，为了保护景点水域，限定扇形POQ必须为四分之一圆，不作其它开发．已知O为圆心，直径AD为200m，点P、Q分别在弧AB、CD上(均不含端点)，且点E、F分别在OB、OD上，点M和N在OA上，，∠COD＝，记∠AOP＝α．

(1)求S1的最大值，并指出相应的α值；

(2)为了给旅游主管部门提供决策依据，的取值范围．